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CONTENIDOS BÁSICOS 9.1 Teorías y controversias

sobre la naturaleza de la luz. 9.2 Medidas de la velocidad de la

luz. 9.3 Propagación de la luz. 9.4 Reflexión de la luz. 9.5 Refracción de la luz.

Dioptrios

9.6 Lentes. 9.7 Instrumentos ópticos. INFOFÍSICA La cámara reflex un instrumento muy interesante. El telescopio espacial Hubble.

9. La luz y la Óptica Geométrica

Fotografía del telescopio espacial Hubble tomada de la dirección www.cosassencillas.com/.../ La Óptica, es la ciencia de la luz y de la visión. La percepción que tenemos del mundo, principalmente nos llega por la luz, y con ella podemos explorar desde el Universo, en apariencia infinito, hasta el mundo de lo más pequeño, como las moléculas y los átomos. La luz es nuestra más importante fuente de información, descubre nuestro entorno cotidiano, y permite apreciar el color, el arte y la belleza. Tal vez sea la primera maravilla de la naturaleza Desde que el hombre ha desarrolló fuentes de luz artificiales, su tiempo de actividad y ocio, se han alargado notablemente, lo que ha contribuido a una mejor utilización de nuestra vida. El estudio de la luz realizado por los científicos durante varios siglos, ha favorecido mucho el desarrollo de la Humanidad, ¿cuántos instrumentos podrían considerarse más útiles que unas gafas?. Otros instrumentos, como los microscopios y telescopios, permiten la exploración del mundo, desde los más pequeño y próximo, a lo más grande y lejano, como las galaxias y los cuásares.

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9.1 Teorías y controversias sobre la naturaleza de la luz 9.1.1 MODELOS EN LAS ANTIGUAS CIVILIZACIONES Ya en tiempos de la Grecia Antigua, los intelectuales se hacían preguntas sobre los fenómenos naturales. Como la percepción del mundo se obtiene principalmente a través de la vista, las cuestiones relativas a la naturaleza de la luz, ocuparon también sus pensamientos. Para las antiguas civilizaciones, la percepción visual de los cuerpos requería algo que enlazará al sujeto, con el objeto visto, y así la escuela atomista, según escritos atribuidos a Leucipio, (-430 a.C) sostenía, que los objetos emitían pequeñas partículas, que saliendo de ellos, venían a través de los ojos a nuestra alma, con sus formas colores y cualidades. Un punto de vista distinto ofrecía la escuela pitagórica, la visión se producía por medio de un flujo invisible, que saliendo de los ojos a modo de tentáculos, iba a tocar y explorar los objetos, poniendo de manifiesto su forma y color, algo así como el sentido del tacto. Basándose en ella, Euclides (–300 a.C.) introduce varios conceptos: el de rayo, sobre el supuesto de que lo emite el ojo, la propagación rectilínea de la luz, y ciertas condiciones geométricas de la visión, como tamaño de imágenes y ángulos, estableciendo la ley de la reflexión de la luz. 9.1.2 MODELO CORPUSCULAR A finales del siglo XVI comienza una gran actividad en el estudio de la Óptica. En 1621 el holandés Snell (1591-1626), descubre la ley de la refracción, que no se hizo pública hasta 1638, por Descartes. En 1657 el francés Pierre de Fermat (1601-1665), enuncia su principio de mínimo, según el cual, la luz al trasladarse entre dos puntos A y B, siempre sigue aquella trayectoria en la que emplea el tiempo más corto. Con él se explican las leyes de la reflexión y refracción. Durante el siglo XVII surge con fuerza la idea, de relacionar los fenómenos naturales con los conocimientos matemáticos, y así, se crearon modelos –idealizaciones de la realidad-, a cerca de la naturaleza de la luz, para obtener matemáticamente de ellos, el comportamiento ya conocido experimentalmente. Un modelo que demostró ser muy prometedor y que fue apoyado por numerosos científicos, Descartes(1596-1650) y Newton(1642-1727) entre ellos, es el corpuscular, se basaba en considerar a la luz como un haz de numerosas partículas muy pequeñas e incontables, que emanaban de los cuerpos luminosos, las cuales eran reflejadas por los objetos, y que al penetrar en nuestros ojos estimulaban la sensación de la visón, por sus acciones sobre la retina (capa de células situadas en el interior del ojo, que son sensibles a la luz y al color). El modelo explicaba bien la ley de la reflexión, sin embargo, para la refracción presentaba dificultades, como por ejemplo, tener que asignar una velocidad mayor a la luz en el vidrio, que en el aire, pero todavía tenía otro aspecto mucho más oscuro. Experimentalmente se observaba, que en la separación de dos medios distintos como el aire y el vidrio, la luz es en parte transmitida y en parte reflejada Fig.9.1 y esto no concuerda con el comportamiento de las partícu- las, ya que pueden ser reflejadas o transmitidas, pero no ambas cosas a la vez.

I R T Fig.9.1 .Experimentalmente se observa, que al llegar el rayo incidente I, a la superficie que separa dos materiales distintos, es en parte reflejado rayo R, y en parte transmitido rayo T.

La escuela pitagórica, sostenía como principio fundamental de su conocimiento científico, la idea de la armonía y de la medida. Fueron los primeros en considerar, la necesidad de expresar con números, los fenómenos observados en la Naturaleza.

La escuela atomista, consideraba a la materia divisible más allá de muestra observación cotidiana, pero en último término, contenía pequeñas partículas que ya no pueden cortarse más, y que llamaron átomos. Representantes de la escuela, fueron Leucipo y Democrito. Este último enseñaba: Las únicas cosas que existen son los átomos y el espacio vacío; todo lo demás son solo opiniones.

T

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9.1.3 MODELO ONDULATORIO El descubrimiento de nuevos fenómenos luminosos, como las interferencias por Robert Hooke(1635-1703) y la difracción por el padre Grimaldi(1618-1663) llevaron al propio Hooke y a Cristian Huygens(1629-1695), inspirados en el modelo de propagación de una perturbación por el agua, o en la transmisión de los sonidos, a considerar a la luz, como una serie de impulsos viajando en un medio misterioso, inmóvil e ideal, llamado éter, consistente en partículas, que para trasmitir la luz desde el foco, van chocando unas con otras permitiendo su propagación. En el siglo XIX el inglés Thomas Young (1773-1829) y el francés Agustín Fresnel (1788-1827), establecieron unas bases muy sólidas, tanto teóricas como experimentales, para un modelo ondulatorio de la luz, explicando y demostrando con la teoría elaborada, experimentos cruciales como los de interferencias Fig.9.2a y difracción Fig.9.2b. La luz se consideró como un fenómeno vibratorio, periódico y transversal, que se propagaba por el éter, o por los medios materiales transparentes, como vidrio, agua, etc.

