Interacción máquina sincrónica-sistema eléctrico

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

Tarea 1

MAQUINAS ELECTRICAS I

Interaccion generador sincronico-sistema de potencia

AUTORES

NICOLAS REYES CERDA

LEONARDO RUIZ CONSTENLA

PROFESOR

JORGE JULIET AVILES

Agosto 2013

Departamento de Ingeniera Electrica U.T.F.S.M. ELI-326 Maquinas Electricas

Indice General

1. Introduccion 4

2. Resumen Ejecutivo 5

3. Aspectos Teoricos 6

3.1. Ecuaciones de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Modelamiento del SEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1. Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.2. Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.3. Lneas de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.4. Banco capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Preambulo 10

4.1. Definicion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2. Planteamiento de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3. Ecuaciones del generador sincronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4. Ecuaciones del SEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Sincronizacion 15

5.1. Sincronizacion suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2. Sincronizacion gruesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3. Efecto de la ausencia de jaula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.1. Sincronizacion suave sin jaula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.2. Sincronizacion gruesa sin jaula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Inyeccion de Potencia 28

6.1. Calculos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2. Inyeccion de potencias al Sistema Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3. Evolucion transitoria del momento electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4. Inyeccion de potencia considerando Sistema Equivalente en barra I . . . . . . . . . . . 40

7. Conexion del Banco de Condensadores 44

7.1. Efecto de la conexion repentina del banco de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2. Comportamiento de las variables relevantes al conectar banco capacitivo. . . . . . . . 46

LR/NR 2


7.3. Comportamiento de las variables, considerando una menor resistencia en la lnea 2. . . 50

8. Conclusion General 53

9. Anexos 54

9.1. Anexo 1: Detalles diagramas de bloques SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

LR/NR 3


1. Introduccion

En un sistema electrico de potencia (SEP) interactuan una serie de elementos, como por ejemplo:

generadores (tanto su seccion electrica como mecanica), lneas de transmision, transformadores, con-

densadores para compensacion (serie o paralelo), interruptores, cargas, convertidores, motores, etc.

En general resulta de interes conocer no solo el comportamiento estacionario del sistema (punto de

trabajo, flujos de potencia, asimetras estacionarias), sino tambien conocer el comportamiento tran-

sitorio ante fallas, maniobras y perturbaciones en general. En muchos de estos casos suele originarse

oscilaciones de potencia en el sistema (movimiento de baja frecuencia de los rotores de los generadores

en torno a la velocidad sincronica), y tambien oscilaciones transitorias en las variables electricas y

electromagneticas, que en general son de mas alta frecuencia. Las respuestas transitorias, por lo tanto,

dependen de los parametros de los distintos elementos que conforman el sistema. Tales parametros

pueden depender de la frecuencia. Desde el punto de vista de un generador sincronico interactuando

con un SEP interesa estudiar los fenomenos transitorios para evaluar su efecto en aspectos como: oscila-

ciones del sistema mecanico, posibilidades de resonancia en este, posibilidad de fatiga en el material de

los ejes mecanicos, perdidas adicionales en el devanado amortiguador, sobrecorrientes, sobretensiones,

respuesta de los reguladores de velocidad y tension, perdida de estabilidad, aparicion de oscilaciones

autoexcitadas, inyeccion de corrientes armonicas, etc.

Ante eventos transitorios, es posible encontrar modelos simplificados para los generadores sincronicos

y para el SEP, cuyos parametros dependeran del caracter del fenomeno (duracion, rapidez de la

perturbacion, intervalo de tiempo valido para el fenomeno bajo estudio). As, es posible llegar a

un modelo cuasiestacionario que puede representar en forma aproximada una situacion transitoria.

Comprendiendo la limitacion del modelo, puede obtenerse conclusiones preliminares, con las que puede

decidirse si la situacion amerita realizar un estudio con un modelo mas complejo, como por ejemplo,

un modelo dinamico.

Por otro lado, cuando se realiza estudios de flujos de potencia (estacionario), el analista decide re-

presentar zonas alejadas del area bajo estudio por elementos conectados a barras equivalentes, los

que pueden estar dados por cargas pasivas, activas, fuentes ideales, PQ constante, nolineales, etc. o

por combinaciones entre ellas. Desde el punto de vista dinamico, tal decision puede significar haber

eliminado del analisis elementos almacenadores de energa, como inductores y condensadores, y ele-

mentos disipadores, como resistores, los que en general tienen influencia en la respuestas dinamicas

del sistema.

En este trabajo se realiza un primer acercamiento basico al estudio de la interaccion de un generador

sincronico de rotor anisotropico con otros elementos del sistema, en particular, transformadores, lneas

de transmision, condensadores para inyeccion de reactivos y cargas o sistemas equivalentes.

LR/NR 4


2. Resumen Ejecutivo

El trabajo se centra en el estudio de algunas maniobras que desencadenan fenomenos transitorios, como

sincronizacion, inyeccion repentina de potencia activa, en el eje (mediante el torque producido por la

turbina) y reactiva mediante la corriente de campo, ademas de la conexion de bancos capacitivos al

sistema. En este proceso tambien se evalua el efecto amortiguador de la jaula y se analiza la diferencia

que provoca en la respuesta dinamica el hecho de modelar un sistema equivalente por medio de una

fuente ideal conectada a una u otra barra.

LR/NR 5


3. Aspectos Teoricos

3.1. Ecuaciones de Park

Para poder describir el comportamiento de una maquina sincronica se acude a las ecuaciones de

Park [1]. Las relaciones (3.1) y (3.2) corresponden a la ecuacion de estator vista desde un sistema de

referencia fijo al rotor con la proyeccion del fasor espacial sobre los ejes real e imaginario, centrados

respectivamente con el eje de simetra del polo (eje d) y el eje de simetra del espacio interpolar (eje q).

Bajo este mismo concepto estan definidas las ecuaciones asociadas a los circuitos del rotor, haciendo

referencia a la jaula en las relaciones (3.3),(3.4) y al campo en la relacion (3.5).

v1d = R1i1d + L1ddi1ddt

+ L1DdiDdt

+ L1fdifdt ddt

(L1qi1q + L1QiQ) (3.1)

v1q = R1i1q + L1qdi1qdt

+ L1QdiQdt

+d

dt(L1di1d + L1DiD + L1f if ) (3.2)

vD = Rf iD + LDdiDdt

+ LD1di1ddt

+ LDfdifdt

(3.3)

vQ = Rf iQ + LQdiQdt

+ LQ1di1qdt

(3.4)

vf = Rf if + Lfdifdt

+ Lf1di1ddt

+ LfDdiDdt

(3.5)

Donde (3.6) y (3.7) son respectivamente las inductancias propias de un devanado ficticio centrado en

el eje d y en el eje q. Las inductancias de campo giratorio vienen dadas por (3.8), (3.9) y (3.10).

L1d = L1 + LG1 + LG2 (3.6)

L1q = L1 + LG1 LG2 (3.7)LD1 =

3

2L1D (3.8)

LQ1 =3

2L1Q (3.9)

Lf1 =3

2L1f (3.10)

En este trabajo, se requiere utilizar las ecuaciones de Park de manera compleja (sin proyectar el fasor

en d y q). Para ello se ha de reescribir la ecuacion de estator y de jaula utilizando las relaciones (3.11),

(3.12), (3.13) y (3.14).

vsr = v1d + jv1q (3.11)

isr = i1d + ji1q (3.12)

vJ = vD + jvQ (3.13)

iJ = iQ + jiQ (3.14)

LR/NR 6


Finalmente las ecuaciones de estator y de jaula quedan definidas por (3.15) y (3.16) respectivamente.

vsr = R1isr +

(jd

dt+d

dt

)([L1d 0

0 L1q

]isr +

[L1D 0

0 L1Q

]iJ + L1f if

)(3.15)

vJ =

[RD 0

0 RQ

]iJ +

[LD 0

0 LQ

]diJdt

+

[LD1 0

0 LQ1

]disrdt

+ LDfdifdt

(3.16)

Para describir completamente el comportamiento de la maquina sincronica es necesario acudir a la

ecuacion de equilibrio mecanica. El movimiento del rotor de la maquina esta condicionado por la

ecuacion DAlambert del equilibrio de momentos, la cual establece que la suma de los momentos sobre

el eje es igual a la inercia por la aceleracion angular de acuerdo a (3.17).

J

p

d2

dt2= T Tm (3.17)

Donde T es el momento electromagnetico, Tm el momento mecanico aplicado al eje y J el momento

de inercia. El momento electromagnetico en coordenadas fijas al rotor se puede obtener mediante la

relacion (3.18).

T = 32p={sris} (3.18)

El momento mecanico aplicado al eje, para este trabajo, corresponde al torque aplicado por la turbina

al eje de la maquina sincronica.

