1

Notas de Electrosttica de Claudia Gonzlez Cuervo. Universidad Pontificia Bolivariana Seccional Bucaramanga.

CURSO DE ELECTROMAGNTISMO

AUTOR:CLAUDIA PAULINA GONZLEZ CUERVO.M. Sc Ph. D EN CIENCIAS FSICA DE LA UNIVERSIDAD DEL VALLE,

TEXTO DE CLASEUNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA SECCIONAL BUCARAMANGA2010

TABLA DE CONTENIDO.21.1. INTRODUCCIN.41.2. ELECTRIZACIN.41.3. FORMAS DE ELECTRIZACIN51.3.1. Electrizacin por frotamiento:51.3.2. Electrizacin por contacto:51.3.3. Electrizacin por induccin:61.4. CONDUCTORES, AISLADORES Y SEMICONDUCTORES71.5. CARGA ELCTRICA.81.6. CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA.91.6.1. Densidad lineal de carga.101.6.2. Densidad superficial de carga.101.6.3. Densidad de carga volumtrica.101.7. LEY DE COULOMB11SISTEMAS DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION12Ejercicios:131.8. CAMPO ELCTRICO.141.8.1. Campo elctrico de una carga elctrica:161.8. MOVIMIENTO DE CARGAS EN PRESENCIA DE CAMPOS ELCTRICOS181.9 Energa potencial de una partcula de prueba en el campo de una carga puntual:271.10 Potencial elctrico:291.11. DIFERENCIAS DE POTENCIAL EN UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME301.12. POTENCIAL ELECTRICO DE CARGAS PUNTUALES.311.13 POTENCIAL DEBIDO A UN DIPOLO341.14 POTENCIAL ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS.351.15 ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA42OBTENCION DEL CAMPO ELECTRICO A PARTIR DE V45Problemas propuestos50

1.1. INTRODUCCIN.Todos estamos familiarizados con los efectos de la electricidad esttica, incluso algunas personas son ms susceptibles que otras a su influencia. Por ejemplo, ciertos usuarios de automviles sienten sus efectos al cerrar con la llave (un objeto metlico puntiagudo) o al tocar la chapa del auto.El trmino elctrico, y todos sus derivados, tiene su origen en las experiencias realizadas por Tales de Mileto, un filsofo griego que vivi en el siglo VI a C. Tales estudi el comportamiento de una resina fsil, el mbar (en griego electrn), observando que cuando era frotada con un pao de lana adquira la propiedad de atraer hacia s pequeos cuerpos ligeros; los fenmenos anlogos a los producidos por Tales con el mbar o elektron se denominaron fenmenos elctricos y ms recientemente fenmenos electrostticos.La electrosttica es la parte de la fsica que estudia este tipo de comportamiento de la materia, se preocupa de la medida de la carga elctrica o cantidad de electricidad presente en los cuerpos y, en general, de los fenmenos asociados a las cargas elctricas en reposo.Se crea electricidad esttica, al frotar un peine con la ropa. A continuacin, se comprueba que el peine atrae pequeos trozos de papel. Lo mismo se puede afirmar al frotar vidrio con seda o mbar con lana.1.2. ELECTRIZACIN.La electrizacin es uno de los fenmenos que se dan en nuestro entorno como resultado de la interaccin de las cargas localizadas en la materia.Para explicar como se origina la electricidad esttica, debe considerarse que la materia est hecha de tomos, y los tomos de partculas cargadas; un ncleo rodeado de una nube de electrones. Normalmente, la materia es neutra (no electrizada), tiene el mismo nmero de cargas positivas y negativas.En las experiencias de aula, se frotan diversos materiales, vidrio con seda, cuero, etc. De estos experimentos se concluye que: La materia contiene dos tipos de cargas elctricas denominadas positivas y negativas. Los objetos no cargados poseen cantidades iguales de cada tipo de carga.Cuando un cuerpo se frota la carga se transfiere de un cuerpo al otro, uno de los cuerpos adquiere un exceso de carga positiva y el otro un exceso de carga negativa. En cualquier proceso que ocurra en un sistema aislado la carga total o neta no cambia. Los objetos cargados con carga del mismo signo, se repelen. Los objetos cargados con cargas de distinto signo, se atraen1.3. FORMAS DE ELECTRIZACIN1.3.1. Electrizacin por frotamiento: Cuando un cuerpo cargado elctricamente se pone en contacto con otro inicialmente neutro, puede transmitirle sus propiedades elctricas. La electrizacin por frotamiento se explica del siguiente modo: por efecto de la friccin, los electrones externos de los tomos del pao de lana son liberados y cedidos a la barra de mbar, con lo cual sta queda cargada negativamente y aqul positivamente. En trminos anlogos, puede explicarse la electrizacin del vidrio por la seda. En cualquiera de estos fenmenos se pierden o se ganan electrones, pero el nmero de electrones cedidos por uno de los cuerpos en contacto es igual al nmero de electrones aceptado por el otro, de ah que en conjunto no hay produccin ni destruccin de carga elctrica. 1.3.2. Electrizacin por contacto: La electrizacin por contacto es considerada como la consecuencia de un flujo de cargas negativas de un cuerpo a otro. Si el cuerpo cargado es positivo es porque sus correspondientes tomos poseen un defecto de electrones, que se ver en parte compensado por la aportacin del cuerpo neutro cuando ambos entran en contacto, El resultado final es que el cuerpo cargado se hace menos positivo y el neutro adquiere carga elctrica positiva. Aun cuando en realidad se hayan transferido electrones del cuerpo neutro al cargado positivamente, todo sucede como si el segundo hubiese cedido parte de su carga positiva al primero. En el caso de que el cuerpo cargado inicialmente sea negativo, la transferencia de carga negativa de uno a otro corresponde, en este caso, a una cesin de electrones

