Universidad Simón Bolívarprof.usb.ve/jaller/CT6311/Curso2012.pdf · Para identi car los...

Universidad Simón Bolívar

Departamento de Conversión y Transporte de Energía

Prof. José Manuel Aller

Estimación Paramétrica de laMáquina de Inducción

Julio 2012

Índice general

1. Introducción 3

2. Métodos convencionales aproximados 5

2.1. Método clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Métodos optimizados 13

3.1. Máquina de jaula sencilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Máquina de doble jaula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Métodos dinámicos 25

4.1. Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Métodos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3. Estimación por potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1. Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2. Teorema de Poynting en Variable Compleja . . . . . . . . . . . 45

4.3.3. Potencia Activa y Reactiva Instantánea . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Evaluación Energética de Motores de Inducción 57

5.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2. Modelo de la máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3. Evaluación del desequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4. Evaluación armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5. Estimación paramétrica iteractiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A. Revisión Bibliográ�ca 74

1

ÍNDICE GENERAL 2

B. Referencias Recientes 88

Capítulo 1

Introducción

En el curso anterior se han presentado y discutido varios modelos en régimen perma-

nente y transitorio de la máquina de inducción. Para utilizar estos modelos es necesaria

la determinación de sus parámetros respectivos. Una vez que los parámetros son cono-

cidos, el modelo puede evaluar el comportamiento físico de las diferentes variables de

estado de la máquina, dentro del grado de aproximación permitido por las hipótesis

simpli�cadoras iniciales.

La estimación de estado se utiliza frecuentemente en los sistemas de control auto-

mático, para determinar variables difíciles de medir o para reducir las incertidumbres y

los errores introducidos por los dispositivos de medición. En las máquinas de inducción

resulta de gran interés determinar el par eléctrico, así como la magnitud y dirección

de la amplitud del �ujo resultante en el entrehierro. El conocimiento de estas variables

simpli�can las acciones de control sobre las fuentes de alimentación de la máquina, y

aceleran el seguimiento de las consignas.

Puede resultar extraño incluir en el mismo tema los procesos de estimación paramé-

trica con los métodos de estimación de estado, pero es necesario destacar que el éxito de

estos últimos, depende fundamentalmente de la precisión de los primeros. La relación

existente entre estas técnicas es tan estrecha que resulta lógico tratar el problema en

su conjunto. Los accionamientos de las máquinas de inducción deben integrar de forma

armoniosa estos conceptos, si pretenden competir con los accionamientos clásicos, o con

las nuevas ideas.

Tal vez el problema más simple de la estimación de los parámetros del modelo de la

máquina de inducción consiste en desarrollar algoritmos automáticos, que determinen

con cierta precisión los parámetros del circuito equivalente clásico. Este problema se

3

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4

viene estudiando desde hace mucho tiempo, y en la actualidad el desarrollo de las

herramientas de cálculo personales permiten su solución rápida y precisa. Sin embargo,

las técnicas simples que se empleaban en el pasado, pueden tener en muchos casos

un ámbito de aplicación muy importante todavía. Las técnicas aproximadas basadas

en simpli�caciones del circuito equivalente o del diagrama de círculo de la máquina

de inducción, son su�cientes para ciertas aplicaciones, o pueden servir de punto de

arranque a métodos numéricos más elaborados.

Los modelos dinámicos de la máquina de inducción dependen de los mismos pa-

rámetros que el circuito equivalente clásico. Esto hace pensar con cierta lógica en la

posibilidad de utilizar las mismas técnicas de estimación paramétrica que se emplean en

el circuito equivalente para determinar los parámetros de los modelos transitorios. Sin

embargo, los modelos dinámicos están orientados a otro tipo de aplicaciones. En estas

aplicaciones los parámetros no pueden considerarse estáticos o inmutables. Cuando la

variación dinámica de los parámetros con las condiciones de operación de la máquina

son importantes, es necesario utilizar técnicas de estimación mucho más rápidas y re�-

nadas. Las técnicas modernas de medición y adquisición de datos en tiempo real hacen

posible nuevos métodos de medida. En algunos casos es necesario realizar una adapta-

ción permanente de los parámetros del modelo a medida que el proceso transcurre y las

condiciones de operación cambian. Se han desarrollado varios métodos aplicables a la

solución de este importante problema [6, 27, 46, 47, 61]. Recientemente algunos autores

han aplicado las técnicas de estimación para resolver el problema [17, 41, 58, 71]. En

este trabajo se presentan algunas ideas originales, que pueden simpli�car y acelerar los

métodos propuestos anteriormente.

Tanto la estimación de estado como la estimación paramétrica utilizan las técnicas

básicas de la optimización matemática de funciones [9, 23, 65]. Cuando las funciones

que se desean optimizar no son lineales, el problema se complica notablemente [23]. Los

métodos numéricos de optimización ofrecen en muchos casos alternativas satisfactorias

para abordar este problema, pero cuando el tiempo de solución es una variable crítica,

intentar la formulación mediante funciones lineales es una alternativa más deseable. En

este capítulo se comparan y discuten los diferentes métodos propuestos, con la intención

de presentar lineamientos concretos sobre el ámbito y alcance de aplicación de cada uno.

Capítulo 2

Métodos convencionales aproximados

2.1. Método clásico

El circuito equivalente clásico de la máquina de inducción con rotor bobinado está

de�nido por seis parámetros o elementos circuitales, tres resistencias que modelan las

pérdidas en el cobre de los conductores y en el material magnético, y tres reactancias que

representan los �ujos de dispersión y de magnetización de la máquina. Para modelar

máquinas de inducción con rotores de jaula de ardilla con barras profundas o doble

jaula, son necesarios ocho o más parámetros circuitales [49, 52].

El circuito equivalente clásico de la máquina de inducción es semejante al de un

transformador con carga resistiva variable. Por esta razón, la metodología utilizada en

la determinación de los parámetros del circuito equivalente del transformador se puede

aplicar con ciertas variaciones a la estimación aproximada de los parámetros del circuito

equivalente de la máquina de inducción.

Las diferencias fundamentales entre los transformadores y las máquinas de inducción

son dos: por un lado la posibilidad de movimiento relativo entre la pieza del estator y la

del rotor, y por otro la presencia del entrehierro necesario para permitir este movimiento.

En los transformadores convencionales, la corriente de magnetización es muy pequeña en

comparación con la corriente nominal, por esta razón se puede despreciar esta rama del

circuito equivalente, cuando se desea identi�car el valor de las reactancias de dispersión.

En la máquina de inducción esta hipótesis o aproximación es más difícil de sostener

porque el entrehierro hace necesario un mayor consumo de fuerza magnetomotriz para

forzar la circulación del �ujo magnético. Es frecuente que en los transformadores se

tenga acceso a los terminales primarios y secundarios de las bobinas. Sin embargo, en

5

CAPÍTULO 2. MÉTODOS CONVENCIONALES APROXIMADOS 6

la mayoría de las máquinas de inducción el acceso a los circuitos rotóricos no es posible,

al menos en condiciones normales.

2.2. Ensayos

Para identi�car los parámetros del circuito equivalente de un transformador, se rea-

lizan los ensayos normalizados de vacío y cortocircuito [52, 66, 73]. El primero con la

�nalidad de obtener la reactancia y resistencia de magnetización, y el segundo para

determinar las reactancias de dispersión y resistencias de los conductores. La separa-

ción de la resistencia del circuito primario y del circuito secundario se pueden realizar

midiendo la caída de tensión al inyectar una corriente continua determinada en una

de las dos bobinas. La separación entre las reactancias de dispersión primaria y secun-

daria se obtiene repartiendo proporcionalmente a la reactancia de dispersión total, la

reluctancia del camino magnético en cada bobina. En los transformadores cuyos cir-

cuitos primarios y secundarios tienen la misma potencia aparente, las bobinas ocupan

prácticamente el mismo volumen. En el sistema adimensional de unidades - sistema

en por unidad -, las dos reactancias de dispersión del modelo T del transformador son

aproximadamente iguales. En valores físicos, la razón entre estas reactancias es igual al

cuadrado de la relación de vueltas del transformador. En la máquina de inducción la

situación es diferente, debido a que las ranuras y los caminos magnéticos de las bobinas

del estator y del rotor pueden ser diferentes.

A pesar de las diferencias existentes entre los modelos clásicos del transformador y

de la máquina de inducción, la primera aproximación en el problema de la estimación

paramétrica consiste en utilizar exactamente las mismas hipótesis empleadas para los

transformadores. Según esta idea, se realizan los ensayos de vacío y rotor bloqueado

de la máquina de inducción para obtener una estimación paramétrica aproximada del

modelo. El ensayo de rotor bloqueado es equivalente a la prueba de cortocircuito de

un transformador. Además de estos dos ensayos puede ser conveniente o necesaria la

realización de ensayos adicionales en carga.

En el ensayo de vacío se hace girar el rotor de la máquina a una velocidad angular

que sea prácticamente igual a la velocidad sincrónica, de preferencia mediante un accio-

namiento externo. De esta forma el deslizamiento entre la velocidad angular del campo

magnético rotatorio del estator y la velocidad angular mecánica del rotor es nulo. En

estas condiciones la fuerza electromotriz inducida en los conductores del rotor es cero y


Figura 2.1: Montaje experimental para el ensayo de vacío con accionamiento externodel eje de la máquina

no circula corriente por estos circuitos. La máquina se alimenta a frecuencia y tensión

nominal en el estator y se miden con la mayor precisión posible las corrientes por las

fases, tensiones de línea y potencia activa de entrada. Como el circuito es fuertemen-

te inductivo es conveniente utilizar vatímetros especiales para medir bajos factores de

potencia durante el ensayo. Estos instrumentos son vatímetros normales que producen

una de�exión de la aguja unas cinco veces mayor que la de un vatímetro convencio-

nal similar. Si se utilizan instrumentos digitales, esta precaución no es necesaria. En

la �gura 2.1 se presenta el diagrama esquemático del equipamiento requerido para la

realización de este ensayo.

La tensión en la rama de magnetización es aproximadamente igual a la tensión

de alimentación, debido a que las corrientes de magnetización no producen una caída

signi�cativa en la rama serie del modelo, aun cuando está comprendida entre una ter-

cera parte y la mitad de la corriente nominal. Con esta simpli�cación, la resistencia y

reactancia de magnetización se calculan de la siguiente forma:

S0=

√3V0 · I0 (2.1)

P0 = P1 + P2 (2.2)

Q0 =√S2

0 − P 20 (2.3)


Rm ≈V 2

0

P0

(2.4)

Xm ≈V 2

0

Q0

(2.5)

El ensayo de rotor bloqueado consiste en trabar el rotor de la máquina de induc-

ción. Cuando el rotor está detenido, el deslizamiento es unitario. El circuito equivalente

en estas condiciones de operación es semejante al de un transformador en la condi-

ción de cortocircuito. En la identi�cación de los parámetros del circuito equivalente

del transformador se puede despreciar la rama de magnetización, porque la corriente

de cortocircuito es mucho mayor que la corriente de magnetización. La tensión de la

rama de magnetización se deprime prácticamente a la mitad de la tensión de vacío y

esto reduce aún más la corriente que circula por ella durante el ensayo. En el transfor-

mador, la in�uencia de la rama de magnetización durante la prueba es prácticamente

despreciable.

En la máquina de inducción la corriente de rotor bloqueado puede alcanzar entre

tres y seis veces la corriente nominal. La corriente de vacío está comprendida entre la

tercera parte y la mitad de la corriente nominal. Durante la prueba de rotor bloqueado

la tensión de la rama de magnetización se deprime más o menos a la mitad, y por esta

razón la corriente de la máquina durante este ensayo puede alcanzar a ser entre seis

y dieciocho veces mayor que la corriente de magnetización. Desde un punto de vista

práctico es posible despreciar esta rama en la estimación de los parámetros. Sin embargo

la aproximación no es tan precisa como cuando se aplica en el ensayo de cortocircuito

de un transformador [73].

El esquema de medida es similar al ilustrado en la �gura 4.1, pero en lugar de hacer

girar la máquina de inducción a velocidad sincrónica, es necesario bloquear mecánica-

mente el rotor. Como el circuito equivalente en este ensayo también es muy inductivo,

deben utilizarse vatímetros de bajo factor de potencia para mejorar la precisión de

la medida, o instrumentos digitales que eliminan este inconveniente. En la práctica,

el ensayo de rotor bloqueado no se realiza a valores nominales de tensión para evitar

el calentamiento excesivo debido al incremento de las pérdidas con el cuadrado de la

corriente, que además se ve afectado adicionalmente por la falta de ventilación en las

máquinas cuyo ventilador se encuentra acoplado directamente al eje mecánico. De cual-

quier forma, es necesario utilizar una tensión su�cientemente grande como para que el

circuito magnético esté operando en la zona lineal.

Aun cuando el ensayo a rotor bloqueado se realice con cierta rapidez, la resistencia


de las bobinas cambia apreciablemente con la temperatura y es necesario corregir las

medidas realizadas por este importante factor. Para este �n, se miden las resistencias del

estator cuando la máquina está a temperatura ambiente, antes de comenzar el ensayo.

Esta medida se realiza inyectando corriente continua en las bobinas y se mide la caída

de tensión correspondiente. La corriente inyectada debe ser menor a un décimo de la

corriente nominal para que el calentamiento sea prácticamente despreciable. Posterior-

mente se efectúa el ensayo a rotor bloqueado, e inmediatamente después de terminar

estas medidas, se realiza una nueva medida de las resistencias del estator, por el mismo

método descrito anteriormente. Las dos medidas de resistencia, y el conocimiento del

material utilizado en el bobinado de la máquina -normalmente cobre recocido en frío-

permiten deducir la temperatura alcanzada por la máquina durante el ensayo. Si la má-

quina está bobinada con cobre recocido en frío, la ecuación que determina la variación

de la resistencia en función de las temperaturas es la siguiente [31]:

RT1

RT2

=234, 5 + T1(°C)

234, 5 + T2(°C)(2.6)

Para determinar los parámetros de la rama serie del circuito equivalente de la máqui-

na de las medidas de potencia, tensión y corriente se utiliza el siguiente procedimiento:

SRB=

√3VRB · IRB (2.7)

PRB = P1 + P2 (2.8)

QRB =√S2RB − P 2

RB (2.9)

RT ≈ Re +Rr =P0

3I2RB

(2.10)

XT ≈ Xe +Xr =QRB

3I2RB

(2.11)

Las resistencias se pueden corregir desde la temperatura de la prueba, a la tem-

peratura nominal de operación. Como además se conoce la resistencia del estator por

medición directa, la resistencia del rotor referida al estator se calcula por diferencia:

Rr ≈ RT −Re ≈PRB3I2RB

−Re (2.12)


La resistencia del rotor es tal vez el parámetro más importante del modelo de la

máquina porque en esta resistencia determina la potencia mecánica en el eje y el par

eléctrico. Para obtener una aproximación más precisa de este parámetro se puede con-

siderar la expresión del par aproximada para deslizamiento pequeños:

Te(s) =PRωs

=3Rr

ωssI2r =

3RrV2th

ωss[(Rth + Rr

s

)2+X2

th

] (2.13)

Te(s→ 0)→ 3s

ωsRr

V 2th (2.14)

Rr ≈3snV

2n

ωsTn(2.15)

Con las medidas realizadas, no es posible obtener una separación de las reactancias

de fuga del estator y rotor, la práctica más habitual consiste en dividirlas por igual en

las dos ramas. Sin embargo, es necesario recordar que los caminos de fuga del estator y

del rotor son diferentes. Los caminos de fuga dependen de las formas de las ranuras, y

estas puede diferir entre el estator y el rotor de una misma máquina.

Los ensayos tradicionales de vacío y rotor bloqueado aplicados a la máquina de

inducción no pueden determinar completamente los seis parámetros del circuito equi-

valente clásico. Cada uno de estos ensayos puede establecer tan solo dos ecuaciones

independientes. Son necesarios ensayos adicionales para la determinación precisa de

todos los parámetros. La medida directa de la resistencia de las bobinas del estator eli-

mina una incógnita, pero todavía es necesaria una ecuación adicional. Considerar que

las reactancias de dispersión del estator y la del rotor referida al estator son iguales,

proporciona una de las aproximaciones más generalizadas. Si se requiere mayor exacti-

tud es necesario realizar alguna prueba adicional tal como el ensayo de la máquina en

un punto de operación cercano al nominal. Como los parámetros de la máquina varían

durante la operación, y dependen de la velocidad del rotor, debido principalmente al

efecto pelicular, el sistema de ecuaciones no lineales que se obtiene de tres ensayos a

diferentes velocidades o deslizamientos, puede no ser compatible. Una solución puede

ser incrementar los parámetros del modelo para representar este fenómeno. Otra solu-

ción consiste en obtener el conjunto de parámetros que minimiza una cierta función de

costo constituida por los errores entre las medidas reales y los valores calculados por el

modelo [23, 71, 73].

En cualquier caso, es un buen criterio determinar cada parámetro de aquel ensayo


que lo representa o sensibiliza mejor. Los parámetros de la rama de magnetización son

protagonistas durante la prueba de vacío. La reactancia de dispersión es la limitante

fundamental de la corriente durante el ensayo a rotor bloqueado. La resistencia del

rotor es la responsable de la transferencia de potencia y par electromecánico al eje de la

máquina, por esta razón los ensayos en carga y los datos nominales de placa suministran

información valiosa sobre este importante parámetro.

En ocasiones se dispone de muy poca información sobre una determinada máquina,

incluso puede ser posible que se cuente solamente con los datos de placa. Para deter-

minar en forma gruesa los parámetros de esta máquina cuando no es posible realizar

ensayos, se procede de la siguiente forma:

Se supone que toda la corriente de magnetización es prácticamente reactiva, con lo

cual se desprecia la resistencia de magnetización. Se considera que esta corriente

debe ser aproximadamente, un tercio de la corriente nominal.

La corriente nominal, en módulo y ángulo puede determinarse de los datos de

placa. La diferencia entre las corrientes nominal y la corriente de magnetización es

la corriente que circula por la rama rotórica del circuito equivalente. Esta corriente

tiene que transmitir la potencia al eje mecánico a través de la resistencia del rotor.

La potencia nominal en el eje, la corriente por la rama rotórica y el deslizamiento

nominal determinan directamente la resistencia del rotor referida al estator.

Para determinar aproximadamente la reactancia de dispersión total de la máquina,

se recuerda del lugar geométrico de las corrientes de la máquina de inducción, que

la bisectriz entre dos puntos del diagrama pasa por el centro del círculo. Como

se ha despreciado la resistencia de magnetización, la dirección de la corriente de

magnetización también pasa por el centro del círculo. La intersección de estas dos

líneas es el centro.

En la �gura 2.2 se muestra la determinación del diámetro del círculo por este procedi-

miento. Recordando que el diámetro del círculo es aproximadamente igual al cociente

entre la tensión aplicada y la reactancia de dispersión total, se puede determinar fácil-

mente este parámetro. Finalmente, se pueden hacer consideraciones sobre el rendimiento

de la máquina para obtener una aproximación a la resistencia del estator.

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Figura 2.2: Obtención de la reactancia de dispersión aproximada a partir de los datosde placa de la máquina de inducción

Capítulo 3

Métodos optimizados

En el capítulo anterior se presentó el método aproximado que permite la determi-

nación de los parámetros del circuito equivalente clásico de la máquina de inducción.

Esta técnica es una adaptación del procedimiento convencional para la estimación de

los parámetros del circuito equivalente del transformador. Con los ensayos de vacío y

rotor bloqueado, se realiza la medida de la impedancia equivalente de la máquina en dos

condiciones de operación, correspondientes a los deslizamientos cero y uno respectiva-

mente. Además se realiza una medida directa de la resistencia del estator. Conocida la

resistencia del estator, sólo quedan por determinar cinco parámetros. Cada uno de los

ensayos permite establecer dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la parte

imaginaria de la impedancia de entrada. En total, se dispone de cuatro ecuaciones y

cinco parámetros desconocidos.

El problema matemático está indeterminado. La solución obtenida con tan escasa

información, además de utilizar simpli�caciones más o menos razonables, debe consi-

derar una separación arti�cial de las reactancias de dispersión. Este problema se puede

resolver realizando ensayos adicionales a diferentes deslizamientos. Con estos ensayos,

se obtiene un sistema con un mayor número de ecuaciones - dos por cada ensayo -

. Como los parámetros que se están determinando son siempre cinco, se tienen más

ecuaciones que incógnitas. El sistema de ecuaciones obtenido está sobre determinado.

Las medidas realizadas en los ensayos incluyen errores de apreciación del observador

y precisión en los instrumentos. Los parámetros de la máquina varían durante la ope-

ración, dependiendo de variables tales como el grado de saturación, la temperatura y

el efecto pelicular entre otras. Además, el modelo es una aproximación en la cual se

realizan varias hipótesis simpli�cativas, que es válido solamente en un régimen de ope-

13

CAPÍTULO 3. MÉTODOS OPTIMIZADOS 14

ración perfectamente equilibrado. En esta situación, resulta de gran utilidad la técnica

de estimación paramétrica por el método de los mínimos cuadrados [71].

3.1. Máquina de jaula sencilla

Del circuito equivalente de la máquina de inducción se puede determinar la impedan-

cia de entrada en función de los parámetros de la máquina, la frecuencia de alimentación

y el deslizamiento del rotor. La función de impedancia de entrada vista en bornes del

estator tiene la siguiente estructura:

Ze(Re, Xσe, Rr, Xσr, Rm, Xm, s) = Zσe + Zσr ‖ Zm (3.1)

donde:

Zσe = Re + jXσe (3.2)

Zσr = Rr + jXσr (3.3)

Zm = Rm ‖ jXm =jXm ·Rm

Rm + jXm

(3.4)

Si se utiliza el modelo de impedancia de entrada de la máquina obtenido en la

expresión 3.1, realizando n ensayos independientes con una cierta precisión, para lo cual

se varía la velocidad del rotor ωm, el problema que se debe resolver para determinar los

parámetros del circuito equivalente clásico de la máquina de inducción consiste en:

Minimizar Ψ:

Ψ =n∑i=1

[Zecal(si)− Zemed(si)

σiZemed(si)

] [Zecal(si)− Zemed(si)

σiZemed(si)

]∗(3.5)

donde:

Zemed(si) es la i-ésima impedancia medida en los ensayos para el deslizamiento Si

Zecal(si) es la i-ésima impedancia calculada del modelo para el deslizamiento Si

σi es un factor de precisión de la medida i

n es el número total de medidas realizadas


La ecuación 3.5 se puede escribir en forma matricial como:

Ψ = FT · F (3.6)

donde:

FT =[f ∗1 (x,s1) f ∗2 (x,s2) · · · · · · f ∗n(x,sn)

](3.7)

fi(x, si) =Zecal(x, si)− Zemed(x, si)

σiZemed(x, si)(3.8)

xT =[Re Xσe Rr Xσr Rm Xm

](3.9)

Considerando que la ecuación 3.6, no es lineal en el caso general, las derivadas

parciales de la función de costos Ψ con respecto a cada una de los parámetros del

vector del modelo, determinan el gradiente G(x) y se calculan de la siguiente forma:

[∂Ψ

∂x

]= G(x) = FT (x)·

[∂F(x)

∂x

]+

[∂FT(x)

∂x

]·F(x) = 2

[∂FT(x)

∂x

]·F(x) = 2·J(x)·F(x)

(3.10)

La matriz de�nida J(x) de�nida en la ecuación 3.10 es la matriz Jacobiana del

vector de errores ponderados F(x). La matriz Jacobiana es de dimensión n×m, donde

n es el número de medidas, y m el número total de variables de estado o parámetros

del modelo.