LR/NR 7


3.2. Modelamiento del SEP

De acuerdo al tipo de estudio que se desee realizar, es el grado de complejidad del modelo con el que se

debe representar cada uno de los componentes del sistema. En un estudio dinamico, la representacion

de los componentes del sistema generadores, transformadores, lneas, cargas, etc.; debe ser formulada

en base a ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones son descritas para cada elemento del sistema en

terminos de sus parametros primitivos.

3.2.1. Generador

El modelo del generador, como ya ha sido planteado, queda descrito por las ecuaciones de Park y la

ecuacion de equilibrio mecanica.

3.2.2. Transformador

El transformador trifasico includo en este trabajo se modela como un circuito equivalente Y-Y sim-

plificado para cada fase, con tap nominal y despreciando: la saturacion, los efectos armonicos y las

corrientes de magnetizacion. La figura 3.1 representa el modelo del transformador por fase.

Figura 3.1: Modelo del transformador por fase

La ecuacion que rige esta situacion esta dada por la relacion (3.19).

vg v1 = Ltditdt

(3.19)

3.2.3. Lneas de transmision

El modelo de las lneas de transmision en terminos de parametros concentrados, es un circuito RLC

equivalente por fase, para este trabajo no se incluira el efecto capacitivo (lneas cortas). La figura 3.2

representa dicha situacion.

La ecuacion que rige a este elemento se muestra en la relacion (3.20).

v1 v2 = L1diLdt

+ iLR1 (3.20)

LR/NR 8


Figura 3.2: Modelo de lnea de transmision por fase

3.2.4. Banco capacitivo

El banco capacitivo includo en este trabajo es representado como una capacitancia pura sin perdidas,

situacion reflejada en la figura 3.3.

Figura 3.3: Modelo del banco capacitivo por fase

La ecuacion que rige esta situacion esta representada en la relacion (3.21).

ic = Cdvcdt

(3.21)

LR/NR 9


4. Preambulo

4.1. Definicion del sistema

El sistema se muestra en la figura 4.1. El interruptor indicado permite conectar y desconectar a la

barra II un banco de condensadores paralelo, cuya finalidad es la inyeccion de reactivos (compensacion)

en tal barra.

Figura 4.1: Diagrama unilineal de sistema electrico

Los datos nominales del generador son los siguientes:

Sn = Sb Vn cos n H fn p

95 MVA 12 KV 0,85 5 s 50 Hz 6

Los parametros del generador estan en un sistema pu recproco (inductancias mutuas iguales):

x x1d x1q x1f x1D x1Q xf0,07 1,10 0,80 1,030 1,030 0,73 1,3104

xD xQ xfD r1 rf rD rQ1,2496 0,9188 1,030 0,00189 0,004625 0,01715 0,02681

Para el resto del sistema se indica los parametros en pu utilizando la misma base que el generador:

xT xL1 xL2 rL20,1 0,1 0,1 0,003

El banco de condensadores esta calculado para que aporte 60 MVA en la barra II cuando la tension

en ella es nominal. La tension en la barra III sera siempre de magnitud y frecuencia nominal.

LR/NR 10


4.2. Planteamiento de las ecuaciones

4.3. Ecuaciones del generador sincronico

La ecuacion de estator (3.15) es reescrita incluyendo la variable sr, situacion que se observa en la

relacion (4.1).

vsr = R1isr +(j ddt +

ddt

)sr (4.1)

Donde el flujo de estator queda definido por (4.2).

sr =

[L1d 0

0 L1q

]

Ls

isr +

[L1D 0

0 L1Q

]

LJs

iJ + L1f if (4.2)

Al dividir la ecuacion (4.1) por la resistencia de estator se logra la relacion (4.3).

vsrR1

= isr + jd

dt

srR1

+LsR1

disrdt

+LJR1

diJdt

+L1fR1

difdt

(4.3)

Convenientemente se definen las constantes de tiempo asociadas al estator, jaula y campo para lograr

un mayor orden en la ecuacion, obteniendo como resultado la relacion (4.4).

sdisrdt

+ isr =vsrR1 j d

dt

srR1 sJ diJ

dt sf dif

dt(4.4)

La figura 4.2 muestra la ecuacion (4.4) programada en diagrama de bloques con la herramienta

SIMULINK R.

Figura 4.2: Modelo del estator en diagrama de bloques

LR/NR 11


La ecuacion de la jaula (3.16), es reordenada obteniendo la relacion (4.5).[LDRD

0

0LQRQ

]

J

diJdt

+ iJ = [LD1RD

0

0LQ1RQ

]

Js

disrdt LDfRDJf

difdt

(4.5)

Reemplazando por las constantes de tiempo pertinentes, se llega finalmente a la ecuacion (4.6).

JdiJdt

+ iJ = Jsdisrdt Jf dif

dt(4.6)

En la figura 4.3 se observa el diagrama de bloques de la ecuacion (4.6). Se incluye un manual switch

para cuando se requiera forzar la eliminacion de la jaula.

Figura 4.3: Modelo de la jaula en diagrama de bloques

La ecuacion de campo (3.5) es reordenada despejando la corriente de campo, obteniendo la relacion

(4.7).

LfRf

difdt

+ if =vfRf Lf1Rf

di1ddt LfD

Rf

diDdt

(4.7)

Reemplazando en terminos de las constantes de tiempo y variables de estado, se obtiene la relacion

(4.8).

fdifdt

+ if =vfRf fs d

dt


Las ecuaciones (3.17) y (3.18), correspondientes a la ecuacion de equilibrio mecanica y a la ecuacion

de momento electromagnetico son programadas en diagramas de bloques, situacion observada en las

figuras 4.6 y 4.5.

Figura 4.5: Modelo de de la ecuacion mecanica en diagrama de bloques

Figura 4.6: Modelo del momento electromagnetico en diagrama de bloques

4.4. Ecuaciones del SEP

Para modelar el sistema y poder acoplarlo a las ecuaciones de la maquina, es necesario transformar

los parametros en por unidad a sus respectivos valores fsicos. Por lo tanto se multiplica el valor de

los parametros pu por la impedancia base del sistema. Una vez obtenidos todos los parametros del

sistema es posible comenzar a trabajar las ecuaciones.

El unico dato de medicion en el sistema corresponde a la tension en la barra III, cuyo valor es siempre

de magnitud y frecuencia nominal. El sistema Maquina-Sep se acoplara por la tension en la barra

generadora. Se ha convenido trabajar las ecuaciones referidas al estator.

La corriente que circula por el banco capacitivo esta dada por la relacion (4.9).

ic = Cdvcdt

(4.9)

El valor de vc es posible obtenerlo del analisis de tensiones y corrientes entre B-II y B-III, consiguiendo

(4.10).

vc = vse R2(is + ic) L2 ddt

(is + ic) (4.10)

LR/NR 13


Donde vse corresponde a la tension en B-III referida al estator. Ya conocido vc es posible realizar

un analisis de tension y corriente entre B-II y B-G, para luego referir la tension en B-G al rotor,

obteniendo (4.11).

vsr = {vc (Lt + L1)disdt}ej (4.11)

La figura 4.7 muestra el esquema para la obtencion de la tension en B-III en coordenadas estatoricas.

Figura 4.7: Tension en B-III en diagrama de bloques

En la imagen 4.8 se observa el diagrama de bloques correspondiente a la tension en B-II y corriente

en el banco capacitivo. El escalon que se observa en la obtencion de la corriente ic, cumple la funcion

de switch de conexion/desconexion del banco capacitivo.

Figura 4.8: Tension en B-II y corriente del banco en diagrama de bloques

La ecuacion (4.11), sistema con banco capacitivo, queda representada esquematicamente en la figura

4.9.

Figura 4.9: Tension en B-G en diagrama de bloques

LR/NR 14


5. Sincronizacion

Al sincronizar una maquina a una red electrica, se debe cumplir que las amplitudes y la secuencia de

fase de la tension, tanto de la maquina como de la red, as como la frecuencia sean iguales. Cuando

estas condiciones no son satisfechas ocurre un transitorio electrico en el sistema, que dependiendo de

la magnitud del desfasamiento, puede provocar grandes peaks en las corrientes del estator y en el

momento eletromagnetico que pueden danar los devanados del transformador, producir fatiga en el

rotor del generador o perder el sincronismo.

Para realizar la simulacion de este punto, se comienza por determinar el valor de la corriente de campo

if para lograr una tension inducida nominal en bornes de la maquina, en vaco, ya que es evidente

que el valor instantaneo de la tension del generador debe ser igual en magnitud y fase al valor de

la tension del sistema equivalente en la barra de interconexion, por lo tanto se agrega este valor de

corriente como condicion inicial en la ecuacion de campo. Tambien se agrega la velocidad nominal 1como condicion inicial en la ecuacion mecanica, de esta forma se evita el tiempo que tarda en simular

un arranque y produce que las frecuencias de ambas tensiones sean iguales.

5.1. Sincronizacion suave

Para lograr una sincronizacion suave se debe cumplir que la tension inducida en bornes del generador

en vaco coincida con la tension en la barra G del sistema justo en el instante de conexion. Esto sucede

cuando el angulo 0 = pi/2, de esta manera el fasor de tension inducida Vp coincide con el valor detension del sistema equivalente en la barra generadora, VBG, tal como se muestra en la figura 5.1.