Al explicar la ley de la refracción con el modelo ondulatorio, encuentran una contradicción con la teoría corpuscular, y es que la luz, debería viajar con menor velocidad, en medios como el vidrio o el agua, que en el aire. En 1850, Fizeau y Foucault midieron la velocidad de la luz en el agua, encontrando un valor inferior al del aire, y dando al traste definitivamente con el modelo corpuscular. Sin embargo, aún estando bien establecido el modelo ondulatorio, existían todavía grandes dificultades para comprender el carácter transversal de la ondas luminosas y la hipótesis del éter, como medio material elástico, que servía de soporte para la propagación a las ondas luminosas, seguía viva, léase el comentario situado al margen. 9.1.4 LA LUZ ONDA ELECTROMAGNÉTICA El escocés James C. Maxwell (1831-1879), desarrolló entre 1864 y 1873, una teoría sobre los fenómenos eléctricos y magnéticos, demostrando, que la electricidad y el magnetismo no pueden existir separadamente, allí donde está uno, se encuentra el otro, se conoce como el electromagnetismo. Maxwell reconoció en la luz las características de las ondas electromagnéticas, considerándolas formadas por un campo eléctrico E

r

variable con el tiempo, y otro campo magnético Br

, también variable con el tiempo, que va formando un ángulo recto con el anterior. Las ondas luminosas viajan en una dirección, que a su vez forma un ángulo de 90º con los dos anteriores fig.9.3. La luz es una onda transversal.

Er

Fig.9.3 Dirección de propagación

Br

Los campos E

r y B

r, están íntimamente relacionados entre sí, y a medida

que uno varía, está engendrando el otro, propagándose sin necesidad de un medio material que le sirva de soporte, y transmitiéndose por el vacío. Por tal motivo, la hipótesis del éter resulta innecesaria.

El éter Con objeto de encontrar un medio material, que sirviera de soporte, para la propagación de las ondas luminosas de carácter transversal, y buscando una analogía con las ondas mecánicas, se ideó en el terreno de las hipótesis, un medio material a la medida, dotándole de propiedades muy particulares, e inclusive hasta contradictorias, que llamaron éter. Era como un sólido, capaz de transmitir las ondas transversales, pero a la vez tan tenue, que no oponía resistencia alguna al movimiento de los cuerpos, como por ejemplo, a los planetas en el espacio. Gracias a la teoría electromagnética de la luz, la idea del éter perdió éstas características iniciales, y pasó a ser considerado únicamente, como el portador de las oscilaciones electromagnéticas. En la actualidad, ha perdido todo su significado, pasando en todo caso a ser un sinónimo, de un sistema inercial de referencia.

Fig.9.2ª. Las interferencias puede llegar a producir zonas muy iluminosas, y otras muy oscuras, inclusive sin luz, como las líneas negras de la figura.

Fig.9.2b Imagen de difracción de un glóbulo rojo iluminado con LASER y de la que es posible medir su diámetro. Se obseran anillos claros y oscuros alternadamente.

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La teoría de Maxwell, asigna una velocidad de propagación a las ondas electromagnéticas en el vacío relacionada con propiedades del mismo

oo ·1c µε= resultacdo c = 300.000 km/s, que ha sido confirmada

experimentalmente. La velocidad está relacionada con la longitud de onda λ, y la frecuencia ν, por la ecuación.

)1.9(· νλ=c En la Fig.9.4, se representa una onda electromagnética propagándose, y mostrando la disposición de los dos campos, el eléctrico E

r, vibrando en el

plano XY, y el magnético Br

, en el XZ. Y E

r

X B

r

Z

Fig.9.4 La teoría electromagnética es satisfactoria para explicar los fenómenos de propagación de la luz, reflexión y refracción, así como los de difracción, interferencias y polarización, que veremos en la siguiente unidad. Sin embargo, es insatisfactoria para explicar la interacción de la luz con los cuerpos materiales, como el efecto fotoeléctrico y el Compton. 9.1.5 MODELO DE FOTONES DE EINSTEIN El efecto fotoeléctrico había sido descubierto por el alemán Heinrich Hertz (1857-1894) en 1888, Fig.9.5, sin embargo, no se encontraba una explicación satisfactoria del mismo con la teoría electromagnética. En 1905, Albert Einstein (1879-1955) le da una interpretación, suponiendo que la luz es emitida y se propaga mediante corpúsculos, (como partículas, aunque sin asignarle un carácter material), transportando una cantidad determinada de energía, conocida como cuánto de luz o fotón. Su energía se calcula con la ecuación de Planck E = h · ν donde h es la constante de Planck y ν la frecuencia. El fotón viaja en el vacío a la velocidad de la luz, y tiene una masa

equivalente a su energía, 2c

·hm

ν= , que se deduce de igualar la ecuación

de Planck, con la de Einstein E = m · c2 . Sin embargo, la masa en reposo de un fotón es nula. En resumen, a principios del siglo XX, se vuelve a resucitar un modelo corpuscular de la luz. El modelo actual acepta para la luz una doble naturaleza, la ondulatoria y la corpuscular, sin em bargo, la experiencia ha demostrado que ningún experimento puede revelar a la vez ambas características, así que la luz muestra una u otra naturaleza, dependiendo del experimento a que es sometida.

La constante de Planck h, es una de las constantes fundamentales de la naturaleza, corresponde a una magnitud llamada acción, que es el producto de la energía por el tiempo,

h = 6,63·10-34 J·s

Luz

-e

-e -e

Metal

Fig.9.5 EFECTO FOTOELÉCTRICO La luz al incidir sobre la superficie de un metal puede arrancarle electrones.

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9.2 Medidas de la velocidad de la luz La velocidad de la luz en el vacío, es considerada como una de las constantes fundamentales de la naturaleza, a la que se propagan todas las ondas electromagnéticas con independencia de su frecuencia. Ninguna señal puede transmitirse a una velocidad superior a la de la luz. La velocidad de la luz en el vacío c, figura en muchas de las ecuaciones más importantes de la Física, como irás observando a lo largo del texto, y su valor es el mismo para distintos observadores, con independencia de que se encuentren, en reposo, o en movimiento, con relación a la luz. Desde muy antiguo, los filósofos naturales, trataron de medir su velocidad, sin embargo, les resultaba tan veloz, que llegaron a considerarla infinita. 9.2.1 PROCEDIMIENTO DE GALILEO Galileo Galilei (1564-1642), intentó medir la velocidad de la luz, empleando dos observadores provistos de lámparas y pantallas opacas, (impiden el paso de la luz). Se colocaron en colinas separadas varios kilómetros, pero de modo que pudieran verse. La experiencia consistía, en que Galileo descubría su lámpara un instante, mandando un destello de luz, y su asistente, tan pronto como veía la luz, destapaba la suya, devolviéndole otro destello. Galileo calculaba por este método, el tiempo total transcurrido. Realizaron varias repeticiones del experimento a distancias cada vez mayores, llegando a la conclusión, de que era imposible descubrir sus lámparas suficientemente rápido, como para notar diferencias, por lo que si la velocidad de la luz no era infinita, al menos sería muy grande. 9.2.2 PROCEDIMIENTO DE ROEMER Olaus Roemer (1644-1710) astrónomo danés, efectuó cuidadosas observaciones de los satélites que giraban alrededor del planeta Júpiter Fig.9.6, ya anteriormente descubiertos por Galileo. Para su sorpresa, los eclipses de sus lunas (tiempo transcurrido desde que una luna entra en la sombra del planeta, hasta que vuelve a salir), duraban menos, cuando Júpiter se encontraba cerca de la Tierra, que cuando estaba más alejado fig.9.7. Como los movimientos planetarios son regulares, dedujo, que la causa de tal discrepancia debía encontrarse, en el aumento de distancia entre la Tierra y Júpiter, durante sus movimientos de traslación alrededor del Sol, y en que la luz, tardaría un tiempo mayor en recorrerla. Lo que justificaría sin duda, el incremento aparente del tiempo del eclipse, cuando la Tierra y Júpiter están más alejados. T2

S T1 J2

Rayos del Sol

Fig.9.6 Procedimiento de Roemer para medir la velocidad de la luz.

