9. Problemas de óptica geométrica

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 9 – ÓPTICA GEOMÉTRICA

TIPO 48 LIBRO PÁGINAS 238 y 239: ejercicios 6 y 22. 9.1. Calcula la profundidad a la que se encuentra un pez que observamos a 1 m de profundidad en el agua,

𝑛 = 1′33. Sol: 𝒔 = 𝟏!𝟑𝟑 𝒎

9.2. Un buzo observa a un avión que vuela a una altura real de 400 𝑚 sobre el nivel del mar. Si el índice de

refracción del agua es 4/3, justifica si la altura aparente a la que el buzo ve al avión es mayor, menor o igual a los 400 𝑚. Construye el diagrama de rayos y calcula la altura aparente para justificar la conclusión. Sol: 𝒔! = 𝟓𝟑𝟑 𝒎

9.3. Una moneda de plata está en el fondo de un estanque de 4 m de profundidad. Un haz de luz reflejado en la moneda emerge del estanque formando un ángulo de 20° con la superficie del agua (𝑛 = 1′33) y entra en el ojo de un observador. Dibuja el esquema de rayos. Calcula la profundidad a la que el observador ve la moneda y compárala con la profundidad que apreciaría si se situase en la vertical de la moneda. Sol: 𝒔′𝟏 = 𝟏!𝟓𝟐 𝒎; 𝒔′𝟐 = 𝟑!𝟎𝟖 𝒎

9.4. Explicar por qué al mirar el fondo de un estanque en calma parece menos profundo de lo que en realidad es. (nagua>naire). Ayuda: Obtén la imagen de un objeto puntual situado en el fondo.

Cuando un rayo pasa de un medio a otro con mayor índice de refracción, los rayos se desvían acercándose a la normal. Este fenómeno unido a que nosotros en nuestro cerebro percibimos que los rayos nos llegan en línea recta hace que veamos que lo que se encuentra en el segundo medio esté en distinta posición de la que realmente ocupa. En la imagen se ve con claridad. El rayo que penetra en el ojo está desviado al cambiar de medio y el cuerpo situado en el punto A esta siendo visto por el ojo como si estuviese situado en A’.

TIPO 49

9.5. Calcula la posición de las focales objeto e imagen de un sistema óptico formado por una canica de vidrio de índice de refracción 𝑛 = 1!4 y radio 𝑅 = 2 𝑐𝑚. Si la canica tiene una burbuja a 1 𝑐𝑚 de su centro, ¿en qué posición la verá un observador? Sol: 𝒇! = 𝟕 𝒄𝒎; 𝒇 = −𝟓 𝒄𝒎; 𝒔! = 𝟎!𝟖𝟑 𝒄𝒎



9.6. En una pecera esférica de radio 𝑅 = 35 𝑐𝑚 llena con agua (𝑛 = 1′33), se encuentra un pez nadando. Calcula: a) La posición en la que se observará al pez desde el exterior cuando esté situado a 15 𝑐𝑚 del centro de la

pecera. b) La posición en la que se observará al pez desde el exterior cuando esté situado en el centro. Sol: a) 𝐬! = 𝟏𝟕′𝟓𝟐 𝒄𝒎; 𝐛) 𝐬′ = 𝟑𝟓 𝒄𝒎

9.7. Un dioptrio esférico cóncavo tiene un índice de refracción de 𝑛 = 1′5 y un radio de 𝑅 = 40 𝑐𝑚. Delante del dioptrio, a una distancia de 80 𝑐𝑚, se sitúa un objeto de 3 𝑐𝑚 de altura. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. Sol: a) 𝐬! = −𝟔𝟎 𝒄𝒎; 𝐲! = 𝟏!𝟓 𝐜𝐦

9.8. Calcule las distancias focales de un dioptrio esférico cóncavo de 𝟎!𝟏 𝒎 de radio en el que los índices de refracción de los dos medios transparentes son 𝒏 = 𝟏 y 𝒏′ = 𝟏′𝟑𝟑.

