PROBLEMASDEELECTROESTTICA ICAMPO ELECTRICO EN EL VACIO1.Cargas puntuales2.Cargas lineales3.Cargas superficiales4.Flujo y ley de Gauss5.Distribuciones cbicas de carga6.Trabajo y energa electrosttica7.ProblemasProf. J. Martn23CARGAS PUNTUALESProblema 1 Dos esferas conductoras de dimetro despreciable tienen masa de m = 0.2 gcada una .Ambas estn unidas mediante hilos no conductores a un punto comn. Lalongitud de los hilos se de1 mysu masa despreciable. Cuando se les comunica a cada una de ellas una misma carga elctricaq , se separan formando los hilosngulos de 45 o con la vertical. Hallar la carga de cada esfera.SOLUCINL L45 4512 F2F1mgmg T TSobre cada esfera actan tres fuerzas, el peso, la tensin del hilo y la fuerza elctrica, cuya suma, en elequilibrio ha de ser cero. De la figura se deduce queg m F T F T mg o o45 sen ; 45 cosLa distancia entre las esferas es o45 sen 2L r De la ley de Coulomb se tiene g m r q g mrqF 45 sen 4 412 20220 Sustituyendo valores queda C q 66 , 0 Problema 2Las posiciones de dos cargas puntuales positivas q1 y q2estn definidas en una ciertareferencia por los vectoresr1yr2 . Determinar el valor de otra carga puntual q3y su posicin r3 enla misma referencia para que la fuerza total sobre cada una de ellas sea nulaSOLUCIONPara que la fuerza resultante sobre cada carga sea cero, la carga q3 ha de estar alineada con las otrasdos cargas. Las cargas 1 y 2, cargas positivas,

se ejercen entre sfuerzas repulsivas, luego la carga 3ha de ejercer sobre ellas fuerzas atractivas para que la resultante sea nula, es decir, ha de ser negativa.4Si ses la distancia entre lascargas 1 y 2, se cumple s= s1+s2, siendos1ys2las distancias de lacarga 3 a las cargas 1 y 2 respectivamente.De la ecuacinF1 = 0se tiene 0 0213 122 131 21 +sq qsq qF F (1) y de la F2= 00 0223 222 132 12 + +sq qsq qF F (2)De las ecuaciones (1)y (2)queda122222213qssqssq ; efectuando el cociente entre ellasse obtiene la relacin2211sqqs que sustituidaen s= s1+s2y operando se tienen las distancias s1 , s2sq qqs sq qqs2 1222 111;++ Sustituyendo en una de las expresiones de la carga 3 queda( )22 12 13q qq qq+ q2r1r3r2q1q3F21F31F32F12F23F135De la ecuacin F3 = 0se tiene ( ) ( )3 2 3r r r r 3221311sqsq;operando se tiene la posicin deq32 1 3r r r

,`

.|++

,`

.|+2 112 12q qqq qqProblema 3Dos cargas puntualesq1 = q y q2 = q , tales queq1> q2 estn separadas unadistancia L.Determinar el campo elctrico en :a) puntos de la recta definida por las dos cargas . Enque punto el campo es nulo ? ;b) en un punto cualquiera del espacioSOLUCIONSituemos las cargas tal como se indica en la figura adjunta.

yLxyzq2q1E1E2a) El campo elctrico en los puntos del eje y est dado porE=E1+E2 =( )j

,`

.|2 2041y LqyqEl campo se anula nicamente en un punto a la derecha de la carga q2 , dado por Lq qqy b) Sea r = ( x, y ,z) , el vector posicin de un punto genrico del espacio, tal como se muestra en lafigura adjunta6 rErLEE12q1q2El campo resultante es la suma vectorial de los campos de cada carga ,`

