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Capítulo 5: Cálculo en régimen transitorio de potenciales en sistemas de puesta a tierra

5.1 Introducción En este capítulo se presenta un método sistemático, que permite analizar el comportamiento transitorio de la red de puesta a tierra en terrenos uniformes y multiestratificados horizontalmente. En los capítulos precedentes se han descrito los fundamentos de este capítulo, que es donde se incluyen las principales contribuciones de este trabajo. Si bien en la actualidad el diseño de la red de puesta a tierra se fundamenta en criterios de protección a personas y animales [2], y estos criterios consideran únicamente el comportamiento de la red de puesta a tierra en régimen permanente, cada día se hace más notoria la necesidad de evaluar la respuesta de estos sistemas ante perturbaciones transitorias de alta frecuencia. Aun cuando las energías involucradas en los períodos transitorios no afectasen a los seres humanos o a los animales que se encuentran en las cercanías de una red de puesta a tierra, su consideración es importante, ya que los efectos de estas excitaciones pueden repercutir desfavorablemente en la protección de los equipos de la subestación y en los sistemas de comunicaciones, protección y control [70]. Uno de los primeros modelos de representación del comportamiento transitorio de la red de puesta a tierra lo plantea Rüdemberg [101]. En este modelo, ilustrado en la Fig. 5.1, se representa a la red de tierra en parámetros concentrados mediante una conductancia G y una capacitancia C en paralelo, en serie con una inductancia L. Para representar la rigidez dieléctrica finita del terreno se coloca en paralelo con la conductancia a tierra un descargador.

L

G C

Fig. 5.1 Modelo transitorio concentrado de puesta a tierra

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Bewley[8], Sunde[107], Bellaschi[6] y otros [31,63,73,117,118,119] desarro-llaron expresiones analíticas que permiten evaluar el comportamiento transitorio de redes elementales de puesta a tierra. En estos trabajos se representa la red de puesta a tierra a través de parámetros distribuidos mediante el modelo de la línea de transmisión en un medio con pérdidas. En la figura 5.2 se muestra el modelo básico utilizado en estos trabajos. El principal inconveniente de este método es que solamente se puede aplicar a sistemas de puesta a tierra elementales ya que no contempla los acoplamientos existentes entre electrodos cercanos de una red compleja de puesta a tierra.

LI

hρ, ε, µ

r, L r, L r, L r, L

G G G GC C C C

∆L

A O

A

OO

Jx

Ix

Fig. 5.2 Modelo de la línea de transmisión con pérdidas Gupta y Thapar [39] desarrollaron fórmulas empíricas que permiten evaluar el comportamiento de mallas rectangulares de puesta a tierra introduciendo el concepto de área efectiva o área de influencia. Ramamoorty [97] utilizó un modelo en parámetros concentrados para analizar sistemas de puesta a tierra complejos. En este modelo se consideran los acoplamientos inductivos mutuos entre conductores paralelos adyacentes. El modelo no contempla ni las resistencias, ni las capacitancias mutuas entre electrodos, tampoco tiene en cuenta impedancias mutuas de elementos que no se encuentren en la propia malla rectangular. El análisis de este circuito equivalente mediante variables de estado, permite determinar intensidades y tensiones en los elementos del modelo, pero no permite calcular potenciales en un punto determinado del terreno ni obtener la distribución de corriente en el subsuelo. Este modelo representa a la red de tierra para frecuencias relativamente bajas.

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Meliopoulos, Moharam y Papalexopoulos [76,94,93] desarrollaron un método de análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de puesta a tierra basado en la técnica de los elementos finitos. Este método permite analizar sistemas complejos de puesta a tierra compuestos por elementos rectilíneos. Cada uno de estos segmentos se modela mediante un segmento de línea de transmisión con pérdidas representada por parámetros distribuidos. Los parámetros de cada uno de los segmentos se obtienen a partir de la solución cuasi-estática de las ecuaciones de Maxwell. El modelo tiene en cuenta la variación de los parámetros con la frecuencia. En este método se resuelven las ecuaciones diferenciales para un medio infinito y uniforme, pero corrige el régimen permanente realizando un reescalamiento de la solución a partir del cálculo de los potenciales para un terreno biestratificado con excitación constante en el tiempo. El modelo desarrollado en estos trabajos es rápido y eficiente pero está limitado a frecuencias inferiores de 1.0 MHz debido a la aproximación cuasi-estática utilizada al resolver las ecuaciones de Maxwell. El modelo puede ser incorporado en algoritmos de cálculo de transitorios electromagnéticos tales como el EMTP “Electro Magnetic Transient Program” [32,103]. Grcev [40,41,42] desarrolló un método de análisis de la respuesta transitoria de redes de puesta a tierra para una configuración cualquiera de los electrodos, válido para toda frecuencia y fundamentado en el método de los momentos [45,47], la solución numérica de las integrales de Sommerfeld [90,91,118] y la aplicación de la transformada rápida de Fourier - FFT- [15,19]. El método desarrollado por Grcev resuelve de forma completa las ecuaciones de Maxwell utilizando las funciones de Green. Se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema de puesta a tierra excitando la red con un impulso unitario. Una vez obtenida esta respuesta se determina la solución para cualquier otra excitación mediante la transformada inversa de Fourier. El método no incluye estratificación del terreno, asume que el subsuelo está constituido por un semiespacio conductivo semi-infinito con un plano que lo separa del aire. Este método permite gran exactitud cuando el sistema se excita con frecuencias muy altas, sin embargo requiere gran cantidad de tiempo de procesamiento para evaluar las integrales de Sommerfeld. Liew[63], Loboda[64,65], Kosztaluk[59] y Kameyama [56] han desarrollado modelos que permiten analizar el comportamiento de los sistemas de puesta a tierra ante excitaciones transitorias que producen ionización del subsuelo. Estos trabajos permiten analizar electrodos sencillos. Velázquez [117] varía el radio de los electrodos para tener en cuenta el fenómeno de la ionización. Para que una inyección transitoria aplicada en el sistema de puesta a tierra produzca ionización del

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medio conductivo, se requieren grandes energías. No es común incorporar la ionización del medio en los cálculo de transitorios en redes complejas de puesta a tierra ya que este es un fenómeno poco frecuente y difícil de analizar porque no es lineal. Además, su efecto fundamental consiste en reducir los gradientes de potencial presentes en el medio [39,41]. En este capítulo se presenta un método general que permite analizar el comportamiento de un sistema de puesta a tierra inmerso en terrenos uniformes o multiestratificados, excitados por una inyección de corriente transitoria. Se utiliza el método de los momentos [45], la solución en función de la frecuencia de las ecuaciones de Maxwell en un medio conductivo multiestratificado y la transformación discreta rápida de Fourier [15,19] para determinar la distribución temporal de las corrientes en la red de puesta a tierra. Una vez conocida la distribución de las corrientes en los electrodos de la red se calcula el campo eléctrico E, la densidad de corriente J, o la fuerza electromotriz en cualquier región del espacio. En todo momento se supone que el sistema es lineal debido a que no se considera la posible ionización del terreno. En el desarrollo de este tema se introduce en primer lugar, el cálculo del campo eléctrico producido por un dipolo diferencial de corriente, orientado horizontal o verticalmente, en un medio conductivo uniforme. Se plantean las soluciones de la ecuación de Helmholtz considerando la simetría del medio y las condiciones de contorno en la superficie de separación. De esta forma se obtienen las funciones indeterminadas que definen el potencial magnético vectorial. El procedimiento anterior se repite para subsuelos con varias capas horizontales, definiendo la solución en cada medio y las condiciones de contorno en cada frontera. Se desarrolla un método original para evaluar las funciones indeterminadas, semejante al propuesto en los capítulos precedentes. Conocido el campo en terrenos uniformes y multiestratificados, se plantea un método que permite obtener la distribución de las corrientes por un conjunto de electrodos, mediante la evaluación de las impedancias propias y mutuas de circuito abierto de cada elemento. Estas impedancias se calculan por integración del campo eléctrico en la superficie donde se encuentran los conductores. Se discute el análisis en el tiempo de las respuestas y la determinación de campos, potenciales, impedancias y densidad de corriente. Finalmente se plantea un algoritmo de cálculo de transitorios en redes de tierra que será evaluado en los capítulos siguientes.

