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Sofía Guerra 05-38287

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Universidad Simón Bolívar

Departamento de Conversión y Transporte de Energía

Autor: Sofía Guerra. Carné: 05-38287

Profesor: J. M. Aller

Tarea 2

Máquinas Eléctricas III

CT-4311

Determine el lugar geométrico de una máquina sincrónica de polos salientes incluyendo el efecto de la saturación, a partir de datos suministrados por un fabricante. Utilice un programa en algún entorno de su preferencia (Mathematica, MathCad, Octave, Matlab, Fortran, C++, etc). Indique en este diagrama:

1. Punto nominal 2. Potencias activas y reactivas 3. Fuerzas electromotrices máximas y mínimas 4. Ángulos de carga máximos 5. Área de operación en corriente de armadura, potencia aparente y fuerza

electromotriz

Notas:

1. Los ejemplos utilizados deben ser individuales, así como los programas 2. Deberá entregar el programa, los gráficos obtenidos y el catálogo donde

obtuvo los datos de la máquina sincrónica de polos salientes 3. Deberá reportar una descripción de los resultados obtenidos

Solución

La máquina a utilizar es una máquina sincrónica de polos salientes:

Figura 1. Tipos constructivos de máquinas síncronas. Extraída de [2] Las posibles condiciones de operación de la máquina sincrónica circunscriben las diferentes variables que definen su comportamiento, en ciertos rangos y figuras geométricas cuando se representan gráficamente.


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Los Datos de Placa de la máquina a utilizar para la realización de la tarea, los cuales fueron extraídos del paper “Virtual Laboratory for Study of Synchronous Machine Parameters”, son los siguientes: Generador Sincrónico con: SN=440MVA UN=6300V n1=1000rpm f1=50Hz p=3 cosφN=0.8 ind. Los parámetros de la máquina son: Reactancia del eje de directo xd = 1.4 Reactancia del eje de cuadratura xq= 0.8 Los valores anteriores para las reactancias exceden los rangos típicos para las reactancias de una máquina de polos salientes y rotor liso los cuales son para la reactancia del eje directo 0.8 < xd < 1.2 pu mientras que para la reactancia del eje de cuadratura están comprendidas normalmente entre 0.4 < xq < 0.7. Como se debe determinar el lugar geométrico de la máquina sincrónica de polos salientes incluyendo el efecto de la saturación se asumirá que la reactancia de dispersión es de Xσ = 0.15 en por unidad. Por otro lado, se asumirá también que la prueba de vacío de la máquina utilizada para la realización de esta tarea es la curva que se puede apreciar en los anexos, gráfica que se llevo a valores en por unidad, para posteriormente obtener mediante la regresión lineal la ecuación de la misma. Los puntos que se tomaron de la curva de vacío dada fueron los siguientes, también se incluye en la tabla los puntos llevados a por unidad utilizando las bases de la máquina a la cual corresponde dicha curva, entonces: Bases de la máquina: Voltaje = 13200V Corriente = 918 A


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Tabla 1. Valores de la curva de característica de vacío en real y en por unidad

Corriente [A] Tensión [V] Corriente [p.u.] Tensión [p.u.]

0 0 0 0

12.5 100 0.0628 0.0758

25 200 0.1256 0.1515

37.5 270 0.1884 0.2045

50 350 0.2513 0.2652

62.5 450 0.3141 0.3409

75 540 0.3769 0.4091

87.5 630 0.4397 0.4773

100 710 0.5025 0.5379

112.5 800 0.5653 0.6061

125 890 0.6281 0.6742

137.5 970 0.6910 0.7348

150 1050 0.7538 0.7955

162.5 1130 0.8166 0.8561

175 1210 0.8794 0.9167

187.5 1270 0.9422 0.9621

200 1330 1.0050 1.0076

212.5 1390 1.0678 1.0530

225 1450 1.1307 1.0985

237.5 1480 1.1935 1.1212

250 1520 1.2563 1.1515

262.5 1560 1.3191 1.1818

275 1590 1.3819 1.2045

287.5 1630 1.4447 1.2348

300 1650 1.5075 1.2500

312.5 1680 1.5704 1.2727

325 1700 1.6332 1.2879

337.5 1730 1.6960 1.3106

350 1750 1.7588 1.3258

362.5 1770 1.8216 1.3409

375 1790 1.8844 1.3561

387.5 1810 1.9472 1.3712

400 1830 2.0101 1.3864

Luego de obtener estos valores se procedió a la graficación de los mismos en el programa Excel, donde se utilizó la herramienta de la curva de tendencia polinomial para obtener así la ecuación de la gráfica, entonces:


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Característica de vacío de la máquina síncrona en por unidad

y = -0.1707x6 + 1.0396x

5 - 2.2392x

4 + 1.9286x

3 - 0.7258x

2 + 1.1704x + 0.0031

R2 = 0.9999

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

if

V

Figura 2. Característica de vacío de una máquina sincrónica.