Fig. Globo cargado

Fig. Electroscopio comercial1.3.3. Electrizacin por induccin: La electrizacin por influencia o induccin es un efecto de las fuerzas elctricas. Al aproximar un cuerpo cargado a otro sin carga, en el cual sus cargas tengan movimiento libre, el metal por ejemplo, se genera electrizacin. Las cargas opuestas al cuerpo cargado se mueven en su direccin, a su vez, las cargas iguales se dirigen en direccin contraria. El resultado es que el equilibrio de cargas se rompe en el interior del cuerpo neutro, que se carga, con las dos cargas contrarias una en cada sector del cuerpo. Si se conecta momentneamente uno de los sectores a tierra (fsica) este se descargar y quedar nicamente con una carga.

1.4. CONDUCTORES, AISLADORES Y SEMICONDUCTORESCuando un cuerpo neutro es electrizado, sus cargas elctricas, bajo la accin de las fuerzas correspondientes, se redistribuyen hasta alcanzar una situacin de equilibrio. Algunos cuerpos, sin embargo, ponen muchas dificultades a este movimiento de las cargas elctricas por su interior y slo permanece cargado el lugar en donde se deposit la carga neta. Otros, por el contrario, facilitan tal redistribucin de modo que la electricidad afecta finalmente a todo el cuerpo. Los primeros se denominan aisladores y los segundos conductores.Esta diferencia de comportamiento de las sustancias respecto del desplazamiento de las cargas en su interior depende de su naturaleza ntima. As, los tomos de las sustancias conductoras poseen electrones externos muy dbilmente ligados al ncleo en un estado de semilibertad que les otorga una gran movilidad, tal es el caso de los metales. En las sustancias aisladoras, sin embargo, los ncleos atmicos retienen con fuerza todos sus electrones, lo que hace que su movilidad sea escasa.

Entre los buenos conductores y los aisladores existe una gran variedad de situaciones intermedias. Es de destacar entre ellas la de los materiales semiconductores por su importancia en la fabricacin de dispositivos electrnicos que son la base de la actual revolucin tecnolgica. En condiciones ordinarias se comportan como malos conductores, pero desde un punto de vista fsico su inters radica en que se pueden alterar sus propiedades conductoras con cierta facilidad, ya sea mediante pequeos cambios en su composicin, ya sea sometindolos a condiciones especiales, como elevada temperatura o intensa iluminacin