Si las observaciones se inician cuando la Tierra y Júpiter están en las posiciones T1 y J1; y se mide la duración del eclipse de una de las lunas de Júpiter, resulta, que cuando se encuentren en las posiciones T2 y J2; nuestro planeta habrá recorrido gran parte de su órbita, mientras que Júpiter que emplea doce años en dar una vuelta al Sol, está en J2,. Durante este tiempo la distancia entre ambos planetas ha ido aumentando, y la luz reflejada en el satélite debe recorrer distancias cada vez mayores, y el periodo del satélite parece aumentar progresivamente. Después de seis meses, la Tierra se encuentra en una posición diametralmente opuesta, y la luz procedente del satélite, deberá recorrer una distancia incrementada aproximadamente, en el diámetro de la órbita terrestre. El mérito de Roemer consistió en demostrar, que la velocidad de la luz es finita, por lo que emplea cierto tiempo en recorrer, el diámetro de la órbita de la Tierra. Dedujo de sus observaciones que tardaba 22 minutos, y aunque no hay constancia de que hiciera el cálculo de su velocidad, efectuándolo se obtienen 227.000 km/s.

J1

Fig. 9.7

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9.2.3 PROCEDIMIENTO DE FIZEAU La primera mediada terrestre de la velocidad de la luz, la realizó Fizeau (1819-1896) fig.9.8. En el año 1849 situó en la cumbre de una colina, un disco dentado, que hizo girar rápidamente, y en otra un espejo, a una distancia de 8,633 km.

Fig.9.8. La luz de un foco F, era reflejada por una lámina semitransparente LS y luego, con la lente L1 se centraba en el punto P, que estaba en el foco de L2 de la que salían rayos paralelos. La luz llegaba al espejo E, situado en la colina, se reflejaba y volvía en sentido opuesto, para alcanzar el ojo del observador. Con la rueda parada, la luz pasa en P entre dos dientes, y el observador ve luz, ahora bien, si la rueda se pone a girar, el diente siguiente, la cortará o no, según la velocidad de giro. Aumentándola, los destellos pasarán, si llegan justo a tiempo, para entrar entre dos dientes. Fizeau, empleó una rueda con 720 dientes y la máxima cantidad de luz pasaba, al girar a 25,2 vueltas por segundo. El tiempo de ida y vuelta era:

18144s1

2,25s1

··720

1t == . La velocidad

s

km000313

s

18144·m8633·2

t

s·2v ≅==

OTRAS MEDIDAS DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ El francés Foucault, (1819-1868) colaboró con Fizeau en la medida de la velocidad de la luz, y más tarde diseñó su propio experimento, mejorando el de Fizeau, sustituyendo la rueda dentada, por un espejo giratorio. Obtuvo para la velocidad de la luz, el valor de 299 900 km/s. Utilizó su aparato, para medir por primera vez, la velocidad de la luz en el agua y en otros medios transparentes, demostrando, que era menor que en el aire. Esto supuso una clara confirmación del modelo ondulatorio de la luz, frente al modelo corpuscular. Se han realizado medidas más modernas y precisas de la velocidad de la luz en el vacío, cabe mencionar la realizada por Michelson en 1926, empleando un tubo de 1,6 km de longitud, y completada después de su muerte, por sus colaboradores Pease y Person, encontrando 299 774 km/s. Actualmente, el valor para la velocidad de la luz en el vacío, es

s/km8,09,792299 ± . Es probable que en los próximos años, los físicos asignen a la velocidad de la luz en el vacío el valor de 3.108 m/s y entonces algunas magnitudes fundamentales se redefinirán en función de este valor.

En otros materiales distintos del vacío: Agua 225 000 km/s Vidrio 200 000 km/s En el aire , difiere muy poco del vacío y se toma igual valor. Para fines prácticos de resolución de ejercicios, se considera para la velocidad de la luz en el vacío:

c= 300 000 km/s= 3. 10 8 m/s

F

LS E

P

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9.3 Propagación de la luz 9.3.1 LA LUZ COMO RAYO Las ondas luminosas emitidas por un manantial luminoso, se pueden representar por superficies esféricas con el foco luminoso F, en su centro. Cada esfera está formada por puntos, que se encuentran en el mismo estado luminoso, se conoce como superficie de onda . La superficie de onda que avanza en primer lugar, es el frente de onda, señalada más intensamente en el dibujo de la Fig.9.9. Según su forma geométrica, la onda se llama esférica o plana. A distancias muy alejadas del foco, los radios de las esferas son muy grandes, y una pequeña parte del frente de onda, se puede considerar como una onda plana, Fig.9.10. Para estudiar la óptica geométrica, los conjunto de ondas luminosas se suelen reemplazar por rayos. Un rayo , es desde el punto de vista corpuscular de la luz, la trayectoria seguida por un fotón, y según el modelo ondulatorio, una línea imaginaria perpendicular a los frentes de onda. Para ondas esféricas, los rayos tienen la dirección de los radios y para ondas planas, los rayos son perpendiculares a las superficies planas. En los medios homogéneos e isótropos, es decir, con la misma composición y propiedades en todas direcciones, los rayos son líneas rectas. Sin embargo, cuando el rayo pasa de un medio a otro, cambia de dirección, aunque se conserve rectilíneo en cada uno, Fig.9.11. Medio 1 Medio 2

Fig.9.11

9.3.2 PRINCIPIO DE HUYGENS Para describir el modo de propagación de las ondas en un medio, Huygens en 1690, trazó en cada punto de un frente de ondas, pequeña superficies esféricas, conocidas como ondas elementales, con las que enunció el siguiente principio: Los puntos de un frente de ondas, (PQ en la Fig.9.12 ), se convierten en centros emisores de ondas elementales, de modo que el nuevo frente de ondas ABC, es la superficie que envuelve (envolvente), de todas las ondas emitidas en la superficie anterior. Dirección de propagación

Fig.9.12

Fig.9.9

Fig.9.10

P Q A C

B perpendicular a los frentes de ondas

Rayos

Ondas planas

Rayo Rayo

F

Superficie Frente de onda de onda

Ondas Esférica

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9.3.3 DISPERSIÓN DE LA LUZ. ÍNDICE DE REFRACCIÓ N La luz que llega del Sol se llama luz blanca, y cuando se hace pasar por un prisma o una red de difracción, se descompone en colores. Desde el punto de vista físico, cada luz se caracteriza por la longitud de onda λλλλ, o por la frecuencia νννν, siendo su producto, igual a la velocidad de la luz en el vacío λλλλ· νννν = c. En consecuencia, si la longitud de onda es grande, la frecuencia será pequeña, y a la inversa. Los distintos colores que forman la luz blanca, tienen cada uno muchas longitudes de onda. En la fig.9.13a se observan en realidad bandas de colores, es el espectro y en la fig.9.13b, presentamos los colores fundamentales cuyas longitudes de onda más características están en la Tabla 9.1, Otras longitudes de onda, con valores próximos a cada una de estos, dan una sensación de color similar. Descomposición de la luz blanca por una red de difracción