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5.2 Análisis transitorio en terrenos uniformes Para analizar el comportamiento de las redes de puesta a tierra en régimen transitorio, es necesario utilizar las ecuaciones que definen el campo eléctrico y magnético de un dipolo elemental de corriente, así como las condiciones de contorno para los campos en la frontera de separación entre los medios. En general se demuestra a partir de 2.51, que:

Ex = j ω [ γ21 ∇ ( ∇. A )x - Ax ] = j ω [

γ21 (

∂x2

∂2Ax + ∂x∂y∂2Ay

+ ∂x∂z∂2Az ) - Ax ]

5.1

Ey = j ω [ γ21 ∇ ( ∇. A )y - Ay ] = j ω [

γ21 (

∂y2

∂2Ay + ∂y∂x∂2Ax

+ ∂y∂z∂2Az ) - Ay ]

5.2

Ez = j ω [ γ21 ∇ ( ∇. A )z - Az ] = j ω [

γ21 ( ∂z∂x

∂2Ax + ∂z∂y∂2Ay

+ ∂z2

∂2Az ) - Az ]

5.3 y a partir de 2.8 y 2.37:

Hx = µ1 (∇x A )x = µ

1 ( ∂y∂Az - ∂z

∂Ay )o o 5.4

Hy = µ1 (∇x A )y = µ

1 ( ∂z∂Ax - ∂x

∂Az )o o

5.5

Hz = µo1 (∇x A)z = µo

1 ( ∂z∂Ay - ∂y

∂Ax ) 5.6

Las condiciones de contorno que tienen que satisfacer el campo eléctrico E y la intensidad de campo magnético H en la superficie del terreno -z=0-, de acuerdo con las ecuaciones de continuidad 2.9 y 2.12 para los campos tangenciales a la superficie del terreno, son:

Eox (r, 0, ψ) = E1x

(r, 0, ψ) ; Eoy (r, 0, ψ) = E1y

(r, 0, ψ) 5.7

Hox (r, 0, ψ) = H1x

(r, 0, ψ) ; Hoy (r, 0, ψ) = H1y

(r, 0, ψ) 5.8

A partir de las expresiones anteriores, se puede determinar el potencial magnético vectorial para dipolos de corriente ubicados horizontal o verticalmente.

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5.2.1 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente en la dirección horizontal de un terreno uniforme

En la figura 5.3 se muestra un dipolo elemental de corriente δI, orientado según la dirección horizontal (eje x), a una profundidad s de la superficie de un terreno de conductividad σ1, permeabilidad µo y permitividad ε1 constantes. En este

caso, el potencial magnético vectorial A es dependiente del ángulo azimutal ψ, pero la componente del vector A según la dirección del eje y es nula [107].

s

z

r, xA

A 1

o

µ , ε , σ = 0oo o

µ , ε , σ 1 1

γo

γ1

δI

o

Fig. 5.3 Dipolo elemental orientado según la dirección horizontal, en un terreno uniforme Particularizando las expresiones 5.1 a 5. 6, en este caso:

Ex = j γ2ω [

∂x2

∂2Ax + ∂x∂z∂2Az - γ2 Ax ]

5.9

Ey = j γ2ω [ ∂y∂x

∂2Ax + ∂y∂z∂2Az ]

5.10

Ez = j γ2ω [ ∂z∂x

∂2Ax + ∂z2

∂Az - Az ]γ2

5.11

Hx = µo1 ∂y

∂Az

5.12

Hy = µo1 ( ∂z

∂Ax - ∂x∂Az )

5.13

Hz = - µo1 ∂y

∂Ax

5.14

- 7 -

De las ecuaciones 5.8 y 5.12 se obtiene la relación:

Azo(r,0,ψ) = Az1

(r,0,ψ) 5.15

Las ecuaciones 5.8 y 5.13 implican que:

∂z

∂Axo(r,0,ψ) - ∂x

∂Azo(r,0,ψ) = ∂z

∂Ax1

(r,0,ψ) - ∂x

∂Az1

(r,0,ψ)

5.16 Mediante las ecuaciones 5.7 y 5.10 se obtiene:

γo21 [ ∂x

∂Axo(r,0,ψ) + ∂z

∂Azo(r,0,ψ) ] =

γ121 [ ∂x

∂Ax1

(r,0,ψ) + ∂z

∂Az1

(r,0,ψ) ]

5.17 Y de las ecuaciones 5.7, 5.9 y 5.17 se deduce:

Axo(r,0,ψ) = Ax1

(r,0,ψ) 5.18

Para satisfacer las condiciones de contorno 5.16 y 5.17 es necesario escoger las siguientes funciones como solución de las coordenadas del vector potencial magnético:

Axo(r,z) = 4π

µo δI ∫0

∞

fo(m) e- λoz

Jo(mr) dm ; ∀ z � 0

5.19

Ax1 (r,z) = 4π

µo δI ∫0

∞

[ λ

1

m e- λ

1| z+s |

+ g1(m) e

λ1z] Jo(mr) dm ; ∀ z Š 0

5.20

Azo(r,z,ψ) = 4π

µo δI cos ψ ∫

0

∞

po(m) e- λoz

J1(mr) dm ; ∀ z � 0

5.21

Az1

(r,z,ψ) = 4π

µo δI cos ψ ∫

0

∞

q1(m) e

λ1zJ

1(mr) dm ; ∀ z Š 0

5.22 donde:

λo = m2+ γo2 ; γo

2 = - ω2µοεο+ j ω µoσo = - ω2µoεo 5.23 y:

λ1 = m2+ γ12 ; γ1

2 = - ω2µοε1+ j ω µoσ1 5.24

Para aplicar las condiciones de contorno 5.15 a 5.18, en las soluciones 5.19 a 5.22, para cada coordenada, y en cada uno de los medios del potencial magnético vectorial A, es conveniente recordar la conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas:

- 8 -

x = r cos ψ ⇒ cos ψ = rx

5.25 y la derivación parcial de la función de Bessel de grado cero de primera especie Jo(mr) con respecto a x :

∂x

∂Jo(mr) = - J

1(mr) . m . ∂x

∂r = - J1(mr) . m . cos ψ

5.26 La expresión 5.16 se puede dividir en dos ecuaciones independientes debido a que los términos en ∂Ax/∂z no son asociables con los términos en ∂Az/∂x:

∂z

∂Axo(r,0) = ∂z

∂Ax1

(r,0)

5.27

∂x

∂Azo(r,0) = ∂x

∂Az1

(r,0)

5.28 De las condiciones de contorno 5.18 y 5.27 aplicadas a las soluciones 5.19 y 5.20 se obtienen las dos relaciones siguientes:

fo(m) = λ

1

m e- λ

1s+ g

1(m)

5.29

- λo fo(m) = - m e- λ1s

+ λ1g

1(m)

5.30 Con las condiciones de contorno 5.15 y 5.17 aplicadas en las soluciones 5.19 a 5.22, se obtienen las siguientes ecuaciones:

po(m) = q1(m)

5.31

γo21 [ - m fo(m) - λo po(m) ] =

γ121 [ - (

λ1

m e- λ1s

+ g1(m) ) m + λ

1q1(m) ]

5.32 Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 5.29 a 5.32 se obtiene:

fo(m) = 2 m [ λ

1+ λo

1 ] e- λ1s

5.33

g1(m) =

λ1

m [ λ

1+ λo

λ1 - λo ] e

- λ1s

5.34

- 9 -

po(m) = q1(m) = 2

γo2 λ

1+ γ

12 λo

γo2 - γ

12

[ λ

1+ λo

1 ] m2 e

- λ1s

5.35 Sustituyendo el resultado de la ecuación 5.34 en la solución 5.20 del campo magnético vectorial para la coordenada x en el medio conductivo, e integrando analíticamente mediante el auxilio de la expresión 2.65, se obtiene:

Ax1

(r,z) = 4π

µoδI [

R+

e- γ 1R+

- R-

e- γ 1R-

+ 2 ∫o

∞

λo+ λ

1

m e- λ

1(s-z)

Jo(mr) dm ] 5.36

donde:

R+ = r2+ (z+s)2

5.37

R- = r2+ (s-z)2

5.38 Si se sustituye la solución obtenida en la ecuación 5.35, en la ecuación 5.22, se determina la componente del vector potencial magnético A en la dirección z del medio conductivo:

Az1

(r,z) = 4π

µo δI ∂x

∂ ∫0

∞

2 γ12 λo+ γo

2 λ1

γo2 - γ

12

[ λ

1+ λo

1 ] m e

- λ1(s-z)Jo(mr) dm-

5.39 Mediante las expresiones 5.9, 5.10 y 5.11 se obtienen las contribuciones diferenciales del campo eléctrico en cada una de las direcciones coordenadas:

δEx(r,z) = j γ12

ω [ ∂x∂ [ ∂x

∂Ax1 + ∂z

∂Az1 ] - γ

12 A

x1 ]

5.40

δEy(r,z) = j γ12

ω ∂y∂ [ ∂x

∂Ax1 + ∂z

∂Az1 ]

5.41

δEz(r,z) = j γ12

ω [ ∂z∂ [ ∂x

∂Ax1 + ∂z

∂Az1 ] - γ

12 A

z1 ]

5.42 donde:

- 10 -

∂x

∂Ax1 + ∂z

∂Az1 =

4π

µoδI ∂x

∂ [ R+

e- γ 1R+

- R-

e- γ 1R-

+ 2γ1 ∫o

∞

γ12λo+ γo

2λ1

m e- λ1(s-z)