Calculamos primero el foco imagen:

𝑓! = 𝑟𝑛′

𝑛! − 𝑛= −0!1 𝑚 ·

1!331!33 − 1

→ 𝒇! = −𝟎!𝟒 𝒎 Calculamos ahora el foco objeto:

𝑓 = −𝑟𝑛

𝑛! − 𝑛= − −0!1 𝑚 ·

11!33 − 1

→ 𝒇 = 𝟎!𝟑 𝒎

TIPO 50 LIBRO PÁGINAS 238, 239 y 240: ejercicios 4, 18 y 37. 9.9. Dos espejos planos están colocados perpendicularmente entre sí. Un rayo que se desplaza en un plano

perpendicular a ambos espejos es reflejado primero en uno y luego en el otro espejo. ¿Cuál es la dirección final del rayo con respecto a su dirección original? Sol: 𝟗𝟎° − !

9.10. ¿Se está mirando la Venus de Velázquez a sí misma en el espejo? Razona la respuesta.



TIPO 51 LIBRO PÁGINAS 238, 239 y 240: ejercicios 1, 2, 3, 5, 15, 16, 17 y 34. 9.11. Responde razonadamente a estas cuestiones:

a) Explica la posibilidad de obtener una imagen derecha y mayor que el objeto mediante un espejo cóncavo, realizando un esquema con el trazado de rayos. Indica si la imagen es real o virtual.

b) ¿Dónde habría que colocar un objeto frente a un espejo cóncavo de 30 cm de radio para que la imagen sea derecha y de doble tamaño que el objeto?

Sol: a) El objeto tendría que estar entre el foco y el centro óptico. Virtual. b) s = -‐0’075 m

9.12. Un espejo cóncavo tiene una distancia focal de 4cm.

a) ¿Cuál es el radio de curvatura? b) Hallar la distancia de la imagen si el objeto se encuentra a 2 cm del espejo. c) Dibujar un diagrama de rayos para el caso anterior. ¿Cómo es la imagen? Sol: a) R = -‐8 cm; b) S’ = 4 cm

9.13. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es 10 cm. Situar la

imagen y hallar su altura. Dibuja el diagrama de rayos. Sol: S’ = 3’33cm, y’ = 2/3 cm

9.14. Un objeto está situado a 25 cm de un espejo cóncavo, cuya distancia focal es de 5 cm. Hallar dónde se forma la

imagen. Sol: imagen real y delante del espejo a S’= -‐6,25 cm

9.15. Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores de los coches y camiones con objeto de proporcionar

mayor ángulo de visión. a) Explica con ayuda de un esquema las características de la imagen formada por este tipo de espejos. b) En estos espejos se suele indicar “Atención, los objetos están más cerca de lo que parece”. ¿Por qué

parecen estar más alejados?

9.16. Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una

pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determina: a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. b) El radio de curvatura del espejo. c) Efectúa la construcción geométrica de la citada imagen. Sol: a) s = 0’07 m; b) r = -‐0’138 m



9.17. El espejo cóncavo de un faro de automóvil forma la imagen del filamento de 4 mm de la lámpara sobre una

pared que dista 3 m del espejo. La imagen tiene un tamaño de 0,3 m. Calcular: a) Dónde esta colocado el filamento respecto del espejo. b) El radio del espejo. c) Representar gráficamente el sistema con su trazado de rayos. a) Conociendo la posición y tamaño de la imagen, y el tamaño del objeto real podemos calcular la posición

del objeto real aplicando la ecuación del aumento lateral para espejos. La imagen se proyecta sobre la pared, por lo que debe ser real, por lo tanto la posición de la imagen debe ser negativa (𝑠! = −3 𝑚) según el convenio de signos.

𝑦′𝑦= −

𝑠!