El incremento de los parámetros que minimiza la función de costos 3.6, cuando se

utiliza el método de optimización de Gauss-Newton [23,65] es de la siguiente forma:

4x = −[J(xk)T · J(xk)

]−1 · J(xk)T · F(xk) (3.11)

Y el vector de variables de estado o parámetros del modelo en la iteración k + 1 se

calcula como:

xk+1 = xk +4x (3.12)

Si en la iteración k, el módulo del vector 4x es menor que un cierto error ε especi-

�cado inicialmente, el problema converge al mínimo local más cercano de la función de

costos Ψ. Este método presenta ciertos problemas de convergencia, en particular cuando


el peso de las segundas derivadas en la matriz Hessiana es importante. Para garantizar

la convergencia del método es recomendable modi�car la ecuación 3.12 de la siguiente

forma:

xk+1 = xk + α4x (3.13)

Sustituyendo la ecuación 3.13, en el vector de errores ponderados F(xk+1) se puede

obtener mediante la ecuación 3.6, la función de costos Ψ para la iteración k+ 1, en fun-

ción de las variables de estado obtenidas en la iteración k, y el parámetro unidimensional

α:

Ψ(xk+1) = Ψ(xk + α4x) = F(xk + α4x) · FT(xk + α4x) = Ψ(α) (3.14)

Para obtener el nuevo vector de corrección α4x, es necesario determinar el valor

del parámetro α que minimiza la función de costos Ψ.

Una vez obtenido el valor de las variables de estado que minimizan la función de

costos en la iteración k + 1, se prosigue el cálculo determinando una nueva dirección

mediante la ecuación 3.11, y un nuevo proceso de búsqueda del mínimo con la expresión

3.14. Cuando el módulo del vector de dirección es inferior a la precisión requerida en los

cálculos, culmina el proceso de minimización obteniéndose la mejor estimación de los

parámetros del modelo. En la �gura 3.1 se presenta el algoritmo básico de este proceso

de estimación paramétrica.

Uno de los inconvenientes que presenta el método de Gauss-Newton modi�cado es

la necesidad de encontrar un valor inicial para las variables de estado. La función de

costos Ψ, puede tener múltiples mínimos locales. La mejor solución para el modelo es

aquella que produce el menor de los mínimos locales. Los valores de arranque pueden ser

generados mediante una estimación inicial de tipo determinístico que puede ser realizada

mediante los métodos tradicionales simpli�cados analizados en la sección anterior. De

todas formas, el método de Gauss-Newton requiere de un valor inicial cercano a la

solución para garantizar la convergencia a la solución óptima.

Si se desea asegurar la convergencia del método, es conveniente limitar la corrección

máxima α4x, para que ninguno de los parámetros de la máquina de�nidos en el vector

xk pueda aumentar o disminuir en más de un cincuenta por ciento en cada paso o

iteracción del proceso de optimización. Esto puede reducir la velocidad del algoritmo,


Figura 3.1: Diagrama de �ujo del método de minimización de Gauss-Newton


pero asegura que los parámetros han de ser siempre positivos, y evita las posibles

divergencias originadas por la no linealidad del modelo.

El método de Gauss-Newton es muy e�ciente para la determinación de los paráme-

tros cuando la función de costos se de�ne por mínimos cuadrados. Otros métodos de

optimización no lineal también pueden obtener soluciones con más o menos di�cultad.

Como ejemplo, se presenta a continuación el listado de un algoritmo realizado en el

entorno de programación MATLAB 2011b. En este ejemplo se realiza la estimación de

los parámetros del modelo de una máquina de inducción de rotor bobinado. Para vali-

dar la herramienta se de�nen los valores de las resistencias e inductancias del circuito

equivalente. Con estos parámetros se evalúan las impedancias de entrada de la máqui-

na para las condiciones de la prueba de vacío, carga y rotor bloqueado. Por el método

aproximado descrito en la sección anterior, se realiza una estimación inicial de los pará-

metros. Se utiliza un programa de la librería del entorno denominado `fminsearch' que

utiliza la modi�cación al método Simplex de Nelder-Meade [39].

Los resultados obtenidos de la optimización utilizando dos puntos de arranque dife-

rentes se presentan en la tabla 3.1. Como se puede observar, el método es muy robusto

aun cuando no garantiza la determinación del mínimo global, pero puede obtener la

solución aun partiendo de parámetros iniciales muy alejados de los valores reales.

Cuadro 3.1: Resultados de la estimación paramétrica

Parámetro Aproxi. Estimación Valor Ini. Estimación Valor Real

Re 0, 02 0, 02 0, 0 0, 02 0, 02Xσe 0, 10 0, 1000 0, 0 0, 1000 0, 1Rm 48, 0 50, 0012 1,0 50, 0012 50Xm 3, 3 3, 0000 1, 0 3, 0000 3, 0Rr 0, 0276 0, 0300 0, 0 0, 0300 0, 03Xσr 0, 12 0, 1500 0, 0 0, 1500 0, 15

Ψ 0, 275 1, 466× 10−12 2, 9395 1, 476× 10−12 1,799× 10−10

3.2. Máquina de doble jaula

Si la máquina de inducción posee un rotor de jaula de ardilla de barra profunda o de

doble jaula, es necesario modi�car el cálculo de la impedancia de entrada, e incrementar

el número de ensayos linealmente independientes. En la �gura 3.2 se ha representado el

modelo circuital de la máquina de inducción con rotor de doble jaula, este modelo se


Algoritmo 3.1 Estimación paramétrica de la máquina de inducción de rotor bobinado- Programa Principal

%************************************************************

% Estimación de los parámetros de una máquina de inducción

% mediante la técnica de los mínimos cuadrados.

%************************************************************

% programa parámetros.

% Para este ejemplo se utilizó el circuito equivalente para

% determinar la impedancia de entrada para tres deslizamientos

% diferentes: vacío (s=0), carga (s=0.03) y rotor bloqueado (s=1)

% Los parámetros del circuito equivalente de esta máquina son:

% Re = .02 p.u. Xe = .10 p.u.

% Rm = 50. p.u. Xm = 3.0 p.u.

% Xr = .15 p.u. Rr = .03 p.u.

% Los ensayos realizados dieron los siguientes resultados:

% Zmedida(s=0) = .199350+ j3.0892 p.u.

% Zmedida(s=0.03) = .833740+j.49141 p.u.

% Zmedida(s=1) = .047603+j.24296 p.u.

% Re = .02 p.u. (Medida directa)

% Utilizando el método aproximado se consiguen los siguientes

% valores de arranque.

% Xeo = .12 p.u. Rmo = 48.0 p.u.

% Xmo = 3.3 p.u. Xro =.12 p.u.

% Rro = .0276 p.u.

% Estos valores se cargan en el vector de arranque x0:

x0 = [.10 48. 3.3 .0276 .12]

% Finalmente se llama a la rutina 'fminsearch ' que calcula los valores

% de los parámetros x que minimizan la función de costo.

% El error relativo especificado para la convergencia es 0.001

[x,Chi] = fminsearch(@costoMI , x0)

% En el vector x se han cargado los parámetros óptimos de la

% estimación. La solución es:

Refin = 0.02

Xefin = x(1)

Rmfin = x(2)

Xmfin = x(3)

Rrfin = x(4)

Xrfin = x(5)

% Fin del cálculo paramétrico.


Algoritmo 3.2 Estimación paramétrica de la máquina de inducción de rotor bobinado- Calculo de la función de costos Ψ

%************************************************************

function Chi = costoMI(x)

%************************************************************

% Evaluación de la función de costos por mínimos cuadrados.

% Fi = Sumatoria(errores relativos )^2

% Deslizamientos correspondientes a los ensayos de vacío ,

% carga y rotor bloqueado.

s = [1e-10 .03 1.];

Re = 0.02; % Medición directa de la resistencia estator

Xe = x(1); % Reactancia de dispersión del estator

Rm = x(2); % Resistencia de magnetización

Xm = x(3); % Reactancia de magnetización

Rr = x(4); % Resistencia del rotor referida al estator

Xr = x(5); % Reactancia dispersión rotor referida al estator

% Vector fila de las impedancias de entrada medidas en los

% ensayos.

Zmedida = [1.9935e -01 -3.0892e+00*i

8.3374e -01 -4.9141e-01*i

4.7603e -02 -2.4296e-01*i]';

% Evaluación de las impedancias calculadas mediante la estimación

% de los parámetros del modelo.

Ze = Re+j*Xe; % Impedancia estator

Zm = (Rm*j*Xm)/(Rm+j*Xm); % Impedancia magnetización

Zth = Ze*Zm/(Ze+Zm)+j*Xr; % Impedancia de Thevenin

Ve = 1.00; % Tensión del estator

Vth = Zm*Ve/(Zm+Ze); % Tensión de Thevenin

Ir = Vth./( Zth+Rr./s); % Corriente del rotor referida

Ee = Ir.*(Rr./s+j*Xr); % Tensión rama magnetizante

Im = Ee./Zm; % Corriente de magnetización

Ie = Im+Ir; % Corriente del estator

Zcalculada=Ve./Ie; % Impedancia de entrada calculada

% Cálculo del error relativo entre las medidas y el modelo

error = (Zmedida -Zcalculada )./ Zmedida;

% Cálculo de la función de costo por mínimos cuadrados

Chi = error*error ';

% Fin de la función 'costo '

end


Figura 3.2: Modelo de la máquina de inducción con rotor de doble jaula

utiliza también para analizar, en una primera aproximación, el comportamiento de las

máquinas con rotor de jaula de ardilla con barras profundas [49, 52].

La impedancia de entrada de una máquina de doble jaula se puede calcular, a partir

del modelo de la Fig. 3.2 como:

Zent(Re, Xe, Rr, Xr, Rm, Xm, s) = Ze + Zr ‖ Zm (3.15)

donde:

Ze = Re + jXσe (3.16)

Zσr =Rr1s

Zr2

Rr1s

+ Zr2

+ jXσr1 (3.17)

Zr2 =Rr2

s+ jXr2

Zm = Rm ‖ jXm =jXm ·Rm

Rm + jXm

(3.18)

Para determinar los ocho parámetros de este modelo son necesarios al menos cuatro

ensayos independientes. En estas pruebas las variables de control pueden ser el desli-

zamiento y la frecuencia de alimentación. Los valores iniciales de los parámetros del

modelo se obtienen simpli�cando el circuito equivalente en cada una de las condiciones

de ensayo.

Los resultados obtenidos de la optimización utilizando dos puntos de arranque dife-


Algoritmo 3.3 Estimación paramétrica de la máquina de inducción de rotor de doblejaula - Programa Principal

%************************************************************

% Estimación de los parámetros de una máquina de inducción de

% doble jaula mediante la técnica de los mínimos cuadrados.

%************************************************************

%

% Para este ejemplo se utilizó el circuito equivalente para

% determinar la impedancia de entrada para cuatro

% deslizamientosdiferentes: vacío (s=0), carga (s=0.03 y 0.06)

% y rotor bloqueado (s=1)

%

% Los parámetros reales del circuito equivalente de esta máquina % son:

% Re = .02; Xe = .10; Rm = 50.; Xm = 3.0;

% Xr1= .10; Rr1 =.08; Xr2 = .15; Rr2 = .04;

% Los deslizamientos de los cuatro ensayos son:

s=[0.001 .03 .06 1.0];

% Los cuatro ensayos realizados dieron los siguientes resultados:

%

% Zmedida =[.5218+3.0114*i .7531+.4558*i .4133+.3103*i .0747+.2217*i]

%

% Utilizando el método aproximado se consiguieron los siguientes

% valores de arranque.

%

% Reo = 0.02 Xeo = .10 Xmo = 3.00 Rmo = 50.

% Rr1o = 0.08 Xr1o = .12 Rr2o = 0.03 Xr2o= .12

%

% Se puede suponer para simplificar el proceso de estimación que

% los parámetros del estator son conocidos con precisión. Si se

% cargan las estimaciones del resto de los valores en el vector

% de aranque xo:

%

x0 =[0.10 50 3.0 .08 .12 .03 .12];

%

% Finalmente se llama a la rutina fminsearch que calcula los valores

% de los parámetros x que minimizan la función de costo.

% El error relativo especificado para la convergencia es 0.001

%

[x,Chi]= fminsearch(@costoMI2 ,x0)

%

% Fin del algoritmo de estimación paramétrica


Algoritmo 3.4 Estimación paramétrica de la máquina de inducción de rotor bobinado- Calculo de la función de costos Ψ

%************************************************************

function Chi = costoMI2(x)

%************************************************************

% Evaluación de la función de costos por mínimos cuadrados.

% Fi = Sumatoria(errores relativos )^2

% Deslizamientos correspondientes a los ennsayos de vacío ,

% carga y rotor bloqueado.

s = [.001 .03 .06 1.];

Re = 0.02; % Medición directa de la resistencia estator

Xe = x(1); % Reactancia de dispersión del estator

Rm = x(2); % Resistencia de magnetización

Xm = x(3); % Reactancia de magnetización

Rr1= x(4); % Resistencia del rotor1 referida al estator

Xr1= x(5); % Reactancia dispersión1 rotor referida al estator

Rr2= x(6); % Resistencia del rotor2 referida al estator

Xr2= x(7); % Reactancia dispersión2 rotor referida al estator

% Vector fila de las impedancias de entrada medidas en los ensayos.

Zmedida =[.5218+3.0114*i .7531+.4558*i .4133+.3103*i .0747+.2217*i];

% Evaluación de las impedacias calculadas mediante la estimación

% de los parámetros del modelo.

Zr2 = Rr2./s+i*Xr2;

Zr1 = (Rr1*Zr2./s)./( Rr1./s+Zr2)+i*Xr1;

Zm = i*Rm*Xm/(Rm+i*Xm);

Ze = Re+i*Xe;

Zcal = Ze+(Zr1*Zm)./( Zr1+Zm);

% Cálculo del error relativo entre las medidas y el modelo

error = (Zmedida -Zcal )./ Zmedida;

% Cálculo de la función de costo por mínimos cuadrados

Chi = error*error ';

% Fin de la función 'costo2 '


rentes se presentan en la tabla 3.2. Como se puede observar, el método es muy robusto

aun cuando no garantiza la determinación del mínimo global, pero puede obtener la

solución aun partiendo de parámetros iniciales muy alejados de los valores reales.


Parámetro Aproxi. Estimación Valor Ini. Estimación Valor Real

Re 0, 02 0, 02 0, 02 0, 02 0, 02Xσe 0, 10 0, 0927 0, 1 0, 0927 0, 1000Rm 50, 0 50, 2697 40,0 50, 2697 50, 00Xm 3, 0 3, 0071 5, 0 3, 0071 3, 0000Rr1 0, 03 0, 0801 0, 04 0, 0801 0, 0800Xr1 0, 1 0, 1079 0, 1 0, 1079 0, 1000Rr2 0, 03 0, 0403 0, 01 0, 0403 0, 0400Xr2 0, 15 0, 1510 0, 1 0, 1510 0, 1500

Ψ 0, 0514 8, 7588× 10−9 0, 9974 4, 9387× 10−10 3, 1920× 10−8

En el caso de la máquina de inducción con rotor de doble jaula, el proceso de esti-

mación paramétrica se puede acelerar considerablemente si se determinan directamente

los parámetros del estator. Estos parámetros pueden ser obtenidos con mucha preci-

sión de los ensayos de vacío -rama de magnetización-, secuencia cero - reactancia de

dispersión del estator-, y resistencia de las bobinas del estator. En este caso no se han

realizado ensayos a varias frecuencias, pero esto permite discernir con mayor precisión

entre los parámetros del rotor. Aun cuando la técnica de estimación no lineal conduce

a un conjunto de parámetros que reproduce con gran aproximación el comportamiento

de la máquina, los algoritmos de optimización tienen una convergencia relativamente

lenta desde el punto de vista del tiempo de cálculo requerido. Sin embargo, cuando

la estimación inicial no di�ere demasiado de los parámetros de solución, el proceso se

acelera notablemente. Esta idea podría ser empleada en un estimador paramétrico en

tiempo real, fuera de línea se pueden determinar los parámetros de la máquina con

gran precisión, y posteriormente se ajustan a medida que estos varían de acuerdo con

las condiciones de operación. De cualquier forma, la densidad de cálculo necesaria en

esta solución, requiere la utilización de computadores de muy alta velocidad de procesa-

miento y lenguajes de programación de alto nivel - Fortran, Pascal, C, Matlab, etc-. El

cálculo de la impedancia de entrada puede ser efectuado en línea, a partir de las medidas

de las tensiones y corrientes instantáneas obtenidas en bornes de la máquina mediante

transductores adecuados y conversores analógico-digitales relativamente rápidos.

Capítulo 4

Métodos dinámicos

La principal di�cultad en la estimación de los parámetros de la máquina de induc-

ción estriba en la imposibilidad de medir directamente algunas variables internas. Los

modelos de régimen permanente y transitorio de�nen parámetros, corrientes y tensiones

que no son accesibles directamente. Por esta razón el método de estimación desarro-

llado en la sección anterior, determina un comportamiento no lineal de la impedancia

de entrada. Para resolver este problema es preciso obtener un sistema de ecuaciones

lineales como representación de la máquina de inducción, y eliminar las variables no

medibles. Esta idea no es nueva, y ha sido utilizada por la teoría de control automático

para caracterizar plantas de gran complejidad [6, 27, 58, 71].

4.1. Modelos lineales

El modelo transitorio de la máquina de inducción en coordenadas estatóricas, se

puede expresar como:

[ve

ver

]=

[Re 0

0 Rr

][ie

ier

]+

[Le Ler

Ler Lr

]d

dt

[ie

ier

]− j θ

[0 0

Ler Lr

][ie

ier

](4.1)

Te − Tm = J θ + α θ = Ler=m {ie · (ier)∗} (4.2)

donde:

25

CAPÍTULO 4. MÉTODOS DINÁMICOS 26

x =

√2

3

{xa + ej

2π3 xb + ej

4π3 xc

}(4.3)

Si la velocidad angular mecánica θ = ωm, es constante, las ecuaciones diferenciales

4.1 y 4.2, se convierten en una representación lineal del comportamiento de la máquina

de inducción. Además, en general la tensión del circuito rotórico es nula, ver = 0:

pier =

(j θ − Rr

Lr

)ier + j θ

LerLr

ie −LerLr

pie (4.4)

ve =

(Re + j θ

L2er

Lr

)ie +

(Le −

L2er

Lr

)pie + Ler

(j θ − Rr

Lr

)ier (4.5)

Derivando con respecto al tiempo la expresión 4.5, sustituyendo la derivada de la

corriente del rotor pier, obtenida a partir de la ecuación 4.4, y remplazando en la misma

expresión la corriente del rotor ier, obtenida a partir de la propia ecuación 4.5, resulta:

pve =

(Le −

L2er

Lr

)p2ie+

(Re +Rr

LeLr− j θ

(Le −

L2er

Lr

))pie+

(j θ − Rr

Lr

)(ve −Reie)

(4.6)

La expresión 4.6, se puede reescribir de la siguiente forma:

pve − j ˙θve = k1

(p2ie − j ˙θpie

)+ k2pie − k3j θier − k4ve + k5ie (4.7)

donde:

k1 =

(Le −

L2er

Lr

); k2 = Re +Rr

LeLr

; k3 = Re ; k4 =Rr

Lr; k5 = Re

Rr

Lr(4.8)

En la ecuación 4.6, el miembro de la izquierda de la igualdad no depende de los

parámetros de la máquina, puede ser evaluado directamente de medidas instantáneas

realizadas en bornes de la máquina. En cambio, el miembro a la derecha de la igual-

dad, depende de los cinco coe�cientes indicados como k1, k2, k3, k4 y k5 , además de

las cinco funciones de variables que también pueden ser medidas directamente. Esta

ecuación requiere de un mínimo de tres medidas linealmente independientes para po-

der determinar por regresión lineal estos cinco coe�cientes. Para que las ecuaciones

correspondientes a cada medida sean independientes, es necesario utilizar al menos tres

puntos de operación con diferente carga en eje del rotor.


Para determinar los cinco coe�cientes de la ecuación 4.6, se construye una función

de costo con la sumatoria de los errores cuadráticos, entre los valores medidos que

son independientes de los parámetros, y los valores calculados mediante una cierta

estimación. Los parámetros que minimizan la función de costo son la mejor solución

posible al problema planteado. La función de costos se puede representar de la siguiente

forma:

Ψ =n∑i=1

[[fmed(ti, ωmi)]− [fcal(ti, ωmi)]]t · [[fmed(ti, ωmi)]− [fcal(ti, ωmi)]] (4.9)

donde:

[fmed(ti, ωmi)] = pve − j ˙θve = [hi] (4.10)

[fcal(ti, ωmi)] =[ (

p2ie − j ˙θpie

)pie −j θier −ve ie

]k1

k2

k3

k4

k5

= [wi] [k] (4.11)

Calculando las derivadas parciales de la función de costo Ψ con respecto a cada uno

de los parámetros [k], se obtiene:

Ψ =n∑i=1

[[hi]− [wi] [k]]t · [[hi]− [wi] [k]] (4.12)

[∂Ψ

∂k

]= −2

n∑i=1

[[hi]− [wi] [k]] = [0]⇒n∑i=1

[hi] =n∑i=1

[wi] [k]⇒

n∑i=1

[wi]t [hi] =

n∑i=1

[wi]t [wi] [k] =

[n∑i=1

[wi]t [wi]

][k]⇒ (4.13)

[k] =

[n∑i=1

[wi]t [wi]

]−1 n∑i=1

[wi]t [hi]

Una vez que el vector de los coe�cientes [k] ha sido obtenido mediante la expresión


4.13, se pueden determinar los parámetros de la máquina de inducción utilizando las

de�niciones 4.8:

Re = k3 ; Le =k2 − k3

k4

; Tr =1

k4

;L2er

Lr= Le − k1 (4.14)

La técnica de estimación paramétrica por regresión lineal, se puede utilizar en tiempo

real para adaptar los parámetros del modelo, a medida que las condiciones de operación

determinan posibles variaciones de los mismos. La inductancia mutua estator-rotor

Ler, y la inductancia del rotor Lr, no se pueden obtener independientemente con esta

formulación. Algunos autores sugieren la posibilidad de incluir una ecuación adicional

para eliminar este problema [12, 58, 68]. Una posibilidad es la de utilizar el criterio

de igualdad entre las inductancias del estator y del rotor de la máquina. Esta idea

no es descabellada y viene siendo utilizada desde hace mucho tiempo para repartir la

reactancia de fuga del modelo en las dos ramas. Además, el modelo en coordenadas de

campo orientado utiliza solamente los parámetros calculados en la expresión 4.46. Esto

signi�ca que el modelo no pierde información dinámica al realizar esta consideración.

La estimación independiente de cada uno de los parámetros del modelo, se puede

obtener derivando por segunda vez la ecuación del estator 4.6 [58]. Este procedimien-

to tiene por desventaja la necesidad de utilizar derivadas de mayor orden - primero,

segundo y tercero -. La derivación introducen ruidos en el proceso de estimación, es-

pecialmente cuando se realiza a variables medidas y digitalizadas. También tiene como

inconveniente que el sistema de ecuaciones relaciona los coe�cientes [k] con los paráme-

tros del modelo mediante un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas, cuya solución

numérica tiene una convergencia relativamente lenta cuando se compara con la solución

directa obtenida en la expresión 4.14, para el método con primeras y segundas deriva-

das. Lógicamente, esto puede ser más rápido desde el punto de vista de cálculos que la

optimización de funciones no lineales, pero de cualquier modo reduce considerablemente

la aplicabilidad del método.

Para ilustrar la técnica se han estimado los parámetros de un motor de inducción

con rotor de jaula de ardilla con los datos, valores nominales y bases seleccionadas se

muestran en la tabla 5.1.

