Unidad IV Ejes

DISEÑO MECÁNICO I

M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS Página 1

UNIDAD IV EJES

4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA.

Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia. La transmisión del movimiento se realiza a través de otros elementos tales como engranes, poleas, cadenas, etc.

Diseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje para asegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajo diferentes condiciones de carga.

El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista:

1.- Análisis por resistencia.

• Bajo cargas estáticas. • Bajo cargas dinámicas.

2.- Análisis por rigidez.

• Cálculo de deformaciones. • Velocidades críticas.

4.1.1. BAJO CARGAS ESTÁTICAS.

En un eje redondo macizo de diámetro d, que se somete a cargas de flexión, axiales y de torsión se desarrollan los siguientes esfuerzos:

23432dF

dM

x ππσ += (a) (esfuerzo por flexión y carga axial)

316

dT

xy πτ = (b) (esfuerzo por torsión)

Para ejes huecos

)22(

4

)44(

32

idod

F

idod

oMdx

−−+=

ππσ (c)

)44(

16

idod

oTdxy

−=

πτ (d)

Los esfuerzos principales no nulos son:

(4.1) El esfuerzo cortante máximo es: (4.2)

22

222,1 xyxx τσ σσ +

±=

22

2221

xyx

máx ττ σσσ +

== −

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El esfuerzo de Von Mises (energía de distorsión máxima) es: 2/1222/12

22121 )3()( xyx τσσσσσσ +=+−=′ (4.3)

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en (3.2) y (3.3) se tiene:

223

2 )8()8( TFdMd

máx ++=π

τ (4.4)

223

4 48)8( TFdMd

++=′π

σ (4.5)

Si el análisis o diseño ha de ser con base a la teoría del esfuerzo cortante máximo, entonces el

valor admisible de máxτ es

max 2y

s

S

nτ = (4.6)

en donde yS = resistencia a la fluencia del material

sn = factor de seguridad

Con base a la teoría de la energía de distorsión se tiene que

y

s

S

nσ ′ = (4.7)

En la mayoría de los casos la componente axial F es nula, o es tan pequeña que su efecto puede despreciarse. Con F = 0 las ecuaciones (4.4) y (4.5) se transforman en

223

16 TMd

máx +=π

τ (4.8)

223

16 34 TMd

+=′π

σ (4.9)

Si utilizamos el esfuerzo cortante admisible, a partir de la ecuación (4.8) tenemos que

3/12/12232

)(

+= TMdySsn

π (4.10)

Si se conoce d entonces

2/1223321 )( TM

ySdsn+=

π (3.11)

Si utilizamos la teoría de la energía de distorsión máxima, entonces

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3/12/12216

)34(

+= TMdySsn

π (4.12)

Si se conoce d entonces

2/1223161 )34( TM

ySdsn+=

π (4.13)

4.1.2. BAJO CARGAS DINÁMICAS. En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión, actuarán esfuerzos por flexión completamente invertida debido a la rotación del árbol, pero el esfuerzo torsional permanecerá estable. Por lo tanto se tiene que

332

d

aMxa

πσ = (a) (amplitud del esfuerzo alternante)

316

d

mTxym

πτ = (b) (esfuerzo de punto medio o estable)

De acuerdo con lo anterior se han desarrollado una serie de teorías para el diseño por fatiga, siendo las más populares: • Relación elíptica ASME para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. (Norma ANSI

B106.1M-1985).

3/12

43

232

+

=ySmT

eSaMfKsn

d π (4.14)

• Relación de Goodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo.