Como se puede apreciar la ecuación presentada en el gráfico es la siguiente:

0031.01704.17258.09286.12392.20396.11707.0 23456++−+−+−= xxxxxxy

donde y = Ef y x =if.

0031.01704.17258.09286.12392.20396.11707.0 23456++−+−+−= ififififififEf

Seguidamente, luego de obtener la ecuación de la gráfica en por unidad, se procede a derivarla para así obtener la característica lineal de la misma cuando if=0. La expresión queda de la siguiente manera:

1704.14516.17858.59568.81980.50242.1 2345+−+−+−= ifififififEf

La expresión que rige la característica de linealidad es la siguiente:

ifEf 1704.1=

Las gráficas obtenidas fueron las siguientes, al realizar un barrido de factores de potencia a S nominal, también para P constante, así como para Efmáxima, para obtener los lugares geométricos de las corrientes y fuerza electromotriz (Gráfico 1) y potencias activas y reactivas con todas las limitaciones de la máquina (Gráfico 2). A saber:


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Gráfico 1

Grafico 2


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El lugar geométrico general de la máquina sincrónica de polos salientes con saturación viene dado por:

Figura 3. Diagrama Fasorial de la máquina sincrónica con saturación Se indicarán a continuación cada uno de los puntos de la tarea de manera detallada:

1.- Punto Nominal

Figura 4. Punto Nominal de la máquina sincrónica con saturación


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El punto nominal corresponde a los siguientes valores en por unidad:

VN=1+j0

IN=0.8-j0.6

cosφN=0.8

SN=1

PN=0.8

2.- Potencias activas y reactivas

Figura 5. Zona de operación de las potencias activas y reactivas de una máquina

sincrónica con saturación.

Las potencias sólo podrán tomar o adquirir valores que se encuentren dentro del

área sombreada por el color azul. Es decir que están comprendidas:

P = [-0.8 ,0.8]

Q = [-0.6 , 0.6]


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3.- Fuerzas Electromotrices máximas y mínimas

Figura 6. Fuerzas electromotrices de la máquina sincrónica con saturación

La fuerza electromotriz máxima ocurre en el punto nominal, debido a que en ese punto la corriente de campo corresponde a la máxima. Efmax=1.097+j0.4745 pu |Efmax|=1.1952 pu La fuerza electromotriz mínima es cuando la potencia eléctrica es igual a la potencia mecánica. Por lo que es hallado gráficamente, por tanto su valor será el siguiente: Efmax=0.8+j0.612 pu |Efmax|=1.0072 pu

4.- Ángulos de carga máximos.

Para obtener el ángulo de carga máximo se acudió a la fórmula, que puede ser apreciada en el capítulo 8 de [1].

−−+

−=

eqd

fq

eqd

fq

VXX

EX

VXX

EX

)(42

1

)(16arccos

22

22

maxδ

El mismo dio como resultado:

δmax=63.3587


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5.- Área de operación en corriente de armadura, potencia aparente y fuerza electromotriz. A través de los gráficos anteriores se pueden identificar las regiones posibles de operación de la máquina que aseguran el funcionamiento de la máquina dentro de los límites operacionales. Las regiones posibles de operación aparecen rellenadas en color azul en los siguientes gráficos:

Figura 7. Área de Operación de la máquina sincrónica con saturación

Otra manera de ver la zona de operación de la máquina es observando el diagrama PQ, que se muestra a continuación (S=P+jQ posibles)

Figura 8


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Descripción de los resultados obtenidos