1.5. CARGA ELCTRICA.La esencia de la electricidad es la carga elctrica. Por ejemplo, si una barra de vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de electricidad. As, dos barras frotadas con seda se repelen. Benjamin Franklin (1706-1790) le dio el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de la seda. Para detectar la carga elctrica se usa un instrumento llamado Electroscopio. Este instrumento consiste de una barra metlica aislada que tiene conectada a uno de sus extremos dos lminas metlicas muy livianas. Al tocar la barra con otro cuerpo cargado, parte de esta carga pasar a la barra lo que produce la separacin de las lminas, como consecuencia de la repulsin de cargas del mismo signo. La interaccin electromagntica es responsable de que los ncleos y los electrones se mantengan unidos formando tomos. Los tomos estn constituidos por un ncleo y una corteza (rbitas). El ncleo est formado por dos tipos de partculas: protones y neutrones. Los protones tienen carga positiva y los neutrones no tienen carga. Un ncleo tpico tiene un tamao del orden de 10-15m. El ncleo est rodeado por una nube formada de pequeas partculas llamadas electrones descubiertas por Thomson (1897). Los electrones tienen carga negativa. Esta nube tiene un tamao de aproximadamente 10-10mAmbas cargas la de los protones (positivos) y la de los electrones (negativos) son iguales, aunque de signo contrario. Entre los electrones y los protones se ejercen fuerzas de atraccin. Puesto que los electrones giran a gran velocidad alrededor del ncleo existe tambin una fuerza centrpeta que tiende a alejar del ncleo a los electrones. Entre dichas fuerzas se establece un equilibrio, de tal manera que los electrones giran en las rbitas y no son atrados por los protones del ncleo y tampoco se salen de sus rbitas.Una caracterstica importante de la carga elctrica es la cuantizacin de la carga, es decir, los protones y electrones, son partculas poseen carga que no puede dividirse en cargas ms pequeas.La carga elctrica elemental es la del electrn. El electrn es la partcula elemental que lleva la menor carga elctrica negativa que se puede aislar. Como la carga de un electrn resulta extremadamente pequea se toma en el SI (Sistema Internacional) para la unidad de Carga elctrica el Culombio que equivale a 6,24 10 x 1018 electrones.Para denominar la carga se utiliza la letra q y para su unidad la C.

Los cuerpos en general tienen igual carga positiva que negativa (cuerpo neutro), pero al frotarlos, una cantidad de electrones pasan del uno al otro, dejando cargado uno positivo y el otro negativo. La Ley de Conservacin de la carga elctrica expresa que: la carga total se mantiene constante, es decir la carga elctrica se conserva.

1.6. CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA.Las partculas cargadas, como electrones, protones, iones, etc., se pueden considerar como puntuales (carga concentrada en un punto geomtrico del espacio). Pero tambin se pueden considerar puntuales aquellas para las que se calculan magnitudes elctricas a distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo con carga neta.La carga de un electrn (o un protn) es tan pequea (y el nmero de Avogadro tan grande) que su cuantizacin no se pone de manifiesto a nivel macroscpico: As, un cuerpo con una carga neta de -100nC contiene unos 6,24 x1011 electrones en exceso. Se puede, por tanto, considerar que las cargas netas macroscpicas estn distribuidas de forma continua (estn muy cerca unas de otras en comparacin con las dems distancias de inters) y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla dq VB es decir cerca de A hay una distribucin de carga positiva o cerca de B una distribucin de carga negativa. Las lneas de campo elctrico siempre apuntan en la direccin decreciente del potencial elctrico.En el segundo caso, ms general se considera la situacin de una partcula cargada que se mueve entre dos puntos A y B en presencia de un campo elctrico uniforme a lo largo del eje x, como en la figura b). De acuerdo con la ecuacin 1.16 se tiene :

Donde se ha sacadode la integral puesto que es constante. Adems, la diferencia de potencial de la ecuacin anterior se puede escribir como.

De la figura se puede ver que VB-VA=VC-VA. Por lo tanto, VB=VC. Es decir, los puntos A y C estn al mismo potencial, o sea, pertenecen a una misma superficie compuesta de una distribucin continua de puntos que estn al mismo potencial elctrico. Esta superficie recibe el nombre de superficie equipotencial.