3/1

2332

+=uSmT

eSaMfKsn

d π (4.15)

en donde

e a b c d e eS K K K K K S′= (4.16)

siendo =′eS Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria.

eS = límite de resistencia a la fatiga corregido para todos los efectos, excepto

concentración de esfuerzos yS = Resistencia de fluencia del material

uS = resistencia última del material

aM = momento flector alternante

mT = Valor promedio del momento torsional

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4.2. RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS (se incluye en 4.4)

4.3. EJES HUECOS (se incluye en 4.1)

4.4. ANÁLISIS POR RIGIDEZ.

4.4.1. Deformación en los ejes . El problema de la deflexión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitante en el diseño del mismo. Para determinar la deflexión de un eje en cualquier punto, podemos utilizar los siguientes criterios: a).- Método de la doble integración. b).- Método del área de momentos. El “método de la doble integración” recomendado para ejes de sección uniforme, se basa principalmente en determinar la ecuación de la curva elástica, a partir de la ecuación de momentos

)(xMyEI =′′ (4.17) Resolviendo la ecuación (4.17) y aplicando las condiciones iniciales, se obtiene una ecuación de la forma

)(1 xFyEI

= (4.18)

A partir de la ecuación (4.18) , se obtienen las deflexiones en los puntos deseados. El “método del área de momentos” recomendado para ejes de sección variable, está fundamentado en dos teoremas básicos: El primer teorema dice: El ángulo de las tangentes A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto EI. (Ver figura 4.1).

Figura (4.1).

∫= BAEI

Mdx1θ (4.19)

El segundo teorema dice: La distancia vertical entre el punto B de la elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momentos flectores entre A y B divididas por EI. (Ver figura 4.1).

∫=∆ BAEI

Mxdx1 (4.20)

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4.5. VELOCIDAD CRÍTICA. Todos los ejes, aún sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de:

• La rigidez del eje y de sus soportes. • De la masa total del eje y de las partes que se adicionan. • Del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación. • Del amortiguamiento presente en el sistema.

La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, pero solo la más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen importancia en el diseño. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

a).- Primera velocidad crítica. b).- Segunda velocidad crítica.

Figura (4.2). Representación de la primera y segunda velocidad crítica en un eje.

La frecuencia natural de un eje en flexión es prácticamente igual a la velocidad crítica. Existe una pequeña diferencia debida a la acción giroscópica de las masas. Para un eje con una sola masa, en donde la masa del eje es pequeña en comparación a la masa que lleva unida, la primera velocidad crítica se puede calcular de manera aproximada por

mk

c =ω rad/seg (4.21)

en donde k = constante de resorte del eje m = masa soportada por el eje La primera velocidad crítica puede calcularse también por

δω gc = rad/seg (4.22)

en donde g = aceleración de la gravedad

δ = deflexión del eje en el punto de ubicación de la masa

La siguiente figura muestra un eje flexionado que gira a una velocidad ω .

Figura (4.3).- Deflexión en un eje de una sola masa con peso W.

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Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a el, la primera velocidad crítica se determina por: a).- La ecuación de Rayleigh-Ritz. b).- La ecuación de Dunkerley. Para el primer caso se tiene lo siguiente:

De acuerdo con la figura, la energía cinética máxima es:

2212

22212

1121 .... nnmáx vmvmvmEC +++= (a)

Debido a que el movimiento de las masas es senoidal se tiene que

∴+++= 2212

22212

1121 )(....)()( nnmáx xmxmxmEC ωωω

22

21

nnmáx xmEC ∑= ω (4.23)

La energía potencial máxima es:

2212

212

22212

1121 .... nnnnmáx xkxkxkxkEP ∑=+++= (4.24)

De acuerdo con Rayleigh

22122

21

nnnnmáxmáx xkxmEPEC ∑=∑∴= ω (b)

Si nnx δ= , gnW

nm = y nnW

nk δ= entonces en (b) se obtiene lo siguiente:

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∑

∑

=

=

=n

kkkW

n

kkkWg

c

1

2

1

δ

δω rad/seg (4.25) ( Ecuación de Rayleigh-Ritz)

en donde kW = peso de la masa k – ésima

kδ = deformación estática de la masa k - ésima

n = número total de masas Para el segundo caso la primera velocidad crítica se determina por (4.26)

en donde 1ω = velocidad crítica que existiría si solo se aplicara la masa 1m .

