7/26/2019 Unidad IV - Sesion i

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UNIDAD 4:

TCNICAS COMPLEMENTARIAS EN EL CCULOMATRICIAL DE ESTRUCTURAS

4.1 CONDICIONES DE CONTORNO

Las estructuras se consideran fijadas al medio mediante apoyos, estos pueden ser

indeformables o deformables. El caso de apoyos indeformables los hemos tratado

anteriormente como apoyos simples, dobles y triples, que restringen uno, dos y tres grados

de libertad, respectivamente. En el caso de apoyos deformables tenemos apoyos elsticos

(que resultan de la idealizacin de suelos blandos) los cuales son en realidad resortes cuya

rigidez depende del tipo de suelo y de la cimentacin que se est usando.

En el caso de las restricciones, estas pueden ser concordantes o no concordantes. Se dice

que es concordante cuando coarta o restringe un grado de libertad en la direccin de los

ejes Globales del sistema, caso contrario son no concordantes. El segundo caso se da

solamente en apoyos mviles (carrito) sobre planos inclinados, apoyos mviles no

ortogonaleso en apoyos elsticos sobre planos inclinados.

Figura 1.

En la figura se aprecia el carrito del nudo 4 est apoyado sobre un plano inclinado, por

lo que no podemos establecer cul de los grados de libertad en coordenadas globales x e

y sera libre o restringido ya que en este sistema ambos grados de libertad estn ligados

entre s.

El tratamiento de este tipo de apoyo nos lleva a identificar dos tipos de ejes adems de

los ejes del sistema e coordenadas global X, Y, Z, estos dos ejes son: Ejes locales de barras

y ejes nodales.

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x

y

x

yx

y

x''y''

x'

y'

a

X

YZ

x'

y'

x'

y'

x'y'

a

X

Y

n

F1 K11 K12 K13... K1n U1 f1

F2 K21 K22 K23... K2n U2 f2

F3 = K31 K32 K33... K3n * U3 + f3

.

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Fn Kn1 Kn2 Kn3... Knn Un fn

X

Y

x'y'

b

En la figura mostrada se aprecian los ejes locales de barra (xyz) y los ejes de nudos, los cuales

son xyz y xyz (para el nudo del apoyo mvil).

Ahora veamos como analizar este tipo de estructuras, analizaremos de 2 formas cuyo

procedimiento paso a detalla a continuacin.

MTODO 1. Se trabaja en ejes de coordenadas globales y se considera ejes nodales nicamente

en donde haya el apoyo mvil no ortogonal, para lo cual se analiza la estructura de la forma que

ya conocemos, calculando las matrices de rigidez local, pasarlos a ejes globales, mediante su

matriz de rotacin y ensamblar la matriz de rigidez global del sistema. Luego, aqu, procedemos a

modificar la matriz de K, los vectores fuerzas y desplazamientos.

Sea el siguiente sistema ensamblado:

Donde K son sub matrices de 3x3, F y f vectores de 3x1, fjese que se ha agrupado

convenientemente de modo que el nudo con el apoyo mvil se ubique al final de la matriz K.

Procedemos a realizar el cambio de coordenadas de las variables del nudo n (donde se ubica el

apoyo mvil), tomando en cuenta lo siguiente:

{u}=[T]{u}, {f}=[T]{f}

{u}=[T]T{u}, {f}=[T]T{f}

[T], matriz de rotacin de ejes, calculada con el ngulo b, el cual es el que forman los sistemas

global y el eje nodal del apoyo mvil.

Fig. 2

Fig. 3

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F1 K11 K12 K13... K1n U1 f1

F2 K21 K22 K23... K2n U2 f2

F3 = K31 K32 K33... K3n * U3 + f3

.

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TT

f'n Kn1 Kn2 Kn3... Knn TT

u'n TT

fn

F1 K11 K12 K13... K1nTT

U1 f1

F2 K21 K22 K23... K2nTT

U2 f2

F3 = K31 K32 K33... K3nTT

* U3 + f3

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f'n TKn1 TKn2 TKn3... TKn1TT

u'n f'n

ux'n ux'n

u'n = uy'n = 0

uz'n uz'n

Luego operando matricialmente el sistema queda modificado as:

Ahora es posible separar los grados de libertad en libres y restringidos y adems el vector

desplazamientos del nudo del apoyo mvil, en ejes locales de nudo, ser:

MTODO 2. Se trabaja toda la estructura en ejes nodales para lo cual se calculan las matrices derigidez, (de cada elemento), en ejes de barras y se pasan a ejes nodales, mediante su matriz de

rotacin, que depende del ngulo que forman los ejes locales de barra con los ejes nodales (de

cada elemento) y ensamblar la matriz de rigidez global del sistema. Se recomienda hacer

coincidir los ejes de cada nudo con los ejes del sistema de coordenadas global y solo considerar

ejes locales de nudo en donde se ubica el apoyo mvil no ortogonal.

Definicin de ejes nodales y ejes locales de barra. Barra con ejes de nudos y ejes locales de barra.

Fig. 4 Fig. 5

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f'1 K11 K12 u'1 f'1

f'2 K21 K22 u'2 f'2= * +

T1f1 K11 K12 T1u1 T1f1

T2f"2 K21 K22 T2u"2 T2f"2= * +

f1 TT

1K11T1 TT

1K12T2 u1 f1

f"2 TT

2K21T1 TT

2K22T2 u"2 f"2

= * +

ux''2 ux"2

u"2 = uy"2 = 0

uz"2 uz"2

Para la figura 5, la relacin de rigidez de la barra es, en ejes locales de barra:

(1)

Relaciones de cambio de sistema de coordenadas (de ejes locales de barra a ejes nodales), para

la barra de la figura 5.

{u1}=[T1]{u1}, {f1}=[T1]{f1} .Para nudo 1

{u2}=[T2]{u2}, {f2}=[T2]{f2}Para nudo 2

Reemplazando en (1)

Operando matricialmente:

Se obtiene la matriz de rigidez modificada y los vectores modificados, sabiendo que:

Como el clculo de las fuerzas en los elementos mecnicos se realiza en ejes locales de barra, hay

que calcular las deformaciones halladas a los ejes locales de barra con:

{u1}=[T1]{u1}, {f1}=[T1]{f1} .Para nudo 1

{u2}=[T2]{u2}, {f2}=[T2]{f2}Para nudo 2

[T1] [T2], b1 ngulo que

forma la barra con el eje

nodal 1 y b2 ngulo que

forma la barra con el eje

nodal 2.