Unidad II Óptica Geométrica

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Temas Selectos de FísicaUNIDAD II: Óptica Geométrica

M.C. Adrián Sánchez Vidal

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Facultad de Ingeniería

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Objetivo

El estudiante investigará y analizará conceptualmente, de manera creativa y autorreflexiva, los fenómenos que rigen el comportamiento de las imágenes formadas en lentes.

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2 Óptica Geométrica

2.1 Imágenes Formadas por Espejos Planos 2.2 Imágenes Formadas por Espejos Esféricos 2.3 Imágenes Formadas por Refracción 2.4 Lentes Delgados 2.5 Aplicaciones: la Cámara, el Ojo, el Microscopio y el Telescopio

Contenido

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1. Física Tomo II, Serway, Raymond A., Séptima Edición, McGraw Hill.

2. Física Moderna, Krane, Kenneth, Segunda Edición, Limusa.

3. Física para Universitarios Volumen II, Giancoli, Douglas C., Tercera Edición, Prentice Hall.

4. Semiconductor Devices Physics and Technology, Sze, S. M., Segunda Edición, John Wiley & Sons.

5. Física del Estado Sólido y de Semiconductores, Mckelvey, J., Sexta Edición, Limusa.

Bibliografía

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A continuación se analizarán las imágenes que resultan cuando los rayos luminosos inciden sobre superficies planas y curvas. Las imágenes se forman, ya sea por reflexión o por refracción, y es posible diseñar espejos y lentes para formar imágenes que tengan las características que se deseé.

Introducción

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Suponga una fuente puntual de luz colocada en O a una distancia p (distancia objeto) frente a un espejo plano. Los rayos luminosos divergentes que salen de la fuente son reflejados por el espejo.

Imágenes formadas por Espejos Planos

Después de reflejarse, los rayos siguen un proceso de divergencia.

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Las líneas discontinuas son extensiones de los rayos divergentes hacia atrás, hasta un punto de intersección en I, dado que para el observador los rayos divergentes surgen del punto I detrás del espejo.


El punto I, que está a una distancia q (distancia de imagen) detrás del espejo, se conoce como imagen del objeto en O.

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Las imágenes pueden estar localizadas ya sea en un punto a partir del cual los rayos luminosos realmente divergen o en un punto a partir del cual parece que divergen.


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Las imágenes se clasifican en: Reales Virtuales.

Una imagen real es la que se forma cuando los rayos luminosos pasan a través y divergen del punto de imagen.

Una imagen virtual es la que se forma cuando los rayos luminosos no pasan a través del punto de imagen sino que sólo parecen divergir de dicho punto.


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La imagen formada por el espejo en la figura anterior, ¿era virtual o real?

La imagen de un objeto vista en un espejo plano es siempre virtual.


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Considerando únicamente dos rayos para determinar donde se formará la imagen. Uno de esos rayos parte de P, sigue una trayectoria perpendicular hasta el espejo y se refleja sobre sí mismo.


El segundo rayo sigue la trayectoria oblicua PR y se refleja como se muestra.

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Un observador frente al espejo extendería los dos rayos reflejados de regreso hacia el punto en el cual parecen haberse originado, es decir, el punto P por detrás del espejo.


Continuar con este proceso para puntos diferentesde P sobre el objeto da como resultado una imagen virtual.

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Debido a que los triángulos PQR y P’QR son congruentes, PQ=P’Q.

Debido a eso, la imagen formada por un objeto colocado frente a un espejo plano está tan lejos detrás del espejo como lo está el objeto frente a él.

El aumento lateral M de una imagen se define como:


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Para un espejo plano, M=1 para cualquier imagen porque h’=h.

El valor positivo de la amplificación significa que la imagen es vertical.

Asimismo, un espejo plano produce una imagen con una inversión aparente de izquierda a derecha.


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Pregunta rápida:

Imagine que está de pie aproximadamente a dos metros de un espejo, y que éste tiene gotas de agua sobre su superficie. Verdadero o falso: ¿es posible ver simultáneamente (enfocadas) las gotas de agua, así como su propia imagen?


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EJEMPLO 1:

Dos espejos planos han sido colocados en forma perpendicular entre sí, y se coloca un objeto en el punto O. En esta situación se forman varias imágenes. Localice las posiciones de dichas imágenes.


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EJEMPLO 2:

Dos espejos planos han sido colocados en forma perpendicular entre sí, y se coloca un objeto en el punto O. En esta situación se forman varias imágenes. Localice las posiciones de dichas imágenes.


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Espejos cóncavos

Considerando la reflexión de luz desde la superficie interior cóncava de un espejo esférico.

Imágenes formadas por Espejos Esféricos

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Para calcular la distancia de la imagen q si conoce la distancia objeto p y el radio de curvatura R, estas distancias se observan a partir del punto V.