Las tensiones y corrientes de las bobinas del estator, y la velocidad angular mecánica

del rotor se midieron en tres condiciones de operación diferentes. El par de carga fue

diferente en cada punto. Los registros numéricos fueron procesados para determinar las

primeras y segundas derivadas de las variables necesarias. Algunos registros de interés


Cuadro 4.1: Datos de placa de la máquina de inducción

Pn = 100HP Vn = 460V In = 154ATn = 570Nm nn = 1,719 rpm cosφn = 0, 91Iarr = 594A Tarr = 573Nm ηn = 87, 6 %

p = 2 f = 60Hz Tm = 1,114NmConexión Y trifásico Jeje = 5 kg m2

SBASE = 123 kV A VBASE = 460V IBASE = 154A

ωBASE = 188, 5 rads

TBASE = 682Nm tBASE = 27× 10−3s

Cuadro 4.2: Datos obtenidos de las medidas

t (pu) 0 2,250 4,500ωm (pu) 0 0, 5 1ve (pu) 0,0000− j1,4142 0,8213− j1,1513 1,3372− j0,4602pve 1,4142− j0,0000 1,1513 + j0,8213 0,4602 + j1,3372ie −5,8091− j2,8707 −1,9584− j5,5378 −0,1281− j0,3696pie 2,8707− j5,8091 5,5378− j1,9584 0,3696− j0,1281p2ie 5,8091 + j2,8707 1,9584 + j5,5378 0,1281 + j0,3696

se presentan en la tabla 4.2

Cuando se aplica el procedimiento de regresión lineal 4.13, a los tres registros de

valores independientes de la tabla 5.1, se obtienen los valores de los coe�cientes indeter-

minados [k], y de los correspondientes parámetros del modelo dinámico de la máquina

de inducción como se muestran en la tabla 4.3.

Considerando que las inductancias propias del rotor y del estator son prácticamente

iguales, se obtiene el conjunto de parámetros mostrado en la tabla 4.4.

Cuadro 4.3: Parámetros de la máquina de inducción

k1 k2 k3 k4 k5

0,1952 0,0986 0,0548 0,0121 6,6308× 10−4

Re Le TrL2er

Lr

0,0548 3,6200 82,645 3,4248


Cuadro 4.4: Parámetros de la máquina de inducción

Re Le Ler Lr Rr

0,0548 3,6200 3, 5210 3,6200 0, 0438

4.2. Métodos no lineales

Algunos autores [18, 27, 47] han utilizado las medidas directas de la potencia activa

o reactiva instantánea, para adaptar el valor de la constante de tiempo del rotor Tr,

durante la operación de la máquina. Este método se fundamenta en determinar el valor

de la constante de tiempo del rotor que anula el error entre la potencia medida en

bornes del convertidor y aquella que se calcula mediante el modelo. El esquema de

control adaptivo [27], considera que el único parámetro del modelo que varía durante

la operación de la máquina es la resistencia del rotor. La integral del error de potencia

determina un valor proporcional a la variación de la constante de tiempo del rotor,

necesaria para eliminar el propio error.

Esta idea es útil e interesante, aun más cuando el error se establece utilizando como

base la potencia reactiva instantánea de la máquina, debido a que en este caso se elimi-

na la dependencia funcional con las resistencias de las bobinas del estator. Combinando

esto con los métodos de estimación paramétrica por regresión lineal de las ecuaciones

diferenciales, reducidas a variables medibles, se obtiene un método novedoso de esti-

mación paramétrica. Este método utiliza la regresión lineal, las ecuaciones de potencia

activa y reactiva instantánea, y las respectivas medidas en bornes de la máquina, para

eliminar la necesidad de calcular derivadas de orden mayor a uno.

Para solventar los problemas que se plantean en el método anterior que requieren

calcular derivadas segundas de las corrientes, se plantea la siguiente alternativa que no

requiere derivadas.

En función de las ecuaciones de tensión utilizadas en el modelo 4.1, se puede obtener

la derivada de la corriente del estator pie, en función de los parámetros de la máquina

y las variables medibles ve, ie y λe. Para esto, en primer lugar se determina la corriente

la expresión de la corriente del rotor referida al estator ier, utilizando el enlace de �ujo

λe estimado por integración directa de la fuerza electromotriz en bornes de la máquina

ee = (ve −Reie):


λe = Leie + Lerier =

tˆ

0

(ve −Reie) dt ⇒ ier =λe − LeieLer

(4.15)

La ecuación del rotor obtenida del sistema de ecuaciones 4.1, determina la derivada

de la corriente del rotor referida al estator pier:

0 = Rrier+Lerpie+Lrpi

er−j

˙˙ (Lerie + Lrier)θ ⇒ pier =

1

Lr

{(−Rr + jθLr)i

er − Lerpie + jθLerie

}(4.16)

Utilizando la primera ecuación del sistema de ecuaciones 4.1, se puede obtener la

derivada de la corriente del estator pie, en función de las variables medibles o estima-

bles directamente a partir de variables medibles cuando se reemplazan los resultados

obtenidos en 4.15 y en 4.16:

ve = Reie + Lepie + Lerpier ⇒

pie = L−1e

{ve −

(Re −

LeLr

(−Rr + jθLr) + jθL2er

Lr

)ie − (−Rr + jθLr)

λeLr

}(4.17)

ie =ve −

(Le − L2

er

Lr

)pie − (−Rr

Lr+ jθ)λe[

Re + LeLrRr − jθLe

] (4.18)

donde Le = Le − L2er

Lr.

Las expresiones 4.16 o 4.18, pueden utilizarse para realizar una estimación paramé-

trica donde se quiere determinar {Rr, Le , Lr, Ler}, y se tienen como datos los registros

instantáneos de{ve, ie, θ

}, y se ha determinado inicialmente el valor de la resistencia

del estator Re. Con el valor de la resistencia Re, la tensión espacial ve, y la corriente

espacial ie, se puede estimar el enlace de �ujo λe, según se presenta en la expresión 4.15.

De las corrientes del estator se pueden calcular numéricamente la primera derivada pie

de la corriente ie medida durante un ensayo. También se puede estimar el valor de esta

derivada utilizando el modelo desarrollado en la expresión 4.17. De esta forma se puede

establecer con todos los puntos medidos N , los errores cuadrático Ψpie ó Ψie , entre la

medida y el cálculo realizado mediante uno de estas funciones de costo:


Ψpie =N∑i=1

(piemedida − pie calculada

piemedida

)(piemedida − pie calculada

piemedida

)∗(4.19)

Ψie =N∑i=1

(iemedida − ie calculada

iemedida

)(iemedida − ie calculada

iemedida

)∗(4.20)

En los listados 4.1 y 4.2 se plantea el modelo dinámico de una máquina de inducción

de 200hp y 460V y en el listado 4.3, un simple algoritmo de integración numérica

mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden.

En la �gura 4.1 se tienen los resultados del modelo presentado en los listados 4.1 y

4.2. Con los datos registrados se procede a realizar una estimación de los parámetros

utilizando la expresión 4.19. En el listado 4.4 y 4.5 se presenta el código Matlab® de

la rutina de estimación paramétrica.

En la �gura 4.2 se ha representado el grá�co de las iteracciones de convergencia y

la tabla con los resultados obtenidos.

En la �gura 4.3 se ha representado el grá�co de las iteracciones de convergencia y

la tabla con los resultados obtenidos cuando se utiliza la corriente del estator para el

cálculo del error tal como se muestra en la rutina mostrada en el listado 4.6.

Una mejor opción para estimar los parámetros se puede conseguir utilizando la

impedancia instantánea durante el proceso de arranque de la máquina de inducción. De

acuerdo con esto y recordando que el enlace de �ujo de estator λe se puede determinar

mediante 4.15, entonces la corriente del rotor ~ir se puede calcular como:

ir =1

Ler

(~λe − Leie

)(4.21)

Reemplazando la ecuación 5.21 en 4.1 se obtiene:

pλe = ve −Reie (4.22)

0 =

(Rr

Lr− jωm

)λe + pλe −

(LeLrRr − jωmLe

)ie − Lepie (4.23)

La impedancia de entrada zin se puede entonces determinar a partir de las ecuaciones

4.22 y 4.23 queda expresada como:

zi (t) =veie

= Re +LeLrRr − jωmLe + Le

pieie−(Rr

Lr− jωm

)λeie

(4.24)


Algoritmo 4.1 Programa principal del modelo de la máquina de inducción en coorde-nadas estatóricas

% Maquina Ejemplo 460V 200Hp

clc; clear all

global R L_1 G Jm Tm Ve VS Ler np Frp

%Parametros del modelo de la maquina

Re = 0.01818; Rr = 0.009956; Lle = 0.00019; Llr = 0.00019; Ler = 0.009415;

Le = Lle + Ler; Lr = Llr + Ler;

J = 2.6; Fr = 0.04789; np = 2;

% Bases

Vb = 460; Sb = 200*746; Ib = Sb/(sqrt (3)*Vb); wbe = 377; wbm = wbe/np;

Tb = np*Sb/wbe; Zb =Vb/(sqrt (3)*Ib); Lb = Zb/(wbe); tb = 1/wbe;

H = wbm^2*J/(2*Sb); Frp = 5*0.04789* wbm^2/Sb; Jm = 2*wbe*H;

Re = Re/Zb; % 0.047;

Rr = Rr/Zb; % 0.0275;

Le = Le/Lb; % 0.0353+1.7953; %;

Lr = Lr/Lb; % 0.0574+1.7953; %

Ler = Ler/Lb; % 1.7953; %

Tm = 0;

VS = sqrt (2/3) *[1 exp(1j*2*pi/3) exp(1j*4*pi/3)];

Ve = 426.2/460;

R = diag([Re Rr]); L = [Le Ler;Ler Lr]; G = [0 0;Ler Lr];

L_1 = inv(L);

Ts = 1e-5/tb;

[t_pu ,xs] = RK4(@MaqInd ,0 ,2.5/tb ,[0 0 0 0 0],Ts);

ve_pu = sqrt (2)*Ve*VS*[sin(t_pu.');sin(t_pu.'-2*pi/3);sin(t_pu.'-4*pi/3)];

ve_pu = ve_pu.'; ie_pu = xs(:,1) + 1j* xs(:,2); ir_pu = xs(:,3) + 1j* xs(:,4);

wm_pu = xs(:,5);

pie_pu = [0; diff(ie_pu)/Ts]; pir_pu = [0; diff(ir_pu)/Ts];

Fe_est = cumtrapz(t_pu ,ve_pu -Re*ie_pu); Te_pu = Ler/3* imag(ie_pu.*conj(ir_pu));

Te_est = 1/3*( real(Fe_est).*imag(ie_pu)-imag(Fe_est).*real(ie_pu));

w_est = cumtrapz(t_pu ,Te_pu);

% Estimacion del la corriente del rotor

n = 2: length(t_pu);

g = (ve_pu(n) - Re*ie_pu(n) - Le*pie_pu(n))./( Fe_est(n) - Le*ie_pu(n));

f = cumtrapz(t_pu(n),g);

ir_est = exp(f);

m = 0.0114; % Ajuste lineal de la recta de aumento de velocidad (y = m*x+b)

b = 231.5;

w_est = w_est - m*t_pu;

w_est = w_est/b;

figure (1)

subplot (2,2,1)

plot(t_pu*tb,wm_pu)

grid

figure (2)

subplot (2,2,2)

plot(t_pu*tb ,[Te_pu Te_est ])

grid

subplot (2,2,3:4)

plot(t_pu*tb ,[wm_pu w_est ])

grid


Algoritmo 4.2 Cálculo de las derivadas del modelo de la máquina de inducción encoordenadas estatóricas

function px = MaqInd(t,x)

global R L_1 G Jm Tm Ve VS Ler Frp

iae=x(1); ibe=x(2); iar=x(3); ibr=x(4); wm=x(5);

ie=iae+1j*ibe; ir=iar+1j*ibr;

ve=sqrt (2)*Ve*VS*[sin(t);sin(t-2*pi/3);sin(t-4*pi/3)]; vr=0+1j*0;

pii = L_1*([ve;vr]-(R-1j*wm*G)*[ie;ir]);

% Definicion del par mecanico si se desea

% if t >0.5*377

% Tm = 0.6;

% end

pwm= (Ler/3* imag(ie*ir ')- Tm - Frp*wm)/Jm;

px(1,1)=real(pii (1));

px(2,1)=imag(pii (1));

px(3,1)=real(pii (2));

px(4,1)=imag(pii (2));

px(5,1)=pwm;

Algoritmo 4.3 Rutina para la integración de las ecuaciones diferenciales por el métodoRunge-Kutta de 4o. orden con paso �jo

function [t,x]=RK4(fun ,t0,tf,x0 ,Ts)

% Esta funcion realiza el metodo Runge Kutta 4to orden

% variables de entrada:

% fun = string con el nombre de la funcion que contiene el sistema en variables de

estado

% t0 = tiempo inicial

% tf = tiempo final

% Ts = Paso de integracion

% x0 = Valor incial de las variables

t = t0:Ts:tf;

y = x0.';

x(1,:) = x0;

for k=1:( length(t) -1)

k1 = feval(fun , t(k), y);

k2 = feval(fun ,t(k)+Ts/2,y+Ts*k1/2);

k3 = feval(fun ,t(k)+Ts/2,y+Ts*k2/2);

k4 = feval(fun ,t(k)+Ts ,y+Ts*k3);

y1 = y + Ts/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 +k4);

x(k+1,:)= y1.';

y = y1;

end

t=t.';

Algoritmo 4.4 Programa principal del modelo de la máquina de inducción en coorde-nadas estatóricas

x0 = [0.0505 0.0505 2.50 0.007]; % Valores iniciales

[x,fval ,flag] = fminsearch(@Est_1 ,x0,optimset('MaxFunEvals ' ,...

5000,'PlotFcns ',@optimplotfval ,'TolFun ',1e-5,'TolX',1e-5)) function si = Est_1(x)

load('datos_sim2 '); Carga de los datos


Figura 4.1: Resultados del modelo de la máquina de inducción


Valor Real Est. Inicial Est. Paramétrica

Remedida 0, 0128 0,0128 0,0128Rr 0, 07 0, 01 0, 070Leσ 0, 0505 0, 08 0, 0345Lrσ 0, 0505 0, 08 0, 0673Ler 2, 5027 3 2, 4505

errorΨ 0 26 4, 48× 10−6

Figura 4.2: Resultados obtenidos en la estimación paramétrica


Valor Real Est. Inicial Est. Paramétrica

Remedida 0, 0128 0,0128 0,0128Rr 0, 07 0, 01 0, 071Leσ 0, 0505 0, 08 0, 0056Lrσ 0, 0505 0, 08 0, 0981Ler 2, 5027 3 2, 4788

errorΨ 0 37, 7 1, 84× 10−5

Figura 4.3: Resultados obtenidos en la estimación paramétrica


Algoritmo 4.5 Cálculo del error entre el modelo y los registros

function error_Fi = Est_1(x)

load('datos_sim2 ');

Re = Re; %Medida directa

Lle = x(1); Llr = x(2); Ler = x(3); Rr = x(4);

Le = Lle + Ler; Lr = Llr + Ler;

long = length(Fe_est );

% n = 6000:5:6900; %round(long)

% n = 55000:5000:150000;

n = 5e4 :1000:11 e4;

ve_med = ve_pu(n); Fe_med = Fe_est(n); ie_med = ie_pu(n); pie_med = pie_pu(n); w_med

= wm_pu(n);

vx = real(ve_med ); vy = imag(ve_med );

Fx = real(Fe_med ); Fy = imag(Fe_med );

ix = real(ie_med ); iy = imag(ie_med );

D = -(Le*Lr-Ler ^2);

u = Rr*Le+Re*Lr/D;

pix_cal = -Lr/D*vx + (Rr*Le+Re*Lr)/D*ix - Rr/D*Fx - w_med .*iy - w_med.*Lr/D.*Fy;

piy_cal = -Lr/D*vy + (Rr*Le+Re*Lr)/D*iy - Rr/D*Fy + w_med .*ix + w_med.*Lr/D.*Fx;

pie_cal = pix_cal + 1j*piy_cal;

er = (pie_med - pie_cal )./ pie_med;

error_Fi = er '*er;

La impedancia instantánea vista desde el estator zi es dependiente de la tensión ve,

corriente ie y enlace de �ujo del estator λe, así como de los parámetros del modelo. El

�ujo del estator se puede obtener de la expresión 4.15.

Para la obtención de la velocidad angular ωm así como las contantes de inercia J y

fricción k se puede estimar el par eléctrico como:

Te = λe × ie (4.25)

El par eléctrico estimado según la expresión 4.25, produce la aceleración y el par

mecánico:

Te = λe × ie = Jpωm + Tm = Jpωm + kωm (4.26)

El método propuesto para estimar la velocidad angular consiste en integrar el par

eléctrico Te obtenido en la ecuación 4.26 y durante el régimen permanente después del

tiempo t0 determinar Jωs como el par constante de la �gura 4.4 y el coe�ciente de

fricción mecánico k, de la pendiente de la curva. En la �gura se observan los resultados

de este procesamiento.


Algoritmo 4.6 Código para la estimación utilizando la corriente del estator ie comovariable de comparación

func t i on s i = Est_2 (x )load ( ' datos_sim2 ' ) ;

Re = Re ; %Medida d i r e c t aLle = x ( 1 ) ;L l r = x ( 2 ) ;Ler = x ( 3 ) ;Rr = x ( 4 ) ;

Le = Lle + Ler ;Lr = Ll r + Ler ;

long = length ( Fe_est ) ;% n = 6000 : 5 : 6 900 ; %round ( long )% n = 55000 :5000 :150000 ;n = 1e4 : 1000 : 15 e4 ;ve_med = ve_pu(n)Fe_med = Fe_est (n)ie_med = ie_pu (n)pie_med = pie_pu (n)w_med = wm_pu(n)

D = Le−Ler^2/Lr ;Num=ve_med−D*pie_med−(−Rr/Lr+j *w_med) . *Fe_med ;Den=Re+Le*Rr/Lr−j *w_med*D;ie_ca l=Num./Den ;

er = ( ie_med − i e_ca l ) . / ie_med ;

s i = er '* er ;


(a) Estimación del par eléctrico

(b) Estimación de la inercia J y del coe�ciente k

(c) Velocidad angular estimada

Figura 4.4: Estimación de la velocidad, inercia y coe�ciente de fricción


Figura 4.5: Impedancia instantánea medida y error con la calculada

En la �gura 4.5 se muestra la impedancia instantánea medida y los errores de la

impedancia calculada con los parámetros estimados en la tabla 4.5.


Real (pu) Est. 1 (pu) %Error Est. 2 (pu) %Error

Re 0,0128 0,0122 4,69 0,0128 −Rr 0,0070 0,0076 −8,57 0,0070 0,00Ls 2,5532 2,7810 −8,92 2,5602 0,27Lr 2,5532 2,7728 −8,60 2,5606 0,29Lsr 2,5027 2,7265 −8,94 2,5099 0,38

Ψ 0,0000 3,8× 10−9 3,8× 10−9

4.3. Estimación por potencias










necesaria para eliminar el propio error.

Esta idea es útil e interesante, aun más cuando el error se establece utilizando como

base la potencia reactiva instantánea de la máquina, debido a que en este caso se elimi-

na la dependencia funcional con las resistencias de las bobinas del estator. Combinando

esto con los métodos de estimación paramétrica por regresión lineal de las ecuaciones

diferenciales, reducidas a variables medibles, se obtiene un método novedoso de esti-

mación paramétrica. Este método utiliza la regresión lineal, las ecuaciones de potencia

activa y reactiva instantánea, y las respectivas medidas en bornes de la máquina, para

eliminar la necesidad de calcular derivadas de orden mayor a uno.

En un convertidor electromecánico con varios puertos eléctricos, la potencia ins-

tantánea de entrada se de�ne como la sumatoria de los productos de las tensiones y

corrientes en cada uno de los puertos. Para la máquina de inducción trifásica, se tiene:

p(t) = vaia + vbib + vcic (4.27)

Si la conexión no incluye retorno, se debe cumplir alguna de las siguientes relaciones:

ia + ib + ic = 0 (4.28)

va + vb + vc = 0 (4.29)

La potencia instantánea, calculada a partir de los vectores espaciales de tensión y

corriente se realiza multiplicando el fasor espacial de la tensión v, por el conjugado

del fasor espacial de la corriente i∗, esto con la �nalidad de mantener la convención de

potencia reactiva inductiva entrando al puerto del convertidor como positiva:

s = v · i∗ = p(t) + jq(t) = vaia + vbib + vcic +1√3j [iavbc + ibvca + icvab] (4.30)

La parte real de la expresión 4.30, corresponde exactamente con la de�nición 4.27,

de la potencia activa instantánea, el término imaginario se puede asociar al concepto


de potencia reactiva instantánea utilizada por la máquina. Para interpretar físicamente

esta de�nición, se puede recordar la relación que existe entre la fuerza electromotriz e,

y la intensidad de campo eléctrico E por una parte, y entre la intensidad de campo

magnético H y la corriente por otra. El producto vectorial de los campos eléctrico E

y magnético H se de�ne como vector de Pointing P [38, 40, 60]. El vector de Pointing

P representa el �ujo de potencia por unidad de área del campo electromagnético. En

un punto determinado del entrehierro de la máquina, el vector de Pointing P tiene

dos componentes, una en la dirección axial que determina el �ujo de potencia entre

el estator y rotor, y otra tangencial que mantiene el campo magnético interno. Como

la corriente y la intensidad del campo magnético H están relacionados a través de la

ley de Ampère, y la fuerza electromotriz se obtiene integrando la intensidad del campo

eléctrico E, es razonable pensar que la potencia activa instantánea está estrechamen-

te relacionada con la componente axial del vector de Pointing P, y que la potencia

reactiva instantánea depende de la componente imaginaria de este mismo vector. Sin

embargo, es necesario recordar que la magnitud y fase del vector de Pointing P, depen-

de de la posición espacial y del tiempo, mientras que las potencias activas y reactivas

instantáneas solamente son funciones temporales. Esto es debido a que estas potencias

son de�niciones macroscópicas que tienen implícita una integración en el espacio, y el

vector de Pointing es la densidad de potencia en un punto determinado del espacio y

del tiempo. Para realizar la analogía completa con la tensión espacial v en lugar de la

fuerza electromotriz e, es necesario incluir los fenómenos no conservativos, es decir las

pérdidas óhmicas en los conductores.

4.3.1. Teorema de Poynting

El �ujo de potencia a través de una super�cie cerrada se puede obtener mediante la

integración de la densidad de �ujo de potencia, conocida como el Vector de Poynting

(S = E×H). Este procedimiento fue planteado por J. H. Poynting en 1884, quien

demostró que la potencia electromagnética a través de una super�cie cerrada se obtiene

de la integral de super�cie del producto vectorial de la intensidad de campo eléctrico y

magnético (S)[81]:

S = E×H

(V A

m2

)(4.31)

El �ujo de potencia electromagnética en una super�cie cerrada se puede calcular


realizando la integral de super�cie de la expresión (4.31) :

˛s

S·ds =

˛s

(E×H)·da =

ˆv

∇ · (E×H) · dv (4.32)

donde:

da Es el diferencial de área en la dirección del vector normal n a la

super�cie.

dv Es el diferencial de volumen.

ds Es el diferencial de super�cie.

De la ecuación (4.32) se obtiene que la densidad volumétrica de potencia es igual a

la divergencia del Vector de Poynting (∇ · (E×H)). Desarrollando esta expresión se

obtiene [82]:

∇ · (E×H) = (∇× E) ·H− E · (∇×H) (4.33)

Por otra parte, las leyes de Faraday y Ampère son[82]:

∇× E = −µ∂H∂t

(4.34)

∇×H = J + ε∂E

∂t(4.35)

Y recordando las relaciones constitutivas de la materia [81]:

D = ε·EB = µ ·HJ = σ · E

(4.36)

se obtiene la densidad volumétrica de potencia, sustituyendo las leyes (4.34), (4.35)

y las relaciones constitutivas de la materia (4.36) en la ecuación (4.33):

∇ · (E×H) =

(−µ∂H

∂t

)·H− E ·

(J + ε

∂E

∂t

)(4.37)

= −(B·∂H

∂t+ D · ∂E

∂t+ E · J

)


La expresión (4.37) se conoce como ley de la conservación de la energía o teorema de

Poynting [81]. Este teorema establece que la disminución de energía electromagnética

en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor por efecto Joule

(E · J) y al �ujo hacia el exterior del vector de Poynting (B·∂H∂t

+ D · ∂E∂t).