0

d

VpVB-G

Im

Re

Figura 5.1: Posicion rotor para sincronizacion suave

Como ya ha sido mencionado, la posicion del rotor definida por el angulo 0 debe ser pi/2, por lotanto se agrega este valor a la condicion inicial de la ecuacion mecanica, es decir el rotor tendra esa

posicion en el tiempo cero de la simulacion con valor maximo de tension del sistema equivalente en la

barra G (ya que as fue definido el fasor espacial), situacion que se repetira cada 0,02 s, tiempo que

corresponde al perodo. Se elige el instante de sincronizacion entre el generador y el sistema a los 0,995

s, ya que es el instante en que la tension de la fase a pasa por cero. A continuacion se mostrara la

evolucion de las variables relevantes.

LR/NR 15


En la figura 5.2 se muestra la evolucion de la corriente de estator ia al sincronizar el generador con

el sistema equivalente en el instante 0,995 s, en donde se aprecia que su valor es del orden es los 0,5

[A], por lo tanto se puede considerar como despreciable y se puede concluir que la sincronizacion es

exitosa, ya que es de esperarse que no exista flujo de energa entre el generador y el sistema equivalente

al realizar una sincronizacion en optimas condiciones, y se puede decir que el generador se encuentra

flotando en la red.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

5

0

5

x 107

t [s]

i a[A

]

Figura 5.2: Corriente de estator al sincronizar

Como es de esperar la corriente de campo, figura 5.3, tambien sufre leves perturbaciones en torno a

su valor inicial, del orden de los microamperes y de una frecuencia de 50 Hz, las cuales decaen luego

de transcurridos 1,4 s aproximadamente.

1 1.5 2 2.5

6275.6614

6275.6614

6275.6614

t [s]

i f[A

]

Figura 5.3: Corriente de campo al sincronizar

La corriente de jaula del eje d, figura 5.4, logicamente se ve perturbada debido a la reaccion frente

a la perturbacion de la corriente de campo es por esto que tendra una forma similar a ella, con

perturbaciones de 50 Hz en torno a cero que decaen exponencialmente un poco antes de los 3 s.

1 1.5 2 2.5 35

2.5

0

2.5

5 x 107

t [s]

i D[A

]

Figura 5.4: Corriente de Jaula eje d al sincronizar

LR/NR 16


La corriente de jaula del eje q, figura 5.5, reacciona frente a las perturbaciones que afectan a la corriente

de estator, por lo tanto se logra observar una componente unidireccional que decae exponencialmente

sumada a una componente alterna de 50 Hz que tambien decae de forma exponencial hasta cero un

poco antes de los 3 s.

1 1.5 2 2.5 315

10

5

0

5 x 107

t [s]

i Q[A

]

Figura 5.5: Corriente de Jaula eje q al sincronizar

La velocidad angular de la maquina, figura 5.6, no sufre cambios, ya que los valores de corriente y

torque son despreciables, ademas la frecuencia esta impuesta por el sistema equivalente al igual que

la tension, por lo tanto estas variables no deberan cambiar sus valores si las condiciones que logran

la estabilidad son satisfechas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3313

314

315

316

t [s]

[R

ad/

s]

Figura 5.6: Velocidad angular de la maquina al sincronizar

El torque electromagnetico, figura 5.7, se considera despreciable dado su bajo valor, pero se puede

percatar de que presenta oscilaciones de 50 Hz sumada a una componente continua que decae y queda

en un valor positivo de aproximadamente 1 E4 [Nm].

1 1.5 2 2.5

0

2

4

x 104

t [s]

T[N

m]

Figura 5.7: Torque Electromagnetico al sincronizar

LR/NR 17


La figura 5.8 muestra el comportamiento de la energa disipada por el estator y la jaula en el tiempo.

Como la reaccion de la jaula en terminos de magnitud de corrientes, es pequena, la energa que

disipa tambien lo es (practicamente nula). En cuanto al estator, la energa disipada se debe a la

existencia de una corriente circulante pequena producto de la sincronizacion. Se define un criterio

para la conclusion del proceso de sincronizacion, como aquel tiempo que tardan las energas en llegar

a su forma estacionaria (sin oscilacion).

Figura 5.8: Energa disipada por estator y jaula

LR/NR 18


5.2. Sincronizacion gruesa

En este caso se considerara el peor momento para la sincronizacion, esto sucede cuando el fasor de

tension inducida en bornes del generador en vaco, Vp, adelanta en 180 al fasor de tension de la barra

G del sistema, VBG, justo en el instante de conexion. Esto sucede cuando el angulo 0 = pi/2, deesta manera Vp queda opuesto al fasor de tension del sistema equivalente en la barra G, tal como se

muestra en la figura 5.9.

d

Re

VB-G

Vp

0

Figura 5.9: Posicion rotor para sincronizacion gruesa

Cuando no son satisfechas las condiciones optimas de sincronizacion, esto es que las frecuencias sean

iguales junto con las tensiones, ademas de ser iguales en magnitud y en fase, ocurren transitorios

en las variables electricas y mecanicas haciendo oscilar al sistema maquina-SEP, cuyas magnitudes

dependeran del desfasamiento que hay entre las tensiones, considerando en este caso que las frecuencias

son iguales.

Para realizar la simulacion de este caso se introduce como condicion inicial la posicion del rotor

arbitraria para el tiempo cero como 0 = pi/2, de esta manera el rotor de la figura 5.9 tendra esa

posicion cada 0,02 s a partir de 0. Al igual que en el caso anterior la conexion se realiza en el instante

0,995 s. A continuacion se muestran las variables mas relevantes.

LR/NR 19


En la figura 5.10 se muestra el transitorio de la corriente de estator ia dada una sincronizacion no

optima, en donde la corriente llega a tener un peak maximo de 522 [kA] en los primeros ciclos de la

conexion, con una gran componente unidireccional la cual decae entre los 2 y 3 s de la simulacion,

luego la corriente decrece exponencialmente en forma oscilatoria de frecuencia 50 Hz en torno a cero

y modulada por una baja frecuencia, que es la frecuencia natural de respuesta del sistema, hasta

llegar a ser despreciable a partir de los 7 s aproximadamente, es decir, la sincronizacion si se logra

realizar en este modelo de simulacion, sin embargo este caso es muy difcil que se logre en la realidad

ya que las magnitudes de las corrientes podran ser similares al caso de un cortocircuito trifasico lo

que ocasionara la perdida inmediata del sincronismo, dada la gravedad de las consecuencias causadas

por las grandes corrientes que se formaran en el transitorio, ocasionando danos a los devanados tanto

de la maquina como elementos del SEP tales como transformadores o en conductores de las lneas de

transmision.

1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5x 104

t [s]

i a[A

]

Figura 5.10: Corriente de estator para sincronizacion gruesa

En resumen se pueden diferenciar componentes de frecuencia fundamental, en donde se llega a un

peak maximo de casi 11 veces el valor nominal en el subtrantorio, luego en el perodo transitorio las

oscilaciones decaen despues de 7 a 8 s, ademas de una componente continua, que es una componente

unidireccional amortiguada que esta presente hasta los 2 o 3 s de la simulacion.

Esta ultima componente en la corriente de armadura (unidireccional) es la responsable de las oscila-

ciones de frecuencia nominal presentes en los devanados del rotor, tanto en la corriente de campo ifcomo en las corrientes de jaula iD iQ, figuras 5.13, 5.11 y 5.12 respectivamente, las cuales tienen la

misma duracion aproximadamente que esta componente unidireccional, es decir decaen entre los 2 y

3 segundos de la simulacion.

1 2 3 4 5 6 71

0

1

2

3 x 104

t [s]

i D[A

]

Figura 5.11: Corriente de Jaula eje d para sincronizacion gruesa

LR/NR 20


1 2 3 4 5 6 72

1

0

1

2 x 104

t [s]

i Q[A

]

Figura 5.12: Corriente de Jaula eje q para sincronizacion gruesa

La corriente de campo, figura 5.13, presenta oscilaciones cercanas a 50 [Hz] en los primeros segundos

luego de la conexion con el sistema, superpuesta a una respuesta subamortiguada, en donde las osci-

laciones de alta frecuencia se amortiguan desapareciendo a los 3 segundos y la senal subamortiguada

decae a los 6 s. El valor maximo alcanza un peak de 27,75 [kA] en los primeros ciclos luego de la

conexion, y pasados los transitorios se establece en el valor inicial antes del sincronismo (6,27 [kA]).