.| r r E3 3041rqrq7CARGAS LINEALESProblema 4 Una distribucin rectilnea uniforme de carga Q y de longitudl, est situada sobre el ejexconunodesusextremosenelorigendecoordenadas.Determinarelvalordelafuerzaqueejercesobre una carga puntual q situada en un punto del eje x tal que x > l.SOLUCIONPor el principio de superposicin, la fuerza sobre la carga q est dadapor l ld q d0 0E F F(1)dondeE d eselcampocreadoporlacargapuntualdq.Ladensidadlinealdecargaesl Q/ ,luegox d dq , que se muestra en la figura adjunta. F = q E O x y q l x r = ( x x ) i dQ = d x x El campo creado por la carga diferencial est dado por( )i E i E20204 41x xx ddrQ dd Sustituyendo en la ecuacin (1) e integrando queda

( )i Fl x xq Q0418Problema5CalcularelcampoEcreadoporladistribucinrectilneadecargadelongitudl(m)ydensidad (C/m) en el punto P ( 0 , y)de la figura adjunta.SOLUCIONEl campo elctrico en el punto P est dado por( ) l lrQ dd y r E E3041 donde r es el vector con origen en el elemento de carga dQ y extremo en el punto P( 0, y).LosdEnosepuedensumardirectamenteyaquetienendireccionesdistintas;expresandodEencomponentes quedadE=dExi+dEyj=dEseni+dEcosj.Lascomponentesdelcampo estn dadas por las integrales

l ldE E dE E cos ; sen2 1Lasrelacionestrigonomtricasy=rcos;x=ytanpermitenresolverfcilmentelasintegrales.x yO l P (0 , y )O ydE PrdQ = dx Ey x x E1 E29ydy rdxEl cos cos 4 sen1 4 sen 40 0201 ydy rdxEl sen sen 4 cos1 4 cos 400202 Problema6Determinarelcampoelctricoenunpuntocualquieradelespaciodeunadistribucinrectilnea de carga, de longitud infinita y densidad constante C/m .SOLUCIONUnpuntocualquieradelneadecargaeselpuntocentraldeladistribucindecarga.Lacargaessimtrica respecto de cualquier punto del espacio. Seleccionamos un sistema de coordenadas tal comoelindicadoenlafigura.Debidoalasimetradelacarga,lasumadelosE d creadosporlosdQsituados a la misma distancia respecto del origen, tienen direccin radial, luego el campo en un puntocualquiera del espacio tiene direccin radial respecto de lnea de carga.Su mdulo es nicamente funcin de la distancia al eje r.EzrrdQdEdEE Ozr zdQr u10 + + ]]]

dzrE E d20 cos 4 cosu E (1)Clculo de la integral (1).Utilizando las relaciones trigonomtricas tg ; cos r z r r se tiene+ 220 01 2 cos14rdr E20 2rrE Problema 7Se dispone de una distribucin uniforme de carga Q(C) formando una circunferenciade radio r (m). Determinar el campo elctrico en los puntos del eje de la circunferenciaperpendicularal plano que la contiene, pasando por su centro.SOLUCIONSeleccionemosunsistemadecoordenadastalcomoelindicadoenlafiguraadjunta.Lacargaessimtrica respecto de los puntos del eje z, luego el campo Etienela direccin del vectork.La componente del campo en la direccin z est dada por a c a crdQE d z Earg20arg cos 41 cos ) ( y z dQ x Ed Ed E r r z E carga r dQ11De la relacin trigonomtrica cos r z yde 2 2 2r z r + se obtiene inmediatamente elvalor del campo( )2 / 32 20 4) (r zz Qz E+Problema8Dosdistribucionesdecargarectilneasdelongitud,dedensidad0 constanteestnsituadasenelplanox-yparalelasalejeyyaunadistanciaadelorigen.Sobreunhilorectodelongitudl (m) y masa m (kg), situado sobre el eje z tal como se muestra en la figura, se distribuye unacargadedensidadlinealconstanteC/m.Determinar:a)Elcampoelctricoquecreanlascargasrectilneas en los puntos del eje z . Dar su expresin en funcin de zy dibujar su grfica ; b)El valorde para que el hilo se mantenga en equilibrio.SOLUCIONa) El campo elctrico creado poruna distribucin rectilnea infinita de carga a una distancia r de lamisma, tiene direccin radial y su mduloest dado porr E02 .En la figura se representanlos campos creados por las cargas lineales 1 y 2 en un punto del ejez. El campo resultanteE tiene ladireccin del eje z.zxyaOP (0,0,l )Q (0,0,2 l )00azxrrO a aE2 E1E2z112Su mdulo es 2 200200001coscos 2a zzrzrE E+ Grfica.b)Paraqueelcablesemantengaenreposo,lafuerzaelctricahadeequilibraralpeso.Lafuerzaelctricasobre un elemento diferencial de cable es dz E dq E dF . Integrando se tiene

