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Unidad IV:Unidad IV:La Derivada.La Derivada.

“No Se Lo Que Pareceré A Los Ojos Del Mundo, Pero A Los Míos Es Como Si Hubiese Sido Un Muchacho Que Juega En La Orilla Del Mar Y Se Divierte De Tanto En Tanto Encontrando Un Guijarro Más Pulido O Una Concha Más Hermosa, Mientras El Inmenso Océano De La Verdad Se Extendía, Inexplorado Frente A Mi.... Lo Que

xf

p

Q

x

xf

xx

xxf

x

Unidad IV: La Derivada.

Sabemos Es Una Gota De Agua, Lo Que Ignoramos Es El Océano.”

- Isaac Newton -

Página 19 Ing. Gilberto Marín Uribe.


Introducción

La invención del Cálculo Infinitesimal se atribuye en forma compartida a Sir Isaac Newton y a Gottfried Wilhelm Leibniz. La historia a dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas entre los años 1665-1666, pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años 1673-1676.

Uno de los debates más agrios que registra la historia de la ciencia es el que sostuvieron el Inglés Newton (presidente de la Royal Society), el alemán Leibniz y sus respectivos partidarios sobre la prioridad del descubrimiento del Cálculo Infinitesimal. Newton reconoció que Leibniz le dio a conocer su método denominado Cálculo Diferencial, y agrega desdeñosamente que sólo difiere de su Método de las Fluxiones en la manera de expresar y representar las cantidades.

A pesar de sus grandes aportaciones a las matemáticas, Leibniz no recibió los honores que se tributaron a Newton, Leibniz murió como un hombre solitario con un solo doliente en su funeral, su secretario… Por el contrario Newton recibió reconocimiento y posición económica ostentosa a través de casi toda su vida.

4.1. Derivada De Funciones Algebraicas.

La derivada de una función es uno de los instrumentos más poderosos de las matemáticas y las ciencias aplicadas. El Cálculo Diferencial se origina al tratar de resolver dos problemas en particular…1) El primer problema es muy antiguo, data del científico griego Arquímedes (287-212 A.C.) y plantea la

obtención de la Recta Tangente A Una Curva cualquiera.2) El segundo problema es más reciente. Surgió con los intentos de Kepler (1571-1630), Galileo (1564-

1642) y Newton (1642-1727) entre otros, por describir la Velocidad Instantánea de un cuerpo en movimiento.

Los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no tener mucha relación. Las apariencias son erróneas, ambos problemas tienen idéntica solución.

Interpretación Geométrica De La Derivada: La Recta Tangente A Una Curva. La noción de Euclides de que una recta tangente a una curva es aquella que toca a la curva en un solo punto, está bien para la circunferencia (Fig. 1), pero no es satisfactoria para la mayoría de las demás curvas, nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve. ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto? (Fig. 2), ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia? (Fig. 3).


1 Figura 2 Figura 3 Figura


Es mejor la idea de recta tangente a una curva en un punto “Q”, como la recta que mejor se aproxima a la recta tangente en las cercanías de “Q”, pero esta idea es muy vaga para la precisión matemática; sin embargo, el concepto de Límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción.

4.1.1. Definición De Derivada.

La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero, ésto, es un Límite Diferencial o Límite De Fermat y se expresa de la siguiente forma…


xf1p

2p

npQ 3p

x

xf

xx

xxf

xx

x0x0x

y

Figura 4. Si “Q” es un punto fijo y “P” un punto móvil de esa curva, entonces la recta que pasa por “Q” y “P1” es una recta secante de la curva. Cuando a través de la curva, “P” se mueve hacia “Q” lo suficientemente cerca (Pn), pero sin llegar a ser el mismo punto “Q”, entonces se obtiene la recta tangente a la curva en el punto “Q”; es decir, la recta tangente a la curva en el punto “Q” es la posición límite de la secante.

0 0Tg Secx x

f x x f xm Lím m Lím

x

. .Sec

f x x f xC Op ym TgC Ad x x

Figura 5. La pendiente de la recta secante mSec es…

La pendiente de la recta tangente mTg se obtiene cuando el incremento se hace tan pequeño que su valor se acerca a cero, sin llegar a serlo, es decir, . De tal manera que la pendiente de la recta tangente en “Q” se obtiene al llevar al límite la pendiente de la recta secante cuando

xf

p

Q

x

xf

xx

xxf

x


Observación 1. La derivada de una función, es otra función, en la que, si se evalúa un punto, se obtiene un número4 que representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Observación 2. Si se conocen las coordenadas del punto de tangencia y la pendiente de la recta tangente, entonces… se puede determinar la ecuación de la recta tangente en ese punto con la forma de la recta Punto-Pendiente

4.1.2. Notación.

Existen diversas formas de representar la derivada de una función, las cuales son empleadas según el ámbito, comodidad o necesidad del campo de la ciencia donde se utilicen.