Si la permitividad (ε) y la permeabilidad (µ) del medio son constantes, la expresión

(4.37) se puede escribir como:

∇ · (E×H) +∂

∂t

(H ·B

2+

E ·D2

)+ E · J = 0 (4.38)

Integrando la expresión (4.38) en un volumen v, correspondiente al teorema de

Poynting, y aplicando el teorema de la divergencia [81] se obtiene:

´v∇ · (E×H) · dv +

´v

(∂∂t

(H·B

2+ E·D

2

))· dv +

´vE · J·dv = 0

¸s(E×H)·da + ∂

∂t

´v

(H·B

2+ E·D

2

)· dv +

´vE · J·dv = 0

¸sS·da + ∂

∂t

´vU · dv +

´vE · J·dv = 0

(4.39)

donde:

¸s S·da Flujo neto de potencia aparente instantánea saliendo de la su-

per�cie s.

∂∂t

´v U · dv Potencia reactiva debido a la variación instantánea de la ener-

gía magnética y eléctrica dentro del volumen encerrado por la

super�cie s.´v E · J·dv Potencia activa instantánea total disipada o generada dentro

del volumen encerrado por la super�cie s en todo instante de

tiempo.

U Densidad volumétrica de energía electromagnética (H·B2

+ E·D2)

4.3.2. Teorema de Poynting en Variable Compleja

El vector de Poynting en cualquier punto del espacio descrito mediante campos en

variable compleja es[82]:

−→S =

−→E ×

−→H∗ (4.40)


La divergencia del vector de Poynting se puede calcular como:

∇ ·(−→E ×

−→H ∗)

= (∇×−→E ) ·−→H∗ −

−→E · (∇×

−→H∗) (4.41)

Las leyes de Faraday y Ampère para régimen sinusoidal permanente se pueden

expresar como:

∇×−→E = −jωµ

−→H (4.42)

∇×−→H = J + jωε

−→E (4.43)

Sustituyendo las leyes (4.42) y (4.43) en la ecuación (4.41), se obtiene:

∇ ·(−→E ×

−→H ∗)

= −[(jωµ

−→H) ·

−→H∗ +

−→E · (J + jωε

−→E )∗

](4.44)

∇ ·−→S = −

[jωµ

∣∣∣−→H∣∣∣2 + jωε∣∣∣−→E ∣∣∣2 +

−→E · J∗

]Agrupando parte real e imaginaria del Teorema de Poynting en cualquier punto del

espacio, queda:

∇ ·−→S + j · ω

(µ∣∣∣−→H∣∣∣2 + ε

∣∣∣−→E ∣∣∣2)+−→E · J∗ =

−→0 (4.45)

Expresando el teorema de Poynting de la expresión (4.45) de forma integral y utili-

zando la ley de Ohm (4.36), se obtiene:

ˆv

∇ ·−→S · dv +

ˆv

j · ω(µ∣∣∣−→H∣∣∣2 + ε

∣∣∣−→E ∣∣∣2) · dv +

ˆv

−→E · J∗ · dv =

−→0

(4.46)˛s

−→S · da︸︷︷︸−−→S (t)

+j · ω ·ˆv

(µ∣∣∣−→H∣∣∣2 + ε

∣∣∣−→E ∣∣∣2) · dv︸︷︷︸q(t)

+

ˆv

σ∣∣∣−→E ∣∣∣2 · dv︸︷︷︸p(t)

=−→0

En la expresión (4.46) el término imaginario corresponde a la potencia reactiva

instantánea, mientras el real a la potencia activa y la aparente se considera con signo

negativo para denotar la potencia entrando a la super�cie s [83, 84].


4.3.3. Potencia Activa y Reactiva Instantánea

En sistemas de potencia trifásicos, la potencia activa instantánea p(t) se obtiene

superponiendo la potencia activa instantánea en cada una de las fases del sistema [85].

p(t) = va(t) ia(t) + vb(t) ib(t) + vc(t) ic(t) (4.47)

La de�nición convencional de la potencia aparente S se fundamenta en la capacidad

del equipo en función de la tensión y corriente nominal en condición de operación ba-

lanceada (√

3Vlınea−lınea Ilınea ). La potencia reactiva Q en sistemas trifásicos se de�ne

como la relación entre la potencia aparente y la activa a través del Teorema de Pitá-

goras (√S2 − P 2). Este concepto se utiliza en el diseño y evaluación de los sistemas de

potencia equilibrados. En condiciones desequilibradas de operación o en presencia de

armónicos en las tensiones o corrientes del sistema esta de�nición debe ser corregida,

introduciendo los conceptos de factor de potencia de desplazamiento (DPF ) y de factor

de distorsión armónica total (THD) [88]. A �nales de la década de los 90, Kazibwe [86]

introduce los procedimientos para la realización de medidas de la potencia reactiva y

los costos asociados a esta potencia en los sistemas eléctricos.

Una de�nición mejor y más precisa de la potencia activa, reactiva y aparente ins-

tantánea en sistemas de potencia trifásicos se puede obtener mediante la aplicación de

los vectores espaciales [87]. La de�nición del fasor de potencia aparente es:

S = V I∗ = V ejα · I e−jβ = V I ej(α−β) = V I ejγ = P + jQ (4.48)

Extendiendo este concepto a vectores espaciales, se obtiene la potencia aparente

instantánea como [87]:

−→s (t) = −→v (t) · −→i (t)∗ = (vxix + vyiy) + j (vyix − vxiy) = p(t) + j · q(t) (4.49)

Sustituyendo las expresiones de los vectores espaciales de tensión y corriente, en la

ecuación (4.49), se obtiene la de�nición clásica de potencia instantánea en coordenadas

primitivas abc. Esto se debe a la selección del coe�ciente√

2/3 en la de�nición del vector

espacial, que origina que la transformación sea invariante en potencia:


−→s (t) = p(t) + jq(t) = (va(t) ia(t) + vb(t) ib(t) + vc(t) ic(t))

+j√

33

(vbc(t) ia(t) + vca(t) ib(t) + vab(t) ic(t))

(4.50)

La expresión (4.50) es válida en cualquier condición de operación, para sistemas de

potencia de tres o cuatro hilos, para régimen transitorio y estado estacionario, condi-

ción de operación balanceada o desequilibrada y ante formas de ondas sinusoidales o no

sinusoidales. La parte real de la ecuación (4.50) coincide con la de�nición clásica de la

potencia trifásica instantánea (4.47). Por otra parte, la parte imaginaria de la ecuación

(4.50) de�ne el concepto de la potencia reactiva instantánea que coincide con la de�ni-

ción clásica de potencia reactiva en régimen permanente, balanceado y sinusoidal. Para

un sistema de potencia trifásico balanceado en estado estacionario y alimentado por

formas de onda sinusoidales, la potencia activa y reactiva instantánea son invariantes

en el tiempo. Esto se debe a que los vectores espaciales de tensión y corriente poseen una

amplitud y un ángulo entre ellos constante en el tiempo. En esta condición, la de�nición

clásica de potencia activa y reactiva coincide con la expresión (4.50) mientras que para

condiciones de alimentación no sinusoidal y sistemas desbalanceados, las de�niciones

clásicas y vectoriales de la potencia son diferentes [85, 87].

Sustituyendo la expresión de la potencia aparente instantánea (4.49) en la de�nición

del factor de potencia, se obtiene el factor de potencia instantáneo:

fp(t) =p(t)

|−→s (t)|(4.51)

La expresión (4.51) al igual que la (4.50) es válida en cualquier condición de opera-

ción, para sistemas de tres o cuatro hilos.

En el entrehierro de las máquinas eléctricas rotatorias, el vector de Poynting−→S en

cada punto del espacio y del tiempo tiene dos componentes, una en sentido axial y otra

tangencial. La componente axial determina la potencia activa transferida entre el estator

y el rotor, mientras que la tangencial representa la potencia que �uye en el entre hierro

para mantener el campo electromagnético rotatorio. En líneas de transmisión trifásicas

el fenómeno es similar, la potencia activa instantánea corresponde a la componente

longitudinal del vector de Poynting, mientras que la potencia reactiva corresponde a la

componente tangencial o rotatoria de este vector. En la �gura 4.6 se presenta el �ujo

de potencia instantánea por una línea de transmisión trifásica.

A continuación se presentan tres comparaciones entre la de�nición de potencia ins-


Figura 4.6: Potencia instantánea en un línea de transmisión

tantánea (4.50) y la de�nición clásica en diferentes condiciones de operación del sistema

eléctrico.









necesaria para eliminar el propio error. Esta idea es útil e interesante, aun más cuando

el error se establece utilizando como base la potencia reactiva instantánea de la máquina,

debido a que en este caso se elimina la dependencia funcional con las resistencias de las

bobinas del estator. Combinando esto con los métodos de estimación paramétrica por

regresión lineal de las ecuaciones diferenciales, reducidas a variables medibles, se obtiene

un método novedoso de estimación paramétrica. Este método utiliza la regresión lineal,

las ecuaciones de potencia activa y reactiva instantánea, y las respectivas medidas en

bornes de la máquina, para eliminar la necesidad de calcular derivadas de orden mayor

a uno.

La parte real de la expresión 4.47, corresponde exactamente con la de�nición 4.50,

de la potencia activa instantánea, el término imaginario se puede asociar al concepto

de potencia reactiva instantánea utilizada por la máquina.

En el sistema de coordenadas arbitrarias δ = 0 ; δ = 0, la potencia activa y reactiva

instantánea es:


s(t) = v(t) ∗ i(t)∗ = vδd idd + vδq i

dq + j

(vδq i

dd − vδd idq

)(4.52)

La expresión 4.52 es válida para cualquier sistema de coordenadas, pero en el sistema

de coordenadas de campo orientado todas las variables del rotor han sido eliminadas

de la formulación. Reemplazando estas variables aparece el módulo y dirección de la

corriente de magnetización im y δ. Aun cuando estas nuevas variables no son medibles

directamente, están referidas al sistema de coordenadas del estator, lo que simpli�ca en

cierto modo el problema. Sustituyendo las condiciones de tensión estatórica y rotórica

en el modelo de la máquina y reemplazando los resultados en 4.52, se obtiene:

p = Rei2e + Le

(iddiddt

+ iqdiqdt

)+L2er

Lr

(δiqim + id

dimdt

)(4.53)

q = δLei2e + Le

(iddiqdt− iq

diddt

)+L2er

Lr

(δidim + iq

dimdt

)(4.54)

donde:

i2e = i2d + i2q (4.55)

La posición angular del vector espacial de la corriente de magnetización δ(t). se

puede obtener de la información suministrada por el propio estimador de estado del

sistema de control. Sin embargo esta solución no es satisfactoria, debido a que existen

grados de libertad su�cientes en las ecuaciones 4.54 y 4.55, para obtener un conjunto

de parámetros dependientes de este ángulo. Este conjunto de parámetros cumple con

las ecuaciones de potencia instantánea pero puede no representar el comportamien-

to dinámico del convertidor. Este razonamiento sugiere la necesidad de conocer de la

información más o menos precisa de algún parámetro del modelo.

Los métodos de estimación paramétrica que reducen las variables no medibles por

derivación de las ecuaciones originales, necesitan de�nir una relación adicional entre las

inductancias, para identi�car el resto de los parámetros. Una de las relaciones utilizadas

con mayor frecuencia consiste en de�nir que las reactancias de fuga del estator y rotor

son iguales [6]. Otra posibilidad puede ser indicar que las bobinas del rotor no tienen

fuga, en este caso la dispersión queda concentrada completamente en los devanados

estatóricos. Esta última hipótesis, más o menos discutible, puede simpli�car el proceso

de estimación de la dirección de la referencia de campo orientado. En la �gura 4.5 se

presenta el circuito equivalente transitorio de una máquina de inducción en coordenadas


Figura 4.7: Circuito equivalente transitorio de la máquina de inducción en coordenadasprimitivas sin reactancia de fuga en el rotor

primitivas -δ = 0 ; δ = 0 -, con la inductancia del rotor Lr , igual a la inductancia mutua

estator rotor Ler.

En estas condiciones la corriente de magnetización im, del circuito equivalente en

coordenadas primitivas, coincide con la corriente de magnetización utilizada como re-

ferencia en el sistema de coordenadas de campo orientado. La determinación de la

dirección de este vector puede realizarse integrando la ecuación de la malla estatórica:

ve = Reie + Lediedt

+ Lerdimdt

⇒ (4.56)

tˆ

0

(ve −Reie) dτ − Le ie = Lerim = λmejδ = λmr + j λmi

De la expresión 4.55, se obtiene directamente las funciones trigonométricas de la

dirección δ:

λmr =

tˆ

0

(ver −Reier) dτ −(Le −

L2er

Lr

)ier (4.57)

λmi =

tˆ

0

(vei −Reiei) dτ −(Le −

L2er

Lr

)iei (4.58)

λm =√λ2mr + λ2

mi (4.59)


cosδ =λmrλm

; senδ =λmiλm

; tanδ =λmiλmr

(4.60)

La derivada de la posición angular de la referencia de campo orientado δ, se puede

obtener a partir de la expresión 4.56 cuando se considera despreciable la variación de

la magnitud del enlace de �ujo dλmdt

≈ 0:

δ =λmr

(vei −Reiei − Lepiei

)− λmi

(ver −Reier − Lepier

)λ2m

(4.61)

En estado cuasi-estacionario, la velocidad angular del rotor θ, y la corriente de mag-

netización im, son prácticamente constantes. Al introducir estas hipótesis simpli�cativas

en las ecuaciones de potencia activa y reactiva instantánea 4.53 y 4.54, se obtiene el

sistema siguiente:

[p

q

]=

i2e iddiddt

+ iqL2er

Lr

(δiqim

)0(iddiqdt− iq diddt

)+ δi2e δi2d

Re

Le

Ler

(4.62)

donde:

id + j iq = e−jδ (ier + j ier) (4.63)

Con un mínimo de dos mediciones linealmente independientes, es posible determinar

los parámetros de la máquina de inducción mediante las técnicas de regresión lineal. La

constante de tiempo del rotor se obtiene directamente en las condiciones de operación

cuasi-estáticas:

Tr =iqim

1(δ − θ

) ≈iqid

1(δ − θ

) (4.64)

Esta técnica de estimación paramétrica requiere cierta precisión en la medida de

la inductancia de dispersión de la máquina. Este parámetro tiene la ventaja de ser

poco dependiente de la temperatura y de la saturación, por esta razón es recomendable

realizar ensayos de rotor bloqueado o utilizar los datos nominales de la máquina para

su determinación. Los errores en esta evaluación no inter�eren en el comportamiento

del modelo en régimen permanente, pero sí en régimen transitorio.

Un método alterno al propuesto, consiste en considerar al menos dos instantes du-


rante la operación en régimen permanente pero con velocidad diferente. La técnica más

simple es la que utiliza como uno de estos puntos el correspondiente a la condición de

vacío. En vacío la corriente iq es nula, y toda la magnitud de la corriente ie, inyectada

en el estator de la máquina es igual a la componente directa ie. En la operación de

régimen permanente las derivadas de las corrientes id e iq , son nulas. De esta forma se

obtiene de la expresión 4.62, las siguientes relaciones:

q = δLei2e ⇒ Le =

q

ωei2e=

q

ωmi2e

p =(Re − δLer

)i2e ⇒ Ler =

Rei2e − pωei2e

(4.65)

Despreciando la resistencia del estator, o utilizando el valor medido directamente en

bornes de la máquina, se pueden estimar con precisión los otros parámetros. Con una

medida realizada en una condición de carga, que mantenga la misma densidad de �ujo

en el entrehierro - relación tensión-frecuencia constante -, se puede obtener la constante

de tiempo del rotor de la expresión 4.64. En este caso la corriente del eje directo coincide

con la magnitud de la corriente del estator de la medida instantánea realizada en la

condición de vacío.

El método anterior es muy simple pero tiene un inconveniente importante, en la

mayoría de las aplicaciones prácticas es imposible obtener el punto de operación en

vacío. Incluso cuando esto es posible, las propias pérdidas mecánicas de la máquina,

hacen imposible el empleo de este método. Sin embargo, una extensión del mismo es

posible cuando se consideran dos puntos de operación en régimen permanente, pero

manteniendo la hipótesis de igualdad de �ujos en el entrehierro. Para mantener esta

hipótesis es necesario realizar los ensayos en dos condiciones de operación a diferente

velocidad, pero con una relación de tensión-frecuencia prácticamente constante. Con

estas consideraciones se puede obtener directamente la inductancia Le a partir de la

ecuación 4.54, correspondiente a la potencia reactiva instantánea inyectada en el estator

de la máquina:

q1 = δ1Lei2

e1 + δ1i2

dL

2er

Lr

q2 = δ2Lei2

e2 + δ2i2

dL

2er

Lr

⇒ q1 − δ1Lei2

e1

q2 − δ2Lei2

e2

=δ1

δ2

⇒ Le =δ1q2 − δ2q1

δ1δ2

(i2

e2 − i2

e1

) (4.66)


De las ecuaciones 4.53 y 4.54 se puede encontrar la relación siguiente para el pará-

metro L2er

Lr:

L2

er

Lr=

1

δi2e

√√√√√1 +(p−Rei2e)

2(q − δLei2e

)2 (4.67)

El único parámetro desconocido en la expresión 4.67, es la resistencia del estator

Re. Si se desprecia esta resistencia en una condición de operación cercana al punto de

carga nominal de la máquina, o se realiza una medida directa del parámetro, se puede

obtener la relación existente entre el cuadrado de la inductancia mutua estator-rotor y

la inductancia propia del rotor. Este parámetro determina el coe�ciente independiente

de la ecuación del par eléctrico.

El procedimiento descrito anteriormente tiene una relación muy estrecha con el dia-

grama de círculo del circuito equivalente de la máquina de inducción. Se debe recordar

que es su�ciente con la información completa de dos puntos de este diagrama, para

trazar y calibrar todo el diagrama de círculo. Esta situación es análoga al conocimiento

de todos los parámetros del circuito equivalente. El principal problema de este proce-

dimiento de estimación consiste en la necesidad de mantener condiciones de régimen

permanente antes de proceder a realizar las medidas correspondientes. Cuando se con-

sidera que la variabilidad de los parámetros de la máquina es mayor en varios órdenes

de magnitud con respecto a las constantes de tiempo eléctricas y mecánicas, el método

es de gran interés práctico. El otro inconveniente en la aplicación de esta técnica reside

en la necesidad de mantener prácticamente constante la corriente de campo durante

los dos ensayos o medidas. Esta limitación no es demasiado rigurosa, debido a que du-

rante la operación en régimen permanente es aconsejable mantener la mayor corriente

de campo posible para producir el máximo de par eléctrico con las menores corrientes

de armadura. Las fuentes electrónicas actuales son capaces de realizar este control con

mucha sencillez.

La constante de tiempo del rotor Tr, se obtiene a partir de la misma expresión 4.64,

pero despejando de las ecuaciones 4.53 y 4.54, la relación entre las corrientes directa y

cuadratura:

Tr =iqid

1(δ − θ

) =(p−Rei

2e)(

q − δLei2e) 1(

δ − θ) (4.68)

A continuación se presentan los resultados obtenidos de la aplicación del método


Cuadro 4.6: Datos del modelo de la máquina de inducción en el modelo de campoorientado

Tiempo (pu) ωm ve ie im δ δ

376.9 0.9757 1.4913-j0.8809 0.4976-j0.9301 0.4624 349.66 1.0

753.9 0.9744 1.4991-j0.8677 0.5415-j0.9566 0.4614 726.66 1.0

1130.9 1.0 1.4913-j0.8809 -0.2372-j0.4160 1179.15 1179.15 1.0


Parámetro Estimación (pu) Exacto (pu) Error (%)

Re 0.0663 0.0552 -16.74Le 3.1055 3.6166 16.46L2er

Lr3.0313 3.4214 12.87

Tr 69.6754 82.4472 18.33

propuesto de estimación paramétrica basado en la formulación de potencias activas y

reactivas instantáneas.

Aplicando al modelo transitorio de la máquina de inducción en coordenadas de cam-

po orientado a un sistema de tensiones trifásicas sinusoidales de frecuencia fundamental,

balanceado, y de secuencia positiva, con tres condiciones de carga diferentes, se obtie-

nen los siguientes registros para el régimen permanente en el sistema adimensional de

unidades se muestran en la tabla 4.6.

Utilizando el método de estimación paramétrica propuesto, con los datos correspon-

dientes a la primera y segunda �la de la tabla anterior, se obtiene los resultados que se

muestran en la tabla 4.7.

Si se utilizan los datos correspondientes a la segunda y tercera �la, con lo cual se

incluye el punto de operación en vacío, se obtienen los resultados que se presentan en

la tabla 4.8 .

Se puede observar que el error de la primera estimación es inferior al 18.5%. Este

error se puede reducir a menos del 2.3%, cuando se utiliza la información del punto de

vacío de la máquina de inducción para la estimación de la resistencia e inductancia de

estator. Además, la inclusión del punto de operación en vacío elimina la necesidad de

mantener constante la corriente de magnetización durante los ensayos. El error de la

estimación del primer caso se debe fundamentalmente a la diferencia existente entre las

corrientes de magnetización de los dos puntos de operación, los controladores vectoriales



Parámetro Estimación (pu) Exacto (pu) Error (%)

Re 0.0552 0.0552 0.0Le 3.6165 3.6166 0.0L2er

Lr3.4210 3.4214 0.01

Tr 84.39 82.4472 -2.3

pueden mantener esta corriente prácticamente constante y reducir apreciablemente el

error de estimación. Los controladores de velocidad que operan manteniendo constante

la relación entre la tensión y la frecuencia de alimentación de la máquina de inducción,

también mantienen esta corriente prácticamente constante.

La principal ventaja del método de estimación paramétrica propuesto es la elimi-

nación del cálculo de las derivadas de las variables de estado medibles. Sin embargo,

el procedimiento está restringido a que las medidas se realicen en puntos de operación

correspondientes al régimen permanente. Esta limitación no es demasiado severa debido

a que los parámetros de la máquina cambian lentamente en comparación con la diná-

mica del controlador de velocidad. Hay que recordar que el efecto pelicular tiene escasa

importancia en los controladores vectoriales debido a que operan con deslizamientos

cercanos a los valores nominales en todo el rango de velocidad, y a que el cambio de

temperatura en el interior de la máquina es comparativamente lento. La saturación si

hace cambiar más rápidamente los parámetros.

Capítulo 5

Evaluación Energética de Motores de

Inducción

Los motores de inducción representan más del 80% de las cargas industriales y en

una evaluación preliminar se identi�can varios aspectos que impactan negativamente la

e�ciencia de estos convertidores: operación sub cargada por dimensionamiento excesivo,

tensiones fuera de los rangos especi�cados en las normativas, presencia de armónicas

y desequilibrios en la fuente de alimentación. Todas estas condiciones operativas inci-

den en la disminución de la e�ciencia del motor y algunas incluso pueden reducir su

vida útil, haciendo necesaria su des-clasi�cación (re-evaluación de los valores nominales

de la máquina). En este capítulo se desarrolla un algoritmo recursivo que determina

el modelo en vectores espaciales de la máquina de inducción, a partir de los datos de

placa y algunos datos adicionales obtenidos a partir de la experiencia y las condiciones

normales de diseño, utilizando técnicas de optimización por mínimos cuadrados. Este

modelo permite evaluar las pérdidas de la máquina en diferentes condiciones de opera-

ción en ambientes industriales a partir de las medidas de tensión, corriente y potencia

realizadas en bornes del motor. El modelo puede considerar los efectos de la operación

a sub o sobre tensión, carga reducida, desequilibrios de tensión y fuentes con presen-

cia de armónicas. Este modelo compara las pérdidas del convertidor con las obtenidas

en operación nominal y puede considerar la utilización de variadores de velocidad o

esquemas de arranque a tensión reducida.