Fig.9.13b La dispersión de la luz se produce, cuando al pasar por un medio distinto del vacío, se descompone en varios colores, es decir, en sus longitudes de onda componentes. Para caracterizar a la luz en cada medio material, se define el índice de refracción , como el cociente de la velocidad de la luz en el vacío y en el medio considerado:

v

cn= (9.2)

En la Tabla 9.2, se da el índice de refracción de distintas sustancias Se llama dispersión espectral , a la dependencia del índice de refracción n, con la longitud de onda λ. Si un haz de rayos de luz de distintas longitudes de onda, se propaga por un medio que no es el vacío, se dispersa en varios rayos de distintos colores. Para muchas sustancias, el índice de refracción n aumenta, al disminuir la longitud de onda de la luz, obsérvalo en la tabla.

Luz Roja 650 nm

Naranja 600 nm

Amarillo 570 nm

Verde 550 nm

Azul 470 nm

Violeta 410 nm

(n) Diamante 2,4100 2,4150 2,4172 2,4260 2,4439 2,4580

En el medio natural se pueden observar numerosos fenómenos, en los que la luz blanca procedente del Sol, se descompone en luces de distintos colores, así están el arco iris, el color azul del cielo, o las puestas de Sol, en las que éste aparece primero de color amarillo y después de color rojo.

Fig.9.13a. La luz blanca está compuesta de luces de diferentes colores. En la figura, aparecen los colores primarios rojo, verde y azul y la combinación de ellos, magenta, cián y amarillo

Indices de refracción de varias sustancias, para luz amarillo-naranja, de 589 nm Vacío 1 Aire 1,000293 Benceno 1,501 Agua 1,333 Sal común 1,544 Diamante 2,417 Vidrio pyrex 1,474 Hielo (273K) 1,310

Tabla 9.2

Color Longitud de onda/nm

Rojo 650 Naranja 600 Amarillo 570

Verde 550 Azul 480

Azul-añil 465 Violeta <430

1 nm = 10 -9 m

Tabla 9.1

9

9.4 Reflexión de la luz Cuando una onda luminosa, compuesta de un campo eléctrico y otro magnético, se propaga por un medio material, fig. 9.3, puede hacer vibrar en grupo a muchos electrones, pertenecientes a las partículas del medio. Estos inmediatamente remiten la luz, que puede ser dispersada o transmitida en todas direcciones, o solo en algunas bien definidas. La luz dispersada hacia el mismo medio, se llama reflexión y si se efectúa de forma ordenada, en una dirección determinada (todos los rayos reflejados salen paralelos), se denomina reflexión especular, Fig.9.13. Si la dispersión se produce en varias direcciones, de forma desorganizada (los rayos reflejados salen en distintas direcciones), es la reflexión difusa, Fig. 9.14. Rayo incidente Rayo reflejado Reflexión especular Fig.9.13 Los materiales con superficies muy pulidas, tienden a dar reflexión especular, mientras que los más rugosos difusa, lo que curiosamente permite verlos desde cualquier posición. El significado que tiene aquí el mayor o menor grado de pulimento de una superficie, está en relación con el valor de la longitud de onda de la luz incidente. 9.4.1 OBSERVACIONES EXPERIMENTALES DE LA REFLEXIÓN Se va a centrar únicamente nuestro estudio, en la reflexión especular de espejos planos, y esféricos. Para conocer el fenómeno con claridad y sin confusión, vamos a ver unas fotografías con unos pocos rayos, y de este modo se facilita la compresión, de las leyes que cumplen.

Reflexión difusa Fig.9.14

Fig.9.15a. Reflexión en un espejo plano.

Fig.9.15b. Reflexión en un espejo cóncavo.

Fig.9.15c. Reflexión en un espejo convexo.

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9.4.2 EL ESPEJO PLANO Y LAS IMÁGENES VIRTUALES En la Fig.9.16 hay un espejo plano , y la flecha vertical que se llama objeto. Cuando es iluminada, salen de ella rayos de luz que llegan al espejo, por ejemplo el 1 y el 2. El rayo 1 que llega al espejo, se llama rayo incidente , que se refleja y sale como el 1´, conocido como rayo reflejado . El rayo 2 que va perpendicular al espejo, no se desvía, reflejándose en la misma dirección de incidencia 2´. En óptica, los ángulos siempre se miden respecto de la normal N, trazada en el punto de incidencia, observa en el disco graduado, como los ángulos de incidencia y el de reflexión son iguales. ¿Qué son la imágenes virtuales?. Para buscar la imagen que forma el espejo plano del objeto, se ha de hallar el lugar, donde se cortan los rayos después de reflejados. Se puede ver en fig. 9.15, que los rayos 1´ y 2´ se abren, y no pueden cortarse, se dice que el haz es divergente y entonces no se forma imagen real, en estos casos se habla de imágenes virtuales. Si a la izquierda del espejo se sitúa una pantalla, no se verá sobre ella ninguna imagen, sin embargo, sabemos por la propia experiencia, que nuestros ojos si tienen capacidad de ver imágenes en los espejos, es decir que el ojo humano puede ver imágenes virtuales, es decir, aquellas que son imposibles de recoger, sobre el soporte físico de una pantalla. 9.4.3 LOS ESPEJOS ESFÉRICOS El espejo de la fig.9.16 se conoce como espejo cóncavo, y tiene una determinada curvatura, nótese como los rayos reflejados 1´ y 2´ se cortan, formando una imagen I, se dice entonces que la imagen es real. Si en este lugar se sitúa una pantalla, sobre ella se recogerá la imagen del objeto, por ser real, además en este caso es invertida y de mayor tamaño que el objeto. El espejo de la fig.9.17 es un espejo convexo, los rayos reflejados 1´ y 2´ son divergentes, por lo que la imagen es virtual. Puede observarse tanto para los rayos 1 y 2, como los ángulos de incidencia y el de reflexión, son iguales.

1

1´

2´ 2

N

Fig.9.16. Reflexión en un espejo plano. Los rayos reflejados 1 ́ y 2 ́ no se cortan, por lo que no se forma una imagen real. Se dice entonces que la imagen es virtual.

O

I

Fig.9.16. En el espejo cóncavo, los rayos procedentes de un objeto O, después de reflejados en el espejo se cortan en I formando una imagen real que puede recogerse sobre una pantalla.

1´

2´

1´

2´

O

Fig.9.17. En el espejo convexo los rayos procedentes del objeto O, al reflejarse divergen y no se cortan, rayos 1´ y 2 ́ por lo que no es posible recoger la imagen en una pantalla. Decimos que no forman una imagen real.