Jo(mr) dm]2

5.43

Las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42 permiten evaluar las diferencias de potencial producidas por un dipolo diferencial de corriente en la dirección x sobre electrodos orientados según los ejes x, y, y z respectivamente. Mediante estas expresiones es posible determinar los coeficientes de potencial entre los electrodos de una red compleja de puesta a tierra, inmersa en un terreno con permeabilidad, permitividad y conductividad uniforme. Se ha utilizado el símbolo δE, en las expresiones anteriores, para enfatizar que se trata de la contribución debida a un dipolo diferencial de intensidad δI. Si el dipolo se encuentra orientado según el eje y, los resultados obtenidos en esta sección se extienden inmediatamente. Es necesario tan sólo hacer una transformación del sistema de coordenadas. En esta transformación el eje z queda invariante, mientras que los ejes x e y son intercambiados. Es importante destacar, que la transformación del sistema de coordenadas debe afectar tanto al dipolo excitador como al conductor sobre el cual se calcula el campo. Las integrales que aparecen en las ecuaciones 5.36, 5.39 y 5.43 pueden evaluarse utilizando la técnica analizada en la sección 3.2.3 para integrar ecuaciones semejantes a la 3.29 que involucran funciones de Bessel. Existen diversos métodos para resolver estas integrales. Algunos autores que han estudiado el problema [53,69,81,82,83] plantean el uso de simplificaciones en casos límite, coeficientes de reflexión, equivalentes circuitales, integraciones adaptativas o integración en el plano complejo. En este trabajo, debido a que la conductividad del medio acelera la convergencia de las integrales a la solución, se ha utilizado una integración por el eje real, dividiendo el integrando entre raíces consecutivas de las funciones de Bessel. Sin embargo, en casos más generales esta técnica presenta problemas importantes de convergencia, y es necesario recurrir a herramientas más poderosas [69]. 5.2.2 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente en la dirección

vertical, en un terreno uniforme.

- 11 -

En la figura 5.4 se muestra un dipolo elemental de corriente δI, orientado según la dirección vertical, a una profundidad s de la superficie de un terreno cuya conductividad σ1, permeabilidad µo y permitividad ε1 son constantes.

s

z

r, xA

A 1

o

µ , ε , σ = 0oo o

µ , ε , σ o 1 1

γo

γ1

δI

Fig. 5.4 Dipolo elemental orientado según la dirección vertical, en un terreno uniforme

Cuando el dipolo elemental de corriente δI está orientado en la dirección perpendicular al plano de separación aire-tierra, el potencial magnético vectorial A es independiente del ángulo azimutal, y debido a la simetría cilíndrica del problema, las componentes del vector A según las direcciones x e y son nulas [107], por lo que las componentes de los campos eléctrico E y magnético H, tangentes a la superficie del terreno se pueden simplificar a partir de las ecuaciones 5.1a 5.6 quedando expresadas de la forma siguiente:

Ex (r, z) = j γ2ω ∂x∂z

∂2Az

5.44

Ey (r, z) = j γ2ω ∂y∂z

∂2Az

5.45

Ez (r, z) = j γ2ω [

∂z2

∂2Az - γ2Az ]

5.46

Hx (r, z) = µ1 ∂y

∂Az

o

5.47

- 12 -

Hy (r, z) = - µ1 ∂x

∂Az

o 5.48

Hz (r, z) = 0 5.49

Utilizando las condiciones de contorno 5.7 y 5.8 en las ecuaciones 5.44 a 5.49 se obtienen las siguientes relaciones:

γo21 ∂x∂z

∂2Azo(r,0) =

γ121 ∂x∂z

∂2Az1

(r,0)

5.50

γo21 ∂y∂z

∂2Azo(r,0) =

γ121 ∂y∂z

∂2Az1

(r,0)

5.51

∂y

∂Azo(r,0) = ∂y

∂Az1

(r,0)

5.52

∂x

∂Azo(r,0) = ∂x

∂Az1

(r,0)

5.53 Las ecuaciones 5.50 y 5.51 son linealmente dependientes debido a la simetría existente entre los ejes x e y. De igual forma las ecuaciones 5.52 y 5.53 también son linealmente dependientes. La coordenada z del vector potencial magnético A es independiente del ángulo azimutal, y por esta razón la ecuación 2.63 permite encontrar la solución homogénea. En el medio conductivo es necesario superponer la respuesta particular a la excitación, mediante la relación 2.65. De esta forma, la solución para la coordenada z del potencial magnético vectorial A se puede calcular para los dos medios mediante las expresiones:

Azo(r, z) = 4π

δI ∫0

∞

fo(m) e- λ z Jo(mr) dm ; ∀ z > 0 µo

5.54

Az1

(r, z) = 4π

δI ∫0

∞

[ λm e- λ | z + s | + g

1(m) eλ z ] Jo(mr) dm ; ∀ z Š 0 1

11

µ

5.55 Sustituyendo las ecuaciones 5.54 y 5.55 en las condiciones de contorno 5.50 y 5.52, se obtiene:

- 13 -

fo(m) = γo2 λ

1+ γ

12 λo

2 γo2

m e- λ

1s

5.56

g1(m) =

γo2 λ

1+ γ

12 λo

γo2 λ

1 - γ

12 λo

λ1

m e- λ1s

5.57 Reemplazando las funciones 5.56 y 5.57 en las ecuaciones 5.54 y 5.55, e integrando analíticamente los términos que son semejantes a la integral de la ecuación 2.65, se obtienen las siguientes componentes del potencial magnético vectorial A:

Azo(r,z) = 2γo2

4π

µoδI ∫o

∞

γo2λ

1+γ

12λo

m e- (λoz+λ

1s)

Jo(mr)dm ; z � 0

5.58

Az1

= 4π

µoδI [ R+

e- γ 1R+

- R-

e- γ 1R-

+ 2γo2 ∫

o

∞

γo2λ

1+ γ

12λo

m e-λ

1(s-z)

Jo(mr)dm ] ; zŠ0

5.59 La ecuación 5.59 permite calcular la componente en el eje z del potencial magnético vectorial en el medio conductivo de la Fig. 5.4 mediante la superposición en un medio homogéneo del efecto de un dipolo elemental de corriente, su imagen especular con respecto a la superficie y un término adicional de corrección que puede ser integrado numéricamente. Mediante las ecuaciones 5.44 y 5.45 se pueden determinar las componentes del campo eléctrico E en las direcciones x e y a partir de la coordenada z del campo magnético vectorial obtenida a partir de la ecuación 5.59. Estas expresiones son de gran utilidad para calcular posteriormente el acoplamiento entre conductores horizontales. Para el cálculo de los acoplamientos propios y mutuos entre electrodos verticales se utiliza la componente según la dirección z del campo eléctrico E, dada por la expresión 5.46.

5.3 Análisis transitorio en terrenos multiestratificados

- 14 -

5.3.1 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente según la dirección horizontal en la primera capa de un terreno multiestratificado.

En la figura 5.5 se muestra el esquema de un terreno multiestratificado en p capas horizontales, excitado en la primera capa mediante un dipolo elemental de corriente δI en la dirección paralela a la estratificación del terreno. La capa j posee permeabilidad magnética del vacío µo, conductividad σj y permitividad dieléctrica εj. Cada una de las capas posee una frontera, de tal manera que la longitud hj

corresponde a la profundidad medida perpendicularmente desde la superficie del terreno, a un punto situado en la unión entre la capa j y la capa j+1. En el aire o capa cero se asume siempre que la conductividad del medio es nula σo=0 y la permitividad es la del vacío εo.

γ

γ

1

2

οz=0 r

-z

γ 3

-h 1

γp

jj

A

2A

A

A

Ap

γ

δI

3

1

2-h

3-h

j-h-hp-1

A

s

Fig. 5.5 Dipolo elemental orientado según la dirección horizontal, en un terreno multiestratificado

Las soluciones del potencial magnético vectorial para la coordenada x en cada una de las p capas son de la forma general:

- 15 -

Axk

(r, z) = 4π

µoδI ∫o

∞

[ fk(m) e

-λkz+ g

k(m) e

λkz] Jo(mr) dm ; ∀ k ≠ 1 y,

∀ -hk<z<-h

k-1 h

-1= - ∞ ; ho = 0

5.60

Ax1

(r, z) = 4πµoδI

∫o

∞

[ λ

1

m e- λ1

| z+s|+ f

1(m) e

- λ1z+ g

1(m) e

λ1z] Jo(mr) dm ; ∀ -h

1<z<0

5.61

Las funciones go(m) y fp(m) deben ser cero para garantizar que la componente en la dirección horizontal del potencial magnético vectorial A en el infinito sea nulo. El resto de las funciones pueden determinarse, mediante las siguientes condiciones de contorno, semejantes a las condiciones 5.18 y 5.27 para terrenos uniformes:

Axk

(r, -hk) = A

xk+1(r, -h

k) ; ∀ k = 0,1,2, …, p-1

5.62

∂z

∂Axk

(r,-hk) = ∂z

∂Axk+1

(r,-hk) ; ∀ k = 0,1,2, …, p-1

5.63 Al sustituir las soluciones para la coordenada x del potencial magnético vectorial A en el estrato k, en las condiciones de contorno 5.62 y 5.63, se obtiene:

fk(m)

gk(m)

= Ek

fk+1

(m)

gk+1

(m)

; ∀ k = 2, 3, …, p-1

5.64 donde:

Ek = 1+ k

k

1

e(λ

k+1- λ

k)h

k kke

- (λk+1

+λk)h

k

kke

(λk+1+λk)hke

- (λk+1- λk)hk

5.65 y:

kk =

λk+ λ

k+1

λk - λ

k+1

5.66 De las condiciones de contorno 5.62 y 5.63 para la frontera más profunda se obtiene:

fp-1

(m)

gp-1

(m)

=

E

p-1

0gp(m)

=

E

p-1

01

gp(m)

5.67

- 16 -

Al aplicar, estas condiciones a la superficie de separación entre el aire y la primera capa, queda :

(1-

λo

λ1 ) (1+

λo

λ1 )

f1(m)

g1(m)

= λoλ

1

λ1- λo m e

- λ1s

5.68 y cuando se aplican dichas condiciones a la superficie de separación entre los dos primeros estratos, se tiene:

f1(m)

g1(m)

= E

1

f2(m)

g2(m)

- 01

λ1

m eλ1s

5.69 Sustituyendo 5.64 y 5.67 en 5.69, resulta:

f1(m)

g1(m)

= ∏k = 1

p-1

E

k

01

gp(m) -

01

λ1

m eλ

1s

5.70 De las ecuaciones 5.68 y 5.70 se determina la función gp(m):

gp(m) = λ

1

m (1 -

λo

λ1 ) (1+

λo

λ1 )

∏k=1

p-1

Ek

01

(1+ λo

λ1 ) e

λ1s- (1-

λo

λ1 ) e

-λ1s

5.71 Al determinar gp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado en la ecuación 5.70, y se obtienen directamente las funciones indeterminadas f1(m) y g1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.61 e integrando la expresión,

analíticamente la solución particular y numéricamente el resto, se obtiene la componente en la dirección x del potencial magnético vectorial A. La integración numérica de esta expresión requiere evaluar el integrando para valores grandes de la variable m. En estas condiciones las matrices Ek tienen términos que tienden a infinito y a cero para valores grandes de la variable m. Como estas matrices terminan siempre siendo multiplicadas por el vector [0 1]T, el límite del producto de todas las matrices multiplicadas por este vector es el vector mismo. Por esta razón, cuando la variable m alcanza durante el proceso de integración el valor mmax que hace imposible evaluar numericamente algún término de las matrices Ek, si se utiliza el procedimiento del Anexo C, se demuestra que:

gp(m) → e- ms [ ∑j = 1

p-1

1+ k

j

1 ] ; cuando m > mmax 5.72

- 17 -

f1(m)

g1(m)

→ 00

; cuando m > m

max

5.73

fo(m) → e- ms ; cuando m > mmax 5.74

Para la componente según la dirección z del vector potencial magnético A es válida la siguiente solución general:

Azk

(r, z, ψ) = 4π

µoδI cos ψ ∫

o

∞

[ pk(m) e

- λkz+ q

k(m) e

λkz] J

1(mr) dm ;

∀ k = 0, 1, 2, …, p∀ - h

k < z < - h

k-1 5.75 Las funciones po(m) y qp(m) deben ser siempre cero para garantizar que el potencial magnético vectorial se anule en el infinito. Las condiciones de contorno para cada una de las fronteras son:

Azk

(r, -hk, ψ) = A

zk+1(r, -h

k, ψ) ; ∀ k = 0, 1, 2, …, p-1

5.76

γk21 [ ∂x

∂Azk

(r,-hk,ψ)

+ ∂z

∂Azk

(r,-hk,ψ)

] = γk+121 [ ∂x

∂Azk+1

(r,-hk,ψ)

+ ∂z

∂Azk+1

(r,-hk,ψ)

]

∀ k = 0, 1, 2, …, p-1 5.77

Aplicando las condiciones de contorno 5.76 y 5.77 en la solución 5.75, se obtiene un sistema de ecuaciones que permite determinar las funciones pk(m) y qk(m) para todos los estratos del subsuelo. Para dos capas intermedias, se tiene:

pk(m)

qk(m)

= ∧E

k

pk+1

(m)

qk+1

(m)

+ ∧F

k

fk(m)

gk(m)

; ∀ k = 1, 2, …, p-1

5.78 donde:

∧E

k=

1+ ∧k

k

1

e(λ

k+1- λ

k)h

k∧k

ke

- (λk+1

+ λk)h

k

∧k

ke

(λk+1

+ λk)h

ke

- (λk+1

- λk)h

k

5.79

- 18 -

∧F

k = 2λ

k

m (1- γk+12

γk2

)

1 e-2λ

kh

k

- e2λkhk -1

5.80

∧k

k =

γk+12 λ

k+ γ

k2λ

k+1

γk+12 λ

k - γ

k2λ

k+1

5.81 Para las dos capas más profundas:

pp-1

(m)

qp-1

(m)

= ∧E

p-1

01

qp(m) +

∧F

p-1

fp-1

(m)

gp-1

(m)

5.82 Para el aire y la primera capa:

(λoγ

12 - λ

1γo2) (λoγ

12 + λ

1γo2)

p1(m)

q1(m)

= m (γ

o2 - γ

12) fo(m)

5.83 Sustituyendo 5.82 en 5.78, y repitiendo el proceso hasta alcanzar los coeficientes correspondientes al primer estrato, se obtiene:

p1(m)

q1(m)

= ∏k=1

p-1∧E

k

01

qp(m) +

∧F

1

f1(m)

g1(m)

+ ∑j = 1

p-2

∏k = 1

j∧E

k

∧F

j+1

fj+1

(m)

gj+1

(m)

5.84 Haciendo uso de la ecuación 5.83 en la 5.84 se determina la función qp(m):

qp(m) = (λoγ

12-λ

1γo2) (λoγ

12+λ

1γo2)

∏k=1

p-1∧E

k

01

m γo2

fo(m) - (λoγ

12-λ

1γo2) (λoγ

12+λ

1γo2)

∧F

1

f1(m)

g1(m)

+∑j =1

p-2 ∏k=1

j∧E

k

∧F

j+1

fj+1

(m)

gj+1

(m)

-γ

12

( )

5.85 Al determinar qp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado en la ecuación 5.84 y se obtienen directamente las funciones indeterminadas p1(m) y q1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.75 e integrando la expresión,

se obtiene la componente en la dirección z del potencial magnético vectorial A. Cuando el argumento m de integración es demasiado grande para ser evaluado numéricamente, siguiendo el procedimiento del Anexo C, se tiene:

- 19 -

p1(m)

q1(m)

→ γo2 + γ

12

γo2 - γ1

2

01

e- ms ; cuando m > mmax

5.86 Una vez obtenidas las coordenadas Ax1(r,z) y Az1(r,z,ψ) del vector potencial magnético A, se pueden calcular las contribuciones de campo eléctrico δEx, δEy y δEz del dipolo elemental de corriente δI, en la dirección x de la primera capa

mediante las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42, aplicadas a las soluciones representadas por las expresiones 5.61 y 5.75 respectivamente.

5.3.2 Excitación mediante un dipolo de corriente según la dirección vertical, en la primera capa de un terreno multiestratificado.

En la figura 5.6 se muestra un dipolo vertical inmerso en el primer estrato de un terreno multiestratificado. Con esta simetría sólo puede existir la componente en la dirección del eje z del potencial magnético vectorial A. Las soluciones del potencial magnético vectorial para la coordenada z en cada una de las p capas son:

Azk

(r, z) = 4π

µoδI ∫o

∞

[ fk(m) e

-λkz+ g

k(m) e

λkz] Jo(mr) dm ; ∀ k ≠ 1 y,

∀ -hk<z<-h

k-1 5.87

Az1

(r, z) = 4π

µoδI ∫o

∞

[ λ

1

m e- λ

1| z+s|

+ f1(m) e

- λ1z+ g

1(m) e

λ1z] Jo(mr) dm ;

∀ -h1< z < 0

5.88

Las funciones go(m) y fp(m) deben ser cero para garantizar que la componente en la dirección z del potencial magnético vectorial A en el infinito sea nulo. El resto de las funciones pueden ser determinadas mediante las siguientes condiciones de contorno:

∂x

∂Azk

(r, -hk) = ∂x

∂Azk+1

(r, -hk)

; ∀ k = 0, 1, …, p-1 5.89

γk21 ∂x∂z

∂2Azk

(r, -hk) =

γk+121 ∂x∂z

∂2Azk+1

(r, -hk) ; ∀ k = 0,1, …, p-1

5.90

- 20 -

γ

γ

1

2

οz=0 r

-z

γ 3

-h1

γp

j

s

j

A

2A

A

Ap

γ

δΙ

3

1

2-h

3-h

j-h-hp-1

A

A

Fig. 5.6 Dipolo elemental orientado según la dirección vertical, en un terreno multiestratificado

Aplicando a las soluciones de la coordenada z del potencial magnético vectorial A en el estrato k, las condiciones de contorno 5.89 y 5.90, se obtiene el siguiente resultado:

fk(m)

gk(m)

= ∧E

k

fk+1

(m)

gk+1

(m)

; ∀ k = 2, 3, …, p-1

5.91

donde ∧E

k se ha definido previamente en la ecuación 5.79.