Los resultados de esta evaluación energética se pueden utilizar para identi�car la

operación de máquinas en condiciones de bajo rendimiento, o con pérdidas mayores a

las nominales. Esta información permite analizar los correctivos necesarios y evaluar

57

CAPÍTULO 5. EVALUACIÓN ENERGÉTICA DE MOTORES DE INDUCCIÓN 58

el nuevo comportamiento de la máquina cuando cambien las condiciones de operación.

Este algoritmo será integrado en el futuro en un analizador inteligente de energía para

que un personal técnico no especializado pueda realizar el mantenimiento preventivo y

reducir de esta forma los costos de inversión y aumentar la e�ciencia.

5.1. Consideraciones generales

Las máquinas eléctricas son elementos fundamentales en el sector industrial y co-

mercial. Son utilizadas para accionar bombas, compresores, máquinas y mecanismos,

ventiladores, etc. La máquina eléctrica más utilizada es el motor de inducción por su

robustez, fácil mantenimiento y reducido costo. En la �gura 5.1 se muestra la vista

seccionada de uno de estos motores. Las máquinas de inducción pueden construirse en

gran variedad de potencias y velocidades. Las máquinas de inducción necesitan consu-

mir pérdidas en los devanados o jaula del rotor para poder entregar el par a la carga.

Este principio de funcionamiento hace que su rendimiento sea inferior al de las máqui-

nas sincrónicas o los motores de reluctancia y mantener este lo más alto posible es una

medida de ahorro energético muy importante.

En el sector industrial y comercial existen di�cultades para determinar las condi-

ciones de operación de los motores de inducción. Esta condición depende de diferentes

factores como los niveles de tensión aplicada en las bobinas estatóricas, los desequilibrios

entre las tensiones de fase, la condición de carga o sobrecarga y el contenido armónico

de la fuente o del accionamiento utilizado. Estas condiciones de operación pueden ser

analizadas utilizando modelos precisos de las máquinas de inducción [89, 90, 91]. Estos

modelos, por otra parte, necesitan la determinación de sus parámetros que no siempre

son fáciles de realizar en condiciones de campo [92, 93, 94, 95, 96].

En este trabajo se presenta una técnica de identi�cación de los parámetros de las

máquinas de inducción, válidos en la zona de operación cercana a la velocidad nominal,

que utiliza los datos nominales de la placa y algunos valores frecuentes de estos equipos.

Estos datos son procesados mediante un algoritmo iterativo cuya convergencia garantiza

que el dato nominal de placa coincida con los parámetros calculados.

Utilizando el modelo y los parámetros determinados previamente es posible evaluar

la condición de operación de la máquina una vez que se han medido los valores efectivos

de las tres tensiones línea-línea y las corrientes de línea, así como la potencia activa

consumida. Las evaluaciones armónicas requieren los registros instantáneos digitales de


Figura 5.1: Vista en sección de un motor de inducción de jaula de ardilla

las tensiones aplicadas al convertidor.

Los resultados obtenidos permiten identi�car la estimación de la velocidad, par

mecánico, e�ciencia del punto de operación, energía consumida en pérdidas. También es

posible con esta herramienta evaluar el ahorro de energía que tendría la empresa cuando

se corrige la condición de operación a una más favorable. Con esta información los

departamento de mantenimiento y operación pueden decidir invertir en máquinas más

e�cientes, solventar problemas de calidad de servicio eléctrico o cambiar las condiciones

de carga del accionamiento.

El sistema se ha utilizado en varias empresas del sector productivo venezolano y

ha demostrado su valor para diagnosticar problemas operativos y proponer soluciones

adecuadas que mejoren el rendimiento y alarguen la vida útil de los convertidores.

5.2. Modelo de la máquina

El modelo clásico de la máquina de inducción es adecuado para la evaluación de

condiciones de régimen permanente, especialmente cuando se analizan velocidades del

rotor muy cercanas a la velocidad sincrónica. Fuera de esta zona el efecto de las barras

profundas del rotor afectan los resultados de este modelo. En la �gura 5.2a se presenta el

modelo clásico y en la �gura 5.2b su equivalente de Thèvenin que simpli�ca la evaluación

de las características más importantes del convertidor. El modelo de Thèvenin permite


(a) Modelo clásico

(b) Equivalente de Thevenin

Figura 5.2: Modelo de la máquina de inducción

determinar directamente la corriente del rotor que es necesaria para evaluar el par

eléctrico entregado al eje:

Te =3

ωeI2r

Rr

s=

3V 2thRr

ωes[(

Rrs

+Rth

)2+X2

th

] ≈3V 2

th s

ωeRr

si s→ 0 (5.1)

En la expresión 5.1 se puede observar que la resistencia del rotor es el parámetro

más importante de la máquina porque determina la característica par-deslizamiento en

todas las velocidades cercanas a la velocidad sincrónica. El par nominal, el deslizamiento

nominal y la tensión de la máquina son datos de placa y por este motivo la resistencia

del rotor Rr se puede calcular con bastante precisión de esta expresión.

La determinación de los parámetros de magnetización se realiza muy fácilmente

mediante una prueba de vacío, donde se midan las tensiones, corrientes y potencia en

esta condición. Sin embargo, en muchos casos no es posible parar el proceso productivo

para realizar el ensayo y en caso de hacerlo no es posible desacoplar la carga mecánica

accionada. Por este motivo es preferible utilizar datos típicos para los parámetros Rm


y Xm. Generalmente las máquinas de menos de 3 kW consumen corrientes de vacío de12In. Entre 3 kW y 100 kW la corriente de magnetización es aproximadamente 1

3In y en

máquinas mayores a 100 kW esta corriente tiende a 14In. Normalmente su componente

resistiva es muy pequeña y puede ser despreciada sin cometer errores muy grandes.

Una vez estimados la resistencia del rotor Rr y la reactancia de magnetización Xm, los

parámetros Rth y Xth se determinan para ajustar el resto de los datos típicos de placa:

El rendimiento y factor de potencia nominal.

Una estimación inicial de estos parámetros se realiza calculando la corriente del

rotor Ir:

Im = Ien − Im = In]− cos (fp)− VthjXm

=Vth(

Rth + Rrsn

)+ jXth

(5.2)

La ecuación 5.2 es una expresión compleja con dos incógnitas y Rth, Xth y de ella

es posible calcular una primera estimación para estos dos parámetros.

Las diferentes aproximaciones utilizadas tales como la suposición de la tensión de

Thèvenin, la corriente de magnetización o la tendencia a pequeños deslizamientos para

determinar la resistencia rotórica, originan parámetros no precisos pero que sirven de

valores iniciales a un algoritmo de optimización que utiliza los datos nominales para

converger y que se discuten en la siguiente sección.

El modelo ajustado permite directamente evaluar la condición de operación de má-

quinas de inducción sometidas a sobre carga, sub cargadas o con tensiones trifásicas

balanceadas fuera de rango por encima o por debajo de los valores nominales. Sin

embargo, cuando existen desequilibrios en las tensiones aplicadas es necesario utilizar

modelos de secuencia y componentes simétricas. En la �gura 5.3 se presenta el modelo

de la máquina de inducción en componentes de secuencia.

El sistema de ecuaciones que describen el comportamiento del modelo de la máquina

de inducción en régimen desequilibrado son [89, 90, 91]:[Ve1,2

Vr1,2

]=

[Re + jωeLe jωeMer

jωeMerRr1,2s1,2

+ jωeLr1,2

][Ie1,2

Ir1,2

](5.3)

Te =1

ωe

{I2r1

Rr1

s1

− I2r2

Rr2

s2

}(5.4)

s1 =ωe − ωmωe

; s2 =ωe + ωmωe

; s1 + s2 = 2 (5.5)


(a) Secuencia positiva

(b) Secuencia negativa

Figura 5.3: Modelo de la máquina de inducción en presencia de desequilibrios de tensión

En el modelo descrito por las ecuaciones 5.3, 5.4 y 5.5, los subíndices 1 y 2 se re�eren

a las componentes de secuencia positiva y negativa respectivamente. La reactancia de

magnetización jωeMer del modelo coincide con la reactancia de magnetización jXm, la

reactancia de dispersión del estator j Xσe es equivalente a jωe (Le −Mer) y la reactancia

de dispersión del rotor j Xσr a jωe (Lr −Mer). La resistencia e inductancia del rotor en

secuencia negativa debe ajustarse por efecto pelicular de acuerdo con la expresión [97]:

Rr(s2)

Rr(s1)= ξ

sinh (2ξ) + sin (2ξ)

cosh (2ξ)− cos (2ξ)(5.6)

Lσr(s2)

Lσr(s1)=

3

2ξ

sinh (2ξ)− sin (2ξ)

cosh (2ξ)− cos (2ξ)(5.7)

ξ ≈ hranura

√s2ωeµ0σr

2(5.8)

donde hranura es la profundidad de la ranura del rotor y σ es la conductividad de

las barras rotóricas.


Figura 5.4: Triángulo desequilibrado de tensiones trifásicas

5.3. Evaluación del desequilibrio

En bornes de la máquina de inducción es posible medir, en cualquier con�guración las

magnitudes de las tensiones entre fases (Vab, Vbc, Vca) tal como se muestra en el triángulo

de la �gura 3. Utilizando los teoremas del seno y del coseno es posible determinar los

ángulos internos del triángulo α, β y γ, con los cuales se pueden obtener los desfasajes

de las tensiones al neutro Va,Vb y Vc, que se obtienen a partir del Teorema de Apolonio

[95]. Con estos tres datos es posible encontrar las expresiones fasoriales de las tensiones

línea a línea utilizando las expresiones siguientes:

γ = cos−1

(−V

2ab − V 2

bc − V 2ca

2VbcVca

)(5.9)

α = sin−1

(VbcVab

sinγ

)(5.10)

β = sin−1

(VcaVab

sinγ

)(5.11)

Va =1

3

√2 (V 2

ca + V 2ab)− V 2

bc (5.12)

Vb =1

3

√2 (V 2

bc + V 2ab)− V 2

ca (5.13)

Vc =1

3

√2 (V 2

bc + V 2ca)− V 2

ab (5.14)


Aplicando la transformación de componentes simétricas, a los fasores de tensión al

neutro calculados con las expresiones 5.9 a 5.14, se obtiene:

V0

V1

V2

=1

3

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

Va

Vb

Vc

=1

3

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

Va

Vbej(α+β

2−π)

Vcej(α+α+γ

2−2π)

=

0

V1ejζ1

V2ejζ2

; a = ej2π3

(5.15)

5.4. Evaluación armónica

Para el análisis del comportamiento de la máquina de inducción alimentada con

tensiones no sinusoidales se debe realizar una descomposición de la señal mediante la

transformada de Fourier [98], el modelo armónico de la máquina se muestra en la �gura

5.5. El cálculo del par eléctrico se realiza mediante superposición de los pares armónicos.

Las armónicas pueden ser de secuencia negativa, positiva de acuerdo con la expresión

[1]:

sh± =h±ωe − ωmh±ωe

=h± ∓ (1− s1)

h±; donde :

h+ = 6m+ 1, m = 0, 1, 2, . . .

h− = 6m− 1, m = 0, 1, 2, . . .

(5.16)

Te =n∑h=0

±Teh± = T1 − T5 + T7 − T11 + T13 − · · · (5.17)

Ie =

√√√√ n∑h=1

I22h−1 =

√I2

1 + I23 + I2

5 + I27 + I2

9 + I211 + I2

13 (5.18)

Las armónicas múltiplos de tres son de secuencia cero, no magnetizan la máquina y

por este motivo no producen par eléctrico. Afectan en la determinación de la corriente

efectiva pero su modelo se representa solamente con la reactancia de dispersión y la

resistencia del estator. En la �gura 5.5b se muestra el modelo para todas las armónicas

múltiplos de tres.


(a) Modelo de secuencia positiva y negativa

(b) Modelo de secuencia cero

Figura 5.5: Modelo armónico de la máquina de inducción


5.5. Estimación paramétrica iteractiva

En la �gura 5.6 se presenta el algoritmo que permite la estimación paramétrica ite-

rativa. Se leen los datos de placa y las medidas realizadas en el estator de la máquina de

inducción durante su operación. Con los datos de placa se realiza un cálculo inicial de

parámetros tal como se desarrolló en la sección anterior. Utilizando un criterio de con-

vergencia cuadrático de todos los errores entre los parámetros calculados en la iteración

n-1 y la actual se decide si se continúa ajustando o se prosigue con la evaluación del

modelo en el punto de operación medido. El cálculo de los parámetros para la iteración

n se fundamenta en el ajuste de los datos de placa, especí�camente pérdidas y factor de

potencia nominal siguiendo esta secuencia de cálculos en valores adimensionales (pu):

Vm (n) = 1− (Rth(n− 1) + j Xth(n− 1)) In (5.19)

I0(n) =Vm

Zm

=Vm(n)

Rm(n− 1) ‖ jXm

(5.20)

Ir = Ien − I0(n) (5.21)

Rr(n) =Tn sn

|Ir(n)|2(5.22)

Rth(n) =Pn − Rr(n)

sn|Ir(n)|2 − |Vm(n)|2

Rm(n)

|Ien|2(5.23)

Q(n) =√

1− fp2n −|Vm(n)|2

Xm

(5.24)

Xth(n) ≈2Q(n)

|Ir(n)|2 + |Ien|2(5.25)

PR(n) = Pper(n)−Rth(n) |Ien|2 −Rr |Ir(n)|2 (5.26)

El criterio de convergencia se establece con la siguiente condición de error cuadrático:

ε2 = k1

(Xth(n)

Xth(n− 1)− 1

)+ k2

(Rth(n)

Rth(n− 1)− 1

)+ k1

(Rm(n)

Rm(n− 1)− 1

)(5.27)


Figura 5.6: Algoritmo para la estimación paramétrica iterativa y evaluación del motor

donde k1, k2 y k3 son valores arbitrarios para ajustar la precisión deseada para cada

parámetro de (14). La convergencia se obtiene cuando ε ≤ εmax ≈ 10−3. El resto del

algoritmo utiliza los parámetros obtenidos para identi�car las características operativas

de la máquina, el punto de operación, pérdidas y comparaciones con el convertidor

operando a valores nominales.

5.6. Resultados obtenidos

En la Tabla 5.1 se presentan los datos de placa y las medidas realizadas en una

bomba de un sistema de enfriamiento de agua para un proceso industrial. En el listado

5.1 se presenta el algoritmo utilizado para el procesamiento de los datos nominales y

el punto de operación. En la �gura 5.7a se muestra la característica par deslizamiento

de la máquina y en la �gura 5.7b la característica del rendimiento de acuerdo con los

parámetros del modelo. En ambas curvas se incluyen el punto nominal y el punto de

operación. En la Tabla 5.2 se presentan los parámetros del motor, obtenidos después

de 92 iteracciones, con un error máximo εmax = 10−3.

En la Tabla 5.3 se presentan los fasores de tensión al neutro y corriente de línea

obtenidos de las medidas de valores e�caces de tensiones línea a línea y corrientes de

línea cuando se aplican las expresiones 5.9 a 5.14.

En la Tabla 5.4 se presentan los resultados obtenidos de la evaluación del motor en


Algoritmo 5.1 Listado del programa para la evaluación de la máquina

% Datos de p laca%Vn ( l inea−l i n e a V) % In ( f a s e − A) %Pn ( e j e − HP) % fpn % nn ( ve loc inad nominal − rpm)clear

disp ( 'En caso de f a l t a r In o fpn co loque 0 ' ) ;f r e c=input ( ' f r e c u en c i a (Hz)= ' ) ;Vn=input ( 'Vn(V−LL) = ' ) ; In=input ( ' In (A) = ' ) ;Pn=input ( 'Pn (HP) = ' )*746 ; % Cambio en wat iosfpn=input ( ' fpn = ' ) ; nn=input ( 'n (rpm) = ' )*2*pi /60 ; % Cambio a r/ s ;%En caso de f a l t a de datosi f fpn==0

fpn =0.87;end

i f In==0e f i c n =0.85;In=Pn/( e f i c n * fpn*sqrt (3)*Vn) ;

end

e f i c n=Pn/( sqrt (3)*Vn* In* fpn ) ;% Corriente de vac ioi f Pn>=1e5

k=4;else

i f Pn>=3e3k=3;

else

k=2;end

end

Inom=In*exp(− j *acos ( fpn ) ) ; % Corriente nominal f a s o r i a lp=f loor (2*pi* f r e c /nn ) ; % número de pares de po lo ssn=1−(nn*p )/(2* pi* f r e c ) ; % des l i z amien to nominalTn=Pn/nn ; % Par mecanico nominal%Sb=Pn;Vb=Vn; Zb=Vb*Vb/Sb ; Ib=Sb/( s q r t (3)*Vb ) ; wb=2*p i * f r e c /p ;Tb=Sb/wb ;Sb=sqrt (3)*Vn* In ;Vb=Vn; Zb=Vb*Vb/Sb ; Ib=In ;wb=2*pi* f r e c /p ;Tb=Sb/wb ;% Cambio a modelo pua=1;b=1; c=1;h=0;Xth=0.2;Rth=0.01;Rm=30;Perd_n=sqrt (3)*Vn* In* fpn−Pn ; % Perdidas en W nominalesPerd_n_pu=Perd_n/Sb ;Inpu=Inom/ Ib ;Tnpu=Tn/Tb ; Pnpu=fpn ;while sqrt ( a^2+b^2+c^2)>1e−3

h=h+1Vm=1−(Rth+j *Xth/2)* Inpu ;Zm=Rm* j *k/(Rm+j *k ) ;Iopu=Vm/Zm; %Io/ Ib ;Irpu=Inpu−Iopu ;I r 2=(Irpu * Irpu ' ) ;Rr=Tnpu* sn/ I r 2 ;Rth_n=(Pnpu−Rr/sn* Ir2−abs (Vm)^2/Rm)/abs ( Inpu )^2 ;i f Rth<=0

Rth=Rr ;disp ( 'Rth < 0 , problema con fpn , se asume Rth=Rr ' )

end

Q=sqrt(1− fpn^2)−abs (Vm)^2/k ;Xth_n=Q*2/( I r 2+abs ( Inpu )^2 ) ;Xm=j *k ;PRm=Perd_n_pu−Rth*abs ( Inpu)^2−Rr* I r 2 ;Rm_n=abs (Vm)^2/PRm;a=abs (Xth/Xth_n−1);b=abs (Rth/Rth_n−1); c=abs (Rm/Rm_n−1);Xth=Xth_n ; Rth=Rth_n ;Rm=Rm_n;

end

Xth=j *Xth ;disp ( ' Pérdidas nominales en W ' ) ;Pfe=Perd_n_pu−(Rth+Rr)*abs ( I r 2 ) ; % Pérdidas en pu en e l h i e r roP_fe=Pfe*Sb % Pérdias en e l h i e r ro%Rm=Vth^2/Pfe ;


Algoritmo 5.2 Continuación... Listado del programa para la evaluación de la máquina

% Datos de l a s medidas r e a l i z a d a s a l motor%% disp ( ' Valores medidos promedio en l a máquina ' ) ;Vop=input ( 'Vop(V−LL) = ' )/Vb;Iop=input ( ' Iop (A) = ' )/ Ib ;Pop=input ( 'Pop (W) = ' )/Sb ;fpop=input ( ' fpop = ' ) ;I e=Iop*exp(− j *acos ( fpop ) ) ;Vm=Vop−(Rth+0.5*Xth)* I e ;I r=Ie−Vm/Xm;Z=abs (Vm/ I r ) ;sop=Rr/( sqrt (Z*Z−Xth*Xth ' / 4 ) ) % Des l i zamiento de operaciónwop=(1−sop )*wb*30/pi % Velocidad rpm

% Operación de l a máquinaCorr i en t e s1=inv ( [ Rth+0.5*Xth+Zm,−Zm;−Zm,Zm+0.5*Xth+Rr/sn ] ) * [ Ve ; 0 ] ;I1n=Cor r i en t e s1 ( 1 , 1 ) ;I2n=Cor r i en t e s1 ( 2 , 1 ) ;Psaln=Rr*(1− sn )*abs ( I2n )^2/ sn ;Pentn=real (Ve*conj ( I1n ) ) ;e f i c n=Psaln /Pentn ;

%Ze=Rth+Xth /2;%Zth_n=Ze*Xm/(Ze+Xm)+Xth /2;Vthop=Vop*Xm/(Ze+Xm)Irop=Vthop/(Zth_n+Rr/sop ) ;Teop=abs ( I rop )^2*Rr/sop ;Ieop=I r+Vth/Xm;Perdidasop=abs (Vthop)^2/Rm+Rth*abs ( Ieop)^2+Rr*abs ( I rop )^2 ;Cor r i en t e s2=inv ( [ Rth+0.5*Xth+Zm,−Zm;−Zm,Zm+0.5*Xth+Rr/sop ] ) * [ Vop ; 0 ] ;I1op=Corr i en t e s2 ( 1 , 1 ) ; I2op=Cor r i en t e s2 ( 2 , 1 ) ;Psalop=Rr*(1− sop )*abs ( I2op )^2/ sop % según modeloPentop=real (Ve*conj ( I1op ) ) ;disp ( ' Pérdidas en operac ión en W ' ) ;Perdidasop=(Pentop−Psalop )*Sbdisp ( ' E f i c i e n c i a en operac ión en pu ' ) ;

%e f i c op=Psalop/Pentope f i c o p=1−Perdidasop /(Pop*Sb)i f Psalop*Sb>Pn

disp ( 'Máquina sobrecargada en (%) ' )Psalop*Sb/Pn*100−100

else

disp ( 'Máquina subcargada en (%) ' )100−Psalop*Sb/Pn*100

end

figure (1 ) % Curva de parplot ( s , Te*Tb, sn ,Tn, ' ro ' , sop , Psalop/(1− sop )* (Tb) , ' rx ' ) ; gridxlabel ( ' Des l i zamiento ' ) ;ylabel ( ' Par en N.m' ) ;legend ( 'Curva Ca r a c t e r í s t i c a ' , ' Pto . nominal ' , ' Pto . operac ión ' , ' l o c a t i o n ' , ' s outheas t ' ) ;figure (2 ) % Rendimientoplot ( s , e f i c , sn , e f i cn , ' ro ' , sop , e f i c op , ' rx ' ) ; gridxlabel ( ' Des l i zamiento ' ) ;ylabel ( ' E f i c i e n c i a ' ) ;legend ( 'Curva Ca r a c t e r í s t i c a ' , ' Pto . nominal ' , ' Pto . operac ión ' , ' l o c a t i o n ' , ' s outheas t ' ) ;Pn=Psalop*Sb ;In=Pn/( sqrt (3)*Vn* e f i c n * fpn ) ;% Cambio a modelo puPerd_n=sqrt (3)*Vn* In* fpn−Pn % Pérdidas en W nominalesPerdidas_incrementa les=Perdidasop−Perd_n


Algoritmo 5.3 Continuación... Listado del programa para la evaluación de la máquina

% Curvas de Operacións_Tmax=Rr/sqrt (Rth^2+abs (Xth )^2 ) ;s=linspace ( 0 . 001 , s_Tmax*1 . 2 , 5 0 0 ) ;Ve=1;Ze=Rth+Xth/2 ;Zth_n=Ze*Xm/(Ze+Xm)+Xth/2 ;Vth=Ve*Xm/(Ze+Xm)I r=Vth . / ( Zth_n+Rr . / s ) ; Te=abs ( I r ) .^2*Rr . / s ; I e=I r+Vth/Xm;Perdidas=abs (Vth)^2/Rm+Rth*abs ( I e ).^2+Rr*abs ( I r ) . ^ 2 ;e f i c=1−Perdidas ;for g=1: length ( s )