1 2 3 4 5 6 71

0

1

2

3 x 104

X: 6.813Y: 6275

t [s]

i f[A

]

Figura 5.13: Corriente de campo para sincronizacion gruesa

En la figura 5.14 se muestra el comportamiento de la velocidad de la maquina al sincronizar de

forma gruesa, la cual tiene un comportamiento subamortiguado que presenta pequenas oscilaciones

superpuestas de 50 Hz de frecuencia durante el primer segundo de simulacion aproximadamente,

alcanza un valor maximo de 319,2 rad/s y su transiente dura entre 9 y 10 s, ya que al tratarse de una

variable mecanica las respuestas son mas lentas en comparacion con las variables electricas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9305

310

315

320

t [s]

[R

ad/s]

Figura 5.14: Velocidad angular de la maquina

LR/NR 21


En la figura 5.15 se muestra el momento electromagnetico, donde se observa una respuesta subamor-

tiguada con grandes oscilaciones de 50 [Hz] de frecuencia en los primeros instantes hasta los 3 s,

alcanzando un valor maximo de 6.73 106 [Nm].

1 2 3 4 5 6 71

0.5

0

0.5

1 x 107

t [s]

T[N

m]

Figura 5.15: Torque Electromagnetico

Con tal de conocer la frecuencia natural de respuesta del sistema, se realizan transformadas rapidas

de fourier, FFT , a las variables de torque y velocidad, mostradas en la figuras 16(a) y 16(b) res-

pectivamente, obteniendo un valor de 0,7629 Hz, la cual vendra siendo la frecuencia de oscilacion

de la respuesta subamortiguada. Es de esperarse que la corriente de estator debera presentar, en un

espectro de frecuencias de Fourier, dos bandas laterales en torno a los 50 [Hz] cuyos valores seran de

49,23 y 50,76 Hz aproximadamente.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5 x 105

X: 0.7629Y: 4.531e+05

frecuencia [Hz]

|T|

(a) Torque.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

X: 0.7629Y: 1.636

frecuencia [Hz]

||

(b) Velocidad.

Figura 5.16: FFT de Torque y Velocidad.

LR/NR 22


En la figura 5.17 se muestra el resultado obtenido al realizar la FFT a la corriente de estator, en

donde se comprueba la presencia de las bandas laterales en torno a los 50 Hz, las cuales corresponden

a la modulacion que sufre esta senal.

47 48 49 50 51 52 530

200

400

600

800

X: 50.07Y: 346.2

frecuencia [Hz]

|ia|

X: 50.83Y: 608.8

X: 49.11Y: 490.6

Figura 5.17: FFT corriente de estator ia para sincronizacion gruesa

La figura 5.18 muestra la energa disipada en el proceso de sincronizacion gruesa.

Figura 5.18: Energa disipada por estator y jaula en sinc. gruesa

LR/NR 23


5.3. Efecto de la ausencia de jaula

5.3.1. Sincronizacion suave sin jaula

En las figuras 5.19, 5.20, 5.21 y 5.22 se muestra la evolucion de las senales de ia, if , y T respecti-

vamente, para el caso de una sincronizacion suave en ausencia del devanado amortiguador. A simple

vista se puede comparar con el caso anterior, punto 5.1, la duracion de los transitorios de cada variable,

ya que la ausencia de la jaula ocasiona que los transitorios tengan una mayor duracion.

En el caso de la corriente de estator, ia, figura 5.19, la forma de la corriente es similar al caso con

jaula, sin embargo el transitorio dura aproximadamente hasta los 5 s de la simulacion, es decir 2.2 s

mas que el caso anterior, figura 5.2.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55

0

5 x 107

t [s]

i a[A

]

Figura 5.19: Corriente estator

La corriente de campo tambien tiene la misma forma que el caso anterior, figura 5.3, sin embargo el

transitorio dura 1.3 s mas aproximadamente.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 46275.6614

6275.6614

6275.6614

t [s]

i f[A

]

Figura 5.20: Corriente campo

LR/NR 24


La velocidad , figura 5.21, no se ve afectada por la sincronizacion suave sin jaula, tal como sucedio con

la sincronizacion con jaula, figura 5.6.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5314.1

314.15

314.2

t [s]

[R

ad/s]

Figura 5.21: Velocidad angular maquina.

El Momento electromagnetico, figura 5.22, tiene un cambio en su forma y valores maximos en compa-

racion con el caso anterior, figura 5.7, esto se debe a la ausencia de la jaula ya que no hay presencia de

corriente en el eje q, (iQ), ya que en el caso anterior el torque presenta una forma similar a la corriente

iQ, como si esta estuviera invertida horizontalmente, (respecto al eje del tiempo), por lo tanto en

ausencia de la misma el torque tiene una forma similar a la corriente de campo. Se puede observar

que el transitorio dura hasta los 4 s, y en caso anterior duraba hasta los 2,5 s app.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2x 104

t [s]

T[N

m]

Figura 5.22: Torque electromagetico

5.3.2. Sincronizacion gruesa sin jaula

En las figuras 5.23, 5.24, 5.25, 5.26 se ve claramente la diferencia con el caso de sincronizacion gruesa

con jaula, punto 5.2. Notoriamente los transitorios de todas las variables mostradas en las figuras son

mucho mas extensos y en la totalidad de la simulacion (20 s) no se llega al estado estacionario, es decir

el proceso de sincronizacion no se logra realizar, debido a que el efecto amortiguador que posee la jaula

no esta presente y las variables no se logran estabilizar, teniendo como resultando una sincronizacion

no exitosa.

LR/NR 25


La corriente de estator alcanza un peak de 43 [kA], un poco menor en comparacion con la figura 5.10,

y tiene una forma modulada, es decir si se realiza una FFT a esta variable se tendra como resultado

una componente de 50 Hz y dos bandas laterales que corresponde a la suma y resta de la frecuencia

central (50 Hz) con la frecuencia natural de respuesta de las variables de torque y velocidad, tal como

se muestra en la figura 27(a) y 27(b), donde se logra observar que la frecuencia del torque, figura 5.26,

es de 0.858 Hz, valor que concuerda con el valor de las frecuencias de las bandas laterales del espectro

de frecuencias de la corriente de estator.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

0

1

2

3

4x 104

t [s]

i a[A

]

Figura 5.23: Corriente estator.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

1

2

3

4 x 104

t [s]

i f[A

]

Figura 5.24: Corriente campo.

Cabe resaltar que la frecuencia de la oscilacion que presenta la velocidad , figura 5.25 es exactamente

la misma frecuencia del torque, la amplitud de la oscilacion que presenta al inicio del proceso es un

poco mayor que en el caso con jaula alcanzando un valor peak de 320.9 rad/s.

LR/NR 26


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20305

310

315

320

325

t [s]

[R

ad/

s]

Figura 5.25: Velocidad angular maquina.

El Torque alcanza un peak de 9.59 106 [Nm] en los primeros ciclos de la simulacion, mayor que elcaso anterior.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

0.5

0

0.5

1 x 107

t [s]

T[N

m]

Figura 5.26: Torque electromagnetico.

Tambien se observan oscilaciones cercanas a 50 Hz de frecuencia en los primeros segundos luego de

sincronizar que aparecen en las variables if y T , montadas sobre la respuesta subamortiguada de baja

frecuencia, y para el caso de la velocidad angular se logra ver que estas oscilaciones duran solo los

primeros ciclos desapareciendo rapidamente.

48 48.5 49 49.5 50 50.5 51 51.5 520

500

1000

1500

2000

2500

X: 49.16Y: 1978

frecuencia [Hz]

|ia|

X: 50.02Y: 941

X: 50.83Y: 2029

(a) Corriente estator.

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11x 105

X: 0.8583Y: 9.779e+05

frecuencia [Hz]

|T|

(b) Torque.

Figura 5.27: FFT de Corriente de estator y Torque .

LR/NR 27


6. Inyeccion de Potencia

6.1. Calculos Previos

En la figura 6.1 se muestra la parte del circuito a estudiar, en donde se ha obviado los elementos de

la barra I hacia la izquierda, es decir la maquina y el generador, ya que no se requieren para poder

calcular la tension y la corriente en la barra I. Se pide como condicion que en la barra I se inyecte

una potencia trifasica de 60 MW con factor de potencia nominal, y se considera que la tension en la

barra III, VSE, es la referencia (angulo cero) y de magnitud nominal .

SE

B-I B-II B-III

P,Q

I

I SEVV

L1 L2 R2

Figura 6.1: Circuito sistema electrico.

Teniendo en cuenta los datos que se tienen, se procede a calcular la tension en la barra I, VI, y la

corriente del circuito, I, de la siguiente manera:

Z = j1(L1 + L2) +R2 (6.1)

S = VI I (6.2)

I =(VSE VI)

Z(6.3)

S Z = VI VSE |VI| (6.4)

Descomponiendo la ecuacion (6.4) en parte real e imaginaria se obtienen las ecuaciones (6.6) y (6.7),

en donde se considera que VI tiene como parte real e imaginaria A y B respectivamente, como se

muestra en (6.5).

VI = A+ jB (6.5)


Referencia B-III Referencia B-I

VI [kV] 7.4005 6.7279 7.4005 0I [kA] 3.1794 154.9395 3.1794 148.2116

Tabla 6.1: Referencias de tension y corriente.

considerando a VI con angulo cero. En la tabla 6.1 se muestran las variables segun las respectivas

referencias.