2ω = velocidad crítica que existiría si solo se aplicara la masa 2m .

nω = velocidad crítica que existiría si solo se aplicara la masa nm .

nn

gn δω =

Es importante tomar en cuenta que la ecuación de Rayleigh-Ritz y Dunkerley son aproximaciones a la primera frecuencia natural de vibración o velocidad crítica de rotación, ya que la primera sobrestima la frecuencia natural, mientras que la segunda la subestima. En un sistema de masas múltiples, para velocidades críticas más altas se requiere de cálculos más extensos para la determinación de estas velocidades; sin embargo, para un sistema con dos masas la primera y la segunda velocidad crítica se obtienen a partir de la siguiente figura:

En la figura )( 2ωymFc = es la fuerza centrífuga.

Utilizando los coeficientes de influencia se determinan las deflexiones como sigue:

22122

11112

122212

211111 ωωω

+

=∴+= mamaymaymay

yy

yy

-

-(c)

22222

1121

22222

211212 1 ωωω

+

=∴+= mamaymaymay

yy

--

(d)

Despejando en cualquiera de las dos ecuaciones a

21

yy

y sustituyendo en la otra se obtiene la

ecuación de frecuencias:

21

21

22

121

12

1 ....nnc ωωωωω

∑=+++=

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0)()( 212112221121

22211141 =−++− mmaaaamama

ωω (4.27)

Con ésta ecuación obtenemos las raíces positivas 11

ω y 2

1ω , en donde 1ω y 2ω son la primera y

segunda velocidad crítica (o frecuencias naturales de vibración). Las dos masas son m1 y m2 .

Las constantes a se conocen como coeficientes de influencia, en donde:

11a = deformación en el punto de localización de la masa m1 , producida por una carga unitaria localizada en el punto de la masa m1 .

22a = deformación en el punto de localización de la masa m2 , producida por una carga unitaria localizada en el punto de la masa m2. 12a = deformación en el punto de localización de la masa m2 , producida por una carga unitaria localizada en el punto de la masa m1.

21a = deformación en el punto de localización de la masa m1 , producida por una carga unitaria localizada en el punto de la masa m2. 2112 aa = En la ecuación de Rayleigh-Ritz las deformaciones en las masas m1 y m2 se pueden determinar por

+=+=

2222122

1221111

aWaW

aWaW

δδ

(4.28)

En la ecuación de Dunkerley la deformación producida por la aplicación aislada de las masas 1m ,

2m , nm es:

===

nnnnn aW

aW

aW

δδδ

22222

11111

(4.29)

Los coeficientes de influencia se determinan como sigue:

a).- Eje simplemente apoyado en sus extremos con dos masas concentradas.

b).- Eje simplemente apoyado en un extremo y un voladizo.

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En la figura anterior se puede observas que la carga unitaria (1) se aplica hacia arriba para que la curvatura coincida con la que se tiene al aplicar la carga (2). Para un sistema de masas múltiples, la ecuación de frecuencias se obtiene resolviendo el siguiente determinante:

0

)(............)()(

..............................................

(...........)()(

)(...........)()(

21

2211

221

222121

121221

111

=

−

−

−

ω

ω

ω

nnnnn

nn

nn

mamama

mamama

mamama

(4.30)

4.6. MATERIALES PARA EJES.

Este tema se estudió en PROPIEDADES DE LOS MATERIALES. 4.7. FLECHAS FLEXIBLES 4.8. CIGÜEÑALES. Problema 4.1.- En la figura siguiente, la polea de 20 pul para banda plana recibe 25 hp a 500 rpm. La potencia es transmitida al engrane recto de ángulo de presión de 20o que tiene un diámetro de paso de 10 pul. La polea pesa 250 lb y el engrane 150 lb. Si las cargas son estables, determinar el diámetro de la flecha basado en las teorías de fallas de corte máximo y de energía de distorsión máxima. La flecha es de acero AISI 1030 rolado en caliente. Usar un factor de seguridad de 2.