Cor r i en t e s=inv ( [ Rth+0.5*Xth+Zm,−Zm;−Zm,Zm+0.5*Xth+Rr/ s ( g ) ] ) * [ Ve ; 0 ] ;I1 ( g)=Cor r i en t e s ( 1 , 1 ) ;I2 ( g)=Cor r i en t e s ( 2 , 1 ) ;Psal ( g)=Rr*(1− s ( g ) )*abs ( I2 ( g ))^2/ s ( g ) ;Pent ( g)=real (Ve*conj ( I1 ( g ) ) ) ;e f i c ( g)=Psal ( g )/Pent ( g ) ;

end

% Parametros de l modelo[ Rth , Rr , Xth ,Xm,Rm]% Datos de l a s medidas r e a l i z a d a s a l motor% di sp ( ' Valores medidos promedio en l a máquina ' ) ;Vop=input ( 'Vop(V−LL) = ' )/Vb; Iop=input ( ' Iop (A) = ' )/ Ib ; Pop=input ( 'Pop (W) = ' )/Sb ;fpop=input ( ' fpop = ' ) ;I e=Iop*exp(− j *acos ( fpop ) ) ;Vm=Vop−(Rth+0.5*Xth)* I e ; I r=Ie−Vm/Xm;Z=abs (Vm/ I r ) ;sop=Rr/( sqrt (Z*Z−Xth*Xth ' / 4 ) ) % Des l i zamiento de operaciónwop=(1−sop )*wb*30/pi % Velocidad rpm% Operación de l a máquina

Corr i en t e s1=inv ( [ Rth+0.5*Xth+Zm,−Zm;−Zm,Zm+0.5*Xth+Rr/sn ] ) * [ Ve ; 0 ] ;I1n=Cor r i en t e s1 ( 1 , 1 ) ; I2n=Cor r i en t e s1 ( 2 , 1 ) ;Psaln=Rr*(1− sn )*abs ( I2n )^2/ sn ; Pentn=real (Ve*conj ( I1n ) ) ;e f i c n=Psaln /Pentn ;Vthop=Vop*Xm/(Ze+Xm) ; I rop=Vthop/(Zth_n+Rr/sop ) ;Teop=abs ( I rop )^2*Rr/sop ; Ieop=I r+Vth/Xm;Perdidasop=abs (Vthop)^2/Rm+Rth*abs ( Ieop)^2+Rr*abs ( I rop )^2 ;Cor r i en t e s2=inv ( [ Rth+0.5*Xth+Zm,−Zm;−Zm,Zm+0.5*Xth+Rr/sop ] ) * [ Vop ; 0 ] ;I1op=Cor r i en t e s2 ( 1 , 1 ) ; I2op=Cor r i en t e s2 ( 2 , 1 ) ;Psalop=Rr*(1− sop )*abs ( I2op )^2/ sop % según modeloPentop=real (Ve*conj ( I1op ) ) ;disp ( ' Pérdidas en operac ión en W ' ) ;Perdidasop=(Pentop−Psalop )*Sbdisp ( ' E f i c i e n c i a en operac ión en pu ' ) ;% e f i c op=Psalop/Pentope f i c o p=1−Perdidasop /(Pop*Sb)

i f Psalop*Sb>Pndisp ( 'Máquina sobrecargada en (%) ' )Psalop*Sb/Pn*100−100

else

disp ( 'Máquina subcargada en (%) ' )100−Psalop*Sb/Pn*100

end

figure (1 ) % Curva de parplot ( s , Te*Tb, sn ,Tn, ' ro ' , sop , Psalop/(1− sop )* (Tb) , ' rx ' ) ; gridxlabel ( ' Des l i zamiento ' ) ;ylabel ( ' Par en N.m' ) ;legend ( 'Curva Ca r a c t e r í s t i c a ' , ' Pto . nominal ' , ' Pto . operac ión ' , ' l o c a t i o n ' , ' southeas t ' ) ;figure (2 ) % Rendimientoplot ( s , e f i c , sn , e f i cn , ' ro ' , sop , e f i c op , ' rx ' ) ; gridxlabel ( ' Des l i zamiento ' ) ;ylabel ( ' E f i c i e n c i a ' ) ;legend ( 'Curva Ca r a c t e r í s t i c a ' , ' Pto . nominal ' , ' Pto . operac ión ' , ' l o c a t i o n ' , ' southeas t ' ) ;Pn=Psalop*Sb ;In=Pn/( sqrt (3)*Vn* e f i c n * fpn ) ;% Cambio a modelo puPerd_n=sqrt (3)*Vn* In* fpn−Pn % Pérdidas en W nominalesPerdidas_incrementa les=Perdidasop−Perd_n


(a) Par-deslizamiento

(b) E�ciencia-deslizamiento

Figura 5.7: Características de la máquina de inducción


Cuadro 5.1: Datos de placa del motor y mediciones realizadas

Tensión (V) Corrientes (A) Potencia fp n (rpm)

Punto Nominal 440 40 30 hp 0,82 1770Medidas 432,8 438,7 435,3 28 31 31 16,8 kW 0,75 -

Cuadro 5.2: Parámetros estimados del modelo de la máquina de inducción en por unidad

Rth Rr Rm Xth Xm

0,0330 0,0167 19,12 0,3608 3,0

base al modelo obtenido y las medidas realizadas en el punto de operación. El algoritmo

estima la velocidad de operación, la carga mecánica en el eje, el rendimiento del punto

de operación y las pérdidas en la máquina. También se determina el incremento 4Pperen las pérdidas con respecto a la operación nominal, que es un indicador energético de

los posibles ahorros si se corrigen los problemas de calidad de servicio o niveles de carga

de los motores.

La metodología propuesta permite evaluar el punto de operación de un motor de

inducción en línea, mediante las medidas de las variables eléctricas (tensiones efectivas

de línea a línea, corrientes efectivas de línea y potencia trifásica) y los datos de placa

(tensión, corriente, factor de potencia, e�ciencia, velocidad y potencia de salida). El sis-

tema calcula desbalances de tensión y corriente, los parámetros del circuito equivalente

y determina la condición de carga, rendimiento, velocidad y pérdidas del convertidor.

Con registros instantáneos de tensiones y corrientes es posible extender las posibilidades

de evaluación al cálculo de armónicas y sus efectos en las pérdidas en el motor. Tam-

bién puede comparar el punto de operación con el de una máquina que opere en valores

nominales para identi�car posibles ahorros al corregir problemas de calidad de servicio

o en la carga mecánica. La instrumentación necesaria es muy simple y el sistema puede

ser automatizado con un sistema de adquisición de datos para realizar evaluaciones

masivas en plantas industriales.

Cuadro 5.3: Cálculo de los desequilibrios de tensión y corriente

Fase a Fase b Fase c Sec 1 Sec 2 Desbalance

Tensiones (V) 249, 7∠0◦ 251, 6∠− 119, 7◦ 253, 1∠− 239, 6◦ 251, 5 1, 21 0, 48 %

Corrientes (A) 28∠− 41, 3◦ 31∠− 158, 2◦ 31∠− 284, 4◦ 29,97 1, 95 6, 52 %


Cuadro 5.4: Resultados obtenidos del modelo

nop(rpm) Carga ( %) ηop ( %) Pper (W ) 4Pper (W )

1778 75, 15 86, 53 2262, 8 296, 3

Apéndice A

Revisión Bibliográ�ca

74

IEEE TRANSACTIONS ON ENERGY CONVERSION, VOL. 18, NO. 2, JUNE 2003 271

A Review of RFO Induction Motor ParameterEstimation Techniques

Hamid A. Toliyat, Senior Member, IEEE, Emil Levi, Senior Member, IEEE, and Mona Raina, Student Member, IEEE

Abstract—An induction motor is the most frequently usedelectric machine in high performance drive applications. Controlschemes of such drives require an exact knowledge of at leastsome of the induction motor parameters. Any mismatch betweenthe parameter values used within the controller and actualparameter values in the motor leads to a deterioration in the driveperformance. Numerous methods for induction machine onlineand offline parameter estimation have been developed exclusivelyfor application in high performance drives. This paper aims atproviding a review of the major techniques used for the inductionmotor parameter estimation. The paper is illustrated throughoutwith experimental and simulation examples, related to variousparameter estimation techniques.

Index Terms—Induction motor drives, parameter offline identi-fication, parameter online estimation, vector control.

I. INTRODUCTION

F IELD oriented (or vector) control is the most popularac machine control method that is widely used in high

performance industrial applications of electric drives. In thecase of an induction machine, rotor flux oriented (RFO) controlrequires an accurate value of at least some of the motorparameters in order to yield robust control. Which parametersare required depends on the applied RFO control scheme. Ifthe applied parameter values within the control system donot match the actual values in the motor, detuned operationresults. Impact of parameter variations on various vector controlschemes has been studied in detail in the past and extensivediscussions are available in many books [1]–[5].

A vector controlled induction motor can be used within atorque drive, a speed drive, or a position drive. The type of thedrive that exhibits the highest sensitivity to the incorrect param-eter values is the torque drive. Although the motor parametervariations affect the speed control applications too, existenceof the PI speed controller considerably reduces negative con-sequences of the parameter detuning.

Induction motor parameters change with temperature, fre-quency, and saturation. The consequence of any mismatchbetween the parameter values used in the controller and thosein the motor is that the actual rotor flux position does not coin-cide with the position assumed by the controller. The situationis illustrated in Fig. 1, [4]. This means that the actual rotor

Manuscript received January 21, 2002.H. A. Toliyat and M. Raina are with the Department of Electrical En-

gineering, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3128 USA(e-mail: [email protected]; [email protected]).

E. Levi is with the School of Engineering, Liverpool John Moores University,Liverpool, L3 3AF, U.K. (e-mail: [email protected]).

Digital Object Identifier 10.1109/TEC.2003.811719

Fig. 1. Illustration of commanded(d –q ) and actual(d–q) rotor fluxoriented reference frames in detuned operation, caused by a parametermismatch. Because the commanded reference frame does not coincide with theactual one, decoupled rotor flux and torque control does not take place.

flux contains both - and -axis component, leading to a lossof decoupled flux and torque control. Performance of the drivetherefore deteriorates from the desired. In order to avoid sucha situation, it is necessary to provide the vector controller withaccurate induction motor parameter values. These parametershave to be obtained somehow from measurements, during ini-tialization of the drive. Since any vector controlled inductionmotor drive is inverter fed, numerous tests based on an invertersupply have been developed in recent past for determinationof the required parameter values [4]–[7]. Such methods arefurther on called “offline parameter identification methods.”In addition, numerous possibilities exist nowadays to updatethe parameter values during the drive operation [3]–[7]. Thetechniques that enable parameter adaptation during the driveoperation are further on termed “online parameter estimationmethods.”

The aim of this paper is to provide a review of the major tech-niques used for the induction motor offline and online parameteridentification and estimation, respectively.

II. I NDUCTION MOTOR PARAMETERS

The parameters that may need to be identified offline ortracked online depend on the vector control scheme underconsideration. If the drive operates with the constant ratedflux reference, the required parameters will be some or all ofthe following: rated magnetizing inductance, stator resistance,rotor resistance, and stator/rotor leakage inductance or transientstator inductance. If the drive operates with a variable flux

0885-8969/03$17.00 © 2003 IEEE

272 IEEE TRANSACTIONS ON ENERGY CONVERSION, VOL. 18, NO. 2, JUNE 2003

reference (optimal efficiency drives, operation in the fieldweakening region, etc.), magnetizing curve will usually berequired as well. Finally, if the drive controller includes somekind of compensation of the iron losses (that may be especiallyimportant for torque drives in electric or hybrid vehicles), onewill need to know the variation of the equivalent iron loss resis-tance with operating frequency [8]. The most important offlineidentification and online parameter estimation techniques arereviewed in the remainder of this paper.

III. OFFLINE PARAMETER IDENTIFICATION TECHNIQUES

It is often the case in practice that one manufacturer suppliesthe inverter with a vector controller, while the machine comesfrom another manufacturer. It is then not possible to set the pa-rameters of the controller in advance and these have to be setonsite, once when the inverter is connected to the machine. Sucha situation has led to the development of the so-called self-com-missioning procedures for vector controlled induction machines[9], [10]. The main idea behind this concept is that the controllerautomatically determines all of the parameters of an inductionmachine, required for vector control. The automated procedureof testing and calculation is done following the first enabling ofthe controller. As the induction machine may already be cou-pled to a load, the tests aimed at self-commissioning have toidentify the required parameters at standstill. The identificationis therefore performed with single-phase supply to the machine.In principle, two types of excitation may be applied—dc or ac.The one ideal for true self-commissioning is dc. From applieddc voltage and resulting dc steady state current, one finds thevalue of the stator resistance. Determination of the remainingparameters is then based most frequently on transient current re-sponse that follows application of the dc voltage. Self-commis-sioning schemes that rely on this approach are those describedin [11]–[16].

The methods regarded as suitable for commissioning butinappropriate for self-commissioning are those that eitherrequire some special conditions to be satisfied during thecommissioning (for example, the machine is allowed to rotate)or they require substantially more complicated mathematicalprocessing of the measurement results, when compared tothe self-commissioning methods. For example, proceduresdescribed in [17]–[19] are all based on some tests withsingle-phase supply to the machine. However, the methoddescribed in [17] involves application of pseudo-randombinary-sequence voltage excitation and requires an adaptiveobserver. The procedure of [18] relies on maximum likelihoodmethod to obtain transfer function parameters. A step voltage isapplied at the stator terminals and the stator voltage and statorcurrent responses are recorded. The Laplace transformationis used to get the transfer function along with the maximumlikelihood estimation. The method of [19] requires applicationof the recursive least squares algorithm, this being the same asfor the procedure of [20].

The second possible excitation for parameter identificationat standstill is single-phase ac. Standstill frequency responsetest forms in this case the basis for the parameter identifica-tion [21]–[24]. A particularly interesting procedure based on

single-phase ac excitation is the rotor time constant identifica-tion method of [25]. It is based on trial-and-error and essentiallydoes not require any computations.

Some of the offline identification procedures surveyed so farenable identification of the machine’s magnetizing curve in ad-dition to other rated parameter values. Such is the case for themethods described in [13], [15], [21]–[23]. It should be notedthat the requirement for magnetizing curve identification oftenadds to the complexity of the commissioning procedure sincemore than one test needs to be performed. A significant stepforward in this sense is the method of [26], where magnetizingcurve is identified at standstill using only one test with single-phase ac supply. Other possibilities of the magnetizing curveidentification for self-commissioning purposes have been ex-plored in [27]–[30].

If the conditions of the commissioning are less stringent, thedrive may be allowed to rotate for the purposes of parameteridentification. A whole array of additional parameter determi-nation methods opens up in this case. For example, an extremelysimple procedure for rotor time constant tuning [31] is based onthe tests performed while the machine is rotating. The drive isoperated in the torque mode for the purposes of the rotor timeconstant tuning, with rated rotor flux reference. An alternatingsquare-wave torque reference is applied at certain speed of rota-tion. If the rotor time constant value used in the controller is cor-rect, the actual torque is an alternating square-wave as well, sothat the speed response follows a triangular function. If the rotortime constant setting is not correct, situation of Fig. 1 resultsand the actual torque response is not the same as the torque ref-erence. Speed response then deviates from triangular. An exper-imental illustration of this trial-and-error method of rotor timeconstant tuning is given in Fig. 2.

Standard no-load test and locked rotor test may be performedwith a PWM inverter supply if the commissioning situation al-lows for such testing. Parameters that are calculated are the sameas those obtained with sinusoidal supply, provided that the cal-culations are based on the fundamental components [32]. Thisfeature is exploited in [33], where the parameters are identi-fied using the dc, no-load and the pseudo-locked rotor tests. Amethod for pseudo-locked rotor test is presented since the me-chanical locking of the rotor is undesirable in any onsite com-missioning scenario.

Identification of the machine’s magnetizing curve becomesa simple and straightforward task if the machine is allowedto rotate under no-load conditions during the onsite commis-sioning. By defining the magnetizing curve’s analytical approx-imation in a suitable functional form and by performing a seriesof steady state fundamental harmonic voltage measurements inthe field weakening region, it becomes possible to determinethe correct magnetizing curve approximation purely by visualinspection of the measurement results [34]. An experimentalillustration of this method is given in Fig. 3, where measuredline-to-line fundamental voltage component is shown, togetherwith the reconstructed magnetizing curve.

Another magnetizing curve identification procedure isdescribed in [35]. It relies on the signals that are alreadypresent within the drive controller (stator currents and the dclink voltage), so that additional measurements are not required.

TOLIYAT et al.: A REVIEW OF RFO INDUCTION MOTOR PARAMETER ESTIMATION TECHNIQUES 273

Fig. 2. An experimental trial-and-error method of rotor time constant tuningin indirect vector controller: speed response to alternating square-wave torquecommand with correct rotor time constant and with 1.7 times correct rotor timeconstant (0.75-kW machine). Speed response is a triangular function of timewhen the rotor time constant is correctly set (upper figure). The method wasoriginally proposed in [31] and the results shown are from [4].

A special identification function, proposed in [35], ensuresprecise acquisition of the magnetizing curve, robust againstthe stator resistance variation, and the inverter lock-out time.The algorithm does not require any test signals. It is sufficientto perform the measurements during running of the unloadedmotor at around 100 r/min. Performing measurements at such alow speed enables the impact of iron and mechanical losses onidentification accuracy to be minimized. This, in turn, enablesaccurate identification down to 10% of the rated magnetizingflux, including the point of infliction. An illustration of theresults of the procedure of [35] is given in Fig. 4.

Some other approaches to the magnetizing curve identifica-tion, described in [36]–[38] are more involved and therefore lesssuitable for onsite commissioning of the drive. Method of [36]performs identification at standstill and only current measure-ments are needed. However, all the three phases of the machineare energized and standstill condition is achieved by means ofclosed loop speed control. The method requires that the vectorcontrolled induction motor is coupled to a controllable load andis therefore not suitable for onsite commissioning. Similar con-clusion applies to the broad-band excitation method [37], whichrequires injection of multiple frequency supply into the ma-chine’s stator terminals. Method of [38], although apparentlyvery accurate, is rarely applicable in practice since it requiresthat the neutral point of the stator star connected winding isaccessible.

Fig. 3. Measured fundamental stator voltage for different settings of theparametera of the inverse magnetizing curve per-unit analytical approximationi = a + (1� a) and reconstructed magnetizing curve(2.3-kW machine, field-weakening starts at 1150 r/min; results taken from[34]). The correct value isa = 0:9 since it gives the flattest voltage behaviorin the field-weakening region.

Fig. 4. Experimentally identified magnetizing curve and magnetizinginductance (100 r/min, no-load conditions, 7-kW machine, method of [35]).

It is worth noting that offline magnetizing curve (or magne-tizing inductance) identification suffices for saturation compen-sation schemes and that identification of dynamic (differential)inductance is usually not required. However, there are methodsthat enable identification of the dynamic inductance as well, forexample [37] and [39].

Compensation of iron losses in vector controlled inductionmachines usually requires knowledge of the equivalent iron loss


resistance for the fundamental harmonic, which is a function ofthe fundamental frequency [8]. The equivalent iron loss resis-tance can be identified during the drive commissioning usingthe procedure outlined in [40]. A series of no-load tests areperformed at various fundamental frequencies, using the samePWM voltage source inverter that will be subsequently used forthe normal drive operation. Fundamental harmonic input powerneeds to be measured, mechanical losses are separated fromthe fundamental iron losses using the customary no-load testprocedure, and equivalent iron loss resistance is eventually cal-culated. The procedure requires that rotation is permitted andthat no-load condition is available. An illustration of the ex-perimental results related to fundamental iron loss componentand the corresponding equivalent iron loss resistance is givenin Fig. 5. Tests at standstill, which would enable identificationof the equivalent iron loss resistance, do not seem to exist atpresent.

It should be noted that accuracy of parameter determination inall offline identification techniques depends on the sample rateselection, quantization errors, resolution and accuracy of sen-sors, etc. [41]. Identified parameter values will therefore alwaysbe characterized with certain error margin. The major problemencountered in offline parameter identification at standstill isundoubtedly the inverter lock-out time and nonlinearity, whichmake the accurate parameter determination on the basis of re-constructed voltages very difficult without prior knowledge ofthe inverter voltage drop characteristics [42]. A technique forovercoming this problem has recently been proposed, based onrecursive least squares [43].

Further important works describing various approaches toself-commissioning and commissioning are those of [44]–[55].

IV. ONLINE ROTORTIME CONSTANT ESTIMATION TECHNIQUES

The major effort has been put into development of rotor timeconstant (rotor resistance) online estimation methods. Due toa huge number of proposed solutions of very different nature,these are further classified into four subgroups.

A. Spectral Analysis Techniques

This group of methods encompasses all of the cases whereonline identification is based on the measured response to a de-liberately injected test signal or an existing characteristic har-monic in the voltage/current spectrum [56]–[66]. Stator currentsand/or voltages of the motor are sampled and the parameters arederived from the spectral analysis of these samples. In the caseof spectral analysis, a perturbation signal is used because underno-load conditions of the induction motor, the rotor induced cur-rents and voltages become zero, so slip frequency becomes zero,and hence, the rotor parameters cannot be estimated. In [56] and[57], the disturbance to the system is provided by injecting nega-tive sequence components. An online technique for determiningvalue of the rotor resistance by detecting the negative sequencevoltage is proposed in [56]. Special precautions need to be takento circumvent the torque-producing action when an inductionmotor, equipped with this system, is used as a torque drive; oth-erwise, the outer loop might prevent the perturbation from beinginjected into the system. The main drawback of this method is

Fig. 5. Fundamental component of the iron loss identified using the procedureof [40] and the corresponding equivalent iron loss resistance (4-kW machine).

Fig. 6. Rotor inductance and rotor resistance identification using the methodof [57] (simulation results).

that the strong second harmonic torque pulsation is induced dueto the interaction of positive and negative rotating componentsof MMF.

In [57], an online estimation technique is proposed, based onthe – model in the frequency domain. The-axis componentof the injected negative sequence component is kept at zero, sothat the machine torque is undisturbed. The-axis componentaffects the flux of the machine. FFT is used to analyze thecurrents and voltages and the fundamental components of thesampled spectral values are used to determine the parameters.Average speed is used for the identification of parameters.The simulation results, obtained using this method, for rotorresistance and rotor inductance identification are given in Fig. 6[57].


In [58], an attempt to create online tests similar to the no-loadand full-load tests is made. In [59], a pseudo-random binary se-quence signal is used for perturbation of the system by injectingit into the -axis and correlating with-axis stator current re-sponse. The sign of correlation gives the direction for rotor timeconstant updating. This method however does not work satisfac-torily under light loads. In [60], a sinusoidal perturbation is in-jected into the flux producing stator current component channel.Though rotor resistance can be estimated under any load andspeed condition, the cost is high due to the installation of twoflux search coils.

Solutions described in [61]–[63] all belong to the samecategory. A very different approach is the one described in[64]–[66], where rotor slot harmonics in stator current aretracked and used for online updating of the rotor time constant.