,`

.|+++lla la la zzdzF22 22 2002 2004ln 2 2 2 Para el equilibriose ha de cumplirF= m g.Igualando y despejando se tiene la densidad .

,`

.|++ 2 22 2004ln2a la lg mProblema 9 En la figura adjunta se dispone una distribucin rectilnea de carga positiva de densidad = k zpara z > 0y = k zpara z 3, el campo est dirigido hacia la derecha y para puntostalesquey R0c) SiQ = Q0 / 9 , calcular el valor de R para que el campo total sea nulo en r= RPara el valor de R calculado en el apartado:d) La expresinel campo elctrico totalE (r)en todos los puntos del espacio.Dibuje su grfica.e) El potencial de la cargapositiva y de la carga negativa. Dibujar sus grficas.SOLUCIONa) La carga esfrica est dada por

202002000m / C 20 0 R RRQk R k r d r k dQ QPara la densidad cbica de carga quedar RQ 1 2200b)Debidoalasimetraesfricadelascargas,elcampoelctricoesradial.Seleccionandocomosuperficie de Gauss una superficie esfrica de radior

R , el campo elctrico para dicha rser cerocuando la cargatotal encerrada sea cero.Para cargas esfricas, el campo en puntos exteriores a las cargas est dado por2001 41rQ QE+Su valor sea cero si + 00Q Q0Q Q R0r RE=0QS34c)Para el valorQ = Q0 / 9, la carga superficial debe de estar en el interior de la esfera de radio R0 yaunadistanciardelcentrotalquelacargacbicahastarseaigualalvalorabsolutodelacargasuperficial.Lacargatotalcontenidaenelvolumenesfricoderadiorserceroy,segnGauss,elcampo a la distancia r = R del centro ser cero.Condicin para que el campo sea nulo en R:0 ) (0 + Q r QClculo de Q0 ( r ) : r rRr Qdr rRQdQ r Q02020020002) (Sustituyendo y operando queda 30RR d)Representacin grfica de los campos en funcin de la distancia al centro.E1es el campo enpuntos tales que0rR1 2002001 41 ) ( 41RQrr QE E2es el campo enpuntos tales queR / 3rR ]]]

2 200291 1 4 r RQEE3es el campo enpuntos tales queR r 20031 92rQE R0r=RE=0Q = Q0 / 9SQ0 (r )35e) De la relacinE = V , se deducen los potenciales de las cargas.Las constantes de integracinsedeterminanconlacondicinnormalenelinfinitoyaplicandolacontinuidaddelafuncinpotencial.Potencial de la carga positiva.Operando se tiene : ,`