Aplicando las condiciones de contorno a la superficie de separación más profunda se obtiene:

fp-1

(m)

gp-1

(m)

= ∧E

p-1

01

gp(m)

5.92 Si se aplican las mismas condiciones de contorno entre el aire y el primer estrato:

[ ∧ko 1]

f1(m)

g1(m)

= - ∧ko

λ1

m e- λ

1s

5.93

- 21 -

y entre los dos primeros estratos del subsuelo:

f1(m)

g1(m)

= ∧E

1

f2(m)

g2(m)

- 01

λ1

m eλ

1s

5.94 Sustituyendo 5.91 y 5.92 en 5.94 se obtiene:

f1(m)

g1(m)

= ∏k=1

p-1∧E

k

01

gp(m) -

01

λ1

m eλ

1s

5.95 De las ecuaciones 5.90 y 5.92 se determina la función gp(m) como:

gp(m) = λ

1

m

[ ∧ko 1]

∏k=1

p-1∧E

k

01

( eλ1s

- ∧ko e

- λ1s )

5.96 Al determinar gp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado en la ecuación 5.95 y se obtienen directamente las funciones indeterminadas f1(m) y g1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.88 e integrando analítica y

numéricamente la expresión, se obtiene la componente en la dirección z del potencial magnético vectorial A. La evaluación numérica de esta expresión requiere calcular el integrando para valores grandes de la variable m, tal como se mencionó

en las secciones anteriores. En estas condiciones las matrices ∧E

k también poseen términos que tienden a infinito y a cero para valores grandes de la variable m. Como estas matrices terminan siendo multiplicadas por el vector [0 1]T, el límite del producto de todas las matrices multiplicadas por este vector es el vector mismo. Por esta razón, cuando la variable m alcanza durante el proceso de integración el valor mmax que hace imposible evaluar numericamente algún término de las matrices en cuestión, siguiendo el procedimiento del Anexo C, queda:

gp(m) → ( ems - koe- ms ) ∏j =1

p-1

1+ k

j

1 ; cuando m > mmax 5.97

f1(m)

g1(m)

→

0-1

∧ko e- ms ; cuando m > m

max 5.98

Una vez obtenida la coordenada Az1(r,z) del vector potencial magnético A, se pueden calcular los diferenciales de campo eléctrico δEx, δEy y δEz del dipolo

elemental de corriente δI, en la dirección z de la primera capa mediante las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42, aplicadas a las soluciones representadas por la expresión 5.88.

- 22 -

5.4 Distribución de corrientes en la red de puesta a tierra para una frecuencia determinada

Una red compleja de puesta a tierra puede discretizarse en un número N finito de subelectrodos. Si estos electrodos son suficientemente pequeños es posible considerar en forma aproximada que en cada uno, la corriente es practicamente constante. De esta forma se puede establecer una red multipuerta entre los N elementos en que se ha dividido el sistema. Si los elementos son diferencialmente pequeños, es posible considerarlos como dipolos elementales. Para que un electrodo finito conduzca la corriente sólo en la dirección de su eje, es necesario que sea lo suficientemente largo como para que se puedan despreciar las componentes radiales del campo eléctrico producidas por esta misma corriente. Por esta razón no es correcto considerar al subelectrodo como un dipolo, a menos que se estén evaluando campos en puntos situados a mucha distancia del elemento. Una red compuesta por N elementos acoplados entre si, puede ser analizada mediante las técnicas convencionales de la teoría de circuitos. Uno de los métodos más utilizados consiste en caracterizar el comportamiento de la red mediante las impedancias de circuito abierto propias y mutuas, entre todos y cada uno de los elementos que la configuran. En la figura 5.7 se muestra una red de puesta a tierra formada por n electrodos. En esta red se excita el elemento j y se observan las fuerzas electromotrices que aparecen en el medio que circunda al propio electrodo ZjjIj, o al electrodo genérico k, ZkjIj. Las impedancias definidas de esta forma son externas a los electrodos, y dependen solamente del medio y de la geometría. Si esta misma operación se realiza con el resto de los electrodos de la red y se aplica el principio de superposición, se puede plantear la siguiente formulación matricial del problema:

V1

V2

…

Vn

=

Z11

Z12

… Z1n

Z21

Z22

… Z2n

… … … …

Zn1

Zn2

… Znn

I1

I2

…

In

5.99 Cada una de las impedancias Zij de circuito abierto del sistema 5.99 está definida entre los extremos de cada conductor, de igual forma que las tensiones Vi.

- 23 -

Se supone que la corriente Ij circula por el eje del electrodo j. Si el sistema es lineal y el medio isotrópico, la matriz de impedancias de circuito abierto [Z] es simétrica.

Ij

1 jZ

2 jZ

j jZ

n jZ

Ij

Ij

Ij

Ij

µ , ε, σ

IjSuperficie

Fig. 5.7 Red de tierra excitada mediante una corriente senoidal Para resolver el sistema 5.99 es necesario conocer las características de la fuente de excitación, por esta razón es necesario añadir una ecuación adicional al sistema. Sin embargo, en general se desconoce la información relativa a la fuente. Para solventar este problema es posible considerar que el acoplamiento entre la red y la fuente es muy leve, excepto con el electrodo o grupo de electrodos donde se introduce la perturbación. Por esta razón en el sistema 5.99 deben añadirse ecuaciones adicionales, cuyas impedancias externas de circuito abierto son todas nulas excepto en aquellos elementos propios y mutuos que estén influenciados por la fuente. Suponiendo que el electrodo de excitación tiene uno de sus extremos libres, estando unido al resto de la malla por su otro extremo, y que la fuente de excitación incide sobre el extremo libre (Fig. 5.8), se puede admitir que el efecto del acoplamiento con la fuente es importante unicamente sobre este electrodo excitador. En estas condiciones, el sistema de ecuaciones 5.99 queda modificado unicamente en el sentido de sustituir la fuente que representaba al electrodo excitador, por una nueva puerta que incluya la fuente, lo que origina la aparición de una tensión V´j en esa puerta, V´j =Vj - ZffI, en donde Zff representa la impedancia propia del camino recorrido por la fuente, y que es desconocida.

- 24 -

Ifuente

Electrodo de excitación j

1 2

n

Fig. 5.8 Aplicación de la fuente sobre el electrodo de excitación.

Suponiendo el electrodo j es el único que tiene un acoplamiento importante con la fuente de excitación, el sistema de ecuaciones 5.99 se puede resolver conociendo la corriente que circulan por el electrodo de excitación j , y las tensiones en el resto de los conductores. Si se define la impedancia interna del electrodo k como zk, la caída de tensión sobre el conductor k es:

Vk = z

kIk ; ∀ k ≠ j

Vj = V

j´ + z

ffIfuente = z

jIj - V

fuente+ z

ffIfuente

5.100 Como sobre el electrodo j aparece la tensión Vj debida al acoplamiento con la fuente, si se sustituye 5.100 en el sistema 5.99 se obtiene:

z1I1

z2I2

…

Vj

…

znIn

=

Z11

Z12

… Z1j

… Z1n

Z21

Z22

… Z2j

… Z2n

… … … … … …

Zj1

Zj2

… Zjj

… Zjn

Zn1

Zn2

… Znj

… Znn

I1

I2

…

Ij

…

In

5.101 En este sistema, los términos que representan la caída de tensión interna de los conductores en el primer miembro de la igualdad pasan al segundo miembro. Cada una de las impedancias internas zk se resta de la impedancia propia de circuito abierto del electrodo Zkk. Si los conductores poseen una impedancia interna

despreciable,debido a que están construidos de un material muy buen conductor, todos los términos zkIk son prácticamente nulos. En el electrodo j, se define la tensión Vj que representa en forma aproximada el efecto de la fuente de excitación. Mediante el sistema 5.101 se puede determinar la distribución de las

