Electrostatica final

Departamento Electrotecnia Materia: Teoría de los Campos

Prof.: Mg. Ing. Eduardo Guillermo

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

1






2

Las fuerzas de campo pueden actuar a través del espacio, produciendo algún efecto pese a que no exista contacto físico entre los objetos que actúan entre sí.

Ej: el campo gravitatorio. Una masa m experimenta una fuerza gravitatoria debido a la presencia de otras masas. El efecto de esas otras masas sobre m se transmite a través de un campo gravitatorio g generado en el espacio por la existencia de las otras masas. Así, puede definirse al campo gravitacional g en un punto del espacio como la fuerza gravitacional Fg actuando sobre una partícula de prueba de masa m dividido esa masa:

mgF

=g

•El campo gravitatorio es la aceleración en caída libre debido a la gravedad en el punto en cuestión. •La expresión específica para el campo gravitatorio depende de la forma y distribución de las masas que crean el campo, y no de la masa m colocada en el campo. •La existencia de la masa m no altera la forma y distribución de las masas generadoras del campo bajo observación. •Las masas sobre las que se realiza un estudio de pesos, caída libre, etc. aún siendo enormes, son insignificantes con respecto a la masa de la tierra y, por tanto, su efecto sobre aquélla es absolutamente despreciable.

El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) en relación con las cargas eléctricas

FUERZAS DE CAMPO





3

Que es?

Es un principio experimental basado en la balanza de torsión de Cavendish para la medición de la constante de gravedad, reemplazando esferas eléctricamente neutras por esferas cargadas

Modelo cuantitativo de la interacción entre cargas eléctricas

Permite comparar y medir cargas eléctricas

Características del modelo

cargas eléctricas puntuales: su tamaño es mucho menor que la distancia que las separa

cargas en reposo: r1 y r2 constantes

fuerza en la dirección que une las cargas

fuerza newtoniana

proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado

rango de validez 10-15m – 103m

LEY DE COULOMB

r1

r2





4

LEY DE COULOMB Propiedades de la fuerza de interacción

r1 r2

x y

z

F12 F21 q1q2<0 F12

q1q2>0

q1 q2 r = r1-r2

F12 colineal con

atractiva si

repulsiva si

módulo de la fuerza:

proporcional al producto

inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia

expresión matemática:

021 >qq021 <qq

21 qq

2

12

2112

PP

qq∝F

12PP

321

2121

21

212

21

212

21

2112 ˆ

rrrr

rrrr

rrr

rrF

−−

=−

−−

=−

= qqkqqkqqk eee

041πε

=ek

2112 FF −=fuerza newtoniana (3° ley de Newton)

P1 P2





5

LEY DE COULOMB Principio de superposición

Principio general

La superposición de causas da lugar a la suma de efectos

Principio de superposición en electrostática

Cada carga ejerce una fuerza electrostática elemental Fi sobre q (ley de Coulomb)

La fuerza electrostática total sobre la carga q es la suma de las Fi

∑∑== −

−==

N

i i

ii

N

ii qq

13

01 4 rrrr

FFπε

qn

qi

q1

r ri

x y

z

Fi q

sistema de cargas “fuente”

F1

Fn

P1 Pn

Pi

F

carga prueba 0ε





6

Campos Eléctricos Estáticos

Para el espacio libre sólo tenemos que considerar una de las cuatro cantidades de campo vectoriales fundamentales del modelo electromagnético, la intensidad de campo eléctrico E

La intensidad de campo se define como la fuerza por unidad de carga que experimenta un carga de prueba estacionaria muy pequeña (tal que no perturbe la distribución de carga fuente) al colocarse en una región donde existe un campo eléctrico

qq

FE0

lim→

= (N/C) ó (V/m)

la intensidad de campo es proporcional a la fuerza y tiene su misma dirección. La inversa sería:

EF q= (N)





7

Campos Eléctricos Estáticos Campo eléctrico de cargas puntuales

•las cargas fuente provocan una “perturbación” en el espacio, detectada como fuerza electrostática sobre la carga de prueba q