El siguiente paso es ubicar el eje q, para ello se resta al fasor VI el fasor j(X1q I), sin embargo sedebe considerar la impedancia del transformador a las ecuaciones de la maquina ya que la tension con

la que se trabaja es la tension de la barra I y no la tension en los bornes del generador, barra G, por

lo tanto se suma Xt a las impedancias del estator de la maquina, tanto en el eje d como el el eje q.

De la relacion (6.9) se obtiene el angulo , a partir del cual se traza el eje q y el eje d, y es posible

construir el diagrama fasorial de la figura 6.2.

VI jI(X1q +Xt) = 10,363220,8393

[kV ] (6.9)

d

q

V

I

p

dI

VI

SEV

j(X +X )I1d d

j(X +X ) I

1q

cosV

I

t

t

Figura 6.2: Diagrama fasorial, eje Real referido a barra III.

LR/NR 29


Para determinar Vp es necesario recurrir al diagrama fasorial y extraer de el la relacion (6.10), para

lograrlo se necesita obtener la corriente de estator en el eje d, Id, para ello se determina el angulo

con la ayuda del diagrama fasorial y se obtiene la proyeccion requerida, expresiones (6.11) y (6.12).

Vp VI cos = (X1d +Xt) Id (6.10)

= (90 ) (180 ) = 37,37 (6.11)Id = I cos (6.12)

Finalmente al reemplazar (6.12) en (6.10) se obtiene Vp, resultando tener un valor de:

|Vp| = 11,5129 [kV ] (6.13)

Una vez obtenido el valor de la tension inducida Vp se determina finalmente la corriente de campo

if , mediante la relacion (6.14), para luego determinar la tension del devanado de campo vf , datos que

se ingresaran en la simulacion, (6.15) y (6.16) respectivamente.

if =

2 |Vp|1L1f

(6.14)

if = 10,4279 [kA] (6.15)

vf = 73,1058 [V ] (6.16)

Con estos valores se determina la potencia activa y reactiva en las barras I y III, tabla 6.2.

P [MW ] Q [MVAr]

Barra I 60 37.184

Barra III 59.862 27.99

Tabla 6.2: Potencias trifasicas Barras I y III, referencia fuente.

El momento que debe aplicar la turbina al eje se determina con la expresion (6.17), y su valor se

muestra a continuacion.

Tturbina = P p1

(6.17)

Tturbina = 1,1459[MNm] (6.18)

LR/NR 30


6.2. Inyeccion de potencias al Sistema Equivalente

Los pasos que se siguieron al simular la inyeccion de potencia desde el generador al sistema son los

siguientes; primero se sincroniza la maquina con la red en el segundo 1 s, luego se inyecta bruscamente

la corriente de campo que se obtuvo anteriormente, expresion (6.15), a los 3 s de la simulacion. Por

ultimo, una vez que los transitorios han decado, se aplica bruscamente el torque de la turbina obtenido

anteriormente, expresion (6.17), a los 10 s de la simulacion.

El resultado de la simulacion se muestra a continuacion:

En la figura 6.3 se muestra la corriente de estator, ia, en el instante en que se inyecta la corriente de

campo, esta aumenta gradualmente hasta estabilizarse a los 5,5 s alcanzando un valor peak de 3 [kA].

Cabe destacar que la envolvente de la senal tiene la forma de la corriente de campo if , figura 6.5, la

cual es de tipo exponencial.

3 3.5 4 4.5 5 5.5300020001000

0100020003000

t [s]

i a[A

]

Figura 6.3: Corriente estator, inyeccion potencia reactiva.

En la figura 6.4 se muestra la corriente de estator en el instante en que se aplica bruscamente el torque

a la turbina, generando oscilaciones fuertes en la corriente de estator, alcanzando un peak maximo de

casi 7,5 [kA], y dado a que los transitorios de las variables mecanicas son extensos, tara varios segundos

en volver a un punto de operacion estacionario (6 a 8 s), alcanzando una corriente estacionaria de

valor peak 4,5 [kA] app.

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 157500

1500

1500

4500

7500

t [s]

i a[A

]

Figura 6.4: Corriente estator, inyeccion potencia activa y reactiva.

En la figura 6.5 se muestra el comportamiento completo de la corriente de campo, considerando las

dos perturbaciones que tuvo la maquina, aumenta exponencialmente cuando se aplica un escalon de

tension continua en el devanado de campo, y luego se ve perturbada al aplicar torque al eje, debido

a que trata de mantener el flujo constante en el entrehierro a pesar del aumento en la corriente de

armadura, para luego decaer finalmente y estacionarse en el valor inicial a la perturbacion (luego de

6 a 8 s).

LR/NR 31


4 6 8 10 12 14 16 186000

8000

10000

12000X: 17.71Y: 1.044e+04

t [s]

i f[A

]

Figura 6.5: Corriente campo.

En las figuras 6.6 y 6.7 se puede ver el comportamiento de la jaula frente a las dos perturbaciones.

La reaccion que tiene iD cuando se conecta la tension continua en el campo es justamente contraria

a esta perturbacion, ya que se ve claramente la reaccion en contra del flujo que comienza a producir

el devanado de campo, su respuesta es de tipo crticamente amortiguada. La corriente iQ no se ve

afectada al aumentar la corriente de campo ya que teoricamente no abraza el flujo producido en el eje

d, solo podra reaccionar si en la corriente de estator hubieran perturbaciones en ese instante. Ambas

corrientes se ven afectadas al aplicar el torque de la turbina y reaccionan inmediatamente para mitigar

el transitorio del torque electromagnetico, y volver al estado estacionario.

4 6 8 10 12 14 16 18400200

0200400600

t [s]

i D[A

]

Figura 6.6: Corriente jaula eje D.

4 6 8 10 12 14 16 18

500

0

500

1000

t [s]

i Q[A

]

Figura 6.7: Corriente jaula eje Q.

LR/NR 32


Como se ve en la figura 6.8 la velocidad no se ve mayormente afectada al conectar la corriente de

campo, esto se debe a que la inercia de la maquina es grande y si no hay perturbaciones en el eje,

(torque aplicado), el hecho de producir flujo e inyectar potencia reactiva no repercute seriamente en

las variables mecanicas, basta comparar las magnitudes de las perturbaciones del torque al aplicar

corriente de campo y torque en la turbina, segundos 3 y 10 respectivamente, en donde la diferencia es

de [MNm], figuras 6.10 y 6.11 respectivamente.

3 4 5 6 7 8 9 10314.154

314.156

314.158

314.16

t [s]

[R

ad/s]

Figura 6.8: Velocidad angular al inyectar potencia reactiva.

10 11 12 13 14 15 16 17 18

313314315316317

X: 17.89Y: 314.2

t [s]

[R

ad/s]

Figura 6.9: Velocidad angular al inyectar potencia activa.

3 4 5 6 7 8 9 10

1000

0

1000

t [s]

T[N

m]

Figura 6.10: Momento electromagnetico al inyectar corriente de campo.

10 11 12 13 14 15 16 17 182

1

0x 106

X: 17.91Y: 1.15e+06

t [s]

T[N

m]

Figura 6.11: Momento electromagnetico al inyectar torque electromagnetico.

LR/NR 33


Al observar las figuras 6.9 y 6.11, se puede notar que estan relacionadas entre si, basta darse cuenta que

al aumentar el torque a partir de los 10 s de simulacion, inmediatamente la velocidad de la maquina

acelera, tratando de aumentar la frecuencia, e instantaneamente se inyectan activos a la red, pero

como la frecuencia debe permanecer constante, se llega a un punto de equilibrio donde la maquina

queda aportando potencia activa a la red.

En las figuras 6.12 y 6.13 se muestran las potencias activa y reactiva en el tiempo que vela barra

I. Se ha etiquetado el valor final que alcanzan las potencias para comprobar que efectivamente se

este inyectando la potencia que se peda y se calculo en el punto anterior, y con factor de potencia

nominal.

4 6 8 10 12 14 16 1810

5

0x 107

X: 18.28Y: 6.002e+07

t [s]

PI[W

]

Figura 6.12: Potencia activa barra I.

4 6 8 10 12 14 16 1854321

0x 107

X: 18.9Y: 3.718e+07

t [s]

QI[W

]

Figura 6.13: Potencia reactiva barra I.

En las figuras 6.14 y 6.15 se muestran las potencias (activa y reactiva) que vela barra III, es decir,

el sistema equivalente.

4 6 8 10 12 14 16 1810

5

0x 107

X: 17.85Y: 6.001e+07

t [s]

PIII[W

]

Figura 6.14: Potencia activa barra III.

LR/NR 34


4 6 8 10 12 14 16 18

4321

0x 107

X: 17.86Y: 2.796e+07

t [s]

QIII[W

]

Figura 6.15: Potencia reactiva barra III.