- 25 -

corrientes por todos los elementos de la red, aplicando una fuente de tensión unitaria en la puerta j, y reescalando posteriormente con respecto a la corriente real por el electrodo. El cálculo de las impedancias externas de circuito abierto Zkj de todos los electrodos es el punto más importante del problema. Para este fin es necesario integrar el campo electrico que cada elemento produce sobre si mismo y sobre el resto. Como se mencionó al principio de esta sección, existe un conflicto entre la definición del dipolo elemental, que siempre puede ser lo suficientemente pequeño como para que el punto sobre el que se desea calcular el campo esté muy alejado del mismo, y la longitud del elemento que debe ser grande con respecto a su radio para asegurar que la corriente circula practicamente por el eje del mismo. Por esta razón, cuando se calculan las impedancias de circuito abierto propias o mutuas con electrodos cercanos al excitador, es necesario integrar las contribuciones al campo eléctrico que producen los infinitos dipolos elementales en que podemos dividir el electrodo excitador. Para los electrodos enterrados en un subsuelo uniforme, se han considerado cuatro posibles impedancias mutuas entre los electrodos, Zxx, Zxy, Zxz y Zzz. De esta manera es posible modelizar cualquier conjunto de electrodos ortogonales orientados en las tres direcciones cartesianas. De acuerdo con las ideas desarrolladas en este capítulo estas expresiones son, para electrodos horizontales y paralelos:

Zxx = j 4π γ

12

µo ω [

Lx1

1 [ F1

(x1f

,x2f

) - F1

(x1f

,x2o

) - F1

(x1o

,x2f

) + F1

(x1o

,x2o

) ] +

+ γ12 ∫

x 1o

x 1f

∫x 2o

x 2f

F2 (x1, x

2) dx

2 dx

1 ]

5.102 para electrodos horizontales perpendiculares:

Zxy = j 4π γ

12

ω µo [ Lx1

1 (F1(x

1f, y

2f) - F

1(x

1f, y

2o) - F

1(x

1o, y

2f) + F

1(x

1o, y

2o) ) ]

5.103 para electrodos horizontales y verticales:

Zxz = j 4π γ

12

ω µo [ L

x1

1 (F3

(x1f

, z2f

) - F3

(x1f

, z2o

) - F3

(x1o

, z2f

) + F3

(x1o

, z2o

) ) ] 5.104

y para electrodos verticales pararalelos:

- 26 -

Zzz = j 4π γ

12

µo ω [

Lz1

1 [ F3(z

1f,z

2f) - F

3(z

1f,z

2o) - F

3(z

1o,z

2f) + F

3(z

1o,z

2o) ] +

+ γ12 ∫

z1o

z1f

∫z2o

z2f

F3 (z

1, z

2) dz

2 dz

1 ]

5.105 donde:

F1(x

1,x

2) = R+

e- γ R+

- R-

e- γ R-

+ 2 γ12 ∫

o

∞

λ

1γo2+λoγ

12

m e- λ1(s-z)

Jo(mr) dm

5.106

F2

(x1,x

2) = R+

e- γ R+

- R-

e- γ R-

+ 2 ∫o

∞

λo+ λ

1

m e- λ1(s-z)

Jo(mr) dm 5.107

F3(x

1,x

2) = R+

e- γ R+

- R-

e- γ R-

+ 2 γo

2 ∫o

∞

λ

1γo2+λoγ

12

m e- λ1(s-z)

Jo(mr) dm

5.108 Las expresiones 5.102 a 5.105 permiten de igual forma el cálculo de las impedancias de circuito abierto en terrenos multiestratos, pero es necesario reemplazar las funciones 5.106 a 5.108 por las correspondientes para este tipo de terreno. El procedimiento descrito coincide con el método de los momentos [47] cuando se escoge el pulso como función descriptora. Cuando se determinan las impedancias externas propias y mutuas de la red, se considera que los campos no son distorsionados por los electrodos metálicos presentes. Sin embargo, esta hipótesis no es correcta. La presencia de materiales de alta conductividad en el subsuelo, introduce en el problema condiciones de contorno que no han sido previamente consideradas. En la práctica, se obtienen muy buenos resultados con los métodos descritos, siempre y cuando los gradientes de potencial sobre los electrodos sean reducidos. Esto se puede lograr si los segmentos de la red no son excesivamente grandes. Estas suposiciones son de uso frecuente en la teoría de antenas. Los algoritmos convencionales que modelan el comportamiento de las redes de tierra en régimen permanente hacen uso de esta misma hipótesis. Los segmentos en que se subdividen los electrodos, deben ser varias veces mayores que su radio, para justificar que las corrientes circulen por el centro de los electrodos y que el campo eléctrico sobre ellos es tangencial a su superficie. En la práctica esto se alcanza con longitudes mayores a 20 veces el radio del electrodo.

- 27 -

El número de segmentos en que es necesario partir los electrodos de la red, depende también de la frecuencia. Es necesario que los segmentos sean varias veces menores a la longitud de onda de la excitación, para garantizar que la distribución de las corrientes por los electrodos tenga sentido físico. Por otra parte, aumentar el número de segmentos en que se divide la red, incrementa considerablemente el tiempo de cálculo, los requerimientos de memoria e incluso las imprecisiones; debido al gran número de operaciones que es necesario realizar para calcular todas las impedancias a cada frecuencia, y resolver el sistema de ecuaciones. 5.5 Análisis transitorio en el tiempo En la sección 5.4 se analizó un método que permite evaluar la distribución de corrientes en el interior de los electrodos de una red de puesta a tierra que ha sido excitada mediante una corriente senoidal de amplitud y frecuencia constante. Para extender este método en el caso de excitaciones no senoidales, pero periódicas, se realiza una descomposición en armónicos de la excitación haciendo uso de las series de Fourier [15]. Una vez que la corriente ha sido descompuesta en sus armónicos, se analiza con el método desarrollado en la sección 5.4 la distribución de corrientes en la red para cada una de las frecuencias consideradas. Como durante todo el análisis se ha supuesto que el sistema es lineal, para determinar las distribuciones de las corrientes en el tiempo que circulan por cada electrodo se superponen cada una de las contribuciones senoidales de corriente por el electrodo para todas las frecuencias analizadas. Si la excitación no es periódica, se puede utilizar la transformada de Fourier [15] o la transformada de Laplace [96] para determinar la distribución, continua en este caso, de la excitación en la frecuencia. Calculando la respuesta en el dominio de la frecuencia H(ω) de la red de puesta a tierra ante una excitación tipo impulso unitario en el tiempo δ(t), se puede obtener la respuesta frecuencial de las corrientes del sistema I(ω), a una inyección de corriente iiny(t), mediante:

Iiny

(ω) = F ( iiny

( t ) ) 5.109

I (ω) = H (ω) . Iiny

(ω) 5.110

donde la letra F representa el operador transformada de Fourier:

- 28 -

F ( f ( t ) ) = ∫- ∞

∞

f ( t ) . e- j ω t dt 5.111

Para determinar la respuesta frecuencial del sistema H(ω) al impulso unitario δ(t) se evalúa el comportamiento de la red de puesta a tierra ante inyecciones de corriente senoidal de amplitud unitaria para todas las frecuencias. Una vez calculada la función de transferencia H(ω) se utiliza la ecuación 5.110 para evaluar la distribución frecuencial de las corrientes I(ω), en la red de puesta a tierra, ocasionadas por la inyección transitoria de corriente. Conocida la distribución de corrientes en la frecuencia se puede aplicar la transformada inversa de Fourier [15] para determinar las corrientes en el tiempo i(t):

i (t) = F-1

( I (ω) ) = 2π1 ∫

- ∞

∞

I (ω) . ej ω t dω

5.112 En definitiva para calcular la corriente instantánea i(t) se tiene a partir de las ecuaciones 5.109, 5.110 y 5.111 que:

i (t) = F-1

H (ω) . F [ i

iny(t) ]

5.113 El algoritmo rápido de Fourier se fundamenta en la representación matricial de la transformación discreta de Fourier, y en la repetición cíclica de esos valores debido a la variación del argumento de la función exponencial compleja. De esta forma se genera un algoritmo eficiente que permite descomponer o factorizar una matriz de coeficientes funcionales con el fin de reducir significativamente el número de operaciones necesarias para obtener los valores transformados discretizados. Existen otras transformaciones que incluso pueden ser más eficientes que la transformada rápida de Fourier, una de estas es la trasformada rápida de Hartley [13,46] que permite reducir a la mitad el tiempo utilizado en el cálculo. Sin embargo, Bold [12] asegura que los algoritmos modernos que calculan la transformada rápida de Fourier son capaces de igualar los tiempos de procesamiento de la transformación rápida de Hartley. En el trabajo realizado se han utilizado las rutinas para el calculo de la transformada discreta de Fourier de la librería IMSL [50]. De cualquier forma, los tiempos consumidos en el cálculo de la transformada y antitransformada de Fourier no son significativos, principalmente por que el número de muestras consideradas en el análisis es reducida debido a que el cálculo de cada uno de los puntos representa un esfuerzo computacional muy grande. 5.6 Campo eléctrico, densidades de corriente, impedancias de entrada y

fuerzas electromotrices en puntos y trayectorias del medio conductivo

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Mediante la respuesta en frecuencia al impulso unitario, de las corrientes en los electrodos de puesta a tierra se determinó en la sección 5.5 la respuesta en frecuencia de las corrientes en los electrodos para una excitación determinada. Si se conocen las corrientes en los electrodos de la red para cada frecuencia, se puede obtener por superposición el campo eléctrico E, y la densidad de corriente J en cualquier punto del terreno, o la fuerza electromotriz en una trayectoria dada.