La lnea BC es de este tipo de superficie. Por lo tanto la integral .1.12. POTENCIAL ELECTRICO DE CARGAS PUNTUALES.En la figura a continuacin se representa el campo radial de una carga puntual positiva q, y la lnea continua entre los puntos A y B es cierta trayectoria arbitraria que une estos puntos. El campo elctrico en un elemento de longitud de la trayectoria forma con esta un ngulo . La integral curvilnea de , desde A hasta B es:

El valor del campo elctrico en magnitud para cualquier r es

y de la figura se tiene que.La diferencia de potencial puede expresarse como

1.17 Por consiguiente, la integral depende solamente de las distancias radiales rA y rB y no de la forma de la trayectoria a lo largo de la cual se calcula aquella. As, si la trayectoria es la de trazos, la integral de lnea entre A y B es la misma que la original. Si se calcula la integral de lnea desde B hasta A por cualquier camino, su valor es

Es la misma integral de la ecuacin 1.17, pero con signo negativo.Por lo tanto, se deduce, que la integral cerrada a lo largo de la lnea continua de A a B junto con la lnea de trazos de B a A, es igual a cero. O sea, 1.18Que significa que la integral curvilnea del campo elctrico, a lo largo de cualquier trayectoria cerrada situada en un campo electrosttico, es nula. En otras palabras el campo elctrico de una carga puntual es un campo conservativo. Es comn elegir como referencia un punto donde el potencial es cero, para este caso se escoge VA= 0, lo que implica que . Con esta eleccin, el potencial elctrico debido a una carga puntual a cualquier distancia r de la carga es 1.19Esta ecuacin muestra que el potencial es positivo si q es negativa, y negativo si lo es q. La ecuacin 1.19 muestra adems, que el potencial es constante cuando lo es r, por lo tanto, se concluye que las superficies equipotenciales ( superficies sobre las cuales V es constante) para una carga puntual aislada se componen de una familia de esferas concntricas con la carga como se ver mas adelante.Cuando hay dos o ms cargas puntuales el potencial elctrico en un punto P cualquiera debido a esta distribucin se obtiene aplicando el principio de superposicin. Es decir, el potencial total en P es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. El cual es 1.20donde la diferencia de potencial es medida respecto al infinito y ir es la distancia del punto P a la carga qi. Ntese que la suma en la ecuacin 1.20 es una suma algebraica de escalares y no una suma vectorial que es la que se usa para calcular el campo elctrico de una distribucin discreta de cargas.

Ejemplo 1. Hallar el potencial elctrico en el punto P, el cual se halla ubicado en el punto medio de uno de los lados del cuadrado de la figura. El cuadrado es de lado a y en cada vrtice tiene sus respectivas cargas con sus signos.Se aplica el principio de superposicin. El potencial en el punto P es el potencial producido por la suma de los potenciales de cada una de las cargas.

Las distancias de las cargas situadas en 1 y 3 al punto P son a/2.Para las otras dos cargas son .

Cuanto vale el potencial en el centro de la distribucin?.1.13 POTENCIAL DEBIDO A UN DIPOLO.Un dipolo elctrico los constituyen dos cargas iguales, q, de signo contrario, separadas una distancia 2a. El momento de dipolo elctrico es un vector que apunta de la carga negativa a la positiva y tiene una magnitud p=2aq. El potencial elctrico V de un dipolo en un punto P del espacio que no est demasiado cerca de este, se calcula a partir de la figura .

Usando la ecuacin 1.19 se tiene

que es una relacin exacta.Cuando r>>2a las siguientes relaciones se deducen aproximadamente de la figura . y ,

Para este caso el potencial es:

El potencial elctrico de un dipolo vara como r-2 en lugar de r-1 que es el caso de una carga puntual. El potencial es mximo positivo y negativo para respectivamente y cero para . Para este ltimo caso se deduce que no se verifica trabajo para traer una carga de prueba desde el infinito a lo largo de una perpendicular bisectriz al dipolo.1.14 POTENCIAL ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS.La ecuacin 1.20 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribucin continua de carga. Para ello se divide la distribucin continua en un nmero infinito de cargas pequeas, tratando este elemento como una carga puntual, el potencial V es:

1.21donde la integracin se extiende a toda la distribucin de carga y r es la distancia que hay desde dq al punto P donde se evala el potencial. Esta expresin para V emplea como nivel de referencia cero en el infinito.