El par de torsión es

3150500

)25(6300063000 ===n

HT lb.pul

∴=∴=−=20

31502221 )10(2)( TTrTTT

5.1572 =T lb

5.4721 =T lb La carga horizontal en el engrane es

6305

3150==∴= HEH FrFT lb

La carga vertical es:

3.22920tan == oHV FF lb

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Componente en y en el punto D:

6.29525030cos)5.1575.472( =−+= oyDF lb

Componente en z en el punto D:

31530)5.1575.472( =+= ozD senF lb

Componente en y en el punto B:

3.3791503.229 =+=yBF lb

Componente en z en B: 630=

zBF lb

Tomando momentos respecto a A se tiene:

∴+×

+−−×++−×∴=∑

)ˆ315ˆ6.295(ˆ32

)ˆˆ(ˆ26)ˆ630ˆ3.379(ˆ80

kji

kCjCikjiM zyA

∴=−++−−− 0ˆ10080ˆ2.9459ˆ26ˆ26ˆ5040ˆ4.3034 jkjCkCjk zy

1.247=yC lb

5.581=zC lb Por suma de fuerzas se tiene:

∴=∑ 0F�

∴=+++−−−− 0ˆ315ˆ6.295ˆ630ˆ3.379ˆ5.581ˆ1.247ˆˆ kjkjkjkAjA zy

8.330=yA lb

5.363=zA lb Diagrama de momentos (Plano x-y). M (lb.pul) y 2646.4 1773.5 B C x

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Diagrama de momentos (Plano x-z). M (lb.pul) z 2908 B C x 1890 El momento total de flexión en los puntos B y C son:

3932)908.26464.2(1000 22 =+=BM lb.pul

8.2591)89.17735.1(1000 22 =+=CM lb.pul

El máximo momento flector es entonces de 3932 lb.pul.

Para el acero AISI 1030 rolado en caliente yS = 37.5 kpsi.

Esfuerzo cortante máximo:

∴

+=

+=3/1

22)37500()1000)(2(32

3/12/12232

)15.3932.3()( ππ TMdySsn

d = 1.3988 pul Energía de distorsión máxima:

∴

+=

+=3/1

22)37500()1000)(2(16

3/12/12216

)15.3(3)932.3(4)34( ππ TMdySsn

d = 1.375 pul Se puede utilizar un valor comercial de d = 11/2 pul. Problema 4.2.- Un eje de acero AISI 1040 estirado en frío y maquinado, con dimensiones 2=d pul y D = 3 pul , está sometido a una torsión constante de 800 lb.pul y a un momento flector alternante. Determinar el factor de seguridad con base a la Norma ANSI B106.1M-1985.

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Para un acero AISI 1040 estirado en frío 85=uS kpsi , 71=yS kpsi.

Solución: Equilibrio del eje:

3000)30(500500 =∴=−∴=∑ BBA RRM lb

20005000 =∴=−+∴=∑ ABAy RRRF lb

Ma = 200x30 = 6000 lb.pul Tm = 800 lb.pul

5.42)85(5.05.0 ===′ ue SS kpsi

83.0)85(7.2 265.0 === −bua aSk

Para puldpul 103.0 << 112.0869.0 −= dkb ∴ 804.0)2(869.0 112.0 == −bk

1=ck para cargas de flexión

1=dk para temperatura normal de trabajo

1=rk (factor de confiabilidad)

36.28)5.42)(804.0(83.0 ==eS kpsi

Para r/d = 0.125 y D/d = 1.5, Kt = 1.6 (Figura A-15-9 del Shigley).