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La imagen de la punta de la flecha se localiza en el punto donde se cruzan los dos rayos que salen de la punta del objeto.


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De los triángulos rojo y azul se obtiene:


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Debido a lo anterior, se obtiene que el aumento de la imagen es igual a:


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Ahora de los triángulos rojo y verde:


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Como son iguales las tangentes:


Despejando:

Combinándolo con la ecuación anterior:

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Simplificándola se obtiene la ecuación del espejo:


Distancia

focal f

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Dado que la fuente esta muy lejos del espejo, los rayos incidentes del objeto son esencialmente paralelos. En este caso, se le llama al punto de imagen foco F y a la distancia de imagen distancia focal ƒ.


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Al combinar las ecuaciones la ecuación del espejo se expresa en función de la distancia focal.


La distancia focal de un espejo depende solo de su curvatura y no del material con que este fabricado, porque la imagen es el resultado de rayos que se reflejan de la superficie del material, a menos que la luz atraviese el material.

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EJEMPLO 2: Suponga que configura el aparato de vela y espejo (f=10 cm, p=25 cm). Mientras tanto accidentalmente golpea la vela y se desliza hacia el espejo con velocidad vp. ¿Que tan rápido se mueve la imagen de la vela?


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EJERCICIO 1:

Un espejo esférico tiene una distancia focal de 10.0 cm.A) Ubique y describa la imagen para una

distancia de objeto de 25.0 cm.B) Ubique y describa la imagen para una

distancia de objeto de 10.0 cm.C) Ubique y describa la imagen para una

distancia de objeto de 5.00 cm.


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Espejos Convexos

A veces este se conoce como espejo divergente porque los rayos de cualquier punto de un objeto divergen después de haberse reflejado, como si vinieran de algún punto de detrás del espejo


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La imagen es virtual porque los rayos reflejados solo dan la impresión de originarse en el punto imagen. Además, la imagen siempre es vertical y es menor que el objeto.


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No deducirá ecuaciones para los espejos esféricos convexos, porque puede utilizar las ecuaciones previas tanto para espejos cóncavos como convexos, siempre y cuando se siga el procedimiento siguiente.

Identifique la región en la cual los rayos luminosos se mueven hacia el espejo como cara frontal del mismo y el otro lado como cara posterior.


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Reglas para los signos de las distancias objeto e imagen.


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En un espejo convexo la imagen de un objeto es siempre virtual, vertical y de tamaño reducido.

¿Cómo se comporta el tamaño de la imagen virtual a medida que la distancia del objeto cambia (disminuye o aumenta)?


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EJEMPLO:

Un cierto adorno navideño está constituido por una esfera plateada de 8.50 cm de diámetro. Determine la ubicación de un objeto en donde el tamaño de la imagen reflejada sea tres cuartas partes las dimensiones del objeto. NOTA: Dibuje un diagrama de rayos principales para describir las características de la imagen.


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EJEMPLO:

Un espejo retrovisor, muestra la imagen de un camión ubicado a 10.0 m del espejo. La distancia focal del espejo es 0.60 m. A) Encuentre la posición de la imagen del camión. B) Encuentre el aumento de la imagen.


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EJEMPLO:

Un objeto de 10 cm de altura se coloca en la marca cero de un metro de madera. Un espejo esférico, colocado en algún punto sobre el metro, crea una imagen del objeto que está vertical, tiene 4 cm de altura y se encuentra en la marca de los 42 cm en el metro. a) ¿El espejo es convexo o cóncavo? b) ¿Donde se encuentra el espejo? c) ¿Cual es su distancia focal


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EJEMPLO:

Un entusiasta de automóviles deportivos pule las superficies interior y exterior de un tapón de rueda que tiene la forma de una sección de esfera. Cuando mira en uno de los lados del tapón, ve una imagen de su cara 30 cm detrás del tapón. Ahora hace girar el tapón y entonces ve otra imagen de su cara, a 10 cm por detrás de este. a) ¿A qué distancia está su cara en relación con el tapón? b) ¿Cual es el radio de curvatura del tapón?


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EJERCICIO 2:

Un dentista usa un espejo para examinar un diente. El diente está 1 cm enfrente del espejo y la imagen se forma 10 cm detrás del espejo. Determine:

a) el radio de curvatura del espejo y,b) el aumento de la imagen.


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EJERCICIO 3:

a) Un espejo cóncavo forma una imagen invertida cuatro veces mayor que el objeto. Determine la distancia focal del espejo, si la distancia entre la imagen y el objeto es de 0.6 cm.

b) Un espejo convexo forma una imagen que es de la mitad del tamaño del objeto. Suponga que la distancia entre la imagen y el objeto es de 20 cm y determine el radio de curvatura del espejo.


