UNIDAD 4 Estructuras no

lineales

Los arboles pueden ser construidos con estructuras estáticas y dinámicas. Las estáticas son arreglos, registros y conjuntos, mientras que las dinámicas están representadas por listas.

Los arboles tienen una gran variedad de aplicaciones. Por ejemplo, se pueden utilizar para representar fórmulas matemáticas, para organizar adecuadamente la información, para construir un árbol genealógico, para el análisis de circuitos eléctricos y para numerar los capítulos y secciones de un libro.

4.1. Árboles.

Los arboles representan las estructuras no lineales y dinámicas de datos más importantes en computación . Dinámicas porque las estructuras de árbol pueden cambiar durante la ejecución de un programa. No lineales, puesto que a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos.

En ciencias de la informática, un árbol es una estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados).

4.1.1.- Definición

RAIZ O NODO PADRE: El nodo principal del cual salen los hijos.

HIJOS: Son todos los que descienden de un nodo Padre.

Hojas: Es un nodo que no tiene hijos.

Hay dos formas tradicionales de representar un árbol binario en memoria:

Por medio de datos tipo punteros también conocidos como variables dinámicas o listas.

Por medio de arreglos.

Los nodos del árbol binario serán representados como registros que contendrán como mínimo tres campos. En un campo se almacenará la información del nodo. Los dos restantes se utilizarán para apuntar al subárbol izquierdo y derecho del subárbol en cuestión. Cada nodo se representa gráficamente de la siguiente manera:

4.1.2 Representación en memoria de árboles

IZQ

DATO

DER

Procedimiento crear(q:nodo) Inicio

mensaje("Rama izquierda?") lee(respuesta) si respuesta = "si" entonces

new(p) q(li) <-- nil crear(p) en caso contrario q(li) <-- nil

mensaje("Rama derecha?") lee(respuesta) si respuesta="si"

entonces new(p) q(ld)<--p crear(p)

en caso contrario q(ld) <--nil

fin INICIO

new(p) raiz<--p crear(p)

FIN

El algoritmo de creación de un árbol binario es el siguiente:

Los árboles binarios también pueden ser almacenados como una estructura de datos implícita en vectores, y si el árbol es un árbol binario completo, este método no desaprovecha el espacio en memoria. Tomaremos como notación la siguiente: Si un nodo tiene un índice i, sus hijos se encuentran en índices 2i + 1 y 2i + 2, mientras que sus padres (si los tiene) se encuentra en el índice (partiendo de que la raíz tenga índice cero). Este método tiene como ventajas el tener almacenados los datos de forma más compacta y por tener una forma más rápida y eficiente de localizar los datos en particular durante un Preoden transversal. Sin embargo, desperdicia mucho espacio en memoria. 

4.1.2 Representación en memoria de árboles

En un árbol general cada nodo puede poseer un número indeterminado de hijos. La implementación de los nodos en este caso se realiza de la siguiente manera: como no se sabe de antemano cuantos hijos tiene un nodo en particular se utilizan dos referencias, una a su primer hijo y otra a su hermano más cercano. La raíz del árbol necesariamente tiene la referencia a su hermano como null.

4.1.2.1 Árboles generales

Nótese que todo árbol general puede representarse como un árbol binario, con la salvedad que el hijo derecho de la raíz es siempre null. Si se permite que la raíz del árbol tenga hermanos, lo que se conoce como bosque, entonces se tiene que el conjunto de los bosques generales es isomorfo al conjunto de los árboles binarios. En efecto, las propiedades vistas en los árboles binarios se siguen cumpliendo en los árboles generales.

4.1.2.2 Árbol binario

Un árbol de búsqueda binaria es una estructura apropiada para muchas de las aplicaciones que se han discutido anteriormente con listas. La ventaja especial de utilizar un árbol es que se facilita la búsqueda.

