1

PROBLEMAS DE ÓPTICA GEOMÉTRICA

2

O

d

S

P

Q

PROBLEMA 1. REFRACCIÓN DE LA LUZ.Un rayo luminoso incide sobre el plano ecuatorial de una esfera transparente de radio R e índice de refracción n con un ángulo de incidencia i. Calcular la distancia d medida desde el centro de la esfera hasta el punto S donde el rayo refractado corta al eje del sistema (ver figura).

i

R

3

i

rir

P

Q

O

180-ii

r21800

iri 2180 0

d

S

)(2)180(180 rii

sen)180sen(

R

i

d

Teorema del seno:

R

El triángulo OPQ es isósceles porque las distancias OP y OQ son iguales al radio R de la esfera

0

)(2sen

sen)180sen(

sen ri

iRi

Rd

Dado el índice de refracción n, el ángulo r se calcula por la ley de Snell:

rni sensen

n

ir

sensen 1

4

i

PROBLEMA 2. REFLEXIÓN TOTAL INTERNA.Una muestra de un material transparente, en forma de lámina, se ilumina con un delgado haz de una radiación monocromática que incide en el punto A de la figura. El ángulo de incidencia de la radiación se va aumentando hasta que al alcanzar el valor i = 78.5º se produce el fenómeno de reflexión total en el interior de la lámina. ¿Cuál es el índice de refracción del material para la longitud de onda utilizada?

A

5

90-r

90sen)90sen( rn

rr cos

1

sen

º5.78sen

irA

i=78.5º rn senº5.78sen r

nsen

º5.78sen

1cos rnr

ncos

1

9799.0º5.78sentg r r=44.4º

40.1º4.44sen

º5.78senn

6

i r r’ i’

PROBLEMA 3. DESVIACIÓN DE LA LUZ POR UN PRISMA

Un prisma de vidrio tiene forma de triángulo isósceles con un ángulo = 30º en su vértice superior. Cuando un rayo de luz monocromática incide sobre el prisma bajo un ángulo i = 35º, éste sufre una desviación = 17º. ¿Cuál es el índice de refracción del prisma para la longitud de onda del rayo incidente?

Sugerencia: encuentre la relación entre la desviación y el ángulo de incidencia en función de los ángulos r, i’, r’ indicados en el esquema.

7

i r r’ i’

i-r

90+i-

i-

90+-i

90+r-

90-i

i’=-r

rni sensen

ir

º12º30º35º17 ir

ri

rrn sen)sen(

rrrn sen)sencoscos(sen

r

in

sen

sen

rrrr

i sen)sencoscos(sensen

sen

º35iº30 º17

rri sen)coscot(sensen

i

ir

i

rr

sen

cossensencos

sen

sencotsen

4070.0cossensen

sensentg

ir

ir

53.1º22sen

º35sen

sen

sen

r

in º22r

rin sensen

8

La imagen de L1 actúa como objeto de la segunda lente L2. El valor absoluto de la distancia de ese objeto a L2 es

cm 30015045012 dss

Pero el objeto de L2 se encuentra en el lado opuesto al de procedencia de la luz (lado B), por tanto el signo que le corresponde es cm 3002 s

PROBLEMA 4. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + DIVERGENTE)Un sistema óptico centrado consta de una lente convergente, de focal 45 cm, y una lente divergente situada a 1,50 m a su derecha. A 0,50 m a la izquierda de la lente convergente hay un objeto de 4 mm de altura que forma una imagen virtual y derecha a 60 cm a la izquierda de la lente divergente.Determínese la distancia focal de la lente divergente y el tamaño de la imagen.