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Considere dos medios transparentes con índices de refracción n1 y n2, donde los límites entre los dos medios forman una superficie esférica de radio R.

Imágenes formadas por Refracción

Los rayos que forman ángulos pequeños en relación con el eje principal divergen de un punto en el objeto O y se refractan hasta el punto imagen I.

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Tomando un rayo simple que sale del punto O y se refracta hacia el punto I. Los ángulos 1 y :


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El ángulo 1 es:


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El ángulo es:


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La ley de Snell de la refracción aplicada a este rayo da.


Para ángulos pequeños en radianes se puede aproximar sen. Quedando:

Sustituyendo 1 y 2:

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Desarrollando:


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Para ángulos pequeños, las tangentes de , y se pueden aproximar a:


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Sustituyendo:


La anterior ecuación establece la relación entre distancia objeto y distancia imagen para una superficie refractora.

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El lado de la superficie en el cual se originan los rayos luminosos se define como la cara frontal. El otro lado se llama cara posterior.

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Ejemplo: Un conjunto de monedas está incrustado en un pisapapeles esférico de plástico que tiene un radio de 3.0 cm. El índice de refracción del plástico es 1=1.50. Una moneda está colocada a 2.0 cm del borde de la esfera. Encuentre la posición de la imagen de la moneda.

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Ejemplo:

Un pez pequeño nada a una profundidad d bajo la superficie de un estanque. a) ¿Cuál es la profundidad aparente del pez, visto directamente desde arriba? ¿Cuál es el tamaño aparente (altura) del pez?

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Ejercicio:

b) Si su cara está a una distancia d sobre la superficie del agua, ¿a qué distancia aparente sobre la superficie el pez ve su cara? ¿Cuál es el tamaño aparente (altura) del pez?

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Ejercicio:

Un tanque de agua que contiene langostas tiene un frente curvo hecho de plástico con grosor uniforme y un radio de curvatura de 80.0 cm de magnitud. Ubique y describa las imágenes de las langostas a a) 30.0 cm y b) 90.0 cm de la base de la pared frontal. c) Encuentre el aumento de cada imagen. d) Las langostas tienen 9.00 cm de alto. Encuentre la altura de cada imagen. e) Explique por que no necesita conocer el índice de refracción del plástico para resolver este problema.

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Lentes Delgadas

La luz que pasa a través de una lente experimenta una refracción en dos superficies (entrada-salida).

Se debe tener en cuenta que la imagen formada por una superficie refractora 1 sirve como el objeto para la segunda superficie 2.

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Lentes Delgadas

Considere una lente con un índice de refracción n y dos superficies esféricas con radios de curvatura R1 y R2.

La imagen de la superficie 1 (1= 1):

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Lentes Delgadas

Si la imagen está frente a la lente (imagen virtual) q1 es negativa, y el valor de p2.

Ahora para la superficie 2 1= y 2= 1.

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Lentes Delgadas

Si la lente es delgada (t<<R), se desprecia t.

Si la imagen está detrás la lente (imagen real) q1 es positiva, y el valor de p2.

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Lentes Delgadas

Finalmente, considerando que la imagen formada por la primera superficie actúa como el objeto para la segunda. La ecuación de la segunda superficie,

Sustituyendo p2= q1, queda:

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Lentes Delgadas

Sumando las ecuaciones de las dos superficies:

queda:

+

Para lentes delgadas q=q1 y p=p2.

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Lentes Delgadas

Si en la ecuación p y q ƒ, la inversa de la distancia focal de una lente delgada es igual a:

La cual se conoce como la ecuación de los fabricantes de lentes porque se utiliza para determinar los valores de R1 y R2 necesarios para un índice de refracción dado y una distancia focal ƒ deseada.

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Lentes Delgadas

Los rayos luminosos paralelos pasan a travésde una lente convergente. Los focos F1 y F2 están a la misma distancia de la lente.

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Lentes Delgadas

Los rayos luminosos paralelos pasan a travésde una lente divergente. Igualmente, los focos F1 y F2 están a la misma distancia.

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Lentes Delgadas

La ecuación de espejo se conoce ahora como la ecuación de las lentes delgadas, se utiliza para relacionar la distancia imagen con la distancia objeto para una lente delgada.

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Lentes Delgadas

Diagrama para obtener los signos de p y de q para lentes delgadas.

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Lentes Delgadas

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Lentes Delgadas

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Lentes Delgadas

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Lentes Delgadas

Ejemplo: Una lente convergente tiene una distancia focal de 10.0 cm. Encuentre la distancia de la imagen y descríbala, si el objeto se coloca:

a) A 30 cm de la lente. b) A 10 cm de la lente. c) A 5 cm de la lente.