𝑠 → 𝑠 = −𝑠! ·

𝑦𝑦! → 𝑠 = − −3 𝑚 ·

0!004 𝑚0!3 𝑚

→ 𝑠 = 0!04 𝑚 = 4 𝑐𝑚

Esta solución no tiene sentido, ya que la posición del filamento debe ser a la izquierda del espejo (es decir 𝑠 < 0). Por lo tanto, para que se cumpla esa condición la imagen proyectada debe ser invertida 𝑦! =−0!3 𝑚:

𝑦′𝑦= −

𝑠!

𝑠 → 𝑠 = −𝑠! ·

𝑦𝑦! → 𝑠 = − −3 𝑚 ·

0!004 𝑚−0!3 𝑚

→ 𝒔 = −𝟎!𝟎𝟒 𝒎 = −𝟒 𝒄𝒎

b) Sabemos que el radio del espejo es el doble de la distancia focal. Podemos calcular primero la distancia focal con la ecuación general de los espejos:

1𝑠′+1𝑠=1𝑓 →

𝑠 + 𝑠!

𝑠! · 𝑠=1𝑓→ 𝑓 =

𝑠 · 𝑠′𝑠 + 𝑠′

=−4 𝑐𝑚 · −300 𝑐𝑚−4 𝑚 − 300 𝑐𝑚

= −7519 𝑐𝑚

Por lo tanto, el radio del espejo será:

𝑅 = 2 ·−7519

𝑐𝑚 → 𝑹 ≈ −𝟕!𝟖𝟗 𝒄𝒎

c) Representamos gráficamente. La imagen es mayor, real e invertida:



TIPO 52 LIBRO PÁGINAS 238, 239 y 240: ejercicios 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 19, 20, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33 y 35.

9.18. Una lente biconvexa de vidrio con un n = 1’5 tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15 cm; hallar su

distancia focal. Sol: f’ = 12 cm

9.19. Un objeto de 1’2 cm de alto se coloca a 4 cm de la lente biconvexa del ejercicio anterior. Situar la imagen,

establecer si es real o virtual y hallar su altura. Sol: Imagen 1’5 veces mayor, derecha y virtual, h = 1’8 cm

9.20. Una varilla de vidrio muy larga tiene uno de sus extremos conformado como una superficie semiesférica

convexa de 5 cm de radio. Su n = 1’5. a) Un punto objeto en el aire está sobre el eje de la varilla y a 20 cm de la superficie. Hallar la imagen, decir

si es real o virtual. b) Un objeto a 5 cm de la superficie. Hallar la imagen, decir si es real o virtual. c) Un objeto muy lejos de la varilla. Hallar la imagen, decir si es real o virtual. Sol: a) S’= 20 cm, real; b) S’= -‐10 cm, virtual; c) S’= 10 cm, real.

9.21. Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener una imagen el doble de

grande que un objeto pequeño. Hallar las distancias del objeto e imagen si: a) La imagen ha de estar derecha. b) La imagen ha de estar invertida. Sol: a) S = -‐5 cm y S’ = -‐10 cm; b) S = -‐15 cm y S’ = 30 cm

9.22. Una lente convergente tiene 20 cm de distancia focal. Determinar la posición de la imagen, el tamaño y la naturaleza de la misma, si el objeto está a 50 cm de la lente y mide 4 cm. Sol: 33’3 cm a la derecha de la lente, y’= -‐2’6 cm, imagen real invertida y menor que el objeto.

9.23. Un objeto de 1’0 cm de alto está situado a 10 cm delante de una lente delgada cuya potencia es de 20

dioptrías. Calcular la posición y tamaño de la imagen. Realizar el diagrama de rayos. Sol: S’= 10 cm, y’=-‐1cm

9.24. El objetivo de una cámara fotográfica es una lente convergente de 10 dioptrías. Se quiere obtener la fotografía

de un hombre de 1’70 m de estatura situado a 6 m del objetivo. ¿Cuál debe ser la posición de la placa sensible? ¿Cuál es el tamaño de la imagen? Sol: S’= 0’10 m, y’ = -‐ 2’8 cm

9.25. Un objeto luminoso de 2 cm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la

pantalla se coloca una lente esférica delgada, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto. Determina: a) La posición del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria. b) La distancia focal de la lente. c) Efectúa la construcción geométrica de la imagen. Sol: a) Convergente, s = -‐1 m; b) f’ = 0’75 m



9.26. Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la

pantalla se coloca una lente esférica delgada L, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto. a) Determina la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto del objeto y de la pantalla. b) Calcula la distancia focal, la potencia de la lente L. c) Efectúa la construcción geométrica de la imagen. Sol: a) Convergente, s = -‐1 m, s’ = 3 m; b) f’ = 0’75 m, P = 1’33 dioptrías.

