Universidad Simón Bolívar

Departamento de Procesos y Sistemas

Guía de Ejercicios de Sistemas de Control Avanzados

PS-4313

Prof. Alexander Hoyo http://prof.usb.ve/ahoyo

ahoyo@usb.ve

Página 2 de 22

ÍNDICE

Pág. Transformada de Laplace 3 Transformada Inversa de Laplace y Resolución de Ecuaciones

Diferenciales 5 Funciones de Transferencia 6 Simplificación de Diagramas en Bloques 7 Modelaje Matemático de Sistemas Mecánicos 9 Modelaje Matemático de Sistemas Eléctricos 11 Modelaje Matemático de Sistemas de Nivel de Líquido 14 Análisis de la Respuesta Transitoria de Sistemas 16 Análisis del Error en Estado Estacionario 20

Página 3 de 22

TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Para cada función temporal, determine por tabla la Transforma de Laplace

correspondiente:

a. [ ] )()cos()(sen)( 21

21

21 tutetetf tt ⋅−−= −−

b. [ ] )()(3

85

25

925

310 tueettf tt ⋅++−= −−

c. [ ] )()(sen)( tuwttf ⋅+= ϕ

d. [ ] )()12cos(1)(4.0 tutetf t ⋅−= −

e. [ ] )()4(sen)( 3 tuttf ⋅+= π

f. [ ] )(1)(2 tuettf at ⋅−= −

g. [ ] )()( tuBeAetf btat ⋅+= −−

h. [ ] )()2(sen2)()(3 tuteettf tt ⋅++= −−δ

i. [ ] )(124)(2 tutttf ⋅−+=

j. )2cosh()( ttf =

2. Determine la Transforma de Laplace de las siguientes funciones aplicando la

definición de la Transformada:

LLLL12 [ ] ∫∞

−=0

)()( dttfetf st

a.

≥

<=

02

00)(

2tt

ttf

b.

≥

<=

0)2cos(3

00)(

tt

ttf Utilizar ( )ϕϕϕ jj ee −+=

2

1cos

c.

≥

<=

0

00)(

21 tt

ttf

d.

≤≤

<=

211

10)(

t

ttf

e.

>

≤≤

<

=

20

20

00

)(

t

tt

t

tf

f.

>

≤≤

<

=−

2

20

00

)(

te

tk

t

tft

constante→k

Página 4 de 22

3. Determine la Transforma de Laplace de la función aplicando el teorema de diferenciación compleja:

LLLL12 [ ] )()(2

22

sFds

dtft =

≥

<=

0)cos(

00)(

2twtt

ttf

4. Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente función:

≥

<=

−0

00)(

2tet

ttf

at

5. Obtener la Transformada de Laplace de la función que se muestra en la siguiente figura (rampa trasladada):

6. Obtenga la Transformada de Laplace de la función )(tf que se muestra en la figura:

1 2

1

)(tf

)(segt 0

1 2

1

)(tf

)(segt 0

Página 5 de 22

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Determine la función del tiempo )(tf correspondiente a cada función )(sF

a. )10(

)5(10)(

+

+=

ss

ssF

b. )4(

2010)(

2 +

+=

ss

ssF

c. 256

25)(

2 ++=

sssF

d. 2

)4(

55)(

+

+=

ss

ssF

e. )1(

1)(

2 +

−=

ss

ssF

f. )3)(2(

)1(5)(

++

+=

ss

ssF

g. )5)(1(

6)(

++=

sssF

h. )2(

1)(

−=

sssF

i. )1(

1)(

2 −=

sssF

j. 4

32)(

2 −

+=

s

ssF

k. 23

795)(

2

23

++

+++=

ss

ssssF

l. )4(

1)(

2 +=

sssF

m. )1(

1)(

22 +=

sssF

n. 2)1(

1)(

2 ++=

ssF

2. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales:

a. 3)0`(;0)0(:.

0)(2)(')(''

==

=−+

yyInicialesCond

tytyty

b. 3)0`(;0)0(:.

)(3)('4)(''

==

=+

xxInicialesCond

txtxtx

c. 7)0`(;1)0(:.

0)(3)('2)(''

==

=−+

yyInicialesCond

tytyty

d. 2)0`()0(:.

)(8)('4)(''

==

−=+

xxInicialesCond

txtxtx

e. 8)0`(;1)0(:.

)(8)('2)(''

==

=+

yyInicialesCond

tytyty

f. 0)0`(;2)0(:.

)(2)(8)('4)(''

==

=++

xxInicialesCond

ttxtxtx δ

g. 4)0`(;0)0(:.

0)(3)('2)(''

==

=−+

xxInicialesCond

txtxtx

Página 6 de 22

h. 0)0`()0(:.

)()()(''2

==

=+

xxInicialesCond

ttxtx δ

i. [ ]

3)0`(;0)0(:.