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Lentes Delgadas

¿Qué pasaría si?

¿Si el objeto se mueve en línea recta hacia la superficie de la lente, de modo que p → 0? ¿Dónde está la imagen?

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Lentes Delgadas

Ejercicio: Una lente divergente tiene una distancia focal de 10 cm. Encuentre la distancia de la imagen y descríbala, si el objeto se coloca:

a) A 30 cm de la lente. b) A 10 cm de la lente. c) A 5 cm de la lente.

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Lentes Delgadas

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Lentes Delgadas

Combinación de lentes delgadas Si dos lentes delgadas se utilizan para formar una imagen, el sistema se trata de la siguiente manera: 1. La imagen formada por la primera lente se

localiza como si no estuviera presente la segunda lente.

2. Después se traza un diagrama de rayos para la segunda lente, con la imagen formada por la primera lente como objeto.

3. La segunda imagen formada es la imagen final del sistema.

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Lentes Delgadas

El aumento general de la imagen causada por la combinación de las lentes (o lente-espejo) es el producto de los aumentos individuales.

Considerando el caso especial de un sistema de dos lentes de distancias focales ƒ1 y ƒ2 que están en contacto la una con la otra, para la primera lente da:

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Lentes Delgadas

Para la segunda lente:

Para las dos lentes la combinación queda:

Distancia focal para una combinación de dos lentes delgadas

en contacto

Dos lentes delgadas en contacto entre sí equivalen a una lente simple delgada de distancia focal conocida.

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Lentes Delgadas

Ejemplo: Dos lentes convergentes delgadas, con distancias focales f1=10 cm y f2= 20 cm, separadas 20 cm. Un objeto se coloca a 30 cm a la izquierda de la lente 1. Encuentre la posición y la amplificación de la imagen final.

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Lentes Delgadas

¿Qué pasaría si? Suponga que quiere crear una imagen vertical con este sistema de dos lentes. ¿Como debe mover la segunda lente?

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Aberraciones

Este análisis de espejos y de lentes supone que los rayos forman ángulos pequeños con el eje principal y que las lentes son delgadas, donde los rayos salientes se enfocan en un solo punto, produciendo una imagen nítida.

Es claro que no siempre sucede así. Cuando las aproximaciones que se utilizan en este análisis ya no son validas, se forman imágenes imperfectas.

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Aberraciones

Un análisis preciso requiere trazar cada rayo utilizando la ley de Snell sobre cada superficie de refracción.

Teniendo como resultado que los rayos provenientes de un objeto puntual no se enfocan en un solo punto, lo que resulta en una imagen borrosa.

Las desviaciones de imágenes reales del ideal pronosticado en este modelo simplificado, se conocen como aberraciones.

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Aberraciones

Aberraciones esféricas

Estas aberraciones se presentan debido a que los focos de los rayos alejados del eje principal de una lente (o espejo) esférica son diferentes de los focos de rayos con la misma longitud de onda que pasan cerca del eje.

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Aberraciones

La figura anterior muestra la aberración esférica para los rayos paralelos que pasan a través de una lente convergente.

Los rayos que pasan a través de puntos cercanos al centro de la lente forman una imagen mas lejos de la lente que los rayos que pasan a través de puntos cerca de los bordes.

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Aberraciones

Aberraciones cromáticas

Se conoce que debido a la dispersión, cuando pasa luz blanca a través de una lente, los rayos violeta se refractan mas que los rojos, y las otras longitudes de onda tienen focos intermedios entre la luz roja y la violeta, lo que causa una imagen borrosa, llamada aberración cromática.

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Aberraciones

La aberración cromática para el caso de una lente divergente también da como resultado una distancia focal mas corta para la luz violeta que para la luz roja, pero en la cara frontal de la lente.

La aberración cromática puede reducirse de manera significativa al combinar una lente convergente fabricada con un clase de vidrio y con una lente divergente hecha con otra clase de vidrio.

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Lentes Delgadas

Ejemplo:

Las caras de una lente bicóncava tienen radios de curvatura de 32.5 cm y 42.5 cm, respectivamente. El vidrio tiene un índice de refracción de 1.53 para la luz violeta y 1.51 para la luz roja. Para un objeto muy distante, localice y describa a) la imagen formada con luz violeta y b) la imagen formada con luz roja.

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Lentes Delgadas

Ejercicio:

Un objeto está colocado a 12 cm a la izquierda de una lente divergente con una distancia focal de 6 cm. Una lente convergente con una distancia focal de 12 cm se coloca a una distancia d a la derecha de la lente divergente. Encuentre la distancia d, de manera que la imagen final quede en el infinito. Dibuje un diagrama de rayos para este caso

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