Ejemplo 2. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad superficial de carga , en los puntos de su eje como en la figura

Se divide el disco en anillos de ancho dy, de forma que el rea de cada uno de ellos es , y su carga . Por lo tanto el potencial producido por el anillo es

haciendo se tiene que y la integral queda

.

De esto resulta

Ejemplo 3. Un trozo de alambre no conductor de longitud finita L tiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el potencial V en el punto P en la perpendicular bisectriz en la figura 4.8. Que sucede cuando .

El elemento de longitud . Puesto que el elemento est a una distancia de P, el potencial en P debido a este elemento es

integrando esta expresin se tiene

Usando tabla de integrales se tiene

Evaluando se encuentra

Para el logaritmo diverge, para hallar el potencial es necesario hacer algunas modificaciones. Se escribe para el caso de este limite el potencial como

Definiendo

Por lo tanto la diferencia de potencial entre el punto P y el infinito se puede expresar como

(a)

Definiendo la diferencia de potencial entre un punto que se halla a una distancia R del alambre y el infinito como

(b)

y como se esta interesado nicamente en diferencias de potencial, se obtiene la diferencia de potencial entre el punto P y el punto de referencia R simplemente restando de la ecuacin (a) la ecuacin (b). Por lo tanto esta diferencia es

Para este caso se escoge el nivel de referencia cero para el potencial en R=1, lo que da V(R=1)=0. Por tanto, se tiene que el potencial medido respecto a este nivel de referencia es

Lo que realmente se ha hecho es el proceso de renormalizar el potencial. Debe hacerse notar que en este caso el potencial no es cero en el infinito.Ejemplo 4. Para el alambre de carga q uniformemente distribuida con forma de arco de circunferencia de radio R y que subtiende un ngulo como en la figura. Halle el potencial elctrico en el punto P.

El potencial medido respecto al infinito para esta distribucin es

con , entonces

donde se ha tenido en cuenta para la integracin la simetra del alambre.

Ejemplo 5. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumtrica de carga , en los puntos r>a, r=a y ra el campo elctrico tiene simetra esfrica. Para obtener el potencial en un punto exterior, como en C en la figura 4.9, se sustituye en la ecuacin 4.4.

Este resultado es familiar, pues, es equivalente al producido por una carga puntual. O sea, para r>a la distribucin de carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribucin.Puesto que el potencial debe ser continuo en r=a, se puede obtener el potencial en la superficie de la esfera a partir de la expresin obtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto B de la figura es

Para rR el potencial . La figura muestra el campo y el potencial elctrico como una funcin de r.Finalmente notemos, que la densidad de carga tiende a ser mayor en superficies conductoras aisladas, cuyos radios de curvatura sean pequeos, y lo mismo ocurre a la inversa. La densidad de carga tiende a ser relativamente alta en las puntas y menor en las regiones planas de superficies conductoras. La intensidad del campo elctrico en puntos colocados arriba de una superficie cargada es proporcional a la densidad de carga superficial, de manera que puede alcanzar valores muy elevados cerca de puntas afiladas. Una aplicacin es que los pararrayos se construyen con puntas afiladas para neutralizar las nubes cargadas y as evitar los rayos.

Problemas propuestos:1. En la esquina de un tringulo equiltero existen tres cargas puntuales. Calcule la fuerza elctrica resultante sobre la carga de valor 7 C

2. Dos pequeas esferas conductoras idnticas se colocan de forma que sus centros se encuentren a una distancia de 0.3 metros. A una se le da una carga de 12 nC y a la otra se le da una carga de -18nC. (a) Determine la fuerza elctrica que ejerce una esfera sobre la otra. (b) Si las esferas estn conectadas mediante un alambre conductor, determine la fuerza elctrica entre ellas una vez que alcanzan el estado de equilibrio.3. Dos cuentas pequeas con cargas positivas 3q y q est fijas en los extremos de una varilla aislante, que se extiende desde el origen hasta el punto x = d. Existe, adems, una tercera cuenta pequea cargada que puede deslizarse con libertad sobre la varilla. En qu posicin deber estar la tercera cuenta para estar en equilibrio?, Es un equilibrio esttico?