.| RrRQV 2 410011 ;rQV0012 41Potencial de la carga negativa.Operando se tiene :RQV0021 4131 ;rQV0022 4191 V11es el potencial parar R0V12 es el potencial para R0 rV21es el potencial parar R0 / 3V22 es el potencial para R0 / 3 r2 E1 / 9EOE18 E1 / 9rR0 / 3R0rR0 / 3R 0VO 1/3V12 ( R0 )V12 ( R0 )2 V12 ( R0 )Potencial cargapositivaPotencial carganegativa36TRABAJO Y ENERGA ELECTROSTTICAProblema29Unacargalinealdelongituda(m)ydensidadconstanteC/m,estsituadaparalelamenteaunalminainfinitacargadedensidadconstanteC/m2,talcomoseindicaenlafigura adjunta. Calcular el trabajo necesario paragirar la carga linealun ngulo de 90 hasta situarlasobre el eje z.SOLUCIONEl campo elctrico de una distribucin de carga uniforme,plana e infinita, est dado por 0 2 Ey el potencial de la distribucin esz cte V0 2 El trabajo del campo elctrico para trasladar la cargadQ desde un punto 1 a otro punto 2 , est dadopor ( )2 1V V dQ W d Al girar la carga lineal, el elemento de carga dQ = dysituada a una distancia y del origen, pasa delpotencialV1 = V(h)al potencial V2 = V (z ) = V(h+y)El trabajo elemental del campo es( ) dy y dy V V W d02 1 2 Integrando entre0 y a se tiene el trabajodel campopara girar toda la carga aadW W002 4 El trabajo de las fuerza exterior para girar la carga es igual y de signo contrario al trabajo del campoahOyzxhOyzd Qd qyz=h +yV(h)V(h + y)37ProblemasProblema1Unadistribucindecargarectilnea,uniformeydelongitudinfinita,seencuentraalolargo del eje z siendo = 30/9 nC/mDeterminar la fuerza que ejerce sobre una carga puntualq = 12mC situada en el punto( 8,6,7) m.SOLUCION ( ) N 10 6 N 10 3 4 1442 6 + F j i FProblema2DeterminarelcampoelctricoenelpuntoP(-5,1,3)creadopordosdistribucionesdecarga rectilneas infinitas de densidad =5 nC/msituadasparalelamente aleje x , pasando por lospuntos( 0,- 2, 0 )y( 0,4,0 ) respectivamente. Las distancias estn expresadas en metros.SOLUCIONV/m 30 k E Problema3Unacargalinealinfinitadedensidad =5nC/mparalelaalejezestsituadaenelpuntodecoordenadasx= 3m,y=4m.Determinarelvalorqdeunacargapuntualysulocalizacin para que el campo resultante en el origen sea cero, si la distancia de q al origen es de 1 m.SOLUCION) 0 , 0.8 , 0.6 ( punto el en situada C n 2 qProblema4Unadistribucinlinealdecargadedensidadconstantetienelaformaindicadaenlafigura. Las semirectas son de longitud infinita. Determinar el campo en el punto P.SOLUCION( ) j i E + a1 40P aaxOy38Problema 5 Una carga superficial plana infinita de densidad ( 1 / 3 )nC/m2 ,est situada enz = 5 my paralela al plano x-y. Otra carga lineal rectilnea infinita de densidad = ( 25 / 9 ) nC/m,est situada en z = 3m ,y = 5 m, paralela al eje x . Determinar el campo elctricoresultante enel punto ( 0,1,0).SOLUCIONV/m 920j E Problema6Dosdistribucionesdecargalaminardedensidadesuniformes1 y 2ambaspositivas,estn situadas eny = 5 m, y y = 7 mrespectivamente. Determine el campo elctrico en todos lospuntos del espacio. 1 x y z E1 O a b c E2 2 E1 E2 E1 E2 SOLUCIONPara valores de y tales quey < 5j E

,`

.| + 02 1 2 Para valores de y tales que 5 < y < 7 j E02 1 2 Para valores de y tales que7 < yj E

,`

.| +02 1 2 Problema 7 Determinar el flujo del campo elctrico E de unacarga puntualqsituadaen el origende coordenadas a travs de una de las caras de un cubo de arista l centrado en el origen.SOLUCION0 6q 39Problema 8 Determinar el flujo del campo elctrico E de unacarga puntualqsituadaen elvrticede uncubo de arista l .SOLUCION0 8q 40