B. Observer-Based Techniques

In [67], Loron and Laliberté describe the motor model andthe development and tuning of an extended Kalman filter (EKF)for parameter estimation during normal operating conditionswithout introducing any test signals. The proposed method re-quires terminal and rotor speed measurements and is useful forautotuning an indirect field-oriented controller or an adaptivedirect field-oriented controller. In [68], Zai, DeMarco, and Lipopropose a method for detection of the inverse rotor time con-stant using the EKF by treating the rotor time constant as thefifth state variable along with the stator and rotor currents. Thisis similar to a previously mentioned method that injected per-turbation in the system, except that in this case, the perturbationis not provided externally. Instead, the wide-band harmonicscontained in a PWM inverter output voltage serve as an excita-tion. This method works on the assumption that when the motorspeed changes, the machine model becomes a two-input/two-output time-varying system with superimposed noise input. Thedrawbacks are that this method assumes that all other parame-ters are known and the variation in the magnetizing inductancecan introduce large errors into the rotor time constant estima-tion. The application of the EKF for slip calculation for tuningan indirect field oriented drive is proposed in [69]. Using theproperty that in the steady state the Kalman gains are asymptot-ically constant for constant speeds, the Riccati difference equa-tion is replaced by a look-up table that makes the system muchsimpler. The disadvantage is that, although the complexity ofthe Riccati equation is reduced, the full-order EKF is computa-tionally very intensive as compared to the reduced order-basedsystems.

In [70], an online estimation of rotor resistance and the mag-netizing inductance, using continuous form of the Kalman filteris proposed, though the actual estimation is done offline usingthe discrete form of the KF. For using the KF online, it is im-portant to estimate the magnetizing inductance accurately as aninaccurate magnetizing inductance gives improper value of therotor time constant. The method is based on the assumption thatsince the value of the magnetizing inductance follows the motorflux level, the magnetizing inductance can be estimated alongwith the rotor resistance and the rotor time constant using theKF. Other solutions, based on the Kalman filter, are those de-scribed in [71]–[76].

An extended Luenberger observer (ELO) for joint state andparameter estimation was developed in [77]–[79]. In [78] and[79], the authors have provided a comparison of the operationof the ELO and the EKF. In [78], a deterministic approach todesigning the ELO with joint online estimation of motor statesand parameters is presented. In [79], Du and Brdys implementedthe scheme using three different full-order ELOs. The first ELOwas used for rotor time constant and rotor flux estimation. Thesecond one was used for shaft speed and rotor flux estima-tion and the third for shaft speed, load torque, and rotor fluxestimation.

In the case of joint state and parameter estimation, ELO turnsout to be the advantageous solution. Since the induction motor isa nonlinear system, the observations from the EKF at individualtime instants do not lead to an overall optimal observation. Forthe ELO, there is a great deal of flexibility in choosing the gain,unlike the EKF and the rate of convergence can be tuned withoutadversely affecting the steady state accuracy of the observer.The main advantage of the ELO over the EKF is that the ob-server performance can be greatly enhanced by simply adjustingthe gain matrix for rapid convergence of the estimates, whichgives an unbiased estimation in the case of the ELO.

The major problems related to EKF and ELO applications arecomputational intensity and the fact that all the inductances aretreated as constants in the motor equations. In order to improvethe accuracy of the EKF-based rotor resistance identification, itis suggested in [68], [70], and [73] to simultaneously identifythe magnetizing inductance. Another possibility of improvingthe accuracy is the inclusion of the iron loss into the model [72].

C. Model Reference Adaptive System-Based Techniques

The third major group of online rotor resistance adaptationmethods is based on principles of model reference adaptivecontrol. This is the approach that has attracted most of theattention due to its relatively simple implementation require-ments. The basic idea is that one quantity can be calculated intwo different ways. The first value is calculated from referencesinside the control system. The second value is calculated frommeasured signals. One of the two values is independent of therotor resistance (rotor time constant). The difference betweenthe two is an error signal, whose existence is assigned entirelyto the error in rotor resistance used in the control system. Theerror signal is used to drive an adaptive mechanism (PI or Icontroller) which provides correction of the rotor resistance.Any method that belongs to this group is based on utilizationof the machine’s model and its accuracy is therefore heavilydependent on the accuracy of the applied model. The numberof methods that belong to this group is vast [80]–[100] andthey primarily differ with respect to which quantity is selectedfor adaptation purposes. Reactive power-based method is notdependent on stator resistance at all and is probably the mostfrequently applied approach [80]–[85]. A method based onspecial criterion function, derived again from stator voltageand current measurement, is described in [86]. Next, air gappower can be selected as the quantity on which adaptationis based [87], [88]. The reference air gap power is calcu-lated from reference torque and frequency values, while theactual one has to be calculated from measured input power


and estimated stator losses in the machine. Alternatively, dclink power can be measured instead of the machine’s inputpower. In both cases, the accuracy of the method is heavilyundermined by the need to estimate stator loss (and inverterlosses if dc link power is measured). Other possibilities includeselection of torque [83], [89], rotor back emf [90], [91], rotorflux magnitude [83], rotor flux -, and -components [92],stored magnetic energy [93], product of stator-axis currentand rotor flux [94], stator fundamental rms voltage [95], stator-axis or -axis voltage components [94], or stator-axis cur-

rent component [96]. There are a couple of common featuresthat all of the methods of this group share. First, rotor resis-tance adaptation is usually operational in steady-states onlyand is then disabled during transients. Thus, the adaptationcan be based on steady-state model of the machine. Second,in the vast majority of cases, stator voltages are required forcalculation of the adaptive quantity and they have either to bemeasured or reconstructed from the inverter firing signals andmeasured dc link voltage. Third, in most cases, identificationdoes not work at zero speed and at zero load torque. Finally,identification heavily relies on the model of the machine, inwhich, most frequently, all of the other parameters are treatedas constants. This is at the same time the major drawback ofthis group of methods. Indeed, an analysis of the parametervariation influence on accuracy of rotor resistance adaptation[101] shows that when rotor flux magnitude method is appliedand actual leakage inductances deviate by 40% from the valuesused in the adaptation, rotor resistance is estimated with suchan error that the response of the drive becomes worse than withno adaptation at all. Similar study, with very much the sameconclusions, is described in [102] where parameter sensitivityis examined for -axis stator voltage method,-axis statorvoltage method, air gap power method, and reactive powermethod.

Due to high sensitivity of the model-based methods to otherparameter variation effects, it is desirable to account for at leastsome of these in the process of rotor resistance adaptation.Variation of the magnetizing inductance with saturation is forthis reason sometimes taken into account, so that the accu-racy of rotor resistance identification is improved [84], [86],[103], [104]. The other drawback of this group of methods,impossibility of adaptation at zero speed and zero load torque,is successfully eliminated in certain cases. For example, theschemes of [86] and [96] are operational at zero speed and atlight loads although they do fail at zero load.

Operation of a MRAS rotor resistance adaptation scheme isillustrated in Fig. 7 by means of experimentally recorded traces.The method based on special criterion function of [86], whichenables rotor resistance adaptation at zero speed and under lightloading conditions, is implemented. The error function, whichserves as the input into the PI controller, is shown together withthe rotor resistance estimate in per unit (i.e., ratio of rotor re-sistance in the controller to the actual one in the machine). Thedrive operates at zero speed with 0.2 per unit load torque. Theadaptation mechanism operation is illustrated for step variationof rotor resistance used in the controller, of50 . As can beseen from Fig. 7, rotor resistance adaptation works well as theresistance in the controller always returns, after the introduceddisturbances, to the previous value (i.e., to ).

Fig. 7. Experimental recording of the operation of the rotor resistanceadaptation in indirect rotor flux oriented induction machine, using the methodof [86] (scales: time—10 s/div, error function—0.5 p.u./div, rotor resistanceestimate—0.4 p.u./div; 0.75-kW machine). Figure provided courtesy of theauthor, Dr. S.N. Vukosavic.

Other methods of online rotor resistance adaptation, that donot belong to any of the three main groups, are reviewed next.

D. Other Methods

There exist a number of other possibilities for online rotorresistance (rotor time constant) adaptation, such as those de-scribed in [105]–[107]. For example, the method of [107] doesnot require either a special test signal or complex computations.It is based on a special switching technique of the current regu-lated PWM inverter, which allows measurement of the inducedvoltage across the disconnected stator phase. The rotor time con-stant is then identified directly from this measured voltage andmeasured stator currents. The technique provides up to six win-dows within one electric cycle to update the rotor time constant,which is sufficient for all practical purposes. A simulation il-lustration of the method is given in Fig. 8, where estimated andactual rotor time constant are shown. The updating is performedonly twice (rather than six times) during one electrical cycle.

Another possibility, opened up by the recent developmentsin the area of artificial intelligence (AI), is the application ofartificial neural networks for the online rotor time constant(rotor resistance) adaptation. Such a possibility is exploredin [108]–[112]. The other AI technique that can be utilizedfor online rotor time constant adaptation is the fuzzy logic[113]–[120].

Recent emphasis on sensorless vector control has led to a de-velopment of a number of schemes for simultaneous rotor speedand rotor time constant online estimation, that are applicable inconjunction with the appropriate speed estimation model-basedalgorithms [121]–[134]. These methods of rotor time constantestimation belong in vast majority of cases to one of the groupsalready reviewed in this section.

An excellent review of the rotor resistance compensationschemes, available at the time, is the one of [135].

V. ONLINE ESTIMATION OF STATOR RESISTANCE

An industrially accepted standard for sensored rotor flux ori-ented control has become the indirect rotor flux oriented control(IRFOC), which does not require the knowledge of the stator re-sistance. Since the rotor time constant is of crucial importance


Fig. 8. Estimated and actual rotor time constant using the procedure of[107]. The estimate is updated twice per electrical cycle, on the basis of themeasurement of the voltage across a disconnected phase.

for decoupled flux and torque control in IRFOC, the major ef-fort was directed toward development of online techniques forrotor time constant identification, as shown by the review in Sec-tion IV. The situation has however dramatically changed withthe advent of sensorless vector control, which requires rotorspeed estimation. Vast majority of speed estimation techniquesare based on the induction machine model and involve the statorresistance as a parameter in the process of speed estimation. Anaccurate value of the stator resistance is of utmost importancein this case for correct operation of the speed estimator in thelow speed region. If stator resistance is detuned, large speed es-timation errors and even instability at very low speeds result. Itis for this reason that online estimation of stator resistance hasreceived considerable attention during the last decade, as wit-nessed by a large number of publications devoted to this subject[136]–[163]. The other driving force behind the increased in-terest in online stator resistance estimation was the introductionof direct torque control (DTC), which in its basic form relieson estimation of stator flux from measured stator voltages andcurrents. The accuracy of DTC, especially in the low frequencyregion, therefore heavily depends on the knowledge of the cor-rect stator resistance value.

In general, methods of stator resistance estimation are sim-ilar to those utilized for rotor time constant (rotor resistance)estimation and include application of observers, extendedKalman filters, model reference adaptive systems, and artificialintelligence.

VI. ONLINE COMPENSATION OFSATURATION AND IRON LOSS

In contrast to temperature-related resistance variation that isslow, change in machine’s inductances is very rapid. Compen-sation of such variations is therefore most easily accomplishedby means of modified nonlinear machine models that accountfor the variable degree of saturation and invariably ask for theknowledge of an appropriate magnetizing curve. Compensationof main flux saturation, that will simultaneously yield onlinemagnetizing inductance estimation, requires that the basic ma-chine model is modified in such a way that the nonlinearity ofthe magnetizing curve is accounted for. The standard assump-tion is that leakage flux and main flux components of the statorand rotor flux can be treated independently. It is assumed fur-ther on that leakage inductances are constants and that only mainflux saturates.

Derivation of the complete dynamic– axis models thataccount for main flux saturation is rather involved and thefinal form depends on the selected set of state space variables[164]–[166]. However, if one is interested only in modifyingthe rotor flux estimators or the indirect vector controller in sucha way that the main flux saturation is compensated, then thistask can be accomplished in a relatively simple way, becauseall of the estimators and the indirect vector controller are basedon the reduced order models of an induction machine [1],[167]–[170]. Very much the same applies to the utilization of afull order observer for rotor flux estimation, provided that theobserver is constructed using stator current and rotor flux–axis components as state space variables [171]. In all of thesecases, knowledge of the induction machine’s magnetizing curveis a prerequisite, since this characteristic has to be incorporatedinto the control system. Magnetizing curve has therefore to beidentified offline during the commissioning of the drive.

The other existing approaches to online magnetizing induc-tance estimation are predominantly based on standard– axismachine model and they do not requirea-priori knowledge ofthe magnetizing curve. Such is the situation with methods re-ported in [103], [172]–[178]. While the estimation is sufficientlygood in steady state, it is usually of limited accuracy during tran-sients, since the schemes are based on the induction machinemodel that accounts for the main flux saturation in a very ap-proximate way (only through continuous variation of the steadystate magnetizing inductance). A couple of theoretical/ simula-tion attempts were made recently to apply AI techniques (ANNsand FL) in the estimation of the saturated magnetizing induc-tance [179], [180].

Online magnetizing inductance estimation is illustrated inFig. 9 for a model-based method, described in [181], whichrequires knowledge of the magnetizing curve of the machine.An experimental recording of the start-up transient, withset speed of 1350 r/min, is shown. The machine is initiallypremagnetized and the field weakening operation starts at650 r/min by means of the IRFOC scheme described in [34].The magnetizing inductance exhibits substantial variation, fromunsaturated value in premagnetized state to rated saturatedvalue and then back toward unsaturated value as the speed ofrotation in the field weakening region increases.

Rotor leakage flux saturation can be included in the model ofthe machine by making rotor leakage inductance a variable pa-rameter, dependent on the rotor current. Frequency-related vari-ation of rotor parameters can be accounted for by representingthe rotor winding with two branches. A scheme with air gapflux oriented control, that includes both compensation of rotorleakage flux saturation and frequency dependent variation ofrotor parameters, derived from a modified induction machinemodel that accounts for both of these phenomena, is described indetail in [182]–[184]. It is demonstrated in [182]–[184] that, forthe chosen machine in which both of these effects are severelypronounced, vector control scheme derived from such a mod-ified model provides superior performance when compared tothe performance obtainable with vector control scheme based onthe constant parameter model. It is worth noting that the schemeof [182]–[184] additionally compensates for main flux satura-tion as well. The intrinsic difficulty in implementation of sucha vector control scheme is that the number of rotor parameters


Fig. 9. Online estimated magnetizing inductance and speed of rotation forthe accleration transient of a loaded machine, using the method of [181]. Fieldweakening starts at 650 r/min.

that have to be determined during the commissioning is now fiverather than two. One possibility is to use finite element calcu-lations, as suggested in [182]. Alternatively, a series of lockedrotor tests, executed for different current values at various oper-ating frequencies, can be used to experimentally identify offlinethe parameters of this modified model.

Compensation of iron loss is nowadays almost exclusivelydone using the model-based approach, which consists of de-velopment of a modified vector control scheme on the basisof a machine’s model that takes into account the existence ofthe iron loss. Iron loss is represented within the machine modelwith either a parallel or a series equivalent iron loss resistanceand a modified vector control strategy is then derived. This ap-proach requires equivalent iron loss resistance offline identifica-tion at the commissioning stage. The examples of utilization ofthis compensating strategy are numerous and include [8], [40],[185]–[205].

A very different approach to equivalent iron loss identifica-tion and adaptive iron loss compensation is described in [206],[207]. It is based on the fact that an error in the rotor flux po-sition estimate is inevitably introduced by the existence of theiron loss [8]. This error can be brought down to zero only ifthe iron loss-compensating signal relies on the correct value ofthe equivalent iron loss resistance for the given operating condi-tions. An online tuning scheme is hence developed, which pro-vides quasi steady state tuning of the equivalent iron loss resistoron the basis of the stator-axis voltage error signal. The methodrequires stator voltage and current measurement but avoids theneed for offline equivalent iron loss resistance identification.

VII. CONCLUSION

High performance control schemes of an induction motor in-variably rely on the knowledge of at least some of the motor pa-

rameters. Parameter values are used within the drive controllerand they have therefore to be identified offline, during the drivecommissioning. However, since all of the parameters inevitablyvary during the drive operation, it is often desirable to improvethe performance of the drive by adding an online parameter esti-mator. Such a situation has led to development of a large numberof offline parameter identification and online parameter estima-tion methods during the last two decades. An attempt is made inthis paper to review the existing methods and to provide a com-prehensive bibliography on the subject.

The attention is at first focused on self-commissioning andcommissioning techniques that serve the purpose of the offlineparameter identification at the stage of the drive initialization.Available methods for induction motor equivalent circuit param-eter identification are reviewed, along with the possibilities forthe magnetizing curve and equivalent iron loss resistance deter-mination. Since an accurate value of the rotor time constant isof utmost importance for tuned operation of the vast majorityof vector controlled induction motor drives, a substantial spaceis further devoted to the methods that enable online rotor timeconstant estimation. This is followed by discussion of the onlinestator resistance estimation methods, since the exact knowledgeof the stator resistance is of paramount importance in a numberof sensorless vector and direct torque control schemes.

In contrast to the resistance variations that are slow, varia-tions in the magnetizing inductance and iron loss are rapid andare therefore most easily compensated by utilizing a modifiedvector controller, that is developed using an appropriately mod-ified motor model (that accounts for the flux saturation and/oriron loss) as the starting point. Methods aimed at online estima-tion and compensation of the magnetizing inductance variationand the iron loss are surveyed in the last section of the paper.

The paper is illustrated throughout with numerous experi-mental and simulation results, related to different offline param-eter identification and online parameter estimation techniques,taken from various publications of the authors.

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Hamid A. Toliyat (S’87–M’91–SM’96) received thePh.D. degree in electrical engineering from the Uni-versity of Wisconsin-Madison in 1991.

Currently, he is an Associate Professor in theDepartment of Electrical Engineering at Texas A&MUniversity, College Station. Dr. Toliyat is an Editorof IEEE TRANS. ENERGYCONVERSION, an AssociateEditor of IEEE TRANS.POWER ELECTRONICS, anda member of the Editorial Board ofElectric PowerComponents and Systems Journal. His main researchinterests and experience include multiphase variable

speed drives, fault diagnosis of electric machinery, analysis and design ofelectrical machines, and sensorless variable speed drives. He has publishedover 150 technical papers in these fields. He is actively involved in presentingshort courses and consulting in his area of expertise to various industries.

He has received the Texas A&M Select Young Investigator Award in 1999,Eugene Webb Faculty Fellow Award in 2000, NASA Space Act Award in 1999,and the Schlumberger Foundation Technical Award in 2000 and 2001. He is alsoVice-Chairman of IEEE-IAS Electric Machines Committee, and is a memberof Sigma Xi. He is the recipient of the 1996 IEEE Power Eng. Society PrizePaper Award for his paper on theAnalysis of Concentrated Winding InductionMachines for Adjustable Speed Drive Applications—Experimental Results.

Emil Levi (S’89–M’92–SM’99) was born in 1958 inZrenjanin, Yugoslavia. He received the Diploma de-gree from the University of Novi Sad, Yugoslavia,and the M.Sc. and Ph.D. degrees in electrical engi-neering from the University of Belgrade, Yugoslavia,in 1982, 1986, and 1990, respectively.

Currently, he is Professor of Electric Machinesand Drives in the School of Engineering at LiverpoolJohn Moores University, Liverpool, U.K. In 1982,he joined the Department of Electrical Engineeringat the University of Novi Sad, where he became

Assistant Professor in 1991. He joined Liverpool John Moores University,U.K., in May 1992 as a Senior Lecturer. From 1995 till 2000, he was a Readerin Electrical Power Engineering. His main areas of research interest aremodeling and simulation of electric machines, control of high performancedrives, and power electronic converters. He has published over 130 papers,including more than 30 papers in major international journals.

Mona Raina (S’00) received the Bachelor’s degreein electrical engineering from the University ofMadras, India. She is currently pursuing the M.Sc.degree in electrical engineering at Texas A&MUniversity, College Station.

She is currently with Novellus Systems, Inc., SanJose, CA. Her research interests are in the fields ofpower electronics and motor drives and they includethe parameter estimation of induction motors.

Apéndice B

Referencias Recientes

Amrhein, M., Krein, P.T.: Induction Machine Modeling Approach Based on 3-D

Magnetic Equivalent Circuit Framework, Energy Conversion, IEEE Transactions

on 25(2), 339�347, june 2010

Abstract: Developments in power electronics technology, materials, and changing ap-

plication requirements are driving advances in electric machines. Limitations of standard

motor design, particularly for induction machines, restrict performance capabilities in

drive applications. Current computer-aided design tools are inadequate to overcome

these limitations. Lumped-parameter and �nite-element models have limited accuracy

and heavy computational e�ort, respectively. Magnetic equivalent circuits (MEC) avoid

these limitations. This paper presents an induction machine MEC model geared toward

design and based on a 3-D MEC framework introduced in previous work. A matrix for-

mulation suitable for computation is described. Details of mesh generation for the MEC

approach are provided. Force and performance estimation are discussed. Simulations

based on this approach are able to track dynamic e�ects, such as rotor slot torque ripple

contributions. Comparisons are made to a 500 W purpose-built machine. Results from

lumped-parameter and �nite-element models and measurements indicate that MECs,

corrected for local saturation, are a promising option for design tools.

Bastiaensen, C., Deprez, W., Symens, W., Driesen, J.: Parameter Sensitivity and

Measurement Uncertainty Propagation in Torque-Estimation Algorithms for In-

duction Machines, Instrumentation and Measurement, IEEE Transactions on 57(12),

2727�2732, dec. 2008

Abstract: This paper studies measurement uncertainty propagation and parameter

sensitivity based on a torque-estimation model for induction machines. The model is

based on the equation that describes the interaction of rotor �ux and rotor currents.

88

APÉNDICE B. REFERENCIAS RECIENTES 89

Contrary to classical schemes for induction motor control, this is an open-loop scheme;

however, the model still requires di�erent machine parameters. Therefore, the parameter

sensitivity of the model is performed. For validation, the model is implemented in the

real-time environment dSPACE, and a test induction machine is subjected to di�erent

combinations of speed and torque pro�les. The identi�ed model can be used to replace

mechanical torque-measurement devices or as a backup for a low-cost torque sensor.

Bolognani, S., Peretti, L., Zigliotto, M.: Parameter Sensitivity Analysis of an Im-

proved Open-Loop Speed Estimate for Induction Motor Drives, Power Electronics,

IEEE Transactions on 23(4), 2127�2135, july 2008

Abstract: In the last decades, several schemes have been proposed for speed-sensorless

control of induction motor drives. Promising approaches are closed-loop observers, as

model reference adaptive systems (MRAS) and Kalman �lters, and open-loop estima-

tors, which have recently aroused lively interest because of their simplicity and low-cost

pro�le. As known, open-loop algorithms use only motor equations to derive the speed

estimation, whose accuracy turns out to be strictly related to the motor model and

its parameters. This paper presents an improved open-loop speed estimation algorithm,

which uses reference voltages and measured currents, after that a state-of-the-art dead

time compensation has been performed. The often undervalued topic of parameter sen-

sitivity is handled by an accurate mathematical investigation, con�rmed by a complete

set of both simulated and experimental results. The estimated speed is then used as feed-

back signal in a closed loop speed control, and a performance evaluation is accomplished

as well.

Cirrincione, M., Pucci, M., et al: A new experimental application of least-squares

techniques for the estimation of the induction motor parameters, Industry Appli-

cations, IEEE Transactions on 39(5), 1247�1256, sept.-oct. 2003

Abstract: This paper deals with a new experimental approach to the parameter esti-

mation of induction motors with least-squares techniques. In particular, it exploits the

robustness of total least-squares (TLS) techniques in noisy environments by using a new

neuron, the TLS EXIN, which is easily implemented online. After showing that ordinary

least-squares (OLS) algorithms, classically employed in the literature, are quite unre-

liable in the presence of noisy measurements, which is not the case for TLS, the TLS

EXIN neuron is applied numerically and experimentally for retrieving the parameters

of an induction motor by means of a test bench. Additionally, for the case of very noisy

data, a re�nement of the TLS estimation has been obtained by the application of a

constrained optimization algorithm which explicitly takes into account the relationships

among the K-parameters. The strength of this approach and the enhancement obtained


is fully demonstrated �rst numerically and then veri�ed experimentally.