•el campo eléctrico describe la perturbación (independiente de q)

qn

qi

q1

r ri

x y

z

∆F ∆q


P1 Pn

Pi

E(P)

0ε

P

El campo eléctrico o fuerza electrostática en P, por unidad de carga será:

Para cualquier punto del espacio:

PPq dq

dq

P FFE =∆∆

=→∆ 0

lim)(

∑ = −

−=

N

ii

iiq

1 304

1)(rrrrrE

πε





8

Campos Eléctricos Estáticos Campo eléctrico de cargas puntuales

Principio de superposición el campo eléctrico total es la suma de los campos creados por cada qi

P

i

qi qP

∆∆

=→∆

FE0

lim)(

∑∑== −

−==

N

i i

ii

N

ii q

13

01 41)(

rrrr

ErEπε

qn

qi

q1

r ri

x y

z ∆Fi

∆q


P1 Pn

Pi

E(P)

0ε

P Ei(P)

Fuerza en términos de campo •para carga puntual q en P

•para carga q distribuida en Ω

)()( PqP EF =

∫∫ΩΩ

Ω′′== )(rEFF qdd





9

Campos Eléctricos Estáticos Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas puntuales

Se disponen siete cargas eléctricas iguales en los vértices de un octógono regular situado en el plano OXY, con centro en el origen, quedando vacío el octavo vértice, situado en ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del octógono? y en los demás puntos del eje OZ?

ir ˆ8 a=

( ) ( )OO 4EE = ( )( )

)(ˆˆ7

4 23220

zaz

azqPz EikE =+

+=

πε

( ) E(0)iE == ˆ4 2

00 a

qPπε





10

Campos Eléctricos Estáticos Campo eléctrico de distribuciones continuas

Campo de distribución volumétrica

distribución “fuente” dada por

en cada P´ de la distribución “fuente” hay una carga infinitesimal

ésta produce en P un elemento de campo eléctrico (perturbación infinitesimal):

por el principio de superposición:

τdPqd )(ρv ′=′

( )3

041

rrrrE

′−

′−′=

qddP πε

( )∫∫ ′

′−

′−′=→=

ff

ddPττ

τπε 3

v

0

)(ρ4

1)()(rr

rrrrEEE

)(ρρ vv r′=





11


Campo de distribución superficial





( )∫∫

ΣΣ

′′−

′−′=→=

ff

SddP 3S

0

)(ρ4

1)()(rr

rrrrEEEπε

)(ρρ ss r′=

SdPqd ′′=′ )(ρS

( )3

041

rrrrE

′−

′−′=

qddP πε





12


Campo de distribución lineal





( )∫∫ΓΓ

′′−

′−′=→=

ff

lddP l3

0

)(ρ4

1)()(rr

rrrrEEEπε

)(ρρ r′= ll

ldPqd l ′′=′ )(ρ

( )3

041

rrrrE

′−

′−′=

qddP πε





13

Campos Eléctricos Estáticos Postulados fundamentales de la electrostática en el espacio libre

( )

( ) 0 II

ρ I0

v

=×∇

=⋅∇

E

Eε

(en el espacio libre)

los campos eléctricos estáticos son irrotacionales

un campo eléctrico estático no es solenoidal a menos que ρv=0

esto es independiente del sistema de coordenadas elegido

Tomando la integral de volumen a ambos lados del primer postulado:

Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia se transforma en:

∫∫ =⋅∇VV

dvdv ρ1 V0ε

E

0

εqd

S∫ =⋅ SELey de Gauss





14

Campos Eléctricos Estáticos Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas continuas

Determinar la intensidad de campo eléctrico de una línea de carga recta, infinitamente larga, en el aire y con una densidad lineal de carga uniforme

y

z

z´

dz´

dE

dEr dEz

r

R O

P

lρ

( ) ( ) rrE ˆ2ρˆ´

4ρ

02/322

0 rzrdzrP ll

z πεπε=

′+= ∫

∞+

∞−

x

El problema tiene simetría cilíndrica, por lo tanto:

( ) ´ρ4

13

0

dlR

P lzRE ∫=

πεzrR ˆˆ zr ′−=

( ) ( )( )

( ) ( )zErE

zrE

ˆˆ

ˆˆ4ρ

2/3220

zzzr

lz

PdPd

zdzrzrPd

+=

=′′+

′−=

πε

al integrar se cancela la componente ( )zE ˆzz P





15

El campo resultante debe ser radial y perpendicular a la línea de carga y no puede existir una componente de E a lo largo de la línea. Se construye una superficie gaussiana cilíndrica. El elemento de superficie, sobre la superficie gaussiana será:

Campos Eléctricos Estáticos Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas continuas

Resolver el mismo ejercicio anterior mediante la Ley de Gauss

rS ˆ = dzrdd φ

z

L

r

superficie gaussiana

No hay contribución sobre la cara superior e inferior del cilindro pues no hay campo perpendicular a dichas superficies. La carga total encerrada por el cilindro es:

rrE ˆ

2ρˆ

0rE l

r πε==→=

0

ρ 2ε

π LrLE lr

dldQ l ρ=

∫∫∫ ==⋅π

πφ2

002 rr

L

S

rLEdzdrEdSE

∫∫ ==⋅ dQQdS 00

1 εε

SELey de Gauss





16

Fuentes de Campos Eléctricos Estáticos Campo de una distribución general de carga

distribución de carga eléctrica discreta (cargas puntuales) “qi” en Pi y continua Λf distribución continua: El campo total será:

( ) ( )

′−

′−′+

−

−= ∫∑

Λ= f

qdqN

i i

ii3

13

041)(

rrrr

rrrrrE

πε

ffff ΓΣ=Λ ,,τ

Γ∈Γ′=′

Σ∈Σ′=′

∈′=′

Γ

Σ

fl

fs

fv

dPqddPqddPqd

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ τττ

Falta primar las cargas discretas





17

Fuentes de Campos Eléctricos Estáticos Fuentes escalares: Ley de Gauss

situación inversa: dado un campo ¿qué distribución de carga lo produce? Ley de Gauss:

volumen incluye todas las cargas “fuente” de campo eléctrico La densidad volumétrica comprensiva será: Ley de Gauss local: distribución de fuentes escalares de

)(rEE =

0ετ

t

S

Qd =⋅∫ SE

τ

Pe

Qττ ∆

∆=

→∆ 0limρ 3ℜ→∈∀ τP

)(rEE =

( ) τρε

τττ

dd e 1

33 0∫∫ℜ→ℜ→

=⋅∇ E ( ) ( )rrE eρ1

0ε=⋅∇





18

Condiciones del Campo Eléctrico en las Superficies Discontinuidad de la componente normal

campo creado por fuentes en y una creamos una superficie gaussiana en el entorno de P y aplicamos la Ley de Gauss La carga en debe ser igual al flujo neto de

)(rEE = ´τΣ= en )(ρρ s r

ΣS)(rEE =

000

limlimε

τ

τ

∆

→∆→∆=⋅∫

Qdh

Sh

SE

dSddSSS

ρ1s

0)(P)(P ∫∫∫

Σ−Σ

−

+Σ

+ =⋅−⋅ ΣΣ εSESE

con en cada punto de se verifica un “salto” en la componente normal de

Σ⊥=Σ )( PdSd nS

)(rEΣ [ ]

0

s )(ρ)()(ε

PPP =⋅− −+ nEE

Σ

E(r)ε0

ρ=ρs(r)

E(P-)

E(P+)

P Q∆τ SΣ

dSΣ

-dSΣ

∆h





19

Condiciones del Campo Eléctrico en las Superficies Continuidad de la componente tangencial

∆h

drΣ

ΛΣ

∆S

E(P+)

E(P-)

con

)()( PPdld ntr ⊥=Σ [ ] 0)()( =⋅− −+ tEE PP

Σ

E(r)ε0

ρ=ρs(r)

τ campo creado por fuentes en y una creamos una circulación en el entorno de Σ y aplicamos el teorema de Stokes el campo estático es irrotacional