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9.4.4 LEYES DE LA REFLEXIÓN Si sobre el disco de Hartl se va variando el ángulo que forma el rayo incidente 1, con la normal, llamado ángulo de incidencia i y se anotan los correspondientes ángulos, que forma el rayo reflejado 1´, con la normal, el ángulo de reflexión r, fig.9.18, se obtienen los resultados de la tabla 9.3. que permiten enunciar la siguiente ley para la reflexión especular: El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales. Rayo incidente i Normal r Rayo Reflejado Existe una segunda ley de la reflexión, que generaliza otra observación experimental: El rayo incidente, el reflejado y la normal, se encuentran en el mismo plano . 9.4.5 TRAZADO DE IMÁGENES CON LOS ESPEJOS PLANOS Consideremos un espejo plano, y vamos a ver el procedimiento, para trazar geométricamente la imagen que forma de un objeto. Sea el espejo EE´ y un objeto AB , situado delante, como aparece en la fig.9.19. Por el extremo A se lanzan dos rayos, uno perpendicular al espejo 1, que se refleja en la misma dirección 1´, y otro 2, que forma un cierto ángulo con la normal en M, y que se refleja formando el mismo ángulo rayo 2´. Los rayos reflejados, 1´ y 2´ divergen y no se cortan, por lo que la imagen formada no es real. Análogamente se trazan los rayos 3 y 4 que salen del extremo B, y los rayos reflejados 3´ y 4´ que tampoco se cortan. Sin embargo, nosotros vemos imágenes en los espejos, y es por que nuestros ojos consideran, que la pareja 1´, 2´ proceden de un mismo punto común A´, que se encuentra en la prolongación de estos rayos reflejados. Igualmente sucede con 3´, 4´ que parecen venir de un punto común B´. En consecuencia, para hallar la posición de una imagen cuando es virtual, hay que prolongar hacia atrás los rayos reflejados, hasta que se corten. Las imágenes de los puntos situados entre A y B, se encontrarán entre los puntos A´ y B´. Basta con unir mediante una flecha los puntos A´ y B´.

2´ 2

1´ 1 3´ 3

4´ 4 A

B

A=A´

B

B´

M N P Q

A´ B´ Fig.9.19

Tabla 9.3 Ángulo de incidencia i/grados

Ángulo de reflexión r/grados

0 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60

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¿A qué distancia se encuentra la imagen del espejo? . Para determinar la relación de distancias del objeto y de la imagen, al espejo, en la fig.9.19 se puede observar, que los triángulos MAN y MA´N son iguales, por lo que la distancia AN, es la misma que la A´N. También son iguales los triángulos PBQ y PB´Q, así que BP=B´P. En consecuencia, la distancia de cada punto de la imagen virtual al espejo, es exactamente igual, que la distancia del objeto al mismo. Los espejos planos proporcionan imágenes virtuales de un objeto, del mismo tamaño y simétricas respecto del plano del espejo. Nótese a la derecha de la fig.9.19, que si trasladamos la imagen A´B´, llevándola encima del objeto AB , no se superponen exactamente. Esta propiedad se llama quiralidad, y como verás en Química tiene consecuencias muy importantes. Habrás observado cuando te sitúas frente a un espejo plano, que la imagen que miras de ti mismo, no es la que ven los demás. Tu parte derecha considerándote como objeto, está a la izquierda en la imagen, y viceversa. Cuando dos espejos planos se ponen en contacto mediante una arista, el número de imágenes que se pueden formar depende del ángulo que forman los planos entre sí. En las siguientes figuras se pueden observar un número de imágenes distintas a medida que se va cambiando el ángulo α. .

1360

imágenesdenúmeroº

−=α

Sitúa dos espejos formando 90º y así podrás mirarte igual a como te ven el resto de las personas, es decir, con tu lado derecho a la derecha de la imagen, y el lado izquierdo, a la izquierda de la misma.

Si cuentas el número de imágenes y observas el ángulo α que forman los dos espejos, podrás observar que la ley matemática que siguen es la que aparece a continuación. Por cuidado y no confundas el objeto situado en primer término con una imagen, pues se trata del objeto.

13

9,5 Refracción de la luz 9.5.1 OBSERVACIONES EXPERIMENTALES DE LA REFRACCIÓN En las siguientes fotografías, se ha enviado un haz de luz, a la frontera de separación de dos medios transparentes, de distintos índices de refracción, y se puede observar como el rayo cambia de dirección, foto a la derecha. En la fig.9.20, la luz va del aire al vidrio, formando el rayo incidente 1, un ángulo con la normal ε1, llamado de incidencia. El rayo 1´ que se propaga por la lente de vidrio, se llama refractado y el ángulo ε´1 que forma con la normal, es el ángulo de refracción. Nótese en la fig.9.20, que es menor que el de incidencia ε1. En la fig.9.21, la refracción se produce, al pasar el rayo del vidrio al aire, en la cara plana situada a la derecha, y el ángulo de refracción ε´2 ; es mayor que el de incidencia ε2. R. Incidente R. Incidente 1 2 ε1 Ν N ε2 ε´1 1´ ε´2 R. Refractado 2´ R. Refractado Fig.9.20 Fig.9.21 En el experimento de la fig.9.20, se han ido variando los ángulo de incidencia εεεε1 y midiendo los correspondientes ángulos de refracción εεεε´1. En la tabla 9.4 están los resultados y también los valores de sus senos. En la fig.9.22 se observa, que entre los ángulos de refracción y de incidencia, la relación no es lineal, lo que dificultó mucho la determinación de la ley, que fue descubierta por Snell en 1621. En la fig.9.23 se representa el seno del ángulo de refracción sen εεεε´1 en función del sen εεεε1 y esta relación si es lineal. Físicamente, la pendiente de la recta es el cociente, entre los índices de refracción del primer medio n1 y del segundo n2 y la ecuación de la recta:

12

11 sen

n

n´sen ε=ε

.

Tabla 9.4

dogra1ε

sen εεεε1 dogra

´1ε

sen εεεε´1

0 0 0 0 10 0,17 6 0,10 20 0,34 13 0,22 30 0,50 19 0,32 40 0,64 25 0,42 50 0,77 30 0,50 60 0,87 34 0,56 70 0,94 38 0,62 80 0,98 40 0,64

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

sen ε1´

sen ε1 0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ε1´

ε1

14

9.5.2 LEYES DE LA REFRACCIÓN La refracción es el cambio de dirección que sufre el rayo luminoso, al pasar de un medio transparente, a otro, de distinto índice de refracción. Cumple dos leyes, una de las cuales es la ecuación de la recta anterior, llamada ley de Snell. La primera ley señala , que el rayo incidente, el refractado y la normal, están en el mismo plano. La segunda, es la ley de Snell : El producto del índice de refracción, por el seno del ángulo que forma el rayo, con la normal en cada medio, es constante.