Como observacion a la figura 6.13, se puede ver que cuando se inyecta corriente de campo para

suministrar reactivos inductivos a la red, la potencia que se logra es mayor a la potencia calculada

anteriormente, pero luego al aplicar el torque de la turbina, el valor de potencia reactiva que resulta

luego de los transitorios es el valor correcto que se haba determinado, menor al valor antes de los 10

s, esta situacion se puede visualizar facilmente con la ayuda del diagrama fasorial y como evolucionan

las variables en cada caso. En la figura 6.16 se muestra la evolucion de las variables a grandes rasgos

desde la posicion 1, donde la maquina aporta reactivos a la red, hasta la posicion 2donde termina

aportando activos y reactivos inductivos. De esta manera se puede observar de manera sencilla como

la potencia reactiva disminuye levemente al aumentar la potencia activa.

V

I

p

I

Vp

VI

Q

P

Q

P

2

1

2

2

1

1P=0

Figura 6.16: Diagrama fasorial de la maquina al inyectar potencias.

LR/NR 35


6.3. Evolucion transitoria del momento electromagnetico

En este punto se mostrara la evolucion transitoria del momento electromagnetico en funcion del angulo

de carga, tomando en cuenta la referencia de la barra III (barra infnita), en lugar de la barra G. La

curva simulada se contrastara con las curvas que se pueden realizar utilizando un modelo simplificado

y consideraciones de tipo cuasiestacionario. La expresion de momento para una maquina de polos

salientes en funcion del angulo de carga , se muestra en (6.19).

T = 3 p1

VpV1X1d

sin 3 p1

V 212

(1

X1q 1X1d

)sin 2 (6.19)

Si se quisiera obtener el momento transitorio o subtransitorio en funcion del angulo de carga, se podra

recurrir a la expresion (6.19), y en vez de ocupar los valores estacionarios de las impedancias X1d y

X1q se necesitara ocupar los valores transitorios o subtransitorios de las impedancias, X1d y X

1q o

X 1d y X1q respectivamente.

Para calcular las impedancias transitorias es necesario hacer ciertas suposiciones, tales como conside-

rar los devanados del rotor cortocircuitados, ignorar los devanados amortiguadores y considerar que

repentinamente se aplica I de secuencia positiva a la armadura.

En el eje cuadratura, q, el flujo no tiene mayores cambios entre el estado estacionario y el transitorio,

por lo tanto se considera que la reactancia transitoria es equivalente a la reactancia estacionaria del

eje cuadratura, expresion (6.20).

X 1q = X1q (6.20)

En el eje directo el flujo no puede penetrar en el cuerpo del polo debido al devanado de campo, por lo

tanto se considera el caso de la figura 6.17, en donde repentinamente se aplica I1d.

I1d If

L1d LfV1d

Figura 6.17: Acoplamiento de inductancias para determinar reactancia transitoria del eje d, X 1d.

Del circuito acoplado propuesto de la figura 6.17, se pueden extraer dos ecuaciones (6.21) y (6.22), las

cuales al desarrollarlas y despejar V1d da como resultado (6.23).

V1d = I1d X1d + If X1f (6.21)0 = If Xf + I1d Xf1 (6.22)

LR/NR 36


V1d = I1d X1d[1 Xf1 X1f

Xf X1d

]

X1d

(6.23)

Finalmente se llega a una expresion para la reactancia transitoria del eje directo, cuyo valor en pu se

muestra en la expresion (6.24).

X 1d = X1d[1 Xf1 X1f

Xf X1d

]= 0,2914 pu (6.24)

Para determinar las reactancias subtransitorias es necesario considerar las bobinas amortiguadoras,

los devanados del rotor cortocircuitados y aplicar repentinamente corriente de armadura a secuencia

positiva.

En la figura 6.18 se muestra el circuito acoplado necesario para determinar X 1q. De esta figura sepueden extraer dos ecuaciones, (6.25) y (6.26).

I1q IQ

L1q LQV1q

Figura 6.18: Acoplamiento de inductancias para determinar reactancia subtransitoria eje q, X 1q.

V1q = I1q X1q + IQ X1Q (6.25)0 = IQ XQ + I1q XQ1 (6.26)

Despejando V1q de las relaciones anteriores se llega a la expresion (6.27).

V1q = I1q X1q[1 XQ1 X1Q

X1q XQ

]

X1q

(6.27)

Finalmente se llega a una expresion para la reactancia subtransitoria del eje cuadratura, cuyo valor

en pu se muestra en la expresion (6.28).

X 1q = X1q[1 XQ1 X1Q

X1q XQ

]= 0,22 pu (6.28)

LR/NR 37


I1d

If

L1d

Lf

V1d ID

LD

Figura 6.19: Acoplamiento de inductancias para determinar reactancia subtransitoria eje d, X 1d.

Para determinar la reactancia subtransitoria del eje directo, X 1d, es necesario acudir al circuito de lafigura 6.19, en donde participa tanto la jaula como el devanado de campo, segun las condiciones que

se nombraron anteriormente.

Del circuito acoplado de esta figura, 6.19, se pueden extraer tres ecuaciones, (6.29), (6.30) y (6.31).

V1d = I1d X1d + If X1f + ID X1D (6.29)0 = I1d Xf1 + If Xf + ID XfD (6.30)0 = ID1 XD1 + If XDf + ID XD (6.31)

Al resolver este sistema de ecuaciones y despejar V1d, se llega finalmente a la expresion (6.32).

V1d = I1d {X1d Xf1 X1f

Xf+

[Xf XD1 XDf Xf1XfD XDf XD Xf

] [X1d XfD X1f

Xf

]}

X1d

(6.32)

Al reemplazar todos los valores de (6.32), se obtiene el valor de X 1d en pu, expresion (6.33).

X 1d = 0,18 pu (6.33)

Finalmente, utilizando la herramienta Matlab, se crean los vectores de momento electromagnetico

estacionario y transitorio, utilizando la expresion (6.19) y los datos de las reactancias estacionarias y

transitorias, que se obtuvieron anteriormente.

En la figura 6.20 se muestran las curvas de momento electromagnetico estacionario, transitorio y

simulado en funcion del angulo de carga . Se puede observar que el torque simulado tiende a seguir la

LR/NR 38


curva de momento transitorio en un principio, lo que era de esperarse ya que tiene un cambio brusco

de gran magnitud, luego, a medida que el transitorio va decayendo, el torque simulado oscila en torno

a un punto que cae dentro de la curva estacionaria, quedando trabajando en dicho punto.

0 10 20 30 40 50 60 703

2.5

2

1.5

1

0.5

0 x 106

[rad]

T[N

m]

TEstacionarioTTransitorioTSimulado

Figura 6.20: Contraste de Momentos obtenidos mediante parametros concentrados y simulado, en

funcion de .

LR/NR 39


6.4. Inyeccion de potencia considerando Sistema Equivalente en barra I

Para el analisis de este caso, se considera que la barra infinita esta en B-I, es all donde se modela

ahora el sistema equivalente por medio de una fuente ideal, quedando el resto (lneas 1 y 2) fuera.

Adicionalmente se considera que la tension en B-I tiene el mismo valor obtenido en la seccion (6.1).

De este modo, desde el punto de vista de la potencia inyectada por el generador en estado estacionario

no debera haber cambio alguno. En la figura 6.21 se observa la nueva disposicion del sistema.

Figura 6.21: Disposicion del sistema.

La figura 6.22 muestra el transitorio de la corriente de estator al momento de inyectar torque a la

turbina. Comparativamente al resultado obtenido en la seccion (6.2), es posible observar un cambio

tanto en el valor peak como en la duracion del proceso. La onda de corriente alcanza el estado

estacionario unos 3 [s] antes que para el caso anterior.

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 1475006000450030001500

015003000

60007500

t [s]

i a[A

]

Figura 6.22: Corriente estator al inyectar torque a la turbina.

LR/NR 40


Al cambiar la topologa del sistema, la relacion L/R es afectada disminuyendo su valor produciendo

un efecto en cadena en todas las variables del sistema (la respuesta del sistema es menos demorosa,

mas amortiguada). Para ilustrar de manera mas adecuada la situacion, las figuras 6.23, 6.24 y 6.25

muestran las consecuencias de manera comparativa en las variables asociadas al rotor.

Figura 6.23: Comparacion corriente de campo a partir de inyeccion de if .

Figura 6.24: Comparacion corriente de jaula eje d a partir de inyeccion de if .

Figura 6.25: Comparacion corriente de jaula eje q a partir de inyeccion de if .

LR/NR 41


En las figuras 6.26 y 6.27 se observa la comparacion de velocidad y momento respecto al caso anterior.

Se realiza un analisis mas profundo, obteniendo la FFT de la onda de baja frecuencia (figura 6.28)y

el amortiguamiento de la respuesta.

Figura 6.26: Comparacion de la velocidad a partir de inyeccion de torque a la turbina.

Figura 6.27: Torque electrico a partir de inyeccion de torque a la turbina

Figura 6.28: Comparacion de FFT del velocidad y torque.