4. Determine el punto (distinto de infinito) en el cual el campo elctrico es igual a cero5. Dos cargas puntuales se encuentran sobre el eje x. La primera es una carga positiva Q colocada en x =-a. La segunda es una carga desconocida ubicada en x = 3a. El campo elctrico neto que estas cargas producen en el origen tiene un valor de 2k Q a2 e Cules podran ser los dos valores de la carga desconocida?6. En los vrtices de un tringulo equiltero existen tres cargas (ver figura del problema 1). (a) Calcule el campo elctrico en la posicin de la carga de 2 C debido al campo de las cargas de 7 C y de -4 C (b) Calcule la fuerza ejercida sobre la carga de 2 C.7. Una varilla aislante uniformemente cargada de 14 cm de longitud se dobla formando un semicrculo. La varilla tiene una carga total de -7.5 C. Determine la magnitud y la direccin del campo elctrico en el punto P, que es el centro del semicrculo.

8. Tres cargas q positivas se encuentran en los vrtices de un tringulo equiltero de lado a. Suponga que las tres cargas juntas crean un campo elctrico. Dibuje las lneas de campo en el plano de las cargas. Determine la localizacin en un punto, distinto a infinito, en donde el campo es igual a cero.9. Un cono con una base de radio R y altura H se coloca en una mesa. Si un campo uniforme horizontal E penetra en el cono, determine el flujo elctrico que entra por el lado izquierdo del cono.

10. Dos esferas conductoras idnticas con un radio de 0.5 cm estn conectadas por un alambre conductor ligero de 2 m de largo. Se coloca en una de las esferas una carga de 60 C. Suponga que la distribucin superficial de la carga en cada una de las esferas es uniforme. Determine la tensin en el alambre.11. Una esfera aislante slida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme _ y una carga total Q. colocada en forma concntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radio interno y externo b y c, respectivamente. (a) Determine la magnitud del campo elctrico en las regiones r < a, a < r < b, b < r < c, r > c. (b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca.12. Dadas dos cargas de 2 C y una carga de prueba q = 1.28 x 10-18 colocada en el origen. (a) Cul es la fuerza neta ejercida por las dos cargas de 2 C sobre la carga de prueba? (b) Cul es el campo elctrico en el origen debido a las dos cargas de 2 C? (c) Cul es el potencial elctrico en el origen debido a las dos cargas de 2 C?13. Las tres cargas se encuentran en los vrtices de un tringulo issceles. Calcule el potencial elctrico en el punto medio de la base, s q = 7 C.14. Calcule la energa que se requiere para formar el arreglo de cargas que se muestra en la siguientefigura. Donde a = 0.2 m, b = 0.4 m y q = 6 C15. Calcule el potencial elctrico en el punto P sobre el eje del anillo , el cual tiene una densidad de carga 16. Un alambre con una densidad de carga uniforme se dobla como se muestra en la figura. Determine el potencial elctrico en el punto O

Referencias:1. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/2. GETTYS, W.E.; KILLER, F.J. Y SKOVE, M.J. "Fsica para ciencias e ingeniera", Tomo II. Ed. McGraw-Hill. 2005.3. SERWAY R. A. BEICHNER R. J. Fsica para ciencias e ingeniera. Tomo II, quinta edicin, Editorial Mc. Graw Hill. 20004. SEARS, F.W. ZEMANSKY, M. YOUNG, H. Fsica Universitaria. Vol 2, Ed. Pearson Educacion. 2004.5. TIPLER P.A., "Fisica", Vol 2. Ed. Revert, Barcelona, 19936. SERRANO, V.; GARCIA, G. Y GUTIERREZ C. "Electricidad y Magnetismo", Ed. Pearson Educacin, Mxico 2001.7. LEA, S.M. Y BURKE, J.R., "Fsica. La naturaleza de las cosas", Vol. 2 Ed. Paraninfo, Madrid 2001.8. http://www.google.com/images?hl=es&xhr=t&q=electrostatica&cp=8&wrapid=tljp1295983532215017&um=1&ie=UTF-8&source=univ&ei=UiQ_TdrfHo7EsAPGmfngBA&sa=X&oi=image_result_group&ct=title&resnum=9&sqi=2&ved=0CGMQsAQwCA&biw=1419&bih=699

Las figuras de este capitulo han sido copiadas de: http://www.google.com/images?hl=es&xhr=t&q=electrostatica 25