)3.9(´sen·nsen·n 1211 εε ====

9.5.3 REFLEXIÓN TOTAL. ÁNGULO LÍMITE Un fenómeno de refracción muy característico, se produce únicamente cuando pasa la luz de un medio de mayor índice de refracción, a otro de índice menor. Por ejemplo, en la fig.9.24 al pasar el rayo del agua al aire, el rayo refractado ε ´2 se aleja más de la normal, que el rayo incidente ε2. Si se realiza el experimento de la fig.9.21, y se va variando el ángulo de incidencia ε2, se obtienen los ángulos de refracción de la tabla 9.5, observándose que a medida que crece el ángulo de incidencia, aumenta más el de refracción. Al llegar a un ángulo incidente de 42º, fig.9.25, el rayo refractado, sale formando un ángulo de 90º con la normal N2. ΦΦΦΦ εεεε2 < 90º εεεε2

Fig.9.25 Se define el ángulo límite, como el ángulo de incid encia ΦΦΦΦ, para el cual el rayo refractado sale formando 90º con la normal . Reflexión total. Para rayos con ángulos de incidencia mayores que el límite, ε2 > ΦΦΦΦ,, ya no hay paso de luz al otro medio, y se produce la reflexión en la cara plana. El fenómeno es conocido como la reflexión total y su valor se calcula aplicando la ley de Snell (9.3).

)4.9(;n

nsen;º90sen·nsen·n

1

221 =Φ=Φ

Si el segundo medio es el aire, n2 = 1; y resulta: sen Φ = 1/n1 .

Εl seno del ángulo límite, es igual al inverso del índice de refracción del material.

N R.R

R.I Fig.9.24

>Φ N1 N2 N1 N2

´

Fig.9.26 Guía de luz. Mediante reflexiones totales en los límites de un material, se puede conducir la luz a lo largo del mismo, en esta foto, la luz es reflejada en los dos espejos, superior e inferior, que limitan el aire. El mismo efecto se puede conseguir con la fibra óptica, para guiar a la luz que se carga con información y transmitirla a gran velocidad.

εεεε´2

εεεε2

15

EJERCICIO RESUELTO 1.- Un rayo de luz incide desde el aire cuyo índice de refracción es n1 =1 , sobre una vasija llena de agua con n2 = 1,33; formando un ángulo de 30º con la superficie del líquido. Determina el ángulo que forma el rayo con la normal a la superficie del agua después de haberse refractado. 60º N En óptica los ángulos se miden con la normal a la superficie, por lo tanto el ángulo de incidencia es de 60º. Aplicando la ley de Snell.

º4165,0senarc;65,0º60sen33,11

sennn

sen 112

11 ≈=′===′ εεε

2.- En el centro de un cubo de vidrio pyrex, de 30 cm de lado se encuentra un foco luminoso de luz amarilla que podemos considerar puntual, el índice de refracción del material es n1 =1,474. Calcula el radio del disco luminoso que únicamente es iluminado por el foco interior en cada una de las caras. Como los rayos tienen que pasar de un medio de mayor índice de refracción a otro de menor, algunos rayos sufren la reflexión total y no pueden salir del cubo, ¿cuáles?. Aquellos que incidan formando con la normal con un ángulo superior al límite Φ. Determinaremos primero el ángulo límite.

º9,4268,0senarc;68,0474,11

nn

sen1

2 ≈==== ΦΦ

Para mayor claridad del dibujo representamos la luz amarilla que sale por una cara y el radio de la zona iluminada, sin embargo por cada una de las seis caras sucede lo mismo. Φ Φ Φ Φ R

2L

En la figura se observa que cm9,13º9,42tg2cm30

tg2L

R === Φ

El disco de radio 13,9 cm está completamente iluminado, el resto de la cara del cubo está totalmente a obscuras.

1ε ′

16

APLICACIONES DE LA REFRACCIÓN DIOPTRIO PLANO Es una superficie plana transparente que actúa de separación entre dos medios de distinto índice de refracción. La luz que llega al dioptrio (rayo incidente) sufre una refracción y cambia de dirección para continuar su propagación en el segundo medio (rayo emergente), ver la figura lateral. Consideremos un rayo que procedente de F1 pasa de un medio de índice de refracción n1; a otro medio de índice de refracción n2 y que n1>n2. De acuerdo con la ley de Snell (9.3) 1211 ´sen·nsen·n εε = y como es n1>n2 necesariamente para que la igualdad se cumpla debe ser

1111 ;sen´sen εεεε >′⇒> de manera que el rayo emergente se aleja

más de la normal que el rayo incidente. Enviando otro rayo perpendicular al dioptrio no sufre desviación, por lo que al no cortarse los rayos emergentes no hay imagen real. Un observador en el medio 2 que está mirando el foco F1, que está situado a una distancia s1 del dioptrio, encuentra su posición aparente en otro punto F2 situado en la prolongación hacia atrás de los rayos emergentes, por lo que la imagen formada es virtual, estando del dioptrio a una distancia s2, fig. 9.27. N ε´1 n2

Dioptrio plano n1

s2 ε1

s1

F2 F1

Fig.9.27

Para rayos que inciden muy próximos a la normal, se puede demostrar que entre las distancias al dioptrio del objeto e imagen, s1 y s2; y los índices de refracción de los dos medios se verifica la ecuación.

1

1

2

2

n

s

n

s= (9.5)

EJERCICIO RESUELTO

En el fondo de un deposito de 8 m de profundidad y cerca del borde, se encuentra una moneda. Calcula la profundidad aparente a la que es observada mirando desde el aire. ¿Cuál es el desplazamiento sufrido por la imagen?. Indice de refracción del agua 1,33 y del aire 1.

Sustituyendo en la ecuación resulta: ;33,1

m8

1

s2 = s2 = 6,02 m

El desplazamiento aparente sufrido por la imagen es: m98,1m02,6m8ss 21 =−=−

O2 O1

Al observar desde el exterior, un objeto sumergido en el fondo de un estanque F1, aparentemente se encuentra a una profundidad menor que la real F2. LA LÁMINA PLANO-PARALELA

Un vidrio de ventana está limitado por dos dioptrios planos y paralelos, uno situado en la parte superior y el otro en la inferior, rodeados del mismo medio, el aire. Los rayos de luz que llegan oblicuamente a la lámina salen paralelos a la dirección de incidencia pero sufriendo un desplazamiento lateral. En la figura se han prolongado con puntos las direcciones de los rayos incidentes para facilitar la observación del desplazamiento lateral que sufren los rayos a la salida de la lámina. Mediante la ley de Snell y haciendo uso de relaciones trigonométricas, se puede verificar que el desplazamiento lateral depende del espesor de la lámina, del ángulo de incidencia de los rayos y de los índices de refracción de la lámina y del medio que la rodea.

,,

F1

F2

17

EL PRISMA ÓPTICO Es un medio transparente limitado por dos dioptrios planos que se cortan según un cierto ángulo α llamado ángulo del prisma. El material con el que normalmente se fabrican los prismas es de vidrio, cuarzo o plástico. En la fig.9.28a. se muestra por claridad un prisma óptico en sección, donde se puede observar la marcha de los rayos. Al dioptrio AB llega un rayo incidente formando un ángulo ε1 con la normal N y como pasa de un medio de índice n1 menor (el aire), a otro de índice n2 mayor (el vidrio), sufre una refracción que según la ley de Snell ec.(9.3), hace que el rayo refractado se acerque más a la normal que el rayo incidente. Sin embargo en la cara CB al sufrir una nueva refracción y emerger del prisma de acuerdo con la misma ley, se refracta alejándose más de la normal, ángulo ε´2 .