LR/NR 42


Al realizar el ajuste de curva se obtiene que el factor de amortiguamiento para este nuevo caso es

1, 6 y para al caso anterior es 0, 9, esto quiere decir que las nuevas curvas obtenidas sonrespuesta del tipo sobreamortiguadas. Como ya se ha mencionado, al disminuir la inductancia del

sistema, existe una interaccion directa con los distintos circuitos de la maquina, logrando el estado

estacionario en un tiempo reducido, por ende la frecuencia de oscilacion tiende a ser levemente mayor.

En las figuras 6.29 y 6.30 es posible observar el comportamiento de las Potencias en B-I, como era de

esperar la potencia permanece invariante en estado estacionario (condicion del enunciado).

Figura 6.29: Comparacion de la potencia activa.

Figura 6.30: Comparacion de la potencia reactiva.

La tabla 6.3 resume los valores de peak de todas las variables de interes para facilitar su comparacion.

Caso ia [A] if [kA] iD [A] iQ [A] [rad/s] T [MNm] P [MW] Q [MVAr]

Barra en B-III 7250 11,92 592,8 1179 316,8 2,03 106 35,55Barra en B-I 6936 11,62 509,8 1320 316,3 1,947 101,8 34,21

Tabla 6.3: Resumen de las magnitudes de variables de interes.

LR/NR 43


7. Conexion del Banco de Condensadores

En este punto se estudia el efecto de la conexion repentina del banco de condensadores conectado a

la barra II, fig 4.1. Para este estudio se considera el mismo punto de trabajo visto en la seccion (6),

por lo tanto una vez que hayan decado los transitorios causados por la inyeccion de potencia activa,

se conecta el banco capacitivo, esto sucede en el tiempo correspondiente a los 17 s de la simulacion.

7.1. Efecto de la conexion repentina del banco de condensadores

Antes de ver el comportamiento de las variables simuladas, se propone un modelo simplificado de la

maquina, para poder predecir de manera aproximada la frecuencia que tendra la oscilacion transitoria

producto de la conexion del banco de condensadores. Se propone utilizar la reactancia a secuencia

negativa de la maquina, la cual se obtiene segun la expresion (7.1) ya que la fuerza magnetomotriz

a secuencia negativa se mueve con una velocidad igual a dos veces la sincronica con respecto al

rotor, por lo tanto la reluctancia alternativamente corresponde a la subtransitoria en el eje directo,

X 1d y la subtransitoria en el eje en cuadratura, X1q, es por esto que se recurre a este valor, debido al

comportamiento similar que tendra la maquina frente a perturbaciones de alta frecuencia.ocasionadas

por la conexion del banco capacitivo. En las expresiones (6.28) y (6.33) se muestra el valor de las

reactancias subtransitorias del eje en cuadratura y directo respectivamente.

Xs2 =1

2

(X 1d +X

1q

)(7.1)

En la figura 7.1 se muestra el circuito que se utilizara para predecir la frecuencia de las oscilaciones

transitorias al conectar el banco, en donde la maquina se ha representado solo por la inductancia a

secuencia negativa, Ls2.

SE

B-I B-II B-III

ise

V

L1 L2 R2LTLs2

is

ic

C CV

B-G

Figura 7.1: Circuito utilizado para determinar lafrecuencia natural del sistema

Del circuito de la figura 7.1 se llega a una ecuacion diferencial de tercer orden, expresion (7.2), donde

la variable a estudiar es la corriente de estator, is, y p corresponde a un operador diferencial.

L2LC p3is +R2LC p2is + (L2 + L) pis +R2 is = V (7.2)

LR/NR 44


donde,

L = L1 + LT + Ls2 (7.3)

L = 1,929 [mH] (7.4)

L2 = 0,482 [mH] (7.5)

R2 = 4,547 [m] (7.6)

C = 1,326 [mF ] (7.7)

Al resolver la parte homogenea, considerando que V = 0, se tiene una ecuacion de tercer grado, en

donde las soluciones son los valores propios n, (7.8), que estan asociados a modos naturales de la

forma (7.9).

n = n + jn (7.8)

e t 1n cos (nt) , e

t 1n sin (nt) (7.9)

Las soluciones de la ecuacion de tercer grado se muestran a continuacion, en las expresiones (7.10),

(7.11) y (7.12).

1 = 1,885 (7.10)2 = 3,7699 + j1397,6 (7.11)3 = 3,7699 j1397,6 (7.12)

En este caso en particular solo interesan las partes imaginarias de las soluciones de los valores propios,

es decir 1, 2 y 3, los cuales se muestran en (7.13), (7.14) y (7.15) respectivamente, y ya que

= 2pif , es posible determinar la frecuencia de las oscilaciones, que da un valor de 222,43 Hz, (7.16).

1 = 0 (7.13)

2 = 1397,6 (7.14)

3 = 1397,6 (7.15)

fosc = 222,43Hz (7.16)

Finalmente se podra predecir que la frecuencia de oscilacion de los transitorios de la corriente de

estator al conectar el banco de capacitores tendra un valor aproximado cercano a 222,4 Hz.

LR/NR 45


7.2. Comportamiento de las variables relevantes al conectar banco capacitivo.

En la figura 7.2 se muestra el comportamiento de la corriente de estator, en donde tiene leves fluc-

tuaciones cuando se conecta el banco de condensadores. Para cerciorarse del valor de la frecuencia de

oscilacion que presenta cierta componente en la corriente de armadura, se ha calculado el espectro de

frecuencias que tiene la senal de corriente, enfatizando en la componente de alta frecuencia, resultado

que se puede ver en la figura 7.3, en donde se observa una componente de amplitud relativamente baja

que tiene una frecuencia de 222.8 Hz, acercandose bastante al valor que se predijo anteriormente,

expresion (7.16).

16.8 17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.85000

300020001000

010002000300040005000

t [s]

i a[A

]

Figura 7.2: Corriente de estator al conectar banco capacitores

210 215 220 225 230 235 2400

20

40

60

80

100

120

140X: 222.8Y: 116.6

frecuencia [Hz]

|ia|

Figura 7.3: Parte del espectro de frecuencia de la corriente de estator, ia

En la figura 7.4 se muestra la corriente de campo, en donde se puede ver que hay una tendencia a

bajar su magnitud, es decir tiende a desmagnetizar la maquina, y tiene oscilaciones de alta frecuencia.

Se puede ver que el transitorio decae luego de 2 s.

LR/NR 46


17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 19

0.98

1

1.02

1.04x 104

X: 18.98Y: 1.043e+04

t [s]

i f[A

]

Figura 7.4: Corriente de campo al conectar banco capacitores.

La jaula, figuras 7.5 y 7.6, reacciona de manera inmediata y con el fin de restablecer el punto de

operacion antes de la perturbacion, por lo tanto trata de mantener el flujo en el entrehierro antes de

la conexion, creando las corrientes de las figuras mencionadas. Los transitorios tardan 2 s app. en

desaparecer.

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6800

600

400

200

0

200

t [s]

i D[A

]

Figura 7.5: Corriente de jaula eje d al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 19500

0

500

1000

t [s]

i Q[A

]

Figura 7.6: Corriente de jaula eje q al conectar banco capacitores

LR/NR 47


La velocidad, figura 7.7, tiende a bajar levemente en un principio, la maquina desacelera para luego

acelerar nuevamente y oscilar en torno al valor nominal, llegando al valor estacionario a los 24 s de

simulacion.

17 18 19 20 21 22 23 24314.05

314.1

314.15

314.2

t [s]

[R

ad/s]

Figura 7.7: Velocidad al conectar banco capacitores

Del Momento electromagnetico, figura 7.8, se puede inferir que las componentes de oscilacion tienen

frecuencias de fT = fosc 50 Hz debido a los campos giratorios de secuencias que se forman anteperturbaciones en la red, lo que se comprueba en la figura 7.9.

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.81.51.41.31.21.1

10.9 x 10

6

X: 18.79Y: 1.155e+06

t [s]

T[N

m]

Figura 7.8: Momento electromagnetico al conectar banco capacitores

140 160 180 200 220 240 260 280 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 x 104

X: 272.4Y: 2.279e+04

frecuencia [Hz]

|T|

X: 172.4Y: 3.541e+04

Figura 7.9: Parte del espectro de frecuencias del Torque

Como se ve en la figura 7.10, la potencia activa tambien se ve perturbada y se supone que contiene

componentes del doble de la frecuencia fosc, presenta una gran perturbacion y llega hasta los 80 [MW ]

peak en los primeros instantes, oscilando en torno a los 60 [MW ].

LR/NR 48


17 17.5 18 18.5 19 19.5 208

6

4 x 107

X: 19.98Y: 6.002e+07

t [s]

PI[W

]

Figura 7.10: Potencia activa barra I al conectar banco capacitores

La potencia reactiva de la barra I, figura 7.11, disminuye en un principio debido a la inyeccion de

potencia reactiva en la barra II, restaurando su valor antes de la conexion a los 2 o 3 s.