En las secciones 5.2 y 5.3, así como en el Anexo B, se han desarrollado las ecuaciones que determinan el diferencial de campo eléctrico δE en un punto cualquiera del espacio debido a un dipolo de corriente diferencial δI orientado según uno cualquiera de los ejes coordenados. Integrando estas expresiones a lo largo del conductor excitador se obtiene el campo eléctrico E en un punto cualquiera de interés. Por ejemplo, si estamos interesados en obtener la componente según la dirección x, originada por un dipolo orientado horizontalmente en un terreno uniforme, a partir de 5.36, 5.39 y 5.40, se obtiene:

Ex(x, z) = j γ12

ω 4π

µo δI [

R-

e- γ

1R-

( γ12 +

R-

γ1 +

R-2

1 - R-

2x2

( γ12 +

R-

3γ1 +

R-2

3 ) ) -

-

R+

e- γ

1R+

( γ12 +

R+

γ1 +

R+2

1 - R+

2x2

( γ12 +

R+

3γ1 +

R+2

3 ) ) -

δ

- 2 γ12 ∫

o

∞

m (γ

12λo+ γo

2λ1) (λo+ λ

1)

γ12λo+ γo

2λ1+ m2 (λo+λ

1) e

- λ1(s-z) Jo(mx) dm +

+ x2 γ

12

∫o

∞

γ12λo+ γo

2λ1

m2 e

- λ1(s-z) J

1(mx) dm ]

5.114 Integrando la expresión 5.114, a lo largo de un electrodo, con respecto a otro electrodo con igual orientación, es posible determinar impedancias propias y mutuas de un conjunto de electrodos. Estas impedancias son:

Zij = j

4πγ12

µoω { [

R+

e- γ 1R+

- R-

e- γ 1R-

+ 2γ12 ∫

o

∞

m λ

1γo2+λoγ

12

1 e- γ 1(s-z)

Jo(mr)dm ]xi1,xj1

xi2,xj2

+

+ 2γ12 ∫xi1

xi2

∫xj1

xj2

[ R+

e-γ 1R+

- R-

e-γ 1R-

+ 2 ∫o

∞

λ

1+ λo

m e- λ1(s-z)

Jo(mr)dm ] dxjdx

i }

5.115 Una vez que se ha calculado el campo eléctrico E en cualquier punto del

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espacio, se puede evaluar la densidad de corriente en ese punto aplicando la ecuación 2.6. Sin embargo, en las cercanías del conductor y en su periferia en particular, este método presenta inconvenientes numéricos debido a la dimensión reducida del radio del conductor. Por esta razón se describe en la literatura [3] un método simplificado que permite estimar con precisión la densidad de corriente en las cercanías del conductor. Si el punto se encuentra cerca del conductor y alejado de los extremos, se puede considerar que el campo eléctrico E es radial y constante, a una determinada distancia. En un medio conductivo la densidad de corriente se calcula como:

J = σE + Jiny 5.116

y a partir de las ecuaciones 2.6, 2.7, 2.33 y 2.35, se establece que:

∇. J = - j ω ρ = - j ω D = - j ωε ∇. E 5.117

que al sustituir en 5.116 y reagrupando términos resulta:

∇. Jiny

= - (σ+ j ωε ) ∇. E 5.118

Calculando la integral de volúmen sobre un cilíndro de radio r, centrado en el conductor para los dos miembros de la expresión 5.118 y teniendo en cuenta la ecuación 2.6, se tiene:

Jmedio

(r) = - 2π r (1+ j σ

ωε )dxdI

∧r 5.119

En la ecuación 5.119, dI/dx es la variación de la corriente entre dos subelectrodos consecutivos. Por lo tanto para evaluar la densidad de corriente drenada a tierra por los conductores es suficiente conocer la variación de la corriente que circula por los mismos en las cercanías del punto de interés, para cada una de las frecuencias que se están considerando en el estudio y utilizar la expresión 5.116 para determinar la magnitud de esta variable. La dirección de la densidad de corriente J siempre ha de ser radial a la superficie del cilindro conductor debido a la hipótesis de cercanía que se ha utilizado. Conocido el campo eléctrico se pueden obtener las fuerzas electromotrices para una trayectoria dada, integrando el campo eléctrico resultante. Si este proceso se realiza para todas las frecuencias consideradas, superponiendo el efecto de cada uno de los electrodos de la red sobre todas la trayectorias de interés, se pueden obtener las fuerzas electromotrices en función del tiempo, mediante la transformación inversa rápida de Fourier discutida en la sección 5.5.

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En la sección 4.3.2 se utilizó el método de integración de Simpson [16,17] para realizar las integraciones a lo largo de las trayectorias. Este método sigue siendo válido debido a que permite discretizar los electrodos en un número determinado de segmentos. También se puede utilizar el método de los momentos desarrollado por Harrington [45,47] para el mismo propósito. En algunas ocasiones, la integral en una trayectoria tiene solución analítica y resulta conveniente utilizar esta formulación para reducir los tiempos de cálculo. Un caso particular donde se presenta este caso es al calcular la impedancia de entrada de un electrodo horizontal. En este caso la integral desde el radio hasta el valor de menos infinito, siguiendo una trayectoria en la dirección del eje z, tiene solución cerrada. 5.7 Algoritmo general para el cálculo de transitorios en la red de tierra En la figura 5.9 se presenta el diagrama de flujo de un algoritmo básico que permite la determinación de la respuesta transitoria de una red de puesta a tierra inmersa en un terreno uniforme o estratificado en varias capas horizontales. Se fundamenta en la obtención de la respuesta en frecuencia de la red mediante la técnica de solución directa de las ecuaciones de Maxwell que se ha presentado en este capítulo. Utiliza el método de los momentos para discretizar el problema y la transformada rápida de Fourier para determinar los resultados en el dominio temporal. El algoritmo se puede dividir en tres grandes bloques: Uno para la introducción de los datos del terreno, de la instalación y de la inyección transitoria de corriente. El segundo bloque constituye el centro medular del algoritmo y se encarga fundamentalmente de evaluar la respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra ante una excitación de tipo impulso. El último bloque se encarga de calcular la distribución de la corriente por los electrodos de la red, las impedancias de entrada de la red de puesta a tierra en el nudo de excitación, las fuerzas electromotrices en una trayectoria previamente definida, y las densidades de corriente tanto en la frecuencia como en el tiempo. La división mencionada en el párrafo anterior no es física, el algoritmo esta constituido mediante módulos que se interrelacionan unos con otros. Los bloques en que se ha dividido el algoritmo tienen por objeto presentar una imagen funcional del mismo para facilitar su comprensión. A continuación se presenta una descripción más detallada del programa PTT ( Programa Transitorio de Tierras) y de la interconexión existente entre las diferentes tareas que realiza.

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Programa Transitorio de Tierras

PTT

Inicialización- Tipo de caso (Hom., Bies., Multi.) - Sistema de entrada de datos.

Editor- Coordenadas. - Parámetros.

- Cálculo de las coordenadas de los segmentos. - Definición de los nodos de la red. - Evaluación de las simetrías de la red.

Lectura de datos y de las coordenadas por un fichero.

Cálculo del ∆Frec., Nº de Frecuencias. y de la Frec. Máxima

Frec. = 50 Hz

Cálculo de las Impedancias Propias y Mutuas de Circuito Abierto.

Lectura de la excitación y de los parametros temporales

Cálculo de la distribución de corriente por los electrodos

Frec. = Frec. + ∆Frec.

Almacenamiento de datos y resultados en un fichero.

FFT de la corriente inyectada.

Producto de la respuesta en frecuencia de la distribución de las corrientes en los segmentos, por el espectro en frecuencia de la inyección de corriente. H(ω).I(ω)

Almacenamiento de los resultados en el tiempo. Cálculo de Campos, Fuerzas Electromotrices, Densidades de Corriente, Impedancias de Entrada, etc.

Fin

Cálculo de las Constantes de Propagación γ para todos los medios.

BLOQUE A COORSEG

MATINC

TOPOLOG

no si

BLOQUE B

CALINT

COEFPOT

POSCAPADIRECCIONREFERENCIA

FFTCC

FFTCC

Impresión de resultados

BLOQUE C

¿Frec.> Frec. max.?

Isegm.(t) = F-1

Hseg.(ω). Iiny.