B α N δ ε1 N

ε2 ε´2

(1) (2) ε´1 n1 n2 n1

A C Fig.9.28a El prisma óptico marcha de los rayos y ángulos característicos. El rayo incidente (1) situado a la izquierda, al atravesar el prisma sufre una desviación hacia la base, según la ley de Snell, lo que puede observarse en el rayo emergente (2) situado a la derecha, el cual se ha desviado respecto del rayo incidente un cierto ángulo δ llamado ángulo de desviación. Se demuestra que δ viene dado por:

αεεδ −′+= 21 (9. 6 )

Sin embargo, para que el rayo pueda salir por la cara del prisma CB, se puede probar que debe cumplir una condición: el ángulo del prisma α tiene que ser menor o igual, que el doble del ángulo límite del material Φ.

Φα 2≤

Si no se cumple esta condición el rayo incidente sufre reflexiones totales en el interior del prisma y no sale por la cara CB. En tal caso el prisma se conoce como de reflexión total y también tiene numerosas aplicaciones prácticas, para cambiar la dirección de los rayos de luz, fig.9.28b, en prismáticos, visores ópticos, periscopios, cámaras reflex, etc. Un aspecto también muy importante del prisma óptico es conocer en que condiciones el rayo que incide sobre el prisma sufre la mínima desviación. Éste estudio se efectúa estimando la influencia que tiene en la desviación el ángulo de incidencia ε1 mediante la aplicación de la teoría de máximos y mínimos. Se demuestra que la desviación es mínima cuando los ángulos ε1 y ε´2 son iguales y la trayectoria es simétrica respecto de la bisectriz del prisma, fig. 9.28.c.

Fig.9.28b En la imagen superior se puede observar como el rayo sufre una desviación de 90º, mientras que en la inferior la desviación es de nuevo de 90º, de modo que el rayo ha invertido su sentido de marcha. Eje de simetría δm

ε1 ε´2 Fig.9.28c Cuando la desviación sufrida por el rayo es la mínima δm por el interior del prisma el rayo marcha paralelo a la base del prisma óptico y entonces es ε1 = ε´2.

δ

ε2

α

18

Sustituyendo la condición de mínima desviación, ε1 = εεεε´2 en (9. 6 ) resulta:

αεδ −= 1mín 2 (9.7)

El conocimiento de la magnitud δmín permite determinar experimentalmente el índice de refracción n2 del material que constituye el prisma. Aplicando la ley de la refracción a la cara por la que entra la luz en el prisma se deduce fácilmente la ecuación:

2sen

2sen

nn

min

12 α

αδ

+

= (9.7)

El prisma óptico al igual que las lentes, presenta un índice de refracción distinto para cada color de la luz que lo atraviesa, (es decir para cada longitud de onda), por lo tanto produce la dispersión de la luz blanca. En un prisma que no sea de reflexión total se observa la dispersión del color, desviándose los rayos hacia la base, y tanto más cuanto menor es su longitud de onda.

EJERCICIO RESUELTO Se efectuó un experimento para calcular la desviación mínima de un prisma óptico. Los resultados de las desviaciones, medidas en función del ángulo de incidencia ε1

aparecen en la siguiente tabla.

a) Representa gráficamente δ = f (ε1) y determina directamente el ángulo de mínima desviación. b) Después, sabiendo que el ángulo del prisma es de 60º, determina la desviación mínima δm usando la ecuación correspondiente. c) El índice de refracción del material. d) El ángulo límite de la sustancia. e) Calcula si el prisma es de reflexión total. a) La representación gráfica δ = f (ε1)

Puedes observar que experimentalmente la desviación mínima sufrida por el rayo es de δmín = 40º que corresponde para un ángulo de incidencia de ε1 = 50º. b) Aplicando la ecuación correspondiente: º40º60º50·22 1mín =−=−= αεδ

3940414243444546474849

35 40 45 50 55 60 65 70 75

ε/ε/ε/ε/ grados

grad

os

ε1 /grados 38,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 60,0 65,0 70,0 75,0

δ /grados 43,0 46,0 41,5 40,5 40,0 40,5 41,5 43,0 45,0 48,0

ε1

ε´2

Fotografía de un rayo de luz al atravesar un prisma. Se trata de luz procedente de un LASER de He-Ne que emite un solo color y una sola longitud de onda de 632 nm, en el espectro visible.

19

c) Teniendo en cuenta que el medio exterior es el aire n1 = 1. Sustituyendo:

5,153,1

260

sen

2

6040sen

1

2sen

2sen

nn

min

12 ≈=

+

=

+

=α

αδ

d) El ángulo límite hay que hallarlo en el paso de la luz desde la segunda cara al aire, que es donde hay reflexión total y vale.

67,05,1

1n

nsen

vidrio

aire ===φ ; º4267,0senarc ≈=Φ

e) Debemos comprobar que es Φα 2≤ . Valen: α = 60º y 2 ·Φ = 2 · 42º = 84º

En efecto, como 84º 60º ≤ se cumple la condición necesaria para que no sea un

prisma de reflexión total y emerjan los rayos por la cara lateral. DIOPTRIO ESFÉRICO Es una superficie esférica que separa dos medios transparentes con distinto índice de refracción. Si tenemos un casquete esférico de vértice V, correspondiente a una esfera de centro en C y radio R, la recta que pasa por V y por C, es el eje del dioptrio, (eje óptico) fig.9.29 Un punto luminoso O que está sobre el eje óptico, fig.9.30, es el punto objeto y su distancia s al vértice V (donde se toma el origen de distancias) se llama distancia objeto. Dos rayos procedentes de O, que está situado en un medio de índice de refracción n, inciden sobre el dioptrio y después de refractarse de acuerdo con la ley de Snell se propagan por el medio de índice n´ hasta cortarse en el eje, en el punto O´ que es conocido como el punto imagen. La distancia s´ desde O´ hasta el vértice V, se llama la distancia imagen. En la fig.9.30 se muestra una sección longitudinal del dioptrio con distancias y ángulos, cuando es n´ > n.

Normal +ε +ε´ +σ h -ϕ −σ−σ−σ−σ´ O V C O´ n´ n -s +s´ Fig.9.30 Distancias y ángulos en el D. E. con sus signos correspondientes. En general del punto objeto O salen muchos rayos y no todos llegan al mismo punto imagen O´. Sin embargo, para todos aquellos que salen formando con el eje óptico ángulos pequeños, (se dice que se encuentran en la zona paraxial), se considera que forman su imagen en el mismo punto O´, de modo que a cada punto objeto le corresponde un solo punto imagen.

eje V C óptico Fig.9.29 El dioptrio esférico es un casquete esférico y la recta que pasa por el vértice V y el centro de curvatura C, se llama eje óptico.

A

20

Criterio de signos Es necesario establecer unos criterios de signos respecto a las distancias y a los ángulos: • Se dibujan las figuras de modo que la luz incida de izquierda a derecha. • Las distancias a la derecha del vértice V (donde se encuentra el origen

de referencia) son positivas, a la izquierda son negativas. • Las distancias al eje óptico son positivas por encima del mismo y

negativas por debajo. • Los ángulos que forman los rayos con el eje óptico o con una normal,

son positivos, cuando para llevar el rayo sobre el eje o normal por el camino más corto, hay que girar el rayo en el sentido de las agujas del reloj y negativos, cuando hay que girar en sentido contrario.