No todo es posible como se puede apreciar en las ecuaciones para la máquina sincrónica, hay muchas limitaciones que van ocurriendo durante la operación de la misma y ahora se le agrega el efecto de la saturación. Cuando el material magnético de una máquina se satura, la relación entre la corriente del campo y el enlace de flujo que esta corriente produce ya no es lineal. Como la reactancia del eje cuadratura no se satura debido a que su entrehierro es mucho más grande que el correspondiente al eje directo, es posible obtener la posición de estos ejes directamente. Por otro lado la posición de la fuerza electromotriz detrás de la reactancia de dispersión Ee es necesaria para la determinación del valor de Eq que define el grado de saturación a través de la característica de vacío de la máquina. Las fuerzas magnetomotrices de los ejes directo y cuadratura no se pueden sumar porque están aplicadas sobre caminos magnéticos diferentes, con reluctancias diferentes. Si excedemos la corriente nominal o corriente del estator lo que le pasa a la maquina normalmente es que se caliente y en régimen permanente si se mantiene la temperatura por encima se dañará, debido a que la máquina no puede trabajar con corrientes mayores a esa corriente nominal. Eso nos permitiría trabajar en una especie de circulo en el cual en cualquier punto del circulo podríamos tener corrientes inferiores a la corriente nominal y no seria nada malo. Nos define un determinado recorrido. Tiene una implicación inmediata en la maquina sincrónica que la tensión que produce una caída, si esta caída es la máxima se produce un segundo círculo con la dimensión de la caída ya la maquina no solo tiene una limitación de corriente de armadura, si no que este nuevo circulo nos da las fuerzas electromotrices de campo, no podemos tener la fuerzas electromotrices que queramos todas deben estar dentro de este lugar geométrico. Como Ef es proporcional a la corriente de campo no podemos colocarle a la máquina cualquier corriente de campo si no que se debe colocar la corriente adecuada que este dentro de la nueva zona de operación, solamente corrientes de campo que tengan que ver con estas fuerzas electromotrices va a poder funcionar para la máquina. En general las máquinas tienen un punto conocido como el punto nominal, en este tenemos la corriente nominal, la tensión nominal junto con el factor de potencia, la proyección de esta corriente sobre este punto multiplicado por la tensión será proporcional a la potencia nominal, normalmente este será el valor de la turbina que se le coloca al generador, nunca se podrá trabajar a mas allá de esta zona, se tendrá una característica de las corrientes que no pueden proyectar mas allá de la recta. Lo que realmente define el punto nominal de la máquina sincrónica es la corriente de campo máxima, es decir este punto termina identificando la corriente de campo máxima que es la corriente con la que se consigue el factor de potencia máximo de la máquina. La corriente de campo nominal es aquella corriente que en vacío produzca la tensión nominal de armadura ya que cuando se quiere sincronizar la máquina se debe saber la corriente que se necesita en el campo para que cuando la maquina este girando a velocidad sincrónica se pueda tener la misma tensión en la red que en la máquina. Cuando se coloca la máquina en tensión nominal, factor de potencia nominal y la corriente nominal y en ese momento se calcula la corriente de campo, la fuerza electromotriz es máxima y corresponde a la corriente de campo máxima, mientras la Ef que corresponde a la tensión nominal corresponde a la corriente nominal de campo.


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Si se observa el lugar geométrico obtenido para la Asignación numero 1, se tendrá lo siguiente:

(a) (b)

Figura 9. Lugar geométrico para la máquina sin saturación (a) y con saturación (b) Se puede apreciar que al existir saturación el área de operación se reduce en comparación al lugar geométrico de la máquina sin saturación. Por otro lado las fuerzas electromotrices disminuyen debido a la saturación que presenta el sistema. Se traducen estas limitaciones a limitaciones sobre las corrientes de armadura de la máquina. Si se puede entregar tanta P o tanta Q con la máquina pueda, en el modelo P-Q se tiene una característica de la máquina y la zona en que la máquina puede entregar esa potencia. El punto de Potencia reactiva máxima (Qmax) va a depender del punto de operación que se tenga, desde el punto nominal en adelante se puede ir subiendo En la máquina de polos salientes con el punto nominal vamos a obtener el vector D y el y la corriente de campo máximo que define directamente el punto de la Fuerza Electromotriz máxima, cuando la corriente se mueve alrededor del círculo, formando como se puede apreciar en el Figura 9 (a) una especie de “Lenticata” donde esta será la zona de operación, que es lo que se esperaba al trabajar con una máquina sin saturación y a su vez porque se esta trabajando con una máquina sincrónica de polos salientes. El punto nominal es el punto crítico donde empieza a salirse y por eso toma esta forma de “ala de mariposa”. Si se observa Figura 9 (b), al existir la saturación la forma de la “Lenticata” desaparece, y se observa una especie de media luna, la abertura de dicha luna se deberá al grado de saturación al que este sometida la máquina, luego de probar con diferentes valores, se pudo apreciar que para grados de saturación mayores esa abertura será mayor, y viceversa cuando el grado de saturación sea menor se podrá apreciar una forma un poco mas circular.