cm 501 s

cm 451 f 111

111

fss

cm 4501 s

9

cm 10

mm 4

1s

1F

1f

2F

2f

d

L1 L2

Como la imagen formada de este objeto por L2 está a su izquierda, Por tanto la focal de L2 es:

cm 602 s

18000

360

60

1

300

1111

222

ssfcm 502 f

950

450

1

11

s

sm 2.0

300

60

2

22

s

sm

8.1)2.0(9211

2

mmy

ym

2s

mm 2.74)2.0(91212 ymmy

cm 501 s

cm 451 f

cm 150d

cm 602 s

cm 502 f

10

Véase esquema gráfico en página siguiente Imagen virtual e invertida.mm 3.102 s

mm 27.22 y

1

1tg sy

2

2tg sy

tg

tg86.3

4.07

3.1027.2

1

1

2

2

ys

sy

PROBLEMA 5. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)Un pequeño objeto de 0.4 mm de altura se observa utilizando un sistema formado por dos lentes convergentes. La primera lente es de focal 5 mm, y el objeto se sitúa 7 mm a su izquierda. La segunda lente es de focal 8 mm, y ésta se sitúa 22 mm a la derecha de la primera lente. Utilícese papel milimetrado para resolver gráficamente el problema de la formación de la imagen de este objeto y a partir de la representación gráfica construida contéstese a las siguientes preguntas:1º) Dónde se forma la imagen y cuál es su tamaño.2º) ¿Qué tipo de imagen es y qué orientación tiene?3º) Estímese a partir de la construcción gráfica el aumento angular de este sistema.

11

1F1F

2F2F

L1L2

mm 51 fmm 82 f

mm 27.22 y

mm 4.01 y

mm 3.102 s

mm 71 s

1 mm

10 mm

Imagen virtual e invertida.

1

1tg sy

2

2tg sy

tg

tg

86.34.0

73.10

27.21

1

2

2

ys

sy

12

Un sistema óptico está formado por una lente convergente de focal 90 cm y un espejo cóncavo de 80 cm de radio. Ambos elementos se alinean de modo que el centro del espejo coincida con el foco imagen de la lente. ¿Dónde se formará y de qué tipo y tamaño será la imagen de un objeto rectilíneo de 6 cm de altura situado en el espacio objeto de la lente y a 60 cm de ésta? Resuelva el problema gráfica y analíticamente.

PLA

NO

FOC

AL

D

EL

ESPE

JO

C F

PLA

NO

FOC

AL

D

E L

A L

EN

TE

10 cm

2 cm

PROBLEMA 6. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + ESPEJO CÓNCAVO)

1f R

2

Rfe

13

111

111

fss

11

11

111

111

fs

fs

sfs

11

111 fs

fss

Lente: elemento óptico 1 cm 90

cm 60

1

1

f

s

cm 180

Esta imagen es el objeto del espejo (elemento óptico 2) y está situado del polo del mismo a una distancia s2:

1

1

1

11 s

s

y

ym

3 Imagen virtual,

derecha y tres veces mayor que el objeto

cm 18111 ymy

cm 3508090180112 Rfss

222

111

fss

cm 40

cm 350

2

2

f

s

22

22

222

111

fs

fs

sfs

22

222 fs

fss

cm 2.4540350

40350

2

2

2

22 s

s

y

ym

1112 ymyy donde

129.0350

2.45

2

22

s

sm

Imagen real, invertida y de tamaño 12.9% del tamaño de su objeto

Imagen combinada de ambos elementos: 387.021 mmm

Imagen virtual, invertida y de tamaño 38.7% del tamaño del objeto original

14

CF

PLA

NO

FOC

AL

D

EL

ESPE

JO

PLA

NO

FOC

AL

D

E L

A L

EN

TE

20 cm

10 mm

C

cm 1401 f

cm 120d cm 802 f

L1E2

cm1

cm 40

1

1

y

s

1s

cm 160R

PROBLEMA 7. SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + ESPEJO CONVEXO)

Determinar gráficamente la imagen de un objeto de 1 mm de altura situado a 40 cm a la izquierda del sistema óptico formado por una lente divergente de focal 140 cm seguida a 120 cm por un espejo convexo de focal 80 cm.