)(6)('3)(''

==

+−=

xxInicialesCond

txtxtx

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 1. Obtener la función de transferencia del sistema definido por las siguientes

ecuaciones:

B

thty

tytxtAh

)()(

)()()('

=

−=

Asumir A y B como constantes )(th salida del sistema, 0)0( =h

)(tx entrada del sistema

2. Repetir el ejercicio anterior tomando como salida del sistema a )(ty

3. Obtener la función de transferencia del sistema definido por la siguiente ecuación

diferencial, )(ty es la salida y )(tx es la entrada, asumir todas las condiciones

iniciales en cero (a, b y c son constantes):

[ ] [ ])()()()(')('' tytxctxtybtay −+−−=

4. Determine la función de transferencia )(

)(

sV

sV

i

o del sistema definido por las ecuaciones

(L, R y C son constantes, asumir todas las condiciones iniciales en cero):

∫

∫

=

=++

)()(1

)()(1

)()(

tvdttiC

tvdttiC

tRidt

tdiL

o

i

5. Determine la función de transferencia )(

)(

1

2

sX

sX del sistema definido por las siguientes

ecuaciones, asumiendo todas las condiciones iniciales en cero (m, k1, k2 y b son constantes):

[ ]

[ ] )(')()(

0)()()()(''

2211

122111

tbxtxtxk

txktxtxktmx

=−

=+−+

Página 7 de 22

SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS EN BLOQUES

1. Obtener la función de transferencia total )(

)(

sR

sCde los sistemas representados por los

siguientes diagramas de bloques:

Página 8 de 22

Página 9 de 22

MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS

1. Obtener la función de transferencia )(

)(sR

sX del siguiente sistema (Asumir las

condiciones iniciales en cero):

2. Obtener las funciones de transferencia )(

)(1

sRsX

, )(

)(2

sRsX

de los siguientes

sistemas (Asumir las condiciones iniciales en cero)::

3. Determinar la respuesta )(tx del siguiente sistema mecánico, sabiendo que:

[ ][ ][ ]

[ ]Nttr

msNb

mNk

Kgm

)(10)(

/8

6

2

δ⋅=

−=

−=

=

Página 10 de 22

4. Dado el siguiente sistema mecánico traslacional:

Donde: m masa [1 Kg] k ctte. Resorte [20 N-m] b coef. de fricción viscosa del amortiguador [9 N-seg/m] Obtener la función de transferencia

)(

)(

sP

sX asumiendo todas las condiciones

iniciales en cero. Determine la función del tiempo correspondiente de )(tx si la entrada es

ttp 10)( =

5. Dado el siguiente sistema, obtener las funciones de transferencia )(

)(1

sRsY

,

)()(

1

sRsY

asumiendo las condiciones iniciales en cero.

Página 11 de 22

MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS 1. Obtener la ecuación diferencial de cada uno de los sistemas eléctricos mostrados y

hallar la magnitud especificada en el circuito en función de R, L, C y V:

Página 12 de 22

2. Hallar la función de transferencia )(

)(

sV

sV

i

o en cada uno de los circuitos:

3. Dada el siguiente circuito eléctrico, hallar las funciones de transferencia )(

)(sV

sI

g

,

)()(

sVsV

g

L y )(

)(sV

sV

g

R . Hallar la expresión de la corriente )(ti si )(5)( tutvg = .

Página 13 de 22

4. Para el sistema de control de armadura del servomotor de corriente directa (DC) mostrado en la siguiente figura:

Donde:

Ra=Resistencia de Armadura [36 Ω] La=Inductancia de Armadura [1 H]

ia=Corriente de Armadura [A] if= Corriente de campo [A]

ea=Tensión de Armadura [V] eb=Fuerza Contra-electromotriz [V]

θ=Desplazamiento Angular [rad] T=Par desarrollado por motor [N-m]

J=Inercia [1 Kg-m2]

b=Coeficiente de Fricción [9 N-m/rad/seg] K Constante [13]

Kb Constante de Fuerza C-E [2]

Y sabiendo que la función de transferencia que relaciona al desplazamiento angular

)(tθ y la tensión de armadura )(tea

es:

))(()(

)(2

baaaaa KKbRsJRbLJsLs

K

sE

s

++++=

Θ

Obtener la expresión matemática de )(tθ si )(10)( tutea

= .

5. Hallar la función de transferencia )(

)(

sV

sV

i

o en el siguiente circuito eléctrico:

6. Hallar la función de transferencia )(

)(

1

2

sV

sV en función de R1, R2, L y C en el siguiente

circuito eléctrico:

Página 14 de 22

MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS DE NIVEL

1. Obtener las funciones de transferencia )(

)(sQ

sQ

i

o y )(

)(sQ

sH

i

del siguiente

sistema, asumiendo que el flujo es laminar.

2. Dado el siguiente sistema determinar la función de transferencia )(

)(sQ

sQ

i

o .

3. En el siguiente sistema, los tanques poseen la misma capacitancia, determine la

función de transferencia )(

)(sQ

sQ

i

o .

Página 15 de 22

4. Determine las funciones de transferencia )(

)(sQ

sQ

i

o , )(

)(2

sQsH

i

, )(

)(1

sQsQ

i

y

)()(

1

sQsH

i

del sistema:

Página 16 de 22

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS

1. Dado el siguiente sistema realimentado, determine el tiempo de estabilización st

para el valor de K indicado. Cuanto varía el st

cuando 25=K .