0lim0

=⋅∫∆

→∆S

hdrE

0=⋅−⋅ ∫∫−Σ

+Σ Λ

ΣΛ

Σ rErE dd

( ) 0=⋅=⋅×∇ ∫∫ΣΛ

∆

drdS

ESE





20

n(P) t(P)

Et

E(P+) En

+

E(P-) En-

Condiciones del Campo Eléctrico en las Superficies Resumen

Σ

E(r)ε0

ρ=ρs(r)

τ´

campo creado por fuentes en y una el campo eléctrico en P de Σ puede descomponerse como:


tn EEE +=)(P

estas componentes verifican las siguientes condiciones de salto y continuidad

−+

−+

=

=−

tt

nn

EE

nEE )()(ρ

0

s PPε





21

Potencial Electrostático

Un campo vectorial con rotacional nulo siempre puede expresarse como un gradiente de otro campo escalar, por lo tanto podemos definir a partir de

un potencial eléctrico escalar φ:

0 =×∇ E

φ−∇=E

Si conocemos φ (también llamado V ) podemos encontrar el valor del campo hallando el gradiente de esa función escalar, con una sencilla operación de diferenciación.

El potencial se relaciona con el trabajo realizado para mover una carga de un punto a otro, al mover esta carga hay que realizar un trabajo en contra del campo, igual a:

(J/C o V). ∫ ⋅−=2

1

P

P

e dlq

W E

El valor de la integral de línea escalar del campo irrotacional o conservativo (caso del campo electrostático) es independiente de la trayectoria. La integral anterior representa la diferencia en energía potencial eléctrica de una unidad de carga entre el punto P1 y el punto P2 . Si denotamos la energía potencial eléctrica por unidad de carga por φ o V (el potencial eléctrico), tenemos:

∫ ⋅−=−2

1

12

P

P

dVV lE





22

Potencial Electrostático Potencial del campo creado por una carga

∫∫ ⋅−=⋅−==−2

1

2

1

12 φφP

P

P

P

e drEdq

W lErl

rr

rE

ˆ

ˆ4

1)( 20

drd

q

=

=πε

1002

01 44

14

1φ11

rq

rqdr

rq

qW

rre

πεπεπε==−==

∞∞∫

−==−=−=

⋅−−

⋅−=− ∫∫∫∫

ΓΓ∞∞ 2300,2

0,2

023

1144

14

14

1φφ3

2

3

22

3

21

23

rrq

rqdr

rqdr

rqdrEdrE

r

r

r

r

r

r

rr

πεπεπεπε

P1 P3

P4

P5

P2

Γ1

Γ2

r1

r2

r3

r5

r4

El potencial del punto P1 se halla integrando desde el infinito (potencial 0) hasta el punto:

La diferencia de potencial entre los puntos P2 y P3 será:

La diferencia de potencial entre los puntos P4 y P5 será:

Rrrrr

qrqdr

rq

r

r

r

r

===

−==−=− ∫ 45

45002

045 , 011

441

41φφ

5

4

5

4πεπεπε

El potencial es una cantidad escalar, y su valor depende de la carga que genera el campo y la distancia al punto considerado. Las superficies esféricas de radio R , con centro en el punto donde se ubica la carga q , constituyen superficies de igual potencial o equipotenciales





23

qn

qi

q1

r r´i

x y

z

∆q


P1 Pn

Pi

E(P)

0ε

P (r-r´i)

Potencial debido a sistemas de cargas

Sistema de cargas puntuales (discretas) el potencial eléctrico total debido a un sistema de cargas discretas es la suma de los potenciales debidos a cada qi

∑∑== ′−

===N

i i

iN

ii

qV101 4

1φ)(φ)(rr

rrπε

Sistema de cargas distribuidas

∫ ′−′

==i

qdVrr

rr04

1)(φ)(πε

∫ ′−==

i

l dlVrr

rr ´ ρ4

1)(φ)(0πε

∫ ′−==

i

s dSVrr

rr ´ ρ4

1)(φ)(0πε

∫ ′−==

i

v dVrr

rr ´ ρ4

1)(φ)(0

τπε





24

Potencial debido a una distribución de cargas general

distribución de carga eléctrica discreta (cargas puntuales) “qi” en Pi y continua Λf distribución continua: El potencial total será:

′−

′+

−== ∫∑

Λ= f

qdqN

i i

i

rrrrrr

1041)(φ)V(πε

ffff ΓΣ=Λ ,,τ

Γ∈Γ′=′

Σ∈Σ′=′

∈′=′

Γ

Σ

fl

fs

fv

dPqddPqddPqd

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ τττ





25

Propiedades del potencial electrostático

Superficie equipotencial (Σvi):

lugar geométrico de todos los puntos Pi(q1,q2,q3) con igual valor de potencial

su ecuación describe superficies en R3

Propiedades del gradiente de φ(r): Las proyección de E(P) es la derivada direccional

de φ(r) en el entorno de P

En general: E(r) indica la dirección y sentido de la máxima disminución del potencial E(Pi) es perpendicular al plano tangente a la Σv equipotencial que contiene a Pi

-∇φ(P2)=E(P2)

V1=φ1

V2=φ1 +dφ

P3

P1

P2 Σv2

-dφ dl

dl dn Σv1

α





26

Propiedades del potencial electrostático

Propiedades del gradiente de φ(r): Las proyección de E(P) es la derivada direccional

de φ(r) en el entorno de P:

para P3 cercano a P2 tenemos:

αφφ

αφφφ

cos)(ˆ)(ˆˆ

cos)(

Pdnd

dnd

dldn

dnd

dldPl

Elln

E

=⋅−∇=⋅−=

=−=−=−=

dldn

=αcos

-∇φ(P2)=E(P2)

V2=φ1 +dφ P3

P1

P2 Σv2

-dφ dl

dl dn Σv1

α

V1=φ1

P1

dl dn

α

αφ cos)(ˆ)()( PPl ElE =⋅−∇=⇒n l

)()( φφ−∇=−=

dndPnE





27

Energía y Fuerzas Electrostáticas

El potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico es el trabajo necesario para traer una unidad de carga positiva desde el infinito (potencial cero) a dicho punto. Para traer una carga Q2 mediante un proceso cuasiestático (lentamente) desde el infinito contra el campo creado por una carga Q1 en el espacio libre hasta una distancia R12 , la cantidad de trabajo necesaria es (independientemente de la trayectoria que siga Q2): o también:

combinando ambas:

120

12222 4 R

QQVQWπε

==

11210

212 4

VQR

QQW ==πε

[ ]22112 21 VQVQW +=

r2 r1

x y

z

Q2 Q1

0ε

R12

Q3

Si traemos otra carga Q3 desde el infinito hasta un punto dentro del campo se necesitará un trabajo adicional igual a:

+==∆

230

2

130

1333 44 R

QR

QQVQWπεπε

++=∆+=

23

32

13

31

12

21

023 4

1R

QQRQQ

RQQWWW

πε

∫ ⋅−=2

1

P

P

e dlq

W E





28

Energía y Fuerzas Electrostáticas

r2 r1

x y

z

Q2 Q1

0ε

R12

Q3

++=∇+=

23

32

13

31

12

21

023 4

1R

QQRQQ

RQQWWW

πε

Podemos escribir W3 como:

( )332211

230

2

130

13

230

3

120

12

130

3

120

213

21

44444421

VQVQVQ

RQ

RQQ

RQ

RQQ

RQ

RQQW

++=

=

++

++

+=

πεπεπεπεπεπε

Si extendemos este procedimiento para incorporar cargas adicionales llegamos a la expresión general de la energía potencial de un grupo de N cargas puntuales discretas en reposo:

(J) o (eV) ∑=

==N

iiiee VQUW

121

Joule )10(1,6(eV)1 -19×=





29

Energía y Fuerzas Electrostáticas Distribución continua

En el caso de una carga distribuida la expresión se modifica

de la siguiente manera:

∫∑Λ=

∞→Λ=

∆=

f

fdVVqW eii

N

iiNe ρ

21)(lim

21

1r

con:

ffff ΓΣ=Λ ,,τ

Γ∈Γ′=′

Σ∈Σ′=′

∈′=′

Γ

Σ

fl

fs

fv

dPqddPqddPqd

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ

P´ si )(ρ τττ

qd ′

Γ′qdfΓ

Σ′qdfΣ

Σ′PΓ′P

r′

τqd ′fτ

τP′

fΛ

aquí V es el potencial del punto donde la densidad volumétrica comprensiva es ρe y Λf es el volumen de la región donde existe ρe

o también: ∫Λ

=f

VdqWe ´21

El valor de We incluye el trabajo (energía propia) necesario para formar la distribución de cargas

macroscópicas, ya que es la energía de la interacción entre cada elemento de carga

infinitesimal y todos los otros elementos de carga infinitesimales





30

( )22 d/2θcos2/ ∆+∆=∆ drr rr

±

∆

+∆

±=∆

...2

θcos32θcos11

2/1

3

22

rd

rd

rrr

−θ

∆

+θ∆

== ...)(cos4

)()(3

0

frd

rd

rqV

πεφ rr

30

30

20

ˆ

41

41

4θcos

rrq

rdq

rd

rprrprr

⋅=

⋅∆=

∆≅

⋅∆

<<∆ πεπεπε

momento dipolar

distancia entre P y las cargas:

Aproximación en puntos lejanos: desarrollo en serie para ∆d/r«1 valor aproximado del potencial:

∆r

r2

r1

P1

P2

−∇φ(P)=E(P)

Sistema de dos cargas puntuales opuestas Dipolo eléctrico

sistema compuesto por dos cargas +q en P1

y –q en P2 , tal que:

potencial electrostático:

2 ,

2 2211rrrr ∆

−==∆

== OPOP

∆+−

∆−==

2/1

2/1

4)()(

0 rrrrrr

πεφ qV +

-





31

Dipolo eléctrico ideal

Momento dipolar: •característica del dipolo eléctrico

dipolo eléctrico ideal:

•elemento puntual con carga neta nula y momento dipolar no nulo

304

1)(φ r

q rprrprr

⋅≅→∆=<<∆ πε

cte., lim que tales0

0pr

rr

=∆

∞→→∆

∞→→∆

qq

q

304

1r

rp ⋅=

πεφdip

5

2

0

)(34

1)()(r

rprrprrE

⋅−⋅=−∇=

πεφ dipdip

el potencial electrostático del dipolo ideal será:

el campo eléctrico del dipolo ideal será: El DI consiste en dos cargas puntuales de igual magnitud y signo opuesto, cuando la distancia que las separa tiende a cero, pero de manera que se mantiene cte. el momento dipolar





32

Sistema de fuerzas: •dipolo eléctrico en un campo externo

cargas próximas

momento dipolar

•fuerzas sobre las cargas

debidas al campo externo “internas” tal que

Acciones de sobre el dipolo

•par de fuerzas (respecto de P) provoca un momento en P

•energía potencial

El dipolo eléctrico en presencia de campos eléctricos externos

+ p

-

F+

F-

E(P1)

E(P2)

E(P) F Mp

P

21 2/ PPPP =∆= rrp ∆= q

E(r)

)( , )( 21 PqPq EFEF −== −+

cte=∆r

)(rE

)(rE

[ ] )()()(2 21 PqPPqP ErEErM ×∆=+×

∆= )()( rEprp,M ×=P

dipolo ideal

[ ] ( )

∆⋅∇−=−=

∆ rE

r.

)()()( φφφ21 PPPe qqU )()( rEprp, ⋅−=eUdipolo

ideal

Dos importantes implicancias:

1. si el campo eléctrico externo es uniforme, entonces el dipolo buscará el equilibrio orientándose en la dirección del campo

2. si el campo no es uniforme, el dipolo se orientará con él, pero además se desplazará buscando la zona donde el campo es más intenso

Electrostatica final

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