4.1.3. Funciones Diferenciables Y No Diferenciables.

La función es Diferenciable en todo número de un intervalo abierto, si es continua en dicho

intervalo abierto. Dicho de otra manera… es diferenciable en todo número de su dominio, excepto en los valores extremos que delimitan el intervalo de su dominio. La anterior afirmación debe tener en cuenta las excepciones mencionadas en los incisos b) y c) siguientes…

La función es No Diferenciable (no se puede derivar) en un número si…a) es discontinua en (Fig. 6, )b) es continua en pero la gráfica tiene una recta tangente vertical en (Fig. 7, )c) es continua en pero la gráfica no tiene una sola recta tangente en (Fig. 8, )

4 Valor numérico de la derivada.


Notación.Operador Diferencial.LeibnizNewtonCauchyLagrange Se lee “f prima de x” Se lee “ y prima”

Observación 3. Para los propósitos de Matemáticas 4, El operador “dy/dx” no implica una división, sino que indica la variable respecto a la cual se va a derivar; es decir, representa un solo valor… el del límite de la fracción.

dydx

x yD

y de Derivada

x a respectocon


4.1.4. Fórmula General De La Derivación O Regla de los 4 pasos.

Cualquier función diferenciable puede ser derivada mediante la fórmula general de la derivación…

EJEMPLO 1: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto y determina su ángulo de inclinación.

EJERCICIO 4.1. Encuentra la derivada de la función mediante la fórmula general de la derivación…

1)

2)3) 4)


6Figura 0x 4x

7Figura

TgTg

2x

8Figura

Tg


5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

4.1.5. Teoremas Fundamentales (Fórmulas) Para La Derivación De Funciones Algebraicas. (1 a 9).

Debido a que el proceso del cálculo de la derivada de una función por medio de la fórmula general es muy largo, se emplearan ahora los siguientes Teoremas Fundamentales o Fórmulas Para La Derivación…

Notación de Leibniz Notación de Cauchy

1 1

2 2

3 3

3b 3b

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8



9 9

9b 9b

Gen

eral

Gen

eral

EJEMPLO 2: Utiliza los teoremas fundamentales (fórmulas) de derivación para encontrar la derivada de las siguientes funciones, simplifica al máximo5…

1)

2)

3)

3b)

4)

5)

Regla De La Cadena Para La Derivada De Una Función Compuesta.

Se aplica para calcular la derivada de una “Función Compuesta” . Si “y” es una función

compuesta de “u”, definida por y dy/du existe, y si “u” es una función de “x” definida por

y du/dx existe, entonces “y” es una función de “x” y dy/dx existe la cual está dada por…

o bien

5 La frase “simplifica al máximo” significa que debes escribir el resultado en su “mínima expresión”; es decir, que el resultado deberá tener la menor cantidad posible de variables del mismo tipo.



EJEMPLO 3: Dada se observa que es una función compuesta, de tal modo que…

y

y sus derivadas… y

y por lo tanto la derivada de la función compuesta es…

EJEMPLO 4: Utiliza los teoremas fundamentales (fórmulas) de derivación para encontrar la derivada de las siguientes funciones, simplifica hasta su mínima expresión…

6)

7)

8)

9)


22 23 2 6 6 2 1dy dy du u u xdx du dx


9b)

EJERCICIO 4.2. Utiliza los teoremas (fórmulas) de derivación para encontrar la derivada de las siguientes funciones, simplifica el resultado hasta su mínima expresión…

1) 16) 31)

2) 17) 32)

3) 18) 33)

4) 19) 34)

5) 20) 35)

6) 21) 36)

7) 22) 37)

8) 23) 38)

9) 24) 39)

10) 25) 40)

11) 26) 41)



12) 27) 42)

13) 28) 43)

14) 29) 44)

15) 30) 45)



Respuestas a Los Problemas Del Ejercicio 4.2

1) 16) 31)

2) 17) 32)

3) 18) 33)

4) 19) 34)

5) 20) 35)

6) 21) 36)

7) 22) 37)

8) 23) 38)

9) 24) 39)

10) 25) 40)

11) 26) 41)

12) 27) 42)

13) 28) 43)

14) 29)

15) 30) 44)

45)


4.1.6. Ecuación De La Recta Tangente A Una Curva.

EJERCICIO 4.3.

1) Encuentra la ecuación de la Recta Tangente a la curva en el punto y determina su ángulo de inclinación.

2) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en los puntos ,

, y . Halla el ángulo de inclinación de cada recta tangente.

1yx

'''o 49 57 165


3) Encuentra las coordenadas de los puntos en donde las rectas tangentes a la curva son horizontales (Valores Máximos y Mínimos).