15.0

2)(

+=

ssG

1)( =sH

2. Dado los sistemas de segundo orden, especificar el tipo de amortiguamiento,

determinar los valores de nw

, ζ y obtener la respuesta temporal del sistema.

a)

b)

c)

d)

3. En el sistema mostrado, determine los valores de K y b de modo que el sistema

tenga una relación de amortiguamiento 7.0=ζ y un frecuencia natural no

amortiguada segrad

nw 4= .

4. Determine el valor de b en el sistema de modo que la relación de amortiguamiento

sea 0.5. Luego obtenga el tiempo de crecimiento, tiempo de pico, % de

sobreimpulso máximo y tiempo de estabilización.

Página 17 de 22

5. Hallar el valor de K para que el sistema en lazo cerrado presente un

amortiguamiento crítico. Hallar el rango de valores de K para que el sistema este

sub-amortiguado y para que este sobre-amortiguado.

6. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado del siguiente sistema.

• Si 5.02

=K , hallar el valor de 1

K para que el sistema este críticamente

amortiguado.

• Si 12

=K y 21

=K , especifique que tipo de amortiguamiento posee el sistema,

cual es el valor de la relación de amortiguamiento ζ en este caso.

• Para los casos anteriores determine la expresión matemática de la respuesta

temporal del sistema )(tc si se le aplica al sistema una entrada de posición.

7. Dado el siguiente sistema determine la expresión de la respuesta temporal del

sistema a una entrada escalón unitario. Especificar el tipo de amortiguamiento y

determinar nw

, ζ .

8. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado y determine la respuesta temporal

del sistema a una entrada escalón unitario. Determinar nw

, ζ .

Página 18 de 22

9. Determine los valores de ζ y n

w de modo que el sistema mostrado responda a una

entrada escalón unitario con aproximadamente 5% de sobreimpulso máximo y un

tiempo de estabilización de 2 segundo.

10. Dadas las gráficas de la respuesta temporal de sistemas a un escalón unitario,

estimar los valores de pt , r

t , pM% y s

t en cada caso.

Escala de tiempo en segundos

a.

Página 19 de 22

b.

c.

11. Dado el siguiente sistema, hallar el valor de K para que el sistema responda con un

sobreimpulso máximo de 10%.

Página 20 de 22

ANÁLISIS DEL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO DE SISTEMAS 1. Dado el sistema realimentado, calcular el valor de la ganancia del controlador

proporcional para obtener un error en estado estacionario de 5%.

12

1)(

+=

ssG

2. Considere un sistema con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo

abierto:

)()(

BJss

KsG

+=

a. Determinar el tipo de sistema. b. Hallar la función de transferencia en lazo cerrado. c. Si se aplica en la entrada R(s) una rampa unitaria, hallar la expresión en el

dominio de Laplace del error E(s). d. Hallar la constante de error estático de velocidad Kv y el ess.

3. Considere el sistema con realimentación unitaria y cuya función de transferencia de

lazo cerrado es:

bass

bKs

sR

sC

++

+=

2)(

)(

a. Determine la función de transferencia de lazo abierto G(s). b. Determine el error en estado estacionario para una rampa unitaria. c. ¿Qué le pasa al ess si K=a?

4. Dado el sistema, si la función de transferencia )(sG es la especificada y la función

de transferencia del controlador (Control PID – Proporcional Integral Derivativo) es:

++= sT

sTKsG d

i

pc

11)( con 4=pK , 5=

iT y 2=

dT .

)10)(1(

1)(

++=

ssssG

Página 21 de 22

a. Determine el tipo de sistema. b. Hallar el error en estado estacionario si se aplica una entrada de aceleración. c. Determine el error en estado estacionario si se anula la acción integral en el

controlador ( )∞→i

T . 5. Hallar el error en estado estacionario en el siguiente sistema si la función de

transferencia )(sG es la especificada.

12

1)(

2 ++=

sssG

a. Para una entrada de posición. b. Para una entrada de velocidad. c. Para una entrada de aceleración.

6. Hallar el error en estado estacionario en el sistema, para cada controlador )(sG

c si

la función de transferencia )(sG es la especificada, 2

1)(

ssR = .

absssG

++=

2

1)(

a. )1()( sTKsGdc

+= Control PD Proporcional Derivativo

b.

+=

sTKsG

i

c

11)(

Control PI Proporcional Integral

Página 22 de 22

7. Considere un sistema con realimentación unitaria como el mostrado:

23

10)(

+=

ssG

Parte a)

23)(

+=

s

KsG

Parte b)

a. Si se aplica una entrada de posición, determine el error en estado estacionario

y el tiempo de estabilización. b. Cuanto debe ser K para que el sistema tenga un error en estado estacionario

del 1%. En estas condiciones, cual es el tiempo de estabilización del sistema.

8. Dado el siguiente sistema, determine el valor de K para que el error en estado

estacionario ante una entrada escalón unitario sea del 2% y determine el valor del

tiempo de estabilización del sistema.

9. Dado el siguiente sistema determine, el error en estado estacionario y las constantes

de error estático de posición, velocidad y aceleración.