Un árbol binario de búsqueda es aquel en el que el hijo de la izquierda (si existe) de cualquier nodo contiene un valor más pequeño que el nodo padre, y el hijo de la derecha (si existe) contiene un valor más grande que el nodo padre.

Un ejemplo de árbol binario de búsqueda es el siguiente:

4.1.3 Recorridos de un árbol binario.

Nos sirve para realizar la obtención de la notación Polaca, para pasarlo a la unidad Aritmética Lógica para poder interpretar operaciones.4.1.3.1 Preorden

4.1.3.2 Inorden

4.1.3.3 Postorden:

RAIZ

IZQUIERDO

DERECHO

IZQUIERDO

RAIZ

DERECHO

IZQUIERDO

DERECHO

RAIZ

Preorden: ABDGEHICFJKInorden: GDBHEIACJKF Postorden: GDHIEBKJFCA

4.2 Grafos Definición

Un grafo es la unidad abstracta que comprende el conjunto de grafías de una letra. La palabra tiene origen griego y significa “dibujo” o “imagen”.Para las matemáticas y las ciencias de la computación, un grafo es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. De esta forma, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (llamados vértices o nodos), unidos por líneas (aristas). Los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que se encuentran en interacción.

La terminología que manejaremos regularmente para el uso de grafos es la siguiente:• CAMINO. Es una secuencia de vértices

V1, V2, V3, ... , Vn, tal que cada uno de estos V1-&gtV2, V2-&gtV3, V1-&gtV3.

• LONGITUD DE CAMINO. Es el número de arcos en ese camino.

• CAMINO SIMPLE. Es cuando todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el último son distintos.

• CICLO SIMPLE. Es un camino simple de longitud por lo menos de uno que empieza y termina en el mismo vértice.

• ARISTAS PARALELAS. Es cuando hay más de una arista con un vértice inicial y uno terminal dados.

• GRAFO COMPLETO ó FUERTEMENTE CONEXO. Un grafo dirigido G es completo si para cada par de nodos (V,W) existe un camino de V a W y de W a V (forzosamente tendrán que cumplirse ambas condiciones), es decir que cada nodo G es adyacente a todos los demás nodos de G.

• GRAFO CICLICO. Se dice que un grafo es cíclico cuando contiene por lo menos un ciclo.

• GRAFO ACICLICO. Se dice que un grafo es a cíclico cuando no contiene ciclos.

• GRAFO CONEXO. Un grafo G es conexo, si y solo si existe un camino simple en cualesquiera dos nodos de G.

• GRADO DE SALIDA. El grado de salida de un nodo V de un grafo G, es el número de arcos o aristas que empiezan en V.

• GRADO DE ENTRADA. El grado de entrada de un nodo V de un grafo G, es el número de aristas que terminan en V.

• NODO FUENTE. Se le llama así a los nodos que tienen grado de salida positivo y un grado de entrada nulo.

• NODO SUMIDERO. Se le llama sumidero al nodo que tiene grado de salida nulo y un grado de entrada positivo.

• GRAFO UNILATERALMENTE CONEXO. Un grafo G es unilateralmente conexo si para cada par de nodos (V,W) de G hay un camino de V a W o un camino de W a V.

• GRAFO PESADO ó ETIQUETADO. Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo ó un valor de cualquier tipo de dato. También a este grafo se le denomina red de actividades, y el número asociado al arco se le denomina factor de peso.

• VERTICE ADYACENTE. Un nodo o vértice V es adyacente al nodo W si existe un arco de m a n.

4.2.2 Tipos de Grafos

Grafos simples Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Grafo múltiple.

4.2.2 Tipos de Grafos

Grafos conexos Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Grafos completos Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente , siendo el grafo completo de n vértices. es decir, grafo completo de n vértices tiene exactamente aristas. La representación gráfica de los como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

4.2.2 Tipos de Grafos

Grafos bipartitos Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones: V1 y V2 son disjuntos y no vacíos. Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2. No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.

4.2.2 Tipos de Grafos

4.2.3 Representación de Grafos en Memoria

Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.