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El algoritmo utilizado para obtener las gráficas anteriores aparece a continuación y se implemento en el programa MATLAB. %Lugar Geométrico de una Máquina Sincrónica de polos salientes

incluyendo %el efecto de la saturación

%Datos nominales de la máquina en por unidad Van = 1; Ien = 1; San = 1; CosFin = 0.8;

%Parámetros de la máquina en por unidad Xd = 1.4; Xdisp = 0.15; Xq = 0.8; Re = 0.0;

Fi = 0:-.01:-2*pi; % Vector de factores de potencia Ie = Ien*(cos(Fi)+j*sin(Fi)); % Vector de corrientes de armadura

nominal a diferentes fp D = Van + (Re+j*Xq).*Ie; % Vector D para cada corriente Ee = Van+i*(Xdisp*Ie); % Posición de la fuerza electromotriz detrás de

la reactancia de dispersión AbsEe=abs(Ee); CosPhases=cos(phase(D)-phase(Ee))'; Eq = AbsEe*CosPhases; % Fuerza electromotriz que define el grado de

saturación a traves de la caracteristica de vacio iflin=Eq/1.1704; ysat=-0.1707*x^6+1.0396*x^5-2.2392*x^4+1.9286*x^3-

0.7258*x^2+1.1704*x+0.0031; ifsat = fsolve(x,ysat); s = ifsat/iflin; %Grado de saturación Xdsat=(Xd/s)+((1-s)/s)*Xdisp; %Reactancia del eje directo incluyendo

la saturación delta = atan2(imag(D),real(D)); % Vector de ángulo de carga para cada

corriente Idn = Ien*sin(delta-Fi).*(sin(delta)-j*cos(delta)); % Cálculo de la

corriente Id Ef = D + j*(Xdsat-Xq).*Idn; % Cálculo de la fuerza electromotriz

P = abs(Ef)*Van.*sin(delta)/Xdsat+Van^2*(Xdsat-

Xq)*sin(2*delta)/(2*Xdsat*Xq); % Cálculo de la potencia activa Q = abs(Ef)*Van.*cos(delta)/Xdsat-

Van^2*(Xq*cos(delta).^2+Xdsat*sin(delta).^2)/(Xdsat*Xq); % Cálculo de

la potencia reactiva S = P+j*Q; % Potencia aparente

%Cálculo de la fuerza electromotriz Ef en el punto nominal %Ef posibles Fin = acos(CosFin); Iex = Ien*(cos(Fin)-j*sin(Fin)); Dx = Van + (Re+j*Xq)*Iex; Eex = Van+i*(Xdisp*Ie); AbsEex=abs(Eex); CosPhasesx=cos(phase(Dx)-phase(Eex))'; Eqx = AbsEex*CosPhasesx; % Fuerza electromotriz que define el grado de

saturación a traves de la caracteristica de vacio iflinx=Eqx/1.1704;


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ysatx=-0.1707*x^6+1.0396*x^5-2.2392*x^4+1.9286*x^3-

0.7258*x^2+1.1704*x+0.0031; ifsatx = fsolve(x,ysatx); sx = ifsatx/iflinx; %Grado de saturación deltax = atan (imag(Dx)/real(Dx)); Idx = Ien*sin(deltax+Fin).*(sin(deltax)-j*cos(deltax)); Efx = Dx + j*(Xdsat-Xq).*Idx; Efmax = abs(Efx)*(cos(Fi)+j*sin(Fi)); %Magnitud de la fuerza

electromotriz máxima para cada Fi Pefmax=abs(Efx)*Van.*sin(delta)/Xdsat+Van^2*(Xdsat-