17 17.5 18 18.5 19 19.5 204

2

0 x 107

X: 19.94Y: 3.527e+07

t [s]

QI[W

]

Figura 7.11: Potencia reactiva barra I al conectar banco capacitores

El gran cambio se logra ver en la potencia reactiva vista desde la barra III, figura 7.13, en donde

aumenta el aporte de reactivos hacia el sistema equivalente, que es lo que se buscaba conseguir.

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.812108642

x 107

X: 18.79Y: 6.004e+07

t [s]

PIII[W

]

Figura 7.12: Potencia activa barra III al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.412108642 x 10

7

X: 18.36Y: 9.088e+07

t [s]

QIII[W

]

Figura 7.13: Potencia reactiva barra III al conectar banco capacitores

LR/NR 49


7.3. Comportamiento de las variables, considerando una menor resistencia en la

lnea 2.

En las figuras 7.14, 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.19, 7.20, 7.21, 7.22 y 7.23, se muestra el comportamiento

de ia, if , iD, iQ, , T , PI , QI , PIII y QIII respectivamente, donde se puede observar una diferencia en

conjunto respecto del caso anterior. Al disminuir la resistencia de la lnea a la decima parte, se observa

que la magnitud de las oscilaciones aumentan un poco y aumenta considerablemente la duracion de los

transitorios en todas las variables. Cabe destacar que el valor de la frecuencia de oscilacion respecto

del caso anterior no sufre cambios importantes y practicamente es la misma.

Considerando el modelo predictivo de la figura 7.1, se obtienen las soluciones de los valores propios

para este caso, cuyos valores se muestran en las expresiones 7.17, 7.18 y 7.19 .

1 = 0,1885 (7.17)2 = 0,37699 + j1397,6 (7.18)3 = 0,37699 j1397,6 (7.19)

Se puede observar de estos resultados que el hecho de variar la resistencia de la lnea a la decima

parte tiene implicancia en la parte real de los valores caractersticos y no en la parte imaginaria, vale

decir, solo se modifica el comportamiento exponencial del decaimiento de la solucion y no cambia la

parte oscilatoria. Este hecho se puede observar en las figuras que se muestran a continuacion, ya que

la frecuencia de oscilacion no cambia, sin embargo, como se dijo anteriormente, el decaimiento de la

componente oscilatoria disminuye o dicho de otra manera, decae mas lento, extendiendose la duracion

de las oscilaciones.

16.8 17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 195000

300020001000

010002000300040005000

t [s]

i a[A

]

Figura 7.14: Corriente de estator al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 190.98

1

1.02

1.04x 104

t [s]

i f[A

]

Figura 7.15: Corriente de campo al conectar banco capacitores

LR/NR 50


17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6800600400200

0200

t [s]

i D[A

]

Figura 7.16: Corriente de jaula eje d al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 19500

0

500

1000

t [s]

i Q[A

]

Figura 7.17: Corriente de jaula eje q al conectar banco capacitores

17 18 19 20 21 22 23 24314.05

314.1

314.15

314.2

t [s]

[R

ad/

s]

Figura 7.18: Velocidad al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.81.51.41.31.21.1

10.9 x 10

6

X: 18.79Y: 1.151e+06

t [s]

T[N

m]

Figura 7.19: momento electromagnetico al conectar banco capacitores

LR/NR 51


17 17.5 18 18.5 19 19.5 208

6

4 x 107

X: 19.98Y: 6.004e+07

t [s]

PI[W

]

Figura 7.20: Potencia activa barra I al conectar banco capacitores

17 17.5 18 18.5 19 19.5 204

2

0 x 107

X: 19.98Y: 3.53e+07

t [s]

QI[W

]

Figura 7.21: Potencia reactiva barra I al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.812108642

x 107

X: 18.79Y: 5.967e+07

t [s]

PIII[W

]

Figura 7.22: Potencia activa barra III al conectar banco capacitores

17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.812108642 x 10

7

X: 18.79Y: 9.048e+07

t [s]

QIII[W

]

Figura 7.23: Potencia reactiva barra III al conectar banco capacitores

LR/NR 52


8. Conclusion General

Durante el desarrollo del presente trabajo se observa el modelado de la interaccion de un genera-

dor sincronico con un sistema de potencia en coordenadas rotoricas, el cual se ha llevado a cabo

eficientemente gracias al gran avance computacional en cuanto a rapidez y ejecucion de operaciones

aritmeticas, siendo la principal herramienta utilizada el programa MATLAB Simulink.

Se comienza realizando la programacion de la maquina sincronica aislada del SEP, a la cual se le aplican

ciertas pruebas para verificar su funcionamiento y estas son satisfechas positivamente, obteniendo

resultados respaldados en la teora. Luego la maquina es conectada al sistema de potencia mediante

el proceso denominado sincronizacion, donde se hace girar el rotor a velocidad sincronica y se ajusta

el nivel de tension de armadura al nivel de tension del SEP. Una vez verificado que las tensiones

de armadura y del sistema poseen misma magnitud y frecuencia es posible conectar. Se le llama

sincronizacion suave, al proceso de conexion que logra que la tension Vp coincida con la tension en

la barra, bajo estas condiciones se logra una sincronizacion exitosa si la corriente que circula por la

conexion es practicamente despreciable, en la simulacion se logran magnitudes de corriente del orden

de las decimas de A. Ademas se realiza la conexion en el instante que Vp es opuesta a la tension de la

barra (sincronizacion gruesa), donde se observan transitorios en las corrientes de armadura del orden

de las decenas KA, cuyo efecto podra ser capaz de activar las protecciones del generador.

Una vez que la maquina ha sido sincronizada al sistema electrico, es suficiente con aumentar la potencia

mecanica para entregar potencia electrica a la red. Incrementando la corriente de campo se aumenta el

nivel de reactivos entregados por la maquina. Es necesario recordar que las corrientes de armadura de

la maquina consumen potencia reactiva inductiva al circular por sus reactancias. Para compensar este

fenomeno es necesario incrementar aun mas la corriente del campo si se desea entregar potencia reactiva

neta desde la maquina hacia la red. De acuerdo a lo simulado en la seccion de inyeccion de potencia,

se destaca que al existir una variacion en el momento aplicado al eje de la maquina, el rotor acelera

o desacelera momentaneamente, estos cambios son contrarestados por el devanado de amortiguacion

(Jaula). El efecto de conectar carga al eje tambien hace que el torque electromagnetico presente una

perturbacion del tipo oscilatoria, la cual decae exponencialmente, en otras palabras presenta una

respuesta subamortiguada, es menester mencionar que si esta carga repentina es demasiado grande

puede sacar a la maquina del sincronismo o puede traer graves consecuencias debido a los elevados

valores alcanzados por las corrientes del estator, es por este motivo que se recomienda aplicar un

momento externo de manera gradual, para evitar las oscilaciones en las variables electricas y mecanicas.

En general para todos los casos simulados, los devanados de la jaula, contribuyen a que se reestablezca

el estado estacionario atenuando las oscilaciones y reduciendo la magnitud de los transitorios en

variables como la velocidad y la potencia, ayudando a mantener la estabilidad en el sistema.

LR/NR 53


9. Anexos

9.1. Anexo 1: Detalles diagramas de bloques SIMULINK

Figura 9.1: Detalles de la ecuacion de estator

Figura 9.2: Detalles de la ecuacion de campo

LR/NR 54


Figura 9.3: Detalles de la ecuacion de campo

Figura 9.4: Detalles de la ecuacion de tension del sistema

LR/NR 55


Referencias

[1] J. Muller,Apuntes Maquinas Electricas I, captulo 1.. UTFSM.

LR/NR 56

1 Introduccin2 Resumen Ejecutivo3 Aspectos Tericos3.1 Ecuaciones de Park3.2 Modelamiento del SEP3.2.1 Generador3.2.2 Transformador3.2.3 Lneas de transmisin3.2.4 Banco capacitivo

4 Prembulo4.1 Definicin del sistema4.2 Planteamiento de las ecuaciones4.3 Ecuaciones del generador sincrnico4.4 Ecuaciones del SEP

5 Sincronizacin5.1 Sincronizacin suave5.2 Sincronizacin gruesa5.3 Efecto de la ausencia de jaula5.3.1 Sincronizacin suave sin jaula5.3.2 Sincronizacin gruesa sin jaula

6 Inyeccin de Potencia 6.1 Clculos Previos6.2 Inyeccin de potencias al Sistema Equivalente6.3 Evolucin transitoria del momento electromagntico6.4 Inyeccin de potencia considerando Sistema Equivalente en barra I

7 Conexin del Banco de Condensadores7.1 Efecto de la conexin repentina del banco de condensadores7.2 Comportamiento de las variables relevantes al conectar banco capacitivo.7.3 Comportamiento de las variables, considerando una menor resistencia en la lnea 2.

8 Conclusin General9 Anexos9.1 Anexo 1: Detalles diagramas de bloques SIMULINK

Interacción máquina sincrónica-sistema eléctrico

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