9.27. Una lente esférica delgada biconvexa, cuyas caras tienen radios iguales a 5 cm y el índice de refracción es n =

1,5, forma de un objeto real una imagen también real reducida a la mitad. Determina: a) La potencia y la distancia focal de la lente. b) Las posiciones del objeto y de la imagen. c) Si esta lente se utiliza como lupa, el aumento de la lupa cuando observa un ojo. d) Efectuar las construcciones geométricas del problema. Datos: Distancia mínima de visión neta para el ojo: d = 25 cm. El medio exterior es el aire. Sol: a) P = 20 dioptrías, f’ = 0’05 m; b) s = -‐0’15 m, s’ = 0’075 m; c) 𝜷 = 𝟔

9.28. Considera una lente convergente de un proyector de diapositivas que tiene una distancia focal de +16,0 cm. a) Si se obtiene una imagen nítida de una diapositiva sobre una pantalla que se encuentra a 4 m de la

lente, ¿a qué distancia de la lente está colocada la diapositiva? Dibuja el correspondiente diagrama de rayos.

b) ¿Cuál es el aumento lateral de dicha imagen? ¿Cuál será el tamaño del objeto si la imagen recogida en la pantalla es de 75 cm?

c) ¿A qué distancia de la lente se deberá colocar la pantalla para que la diapositiva, colocada a 20cm de la lente, sea proyectada nítidamente sobre la pantalla?

a) Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

1𝑠′−1𝑠=1𝑓! →

1𝑠=1𝑠!−1𝑓′

1𝑠=𝑓! − 𝑠′𝑠! · 𝑓′

→ 𝑠 =𝑓! · 𝑠′𝑓! − 𝑠′

Sustituimos los datos del problema:

𝑠 =16 𝑐𝑚 · 400 𝑐𝑚16 𝑐𝑚 − 400 𝑐𝑚

𝒔 =6400 𝑐𝑚!

−384 𝑐𝑚= −𝟏𝟔!𝟔𝟕𝒄𝒎



b) Aplicamos la ecuación del aumento lateral de las lentes delgadas:

𝜷 =𝑦′𝑦=𝑠′𝑠=

400 𝑐𝑚−16!67𝑐𝑚

= −𝟐𝟒

Como la imagen en pantalla mide 𝑦! = 75 𝑐𝑚, las dimensiones del objeto serán:

𝒚 =𝑦′𝛽=75 𝑐𝑚−24

= −𝟑′𝟏𝟐𝟓 𝒄𝒎

c) La nueva distancia objeto es 𝑠 = −20 𝑐𝑚, aplicamos de nuevo la ecuación de las lentes delgadas para

calcular la nueva distancia imagen, que será la distancia a la que pongamos la pantalla para que la imagen se vea nítida:

1𝑠′−1𝑠=1𝑓! →

1𝑠!=1𝑓!+1𝑠

1𝑠′=𝑓! + 𝑠𝑓′ · 𝑠

→ 𝑠′ =𝑓! · 𝑠𝑓! + 𝑠

Sustituimos los datos del problema:

𝒔! =16 𝑐𝑚 · −20 𝑐𝑚16 𝑐𝑚 + −20 𝑐𝑚

=−320 𝑐𝑚!

−4 𝑐𝑚= 𝟖𝟎 𝒄𝒎

TIPO 53 LIBRO PÁGINAS 238, 239 y 240: ejercicios 11, 21, 25 y 27.