(ω) Transformada Inversa de Fourier

Fig. 5.9 Diagrama de Flujo del Algoritmo PTT

Este bloque de actividades se encarga de realizar las tareas de inicialización de las variables, asignaciones por defecto, definición de las constantes del problema, etc. También se encarga de leer los datos y las instrucciones que recibe del usuario o de un fichero previamente confeccionado. Para la introducción de la información se dispone un sistema de edición tanto para la introducción de los datos del terreno

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como para los datos de la instalación. El editor se encarga a su vez de producir ficheros que pueden ser leídos directamente sin intervención del usuario. Bloque A: Inicialización, lectura y preparación de los datos. Una vez que se han introducido los datos de la instalación, el algoritmo hace un procesamiento de los mismos. Parte de este procesamiento consiste en segmentar los electrodos de la red según las instrucciones recibidas a la entrada. También se determinan y ordenan los nudos del sistema, considerando como tales los puntos en los cuales existen o coinciden extremos de los electrodos originales. El paso siguiente consiste en analizar las simetrías de la red para evitar posteriormente cálculos repetitivos. Al analizar la topología de la red se identifican todas las configuraciones geométricas diferentes de parejas de segmentos y se les asigna un número entero diferente a cada una de ellas. Las otras configuraciones coinciden con alguna de las anteriores, y por esta razon se les asigna el mismo valor del identificador. Sin embargo, si no existe coincidencia con ninguna de estas, quiere decir que la nueva configuración también es diferente y debe incorporarse en la lista primitiva de configuraciones diferentes. De esta forma se obtiene una matriz que identifica a cada pareja de segmentos con un número entero que tiene la información necesaria para saber si es necesario calcular o asignar el valor de la impedancia de circuito abierto correspondiente. Por último este bloque se encarga de leer a partir de un fichero o mediante el teclado los datos de la inyección de corriente. Se informa al usuario del programa sobre el punto de inyección, la forma de onda y la magnitud de la corriente inyectada. Con esta información el algoritmo evalua la frecuencia máxima y el número de frecuencias que debe analizar el siguiente bloque. En este punto el algoritmo está completamente preparado para comenzar el cálculo de la respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra que se realiza en el bloque siguiente. Bloque B: Respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra.

En este bloque se determinan las impedancias de circuito abierto propias y mutuas de cada uno de los segmentos en que se ha particionado la red de puesta a tierra. El proceso se inicia con la frecuencia más baja que se desea analizar, esta frecuencia puede ser definida por el usuario en un valor cercano a cero tal como 0.001 Hz, 50 Hz, 60 Hz, etc., y posteriormente se va incrementando dependiendo del valor de frecuencia máxima y del número de frecuencias a ser analizadas, valor este que fue calculado en el Bloque A. Una vez establecido el bucle de frecuencia se calculan las constantes de propagación γj para cada uno de los medios

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conductivos. Además se evaluan en este punto algunas variables utilizadas por las rutinas internas que también dependen de la frecuencia. El siguiente paso puede ser considerado como el centro neurálgico del algoritmo y consiste en la evaluación de las impedancias propias y mutuas de circuito abierto de cada uno de los elementos en que se ha particionado la red, a todas las frecuencias de interés. En este parte del programa se concentra la mayor densidad de operaciones matemáticas. Para realizar este proceso se realiza un barrido de cada uno de los electrodos con todos los demás que estén numerados en la inicialización con un índice igual o superior al propio indice del electrodo con la finalidad de reducir las operaciones al considerar el principio de reciprocidad, válido en el entorno de las hipótesis que se están manejando en este modelo. Para cada una de estas parejas se determina la capa en que esta ubicado cada uno de los segmentos y su dirección respectiva. Cuando se conoce la ubicación, dirección y dimensiones de los electrodos se verifica si se debe proceder al cálculo de esta impedancia o si esta información ya se ha calculado anteriormente para otra configuración semejante. Hay que recordar que esta información ha sido previamente almacenada en el Bloque A . Si se detecta que es necesario realizar el cálculo, se invoca a las rutinas correspondientes que permiten el cálculo, según el modelo del terreno y la posición de los electrodos que se están considerando. El proceso que se lleva a cabo para la evaluación de los coeficientes propios y mutuos de la impedancia de circuito abierto se presenta esquemáticamente en el diagrama de bloques de la figura 5.10. Existe un árbol de decisión que dirige el algoritmo al cálculo de la impedancia de circuito abierto según el tipo de terreno (Homogéneo, Biestratificado o Multiestratificado) y según la orientación (xx,yy,zz,xy,xz,yz) de la pareja de segmentos. Una vez seleccionada la rutina que debe realizar el cálculo de la impedancia, se definen los límites de integración, los cuales son restringidos para evitar singularidades numéricas, después se calcula la integración más externa sobre una trayectoria rectilínea definida entre los extremos del primer segmento. Esta primera integración numérica invoca a la segunda integración sobre la trayectoria definida por el otro segmento. La segunda integración tiene que evaluar el campo eléctrico para lo cual es necesario realizar la integración numérica y analítica de expresiones que involucran funciones de Bessel. También es necesario evaluar en este punto los coeficientes indeterminados que ajustan las condiciones de contorno del problema a medida que se va llevando a cabo el proceso de integración.

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Una vez que se ha obtenido el valor de la impedancia de circuito abierto de la pareja de electrodos, es necesario identificar su polaridad relativa, según la dirección que se le ha asignado a cada electrodo en la lectura inicial de coordenadas. Es necesario recordar que muchos términos no se calculan por representar términos topológicamente iguales, sin embargo es necesario definir la polaridad relativa de cada par para asignar correctamente el signo de la impedancia. Cuando se han evaluado o asignado todos los términos de la matriz de impedancia de circuito abierto para una frecuencia dada, se calcula la distribución de la corriente por los segmentos en que se ha particionado la red. Finalmente se incrementa la frecuencia y se repite todo el proceso a la nueva frecuencia, tantas veces como sea necesario hasta que se alcance la frecuencia máxima que se está analizando. Cuando se alcanza la frecuencia máxima, se ha calculado la respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra sometida a un impulso de excitación. La respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra es la información de partida para el último bloque del algoritmo. La respuesta en frecuencia obtenida en el Bloque B, se almacena en un fichero, junto con todos los datos del terreno y de la instalación para permitir que el usuario pueda alcanzar este punto posteriormente sin necesidad de pasar por los dos bloques anteriores cuando quiere obtener nuevos resultados de un caso particular que ha sido analizado previamente. En la Fig. 5.9 se muestra como se transforma al dominio de la frecuencia mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier - FFT - la inyección de corriente que se está aplicando sobre la red de puesta a tierra. Posteriormente se multiplica la respuesta en frecuencia de cada uno de los segmentos de la red, por el espectro en frecuencia de la corriente inyectada. El siguiente paso consiste en realizar la transformada inversa de Fourier mediante los mismos algoritmos rápidos que se han utilizado para realizar la transformación directa. Bloque C: Conversión tiempo-frecuencia-tiempo y resultados. En este bloque se calculan todas aquellas variables en el tiempo o en la frecuencia que son de interés en la solución del problema tales como pueden ser las impedancias de entrada de la red de puesta a tierra, las densidades de corriente drenadas a tierra en un punto cualquiera del espacio, las fuerzas electromotrices en una trayectoria determinada, etc.

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Cálculo de las Impedancias de Circuito Abierto

COEFPOT

¿Coincide la topología de los electrodos con

alguna previa?

Tipo de Subsuelo

Asignacion de los valores calculados anteriormente

RetornoK = H

(H)omogéneo, (B)iestrato, (M)ultiestrato

K = B

K = M

Determinación de la ubicación y dirección de la pareja de electrodos.

MUTXX(K) MUTXY(K) MUTZZ(K) MUTXZ(K)Integración Externa Integración Externa Integración Externa Integración Externa

Integración Interna Integración Interna Integración Interna Integración InternaFXX(K) FXX(K) FZZ(K) FXZ(K)

Integrales del tipo Sommerfeld

Integrales del tipo Sommerfeld

Integrales del tipo Sommerfeld

Integrales del tipo Sommerfeld

Coeficientes Indeterminados

Coeficientes Indeterminados

Coeficientes Indeterminados

Coeficientes Indeterminados

Funciones de Bessel Funciones de Bessel Funciones de Bessel Funciones de Bessel

Retorno Retorno Retorno Retorno

no

si

XX YY XY

YXZZ

XZ YZ

ZX ZY

Fig. 5.10 Diagrama de flujo de la rutina que calcula las impedancias de circuito abierto.

Finalmente se realiza un informe con todos los datos y resultados obtenidos y el algoritmo pregunta al usuario si desea continuar analizando más casos o nuevas redes de puesta a tierra. Dependiendo de la respuesta, el algoritmo culmina el proceso informando sobre todos los tiempos empleados en el análisis, o regresa al Bloque A para introducir nuevos datos o variar algunos de los datos utilizados en el análisis anterior.