Xq)*sin(2*delta)/(2*Xdsat*Xq); %Potencia activa para Efmáx Qefmax=abs(Efx)*Van.*cos(delta)/Xdsat-

Van^2*(Xq*cos(delta).^2+Xdsat*sin(delta).^2)/(Xdsat*Xq); %Potencia

reactiva para Efmáx Sefmax=Pefmax+j*Qefmax; %Potencia aparente a Efmáx para cada Fi Ptonom=(real(Iex)+i*imag(Iex)); y=-1.5:0.001:1.5; IPgen=real(Iex); IPmot=-IPgen; y1=-1.5:0.001:1.5; IQgen=imag(Iex); IQmot=-IQgen; %f=Van+(1i*Xq)*Ie;

%Gráfico de los lugares geométricos figure(1) plot(Ef,'k'),hold on,grid on; plot(Ie,'y'); plot(Efmax,'r'); plot(Ptonom,'k*:'); %plot(f); plot(Ee); axis('equal');

%S=P+jQ posibles Fi1 = -3.2*pi/8:0.01:3.2*pi/8; % Vector de posibles fp de operación P1=real(Iex); %Valor de Plímite Iemag1=P1./(cos(Fi1)); %Magnitud de Ie Ie1 = Iemag1.*(cos(Fi1)+j*sin(Fi1)); % Vector de corrientes de

armadura a Pconstante D1 = Van + (Re+j*Xq).*Ie1; % Vector de fasores D para cada corriente delta1 = atan2(imag(D1),real(D1)); % Vector de ángulos de carga para

cada Ie Id1 = Iemag1.*sin(delta1-Fi1).*(sin(delta1)-j*cos(delta1)); % Cálculo

de la corriente Id Ef2 = D1 + j*(Xdsat-Xq).*Id1; % Cálculo de la fuerza electromotriz

%Gráfico de corrientes de armadura y Ef a P=real(Iex) plot (Ef2,'b');

P2=-real(Iex); %Valor de Plímite Iemag2=P2./(cos(Fi1)); %Magnitud de Ie Ie2 = Iemag2.*(cos(Fi1)+j*sin(Fi1)); % Vector de corrientes de

armadura a Pconstante D2 = Van + (Re+j*Xq).*Ie2; % Vector de fasores D para cada corriente delta2 = atan2(imag(D2),real(D2)); % Vector de ángulos de carga para

cada Ie Id2 = Iemag2.*sin(delta2-Fi1).*(sin(delta2)-j*cos(delta2)); %Cálculo

de la corriente Id Ef3 = D2 + j*(Xdsat-Xq).*Id2; % Cálculo de la fuerza electromotriz


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%Se incorporan al gráfico anterior los lugares geométricos de Ie y Ef

a P=-real(Iex) plot (Ef3,'b');

plot(IPgen,y,'m'); plot(IPmot,y,'m-.'); plot(y1,IQgen,'g'); plot(y1,IQmot,'g-.'); hold off; title('Lugar geométrico Ef e Ie') xlabel('Real') ylabel('Imaginario') legend('Ef','Ie','Efmax','Ptonom','Ef a +P','Ef a -

P','IPgen','IPmot','IQgen','IQmot','Location','NorthEastOutside')

%Se grafica ahora el lugar geométrico para las potencias S=P+j*Q a S

constante, Pconstante y Efmáx Q1=abs(Ef2)*Van.*cos(delta1)/Xdsat-

Van^2*(Xq*cos(delta1).^2+Xdsat*sin(delta1).^2)/(Xdsat*Xq); S1=P1+j*Q1; Q2=abs(Ef3)*Van.*cos(delta2)/Xdsat-

Van^2*(Xq*cos(delta2).^2+Xdsat*sin(delta2).^2)/(Xdsat*Xq); S2=P2+j*Q2;

figure(2) plot(S,'g'),hold on,grid on; plot(S1); plot(S2) axis('equal'); plot(Sefmax,'r'),hold off; title('Lugar geométrico P y Q') xlabel('P') ylabel('Q') axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]); % Escalas del gráfico en p.u.

Bibliografía: [1] Máquinas Eléctricas Rotativas. J. M. Aller. Edicion 2007. Editorial Equinoccio. [2] Máquinas Eléctricas. Jesús Fraile Mora. Sexta Edición 2008. Editorial Mc Graw Hill.


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ANEXOS


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