Cirrincione, M., Pucci, M., et al: Constrained minimization for parameter estima-

tion of induction motors in saturated and unsaturated conditions, Industrial Elec-

tronics, IEEE Transactions on 52(5), 1391�1402, oct. 2005

Abstract: This paper presents the analytical solution of the application of the cons-

trained least-squares (LS) minimization to the online parameter estimation of induction

machines. This constrained minimization is derived from the classical linear dynamical

model of the induction machine, and therefore it is able to estimated the steady-state

value of the electrical parameters of the induction motor under di�erent magnetization

levels. The methodology has been veri�ed in simulation with a dynamical model which

takes into account iron path saturation e�ects. After a description of the experimen-

tal setup and its signal processing systems, the methodology is veri�ed experimentally

under saturated and unsaturated working conditions, and the results are discussed and

compared to those obtained with a classical unconstrained ordinary LS technique.

Duran, M.J., Duran, J.L., Perez, F., Fernandez, J.: Induction-motor sensorless

vector control with online parameter estimation and overcurrent protection, In-

dustrial Electronics, IEEE Transactions on 53(1), 154�161, feb. 2005

Abstract: Sensorless drive control has been widely studied in recent years due to the

numerous advantages regarding potential failures of position sensors, especially in ap-

plications such as automotive or aerospace. Among vector-control drives, indirect rotor-

�ux-oriented control (IRFOC) type is one of the most popular and tested options. Ho-

wever, it is still a challenging �eld since several aspects can be improved, such as the

low-speed behavior, parameter detuning, and current control. The present scheme in-

cludes temperature estimation to correct the deviation in steady state, a new control

scheme with skin-e�ect estimation to improve the transient accuracy, and overcurrent

protection to be able to control the stator currents while allowing a good performance.

The parameter estimation is carried out using lumped-parameter models, the control

scheme is modi�ed and is able to account for static friction, and the overcurrent pro-

tection improves the performance allowing transient currents over the rated value. The

validity and usefulness of the proposed scheme is experimentally tested on a TMS320C31

digital signal processor (DSP) from the Simulink/Matlab environment.

Kang, Gubae, Kim, Junha, Nam, Kwanghee: Parameter estimation scheme for

low-speed linear induction motors having di�erent leakage inductances, Industrial

Electronics, IEEE Transactions on 50(4), 708�716, aug. 2003

Abstract: Linear induction motors (LIMs) are characterized by a large air gap and,


as a result, large leakage inductances. Moreover, due to its unslotted structure and the

absence of end rings in the secondary part, the primary leakage inductance is much

larger than the secondary leakage inductance. Such di�erences prevent us from using

parameter estimation methods developed for the rotary motors. We propose a parameter

estimation scheme for a LIM that utilizes a pulsewidth-modulation inverter. It yields

mutual inductance by numerically solving a third-order polynomial. Direct estimation

of mutual inductance enables us to calculate the leakage inductances separately. The

proposed estimation scheme is tested with various example models and with a real 20-

kW single-sided LIM.

Kenné, G., Simo, R.S., Lamnabhi-Lagarrigue, F., et al: An Online Simpli�ed Ro-

tor Resistance Estimator for Induction Motors, Control Systems Technology,

IEEE Transactions on 18(5), 1188�1194, sept. 2010

Abstract: This brief presents an adaptive variable structure identi�er that provides

�nite time convergent estimate of the induction motor rotor resistance under feasible

persistent of excitation condition. The proposed rotor resistance scheme is based on the

standard dynamic model of induction motor expressed in a �xed reference frame atta-

ched to the stator. The available variables are the rotor speed, the stator currents and

voltages. Experiments show that the proposed method achieved very good estimation

of the rotor resistance which is subjected to online large variation during operation of

the induction motor. Also, the proposed online simpli�ed rotor resistance estimator is

robust with respect to the variation of the stator resistance, measurement noise, mo-

deling errors, discretization e�ects and parameter uncertainties. Important advantages

of the proposed algorithm include that it is an online method (the value of Rr can

be continuously updated) and it is very simple to implement in real-time (this feature

distinguishes the proposed identi�er from the known ones).

Khang, H.V., Arkkio, A.: Parameter estimation for a deep-bar induction motor,

Electric Power Applications, IET 6(2), 133�142, february 2012

Abstract: A triple-cage circuit of a deep-bar induction motor is numerically identi�ed

in the time domain. The parameters are estimated either in the transient state or in

the steady state by using a curve-�tting technique. The data used for estimation were

obtained from �nite-element analysis and measurements using a 37 kW induction motor.

The accurate parameters allow the circuit model to well represent the operating motor

or predict the performance of the motor. The goodness and limitations of the method

are also discussed.

Kim, Jong-Wook, Kim, Taegyu, Park, Youngsu, et al: On-Load Motor Parame-


ter Identi�cation Using Univariate Dynamic Encoding Algorithm for Searches,

Energy Conversion, IEEE Transactions on 23(3), 804�813, sept. 2008

Abstract: Parameter identi�cation of an induction motor has long been studied either

for vector control or fault diagnosis. This paper addresses parameter identi�cation of

an induction motor under on-load operation. For estimating electrical and mechanical

parameters in the motor model from the on-load data, unmeasured initial states and

load torque pro�le have to be also estimated for state evaluation. Since gradient of cost

function for the auxiliary variables are hard to be derived, direct optimization methods

that rely on computational capability should be employed. In this paper, the univariate

dynamic encoding algorithm for searches (uDEAS), recently developed by the authors, is

applied to the identi�cation of whole unknown variables with measured voltage, current,

and velocity data. Pro�les of motor parameters estimated with uDEAS are reasonable,

and estimation time is 2 s on average, which is quite fast as compared with other direct

optimization methods.

Kral, C., Habetler, T.G., Harley, R.G., Pirker, F., et al: Rotor temperature es-

timation of squirrel-cage induction motors by means of a combined scheme of pa-

rameter estimation and a thermal equivalent model, Industry Applications, IEEE

Transactions on 40(4), 1049�1057, july-aug. 2004

Abstract: This paper deals with a rotor temperature estimation scheme for fan-cooled

mains-fed squirrel-cage induction motors. The proposed technique combines a rotor re-

sistance estimation method with a thermal equivalent circuit. Usually, rotor resistance

estimation works quite well under rated load conditions. By contrast, if the motor is

slightly loaded, rotor resistance estimation becomes inaccurate due to the small slip.

Therefore, rotor temperature estimation under low-load conditions may be estimated

by a thermal equivalent model. In order to determine the rotor resistance and, thus,

rotor temperature accurately, several machine parameters have to be obtained in advan-

ce. Load tests provide the leakage reactance and the iron losses of the induct machine.

The stator resistance has to be measured separately. The parameters of the thermal

equivalent model are a thermal resistance and a thermal capacitance. These parameters

are derived from a heating test, where the reference temperature is provided from the

parameter model in the time domain. This lumped thermal parameter model is based

on the assumption that the total rotor temperature increase is caused by the total sum

of the losses in the induction machine. Measuring results of a 1.5-kW and an 18.5-kW

four-pole low-voltage motor and a 210-kW four-pole high-voltage motor are presented

and compared.

Laroche, E., Sedda, E., Durieu, C.: Methodological Insights for Online Estima-


tion of Induction Motor Parameters, Control Systems Technology, IEEE Tran-

sactions on 16(5), 1021�1028, sept. 2008

Abstract: This paper presents contributions for online estimation of states and para-

meters of an induction motor with Kalman �lter. In order to ensure a good level of

con�dence of the estimation, a suitable methodology is proposed and two of its main

points are investigated. First, an original method is used for tuning the covariance ma-

trices, relying on the evaluation of the state noise due to modeling errors. Second, an

observability analysis is developed, allowing to validate the model and the proposed

excitation trajectory. Experimental results show that, with the chosen input signal, the

parameters can be estimated with good accuracy in less than two seconds.

Laroche, E., Boutayeb, M.: Identi�cation of the Induction Motor in Sinusoidal Mo-

de, Energy Conversion, IEEE Transactions on 25(1), 11�19, march 2010

Abstract: This paper presents an original method for estimation of the induction motor

parameters, including iron loss, with measurements in the sinusoidal steady-state mode.

Based on a change of parameter yielding a model that is linear with respect to the new

set of parameters, this method allows parameter estimation with low computation cost

and without being concerned by local minima problems. This method is evaluated and

compared with two other methods from the literature, which are also based on sinusoi-

dal steady-state measurements: a standard method based on two elementary tests and a

method where parameters are estimated through minimization of a nonconvex distance

criterion with a nonlinear programming algorithm. For the considered methods, sensiti-

vities to measurement and modeling errors are evaluated, emphasizing the performances

of the original method. Experimental results, obtained on a setup of 1.5 kW rated power,

are provided.

Madawala, U.K., Baguley, C.A.: Transient Modeling and Parameter Estimation of

Field Aligned Starting, Energy Conversion, IEEE Transactions on 23(1), 15�24,

march 2008

Abstract: Field aligned starting (FAS) is a new technique for starting three-phase cage

induction motors on single-phase supply lines with minimal inrush currents. It uses a

simple energy storage system to generate a very high impulsive torque by which the

motor is started before being connected to the mains supply. The spinning motor can

then be connected to the mains to operate in a standard Steinmetz connection without

incurring high inrush currents, if the moment of mains connection is properly timed. This

paper presents a transient model and an accompanying parameter estimation method

through which the transient behavior of three-phase induction motors operated with FAS

can be analyzed. The proposed model is based on instantaneous symmetrical components


and is used to investigate a 3 kW motor started under various operating conditions. The

proposed parameter estimation method and the developed transient model are both

validated by experimental results.

Pedra, J., Corcoles, F.: Estimation of induction motor double-cage model parame-

ters from manufacturer data, Energy Conversion, IEEE Transactions on 19(2),

310�317, june 2004

Abstract: This paper presents a numerical method for the estimation of induction

motor double-cage model parameters from standard manufacturer data: full load me-

chanical power (rated power), full load reactive electrical power, breakdown torque, and

starting current and torque. A model sensitivity analysis for the various electrical pa-

rameters shows that stator resistance is the least signi�cant parameter. The nonlinear

equations to be solved for the parameters determination are formulated as a minimi-

zation problem with restrictions. The method has been tested with 223 motors from

di�erent manufacturers, with an average value of the normalized residual error of 1.39

middot;10-2. The estimated parameters of these motors are graphically represented as

a function of the rated power.

Pedra, J.: Estimation of typical squirrel-cage induction motor parameters for dy-

namic performance simulation, Generation, Transmission and Distribution, IEE

Proceedings- 153(2), 137�146, march 2006

Abstract: Whenever the transient behaviour of a squirrel-cage induction motor is stu-

died, double-cage model parameters are necessary. These parameters are usually hard to

obtain. An estimation of typical double-cage induction parameters with regression-based

equations that depend on mechanical power and line voltage is proposed. The starting

current and torque, maximum torque, full-load slip and e�ciency, calculated with the

estimated typical parameters, are compared with the data of 608 low-voltage induction

motors obtained from di�erent manufacturers. The features of di�erent power induction

motors are well approximated with the proposed equations.

Pedra, J.: On the Determination of Induction Motor Parameters From Manufacturer

Data for Electromagnetic Transient Programs, Power Systems, IEEE Transac-

tions on 23(4), 1709�1718, nov. 2008

Abstract: In this paper, an inaccuracy of the method for induction motor parameter

determination used in EMTP type simulation programs (ATP, EMTP96, EMTDC) is

discussed. The paper presents a numerical method for the estimation of induction motor

double-cage model parameters from standard manufacturer data, i.e., full load mecha-

nical power (rated power), full load power factor, maximum torque, starting torque,


starting current and full load e�ciency. The nonlinear equations to obtain the motor

parameters have been solved with a modi�ed Newton method that always converges

if the problem is well de�ned (that is, a solution exists). The method has been tested

with 608 motors from di�erent manufacturers. The manufacturer parameters that have

a greater in�uence on convergence are the maximum torque and the starting current.

The cases where the method does not converge have been studied and the range of

variation of the maximum torque or starting current which determines where the data

are well de�ned (that is, a solution exists) has been calculated.

Pellegrino, G., Guglielmi, P., Armando, E., Bojoi, R.I.: Self-Commissioning Al-

gorithm for Inverter Nonlinearity Compensation in Sensorless Induction Motor

Drives, Industry Applications, IEEE Transactions on 46(4), 1416�1424, july-aug.

2010

Abstract: In many sensorless �eld-oriented control schemes for induction motor (IM)

drives, �ux is estimated by means of measured motor currents and control reference

voltages. In most cases, �ux estimation is based on the integral of back-electromotive-

force (EMF) voltages. Inverter nonlinear errors (dead-time and on-state voltage drops)

introduce a distortion in the estimated voltage that reduces the accuracy of the �ux

estimation, particularly at low speed. In the literature, most of the compensation tech-

niques of such errors require the o�ine identi�cation of the inverter model and o�ine

postprocessing. This paper presents a simple and accurate method for the identi�cation

of inverter parameters at the drive startup. The method is integrated into the control

code of the IM drive, and it is based on the information contained in the feedback signal

of the �ux observer. The procedure applies, more in general, to all those sensorless ac

drives where the �ux is estimated using the back-EMF integration, not only for IM drives

but also for permanent-magnet synchronous motor drives (surface-mounted permanent

magnet and interior permanent magnet). A self-commissioning algorithm is presented

and tested for the sensorless control of an IM drive, implemented on a �xed-point DSP.

The feasibility and e�ectiveness of the method are demonstrated by experimental results.

Peretti, L., Zigliotto, M.: Automatic procedure for induction motor parameter es-

timation at standstill, Electric Power Applications, IET 6(4), 214�224, april 2012

Abstract: The study presents a self-commissioning procedure for the automatic pa-

rameter estimation of three-phase induction motor drives. The procedure consists of a

step-by-step approach with di�erent test signals to obtain the parameter values while

maintaining the motor at standstill. The actual implementation is capable of mapping

both inverter and motor parameters non-linearities, providing accurate data for the tu-

ning of common current regulators and for advanced sensorless drives as well. Theoretical


and experimental results are provided, proving the e�ectiveness of the procedure.

Proca, A.B., Keyhani, A.: Sliding-Mode Flux Observer With Online Rotor Para-

meter Estimation for Induction Motors, Industrial Electronics, IEEE Transactions

on 54(2), 716�723, april 2007

Abstract: Field orientation techniques without �ux measurements depend on the para-

meters of the motor, particularly on the rotor resistance or rotor time constant (for rotor

�eld orientation). Since these parameters change continuously as a function of tempera-

ture, it is important that the value of rotor resistance is continuously estimated online. A

fourth-order sliding-mode �ux observer is developed in this paper. Two sliding surfaces

representing combinations of estimated �ux and current errors are used to enforce the

�ux and current estimates to their real values. Switching functions are used to drive the

sliding surfaces to zero. The equivalent values of the switching functions (low-frequency

components) are proven to be the rotor resistance and the inverse of the rotor time

constant. This property is used to simultaneously estimate the rotor resistance and the

inverse of the time constant without prior knowledge of either the rotor resistance or

the magnetizing inductance. Simulations and experimental results prove the validity of

the proposed approach.

Rao, S., Buss, M., Utkin, V.: Simultaneous State and Parameter Estimation in In-

duction Motors Using First- and Second-Order Sliding Modes, Industrial Electro-

nics, IEEE Transactions on 56(9), 3369�3376, sept. 2009

Abstract: We address the problem of meeting the requirements of controllers for the

control of speed of induction motors, but under the constraint of not using speed and �ux

sensors: the so-called ldquosensorlessrdquo control problem. We o�er an observer-based

solution and present the design of two observers which provide motor speed, �ux, and

rotor resistance estimates simultaneously. Both observers, based on the rotor �ux model

in the stationary reference frame, are designed with inputs that enforce �rst- (conven-

tional) and second-order sliding modes, respectively, on appropriately chosen switching

surfaces. We present experimental results of the estimation procedure to demonstrate

that only current and input voltage measurements are needed for accurate speed and

�ux estimation even in the presence of unknown parameters.

Raptis, D.S., Kladas, A.G., Tegopoulos, J.A.: Accurate Induction Motor Esti-

mator Based on Magnetic Field Analysis, Magnetics, IEEE Transactions on 44(6),

1574�1577, june 2008

Abstract: Accurate induction motor parameter estimation is crucial for electrical dri-

ves. This paper presents a methodology enabling accurate estimation for induction mo-


tors response on pulse-width modulation inverter supply based on magnetic �eld analy-

sis. Consideration of variations of magnetizing and iron loss parameters with loading in

conjunction with harmonic iron loss associated to leakage inductances is essential for

the estimator precision.

Salmasi, F.R., Najafabadi, T.A., Maralani, P.J.: An Adaptive Flux Observer With

Online Estimation of DC-Link Voltage and Rotor Resistance For VSI-Based In-

duction Motors, Power Electronics, IEEE Transactions on 25(5), 1310�1319, may

2010

Abstract: An adaptive observer is proposed for concurrent estimation of rotor �uxes,

unknown dc-link voltage, and rotor resistance of induction motor with voltage source

inverters. For the reported �ux observers and parameter estimators, the implied assum-

ption had been that the input voltages were measured by sensors, or presumed to be

known, for example while plug-in converters were utilized. However, this assumption

may not be valid due to bus voltage variations, such as for battery powered servo drives,

or propulsion system in hybrid electric vehicles. A drift in input voltage measurement

results in state and parameter estimation errors. The proposed observer is capable of

concurrent �ux and dc-link voltage observation with online tuning of rotor resistance,

while the phase currents and rotor speed are measured. No terminal voltage measu-

rement is needed for this adaptive observer. The stability of the proposed observer is

proved based on a Lyapunov function. Besides, it is shown that injection of a diagnosis

signal is necessary to force the estimated parameters converge to the right values re-

gardless of their initial conditions. A complex programmable logic device is implemented

for the experimental setup, which controls an intelligent power module including insu-

lated gate bipolar transistors. Extensive simulation and experimental tests verify the

asymptotic convergence of the proposed observer.

Salmasi, F.R., Najafabadi, T.A.: An Adaptive Observer With Online Rotor and

Stator Resistance Estimation for Induction Motors With One Phase Current Sen-

sor, Power Electronics, IEEE Transactions on 26(3), 959�966, sept 2011

Abstract: An adaptive observer with online estimation of rotor and stator resistances is

considered for induction motors,while only one phase current ismeasured. Generally, an

induction motor drive controller needs at least two phase-current sensors. Nevertheless,

failure of one current sensor results in degradation of motor drive performance and re-

liability, and also state and parameter estimation errors. Furthermore, any controller or

observer in induction motor drives should be robust to rotor and stator resistance varia-

tions. The proposed observer is capable of concurrent estimation of stator currents and

rotor �uxes with online tuning of rotor and stator resistances, while rotor speed and only


one phase current are available. Stability and convergence of the observer are analytica-

lly veri�ed based on the partial stability theory. The observer equations and adaptation

laws can be easily implemented, which makes it attractive for industrial development

of fault tolerant drives. A complex programmable logic device is implemented for the

experimental setup that controls an intelligent power module including insulated gate

bipolar transistors . Extensive simulation and experimental tests verify the asymptotic

convergence of the proposed observer.

Sonnaillon, M.O., Bisheimer, G., et al: Online Sensorless Induction Motor Tem-

perature Monitoring, Energy Conversion, IEEE Transactions on 25(2), 273�280,

june 2010

Abstract: A sensorless internal temperature monitoring method for induction motors

is proposed in this paper. This method can be embedded in standard motor drives, and

is based on the stator windings resistance variation with temperature. A small AC signal

is injected to the motor, superimposed to the power supply current, in order to measu-

re the stator resistance online. The proposed method has the advantage of requiring a

very low-level monitoring signal, hence the motor torque perturbations and additional

power losses are negligible. Furthermore, temperature estimations do not depend on the

knowledge of any other motor parameter, since the method is not based on a model.

This makes the proposed method more robust than model-based methods. Experimental

results that validate the proposal are also presented.

Vaclavek, P., Blaha, P.: Lyapunov-function-based �ux and speed observer for AC

induction motor sensorless control and parameters estimation, Industrial Electro-

nics, IEEE Transactions on 53(1), 138�145, feb. 2005

Abstract: AC induction motors have become very popular for motion-control appli-

cations due to their simple and reliable construction. Control of drives based on ac

induction motors is a quite complex task. Provided the vector-control algorithm is used,

not only the rotor speed but also the position of the magnetic �ux inside the motor

during the control process should be known. In most applications, the �ux sensors are

omitted and the magnetic-�ux phasor position has to be calculated. However, there are

also applications in which even speed sensors should be omitted. In such a situation, the

task of state reconstruction can be solved only from voltage and current measurements.

In the current paper, a method based on deterministic evaluation of measurement using

the state observer based on the Lyapunov function is presented. The method has been

proven in testing on a real ac induction machine.

Valenzuela, M.A., Reyes, P.: Simple and Reliable Model for the Thermal Protec-


tion of Variable-Speed Self-Ventilated Induction Motor Drives, Industry Applica-

tions, IEEE Transactions on 46(2), 770�778, march-april 2010

Abstract: Self-ventilated variable-speed induction motors cannot be protected using

standard overload relays. At reduced operating speeds, the heat-loss dissipation capabi-

lity is deteriorated, and the motor could be subjected to overheating, even with operating

currents below the rated value. The practical solution generally employed is to oversize

the motor in order to avoid overheating at reduced speeds. This paper proposes and eva-

luates a third-order thermal model capable of giving good temperature-rise predictions

for any arbitrary variable-load variable-speed operating cycle. The key issues addressed

are the estimation of the thermal capacitances of the model and the variation of the

frame-to-ambient thermal resistance with the operating frequency (speed). Evaluation

is done in an experimental totally enclosed fan-cooled induction motor �tted with ther-

mocouples in the stator winding and frame. The model parameters are �rst obtained

using the identi�cation algorithm proposed, and then, the model is used to predict the

temperature rise in the stator and frame during variable-speed operation.

Wlas, M., Krzemiriski, Z., Toliyat, H.A.: Neural-Network-Based Parameter Es-

timations of Induction Motors, Industrial Electronics, IEEE Transactions on 55(4),

1783�1794, april 2008

Abstract: The goal of this paper is to use arti�cial neural networks (ANNs) for online

identi�cation of induction-motor parameters. ANNs such as feedforward and recurrent

networks will be used to develop an ANN as a memory for remembering the estimated

parameters and for computing the parameters during transients. Simulations and expe-

rimental results will be presented for a nonlinear control system of induction motors. A

digital signal processor will be used for the experimental investigation.

Zaky, M.S., Khater, M.M., Shokralla, et al: Wide-Speed-Range EstimationWith

Online Parameter Identi�cation Schemes of Sensorless Induction Motor Drives,

Industrial Electronics, IEEE Transactions on 56(5), 1699�1707, may 2009

Abstract: Recently, the development of speed estimation methods for sensorless control

of induction motor drives has found great interest in the research community. Parame-

ter adaptation schemes play an important role for better speed estimation over a wide

range from zero to high levels beyond the rated speed. Therefore, parallel identi�cation

schemes for both speed and stator resistance of sensorless induction motor drives are

proposed for a wide range of speed estimation. These estimation algorithms combine a

sliding-mode current observer with Popov's hyperstability theory. Low- and zero-speed

operations of the proposed sliding-mode-observer (SMO)-based speed estimation com-

bined with an online stator resistance adaptation scheme are investigated. A modi�ed


SMO-based speed estimation scheme for �eld-weakening operation is also introduced.

The mismatch problem of magnetizing inductance in the �eld-weakening region is trea-

ted by an online identi�cation scheme. Magnetizing inductance, estimated in this way, is

further utilized within the SMO, so that the main �ux saturation variation is taken into

consideration. The performance of the proposed SMO and its speed estimation accuracy,

with an indirect �eld-oriented controlled induction motor, are veri�ed by simulation and

experimental results over a wide speed range from zero to high values beyond the base

speed.

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