9.29. Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal, están separadas 35 cm. Un objeto está

a 20 cm a la izquierda de la primera lente. a) Hallar la posición de la imagen final utilizando diagramas de rayos y la ecuación de las lentes delgadas. b) ¿La imagen es real o virtual? ¿Derecha o invertida? c) ¿Cuál es la amplificación lateral total? Sol: a) A 30 cm de la cara más lejana de la segunda lente; b) Real y derecha; c) 2

9.30. Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas convergentes de distancias focales 10 𝑐𝑚 la primera y 20 𝑐𝑚 la segunda, separadas por una distancia de 60 𝑐𝑚. Un objeto luminoso de 2 𝑚𝑚 de altura está situado 15 𝑐𝑚 delante de la primera lente: a) Calcula la posición y el tamaño de la imagen final del sistema. b) Efectúa la construcción geométrica del problema mediante el trazado de rayos correspondiente. Sol: a) 𝒔!𝟐 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎; 𝒚′𝟐 = 𝟖 𝒎𝒎



9.31. Colocamos un objeto de 0’5 cm a una distancia de 15 cm de una lente convergente de potencia 10 dioptrías. a) Calcula la posición y tamaño de la imagen formada. b) Situamos una segunda lente a 40 cm de la primera, obtén la distancia focal de esa segunda lente si

queremos obtener una imagen real de 3 cm de altura. c) Efectúa la construcción geométrica del problema.

a) Los datos que tenemos son:

𝑦! = 0!5 𝑐𝑚 𝑠! = −15 𝑐𝑚 𝑓!! =1𝑃!=

110 𝑚!! = 0!1 𝑚 = 10 𝑐𝑚

Aplicamos la ecuación de Gauss para calcular la distancia a la que se forma la imagen: 1𝑠′!

−1𝑠!=

1𝑓!!

⟶ 1𝑠!!

=1𝑠!+

1𝑓!!

⟶ 1𝑠!!

=𝑠! + 𝑓!!𝑠! · 𝑓!!

⟶ 𝑠!! =𝑠! · 𝑓!!𝑠! + 𝑓!!

=−15 𝑐𝑚 · 10 𝑐𝑚−15 𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚

=−150 𝑐𝑚!

−5 𝑐𝑚

𝒔!𝟏 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎

Calculamos el tamaño de la imagen formada con la ecuación del aumento lateral:

𝛽! =𝑦′!𝑦!

=𝑠′!𝑠! ⟶ 𝒚!𝟏 = 𝑦! ·

𝑠!!𝑠!

= 0!5 𝑐𝑚 ·30 𝑐𝑚−15 𝑐𝑚

= −𝟏 𝒄𝒎

b) Como la distancia entre las lentes es de 40 cm, los datos con respecto a la segunda lente serán:

𝑦! = 𝑦′! = −1 𝑐𝑚 𝑠! = 30 𝑐𝑚 − 40 𝑐𝑚 = −10 𝑐𝑚 𝑦!! = 3 𝑐𝑚

Calculamos la distancia a la que se situará la imagen con la ecuación del aumento lateral:

𝛽! =𝑦′!𝑦!

=𝑠′!𝑠! ⟶ 𝒔!𝟐 = 𝑠! ·

𝑦!!𝑦!

= −10 𝑐𝑚 ·3 𝑐𝑚−1 𝑐𝑚

= 𝟑𝟎 𝒄𝒎

Una vez que conocemos la distancia a la que se forma la imagen podemos calcular la distancia focal de la lente a través de la ecuación de Gauss:

1𝑠′!

−1𝑠!=

1𝑓!!

⟶ 1𝑓!!

=𝑠! − 𝑠!!𝑠!! · 𝑠!

⟶ 𝒇!𝟐 =𝑠!! · 𝑠!𝑠! − 𝑠!!

=30 𝑐𝑚 · −10 𝑐𝑚−10 𝑐𝑚 − 30 𝑐𝑚

=−300 𝑐𝑚!

−40 𝑐𝑚= 𝟕!𝟓 𝒄𝒎

c)

9. Problemas de óptica geométrica

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