Comprueba aplicando estos criterios, que las distancias y los ángulos tienen los signos señalados en la fig. 9.30 Invariante de Abbe Considerando rayos que forman ángulos muy pequeños con el eje óptico se pueden aproximar los senos y las tangentes por los ángulos en radianes y la ley de Snell se simplica quedando:

εε ′′= ·n·n (9.8)

En la fig.9.30 resulta para los ángulos: ϕσε += por ser ε suplementario en el triángulo OAC

σεϕ ′+′= por ser ϕ suplementario en el triángulo CAO´ y σϕε ′−=′

Teniendo en cuenta el criterio de signos: ϕσε −= y ( ) ϕσσϕε −′=′−−−=′

Además: R

htg;

s

htg;

s

htg =≈

′=′≈′=≈ ϕϕσσσσ

Sustituyendo en la ecuación (9.8) resulta: ( ) ( )ϕσϕσ −′′=− ·n·n es decir:

−′

′=

−R

h

s

h·n

R

h

s

h·n Conocida como invariante de Abbe.

Simplificándola debe demostrar el estudiante que resulta:

R

nn

s

n

s

n −′=−

′′

(9.9)

Relaciona las distancias objeto e imagen s y s ́ con los índices de refracción n y n ́ de cada medio y el radio de curvatura R del dioptrio esférico. La ecuación tiene su aplicación limitada únicamente a rayos paraxiales. Focos del dioptrio esférico Los rayos que procedentes del infinito se propagan en dirección paralela al eje óptico, se cortan en un punto del mismo situado a la derecha del dioptrio conocido como foco imagen F´; fig. 9.31a Así mismo, los rayos que saliendo de un punto del eje óptico, siguen paralelos al eje óptico después de sufrir la refracción en el dioptrio, se dice que proceden del foco objeto F; fig.9. 31b.

F´ eje V óptico

f´

Fig.9.31a. Foco imagen F´

F V eje óptico

f

Fig.9.31b. Foco objeto F

21

La distancia f´ del foco imagen al vértice V, se obtiene haciendo en el invariante de Abbe (9. 9) ∞−=s y s´ = f´ . Operando resulta:

nn

Rnf

−′′

=′ (9. 10)

La distancia f del foco objeto al vértice V, se obtiene sustituyendo en (9.9) ∞=′s y s = f. Operando:

nn

Rnf

−′−= (9. 11)

Finalmente se puede expresar la ecuación del invari ante de Abbe con las distancias focales imagen y objeto . En efecto, multiplicando por R y dividiendo por ( )nn −′ los dos miembros de la ecuación (9.9) resulta:

( ) ( ) 1s

f

s

f;1

nn

Rn

s

1

nn

Rn

s

1;

R

nn

s

n

s

n =+′′

=−′

−−′′

′−′=−

′′

(9. 12)

Formación de la imagen por un dioptrio esférico Una vez conocida la posición de los focos, la imagen de un objeto se determina fácilmente cuando los rayos son paraxiales. Bastará con emplear dos rayos que parten del mismo punto del objeto, uno se hace pasar por el foco objeto y que saldrá del dioptrio paralelo al eje óptico, y otro que se envía paralelo al eje óptico y que sale del dioptrio pasando por el foco imagen, fig.9. 32. y F F́ - y´

Fig.9. 32. Imagen formada por un dioptrio esférico. Es real e invertida respecto del objeto. Aumento lateral Es la relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto,

y

y′=β

Puede ser positivo, o negativo y mayor o menor que la unidad. Mediante relaciones de semejanza de triángulos, se puede expresar el aumento lateral, en función de las distancias objeto e imagen y los índices de refracción de los dos medios.

n

n

s

s

y

y′

′=

′=β (9.13)

22

Aumento angular Es la relación que existe entre los ángulos que forman con el eje principal, el rayo refractado y el rayo incidente, fig.9. 33.

σσγ ′

=

h + σσσσ −σ −σ −σ −σ´

O O´ -s s´ Fig.9.33. Aumento angular de un dioptrio esférico. Como consideramos rayos en la zona paraxial, la tangente del ángulo se puede aproximar por el ángulo, así: σσ ≈tg y σσ ′≈′tg . De la figura:

s

h;

s

h′

≈′−

≈ σσ ; Sustituyendo: s

s

sh

sh

′==

−′

−γ

Se puede relacionar el aumento angular γ con el aumento lateral β, mediante la ecuación (9.13) quedando.

n

n1

s

s′

=′

=′

=βσ

σγ ; n

n1′

=β

γ

EJERCICIO RESUELTO Una varilla cilíndrica que se encuentra en el aire, lleva en un extremo un casquete esférico convexo de 5 cm de radio, siendo su de índice de refracción n´= 1,4. Un objeto de altura y = 1 cm se sitúa delante, a una distancia de 25 cm. Determina: a)Posición de sus focos. b) Ecuación del invariante de Abbe. c) Posición, naturaleza y tamaño de la imagen. c) Aumentos angular. Repetir el ejercicio suponiendo que la varilla está sumergida en un líquido de índice de refracción n = 1,6.

El radio de curvatura es positivo porque el dioptrio es convexo y la distancia del objeto al dioptrio es negativa por estar situada a la izquierda del vértice, s = -25 cm.

a) cm5,1714,1

cm5·4,1

nn

Rnf =

−=

−′′

=′ ;

cm5,1214,1

cm5·1

nn

Rnf −=

−−=

−′−=

b) cm5

14,1

cm25

1

s

4,1 −=

−−

′; Con las distancias focales: 1

cm25

cm5,12

s

cm5,17=

−−

+′

c) Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones anteriores resulta, s´= 35 cm

Después se calcula el aumento lateral β.

23

1,0)cm25(·4,1

cm35·1

s·n

s·n

y

y −=−

=′

′=

′=β ; y´= - 0,1 · y = - 0,1 · 1 cm = -0,1 cm

La imagen es real por ser s´ positiva, invertida respecto del objeto por ser el aumento lateral β negativo y de menor tamaño por resultar y´ < y.

d) 71,0cm35cm25

ss −=−=′

=′

=σσγ

Cuando la varilla se sumerge en el líquido de n´ = 1,6

a´) cm356,14,1

cm5·4,1nn

Rnf −=

−=

−′′

=′ cm406,14,1

cm5·6,1nn

Rnf =

−−=

−′−=

b´) cm5

6,14,1cm256,1

s4,1 −=

−−

′; Con las distancias focales: 1

cm25cm40

scm35 =

−+

′−

c´) Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones anteriores resulta, s´= -13,5 cm

62,0)cm25(·4,1)cm5,13(·6,1

s·ns·n

yy =

−−=

′′

=′

=β ; y´= 0,62 · y = 0,62 · 1 cm = 0,62 cm

La imagen es virtual por ser s´ negativa, derecha respecto del objeto por ser β positivo y de menor tamaño por resultar y´< y

d´) 9,1cm5,13

cm25ss ≈

−−=

′=

′=

σσγ