4) Establece la Ecuación de la Recta Tangente a la curva , que es paralela a la recta . También, encuentra la Ecuación de la Recta Normal

6 a la curva en el punto de tangencia.

6 Recuerda que… la recta Normal a una curva es perpendicular a la recta tangente en un mismo punto de dicha curva.

2 1 ,P

2 1 ,Q


5) Dadas las curvas… y Determina…a) Las coordenadas del punto de intersección de las curvas dadas.b) La ecuación de la recta tangente y la normal a cada curva en el punto de intersección.c) El ángulo formado por las rectas tangentes en el punto de intersección.

6) Encuentra la Ecuación de la Recta Normal a la curva en el punto y determina su ángulo de inclinación.

0 1 ,

12 xy


La Derivada Como Razón De Cambio (Velocidad y Aceleración Instantánea).

Ya hemos tratado el primer problema que dio origen al Cálculo Diferencial, la Recta Tangente a una curva, abordaremos ahora el segundo problema, la determinación de la Velocidad Instantánea de un objeto… Aunque los problemas parecen ser muy distintos, ambos tienen idéntica solución…

Es decir que

De igual forma para la Aceleración Instantánea…

Es decir que

Observa que también… (Derivada de Orden Superior o Derivadas Sucesivas)

EJERCICIO 4.4.

1) La posición “x” de un juego mecánico que se mueve verticalmente está definida por la relación , donde “x” está expresada en metros y “t” en segundos. Determina la posición

, velocidad y aceleración instantáneas cuando y cuando ¿En qué momento se detiene el objeto?

2) El movimiento rectilíneo de un artefacto de prueba está definido por la función , donde la posición “S” esta expresada en pies y el tiempo “t” en segundos. Determina el tiempo, la posición y la aceleración cuando la Velocidad Instantánea es igual a cero.

0 100x

t 0 hr 1

hr t 1

Km x 100

0t

0x


Modelos Matemáticos.

1) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto .

2) Dada la función halla las “x” en que encuentra el “Máximo” y el “Mínimo”, así

como sus valores. Solución Mínimo , Máximo

3) Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas. ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen? Solución: 5/3 cm

4) La distancia “s” pies que ha rodado una pelota a lo largo de un plano inclinado al final de “t” segundos está dada por a) ¿Cuál es la velocidad promedio para los primeros 2 segundos?b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en ?c) Encuentra la aceleración en cualquier instante.

5) Juan arroja una piedra a un lago y se crea una ola circular que va hacia fuera a una velocidad de

a) Expresa el Radio de éste círculo en función del tiempo.b) Si “A” es el área de éste círculo en función del radio, encuentra “ ” e interprétala

6) Si un pájaro vuela a una velocidad de , a una altura de y pasa directamente sobre una fuente en el instante

a) Expresa la distancia horizontal “d” que el pájaro ha volado como función de “t”b) Expresa la distancia “s” entre el pájaro y la fuente como función de “d”c) Aplica la composición de funciones para expresar “s” en función de “t”

7) En la guerra de las Malvinas un tanque antiaéreo, lanza un proyectil que describe un movimiento representado por la función: donde “t” es el tiempo expresado en segundos.a) Calcula las velocidades promedio (rectas secantes) y velocidades instantáneas (rectas tangentes) en

b) Calcula las pendientes de las rectas secantes y tangentes en cada valor de “t”

10 cm


Ejercicios De Repaso.Encuentra la derivada de las siguientes funciones algebraicas. (Sugerencia: resuelve la mayoría de las funciones por medio de los teoremas fundamentales y utiliza la fórmula general en algunas de ellas).

Observación: La Derivada Resultante se encuentra justo por debajo de cada Función.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)


25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47) 48)

49)

50)

51)


Bibliografía.

Las obras que a mí juicio son las más interesantes, están resaltadas en “negritas”

- Matemáticas IV: Precálculo. - El Cálculo. - Álgebra y Trigonometría con G Analítica. P. Ibáñez – G. García. Louis Leithold. Louis Leithold. Ed. Cengage Learning (Thomson). Ed. Oxford. Ed. Oxford.

- Matemáticas V: Cálculo Diferencial. - Cálculo. - Geometría Analítica con Trigonometría. P. Ibáñez – G. García. Purcell – Varberg. Holliday. Ed. Cengage Learning (Thomson). Ed. Pearson Prentice Hall. Ed. McGrawHill.

- Matemáticas IV: Relaciones y Funciones. - Cálculo con Geometría Analítica. - Álgebra y Trigonometría con G Analítica. Juan Antonio Cuéllar Carvajal. Earl Swokowski. Earl Swokowski - Cole. Ed. McGrawHill. Ed. Iberoamérica. Ed. Cengage Learning (Thomson).

- Matemáticas V: Cálculo Diferencial - Cálculo. - Álgebra y