)1(1 −+= tf KqK ----(a)

ra

q+

=1

1

Para 85=uS kpsi , ∴= 075.0a 87.0

5.0075.01

1 ==+

q

En (a) se tiene: 522.1)16.1(87.01 =−+=fK

El factor de seguridad es:

( ) ( )∴==

+

+

2

71000800

432

283606000522.132

3)2(

2

43

232

3

x

ySmT

eSaMfK

dsn ππ

438.2=sn

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Problema 4.3.- Determinar la velocidad crítica del eje de acero que se muestra en la siguiente figura. (E = 30x106 psi)

Solución: Equilibrio del eje:

22.1420)8(320180 =∴=−∴=∑ BBA RRM lb, 78.177=AR lb. Diagrama de momentos: M 1422.24 lb.pul x

EIM

61 10455.7 xEI = 0.966x10-3

62 104726.1 xEI =

0.19x10-3 1 2 x1 x2

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32

31019.081 1076.0 −−×× ×==A

32

310996.0102 1098.4 −−×× ×==A

pulx338

38

1 10 =+=

pulx320

32

2 10 =×=

pulxAxA 33203

3383

2211 108267.421098.41076.0 −−− ×=××+××=+=∆

( ) pul318

3108267.428188

2 10034.19 −−×× ×==∆×=∆

( ) pulA 3383

38

11 1002667.21076.0 −− ×=××=×=∆

pul3312 101710)02667.2034.19( −− ×=×−=∆−∆=δ

684.15031017

386 === −×δω gc rad/seg ∴

Problema 4.4.- Para el eje que se muestra en la figura, determinar: a) La primera velocidad crítica aplicando la fórmula de Rayleigh- Ritz ; (b) La primera velocidad crítica utilizando la ecuación de Dunkerley, y c) La primera y segunda velocidad crítica utilizando la ecuación de frecuencias. (E = 30x106 psi)

De acuerdo con la figura tenemos lo siguiente: 28.119=EI lb.pul2

Primera condición:

∴−−=′′ )10(75.0 xxyEI

1440=cn rpm

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12

212 )10(375.0 CxxyEI +−−=′

213

613 )10(125.0 CxCxxEIy ++−−=

00)0( 2 =→= Cy

∴−=→= 5.870)40( 1Cy

[ ]xxxy 5.87)10(125.0 3613

28.119

610 −−−=−

611 102877.6 −×=a pul

612 1068.6 −×=a pul

Segunda condición:

∴−−=′′ )25(375.0 xxyEI

12

212 )25(1875.0 CxxyEI +−−=′

213

613 )25(0625.0 CxCxxEIy ++−−=

00)0( 2 =→= Cy

∴−=→= 9375.850)40( 1Cy

[ ]xxxy 9375.85)25(0625.0 3613

28.119

610 −−−=−

621 1068.6 −×=a pul

622 108248.9 −×=a pul

Solución (a):

008488.010)68.68002877.6500( 61221111 =××+×=+= −aWaWδ pul

0112.010)8248.980068.6500( 62222112 =××+×=+= −aWaWδ pul

32.1932)0112.0(8002)008488.0(500

)0112.0800008488.0500(386

1

2

1 ==∑

∑

=+

×+×

=

=n

kkkW

n

kkkWg

cδ

δω rad/seg

1846=cn rpm

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Solución (b):

0031438.0)102877.6(500 611111 =×== −aWδ pul

0078598.0)108248.9(800 622222 =×== −aWδ pul

3

0031438.0386

1121 1078134.122 ×=== δω g

30078598.0

38622

22 1011066.49 ×=== δω g

∴×=+=+= −−×−× 311066.49

310178134.122

310122

121

12

1 100285067.0ωωωc

285.1870285067.0

310 ==cω rad/seg

Solución (c):

∴=−++− 0)()( 212112221121

22211141 mmaaaamama

ωω

∴=×+×− −− 01005.4610507.28 121621

λλ

( ) ∴== ±−×−±2

069.25507.282

6102.184649.812507.281λ

∴=∴×=∴×= − 03733.010001003733.010788.26 16

16

11 ωλλ

2.1931 =ω rad/seg ∴

∴=∴×=∴×= − 5817335.01000105817335.010719.1 26

26

21 ωλλ

7145.7622 =ω rad/seg ∴

18451 =cn rpm

4.78832 =cn rpm

5.1788=cn rpm

Unidad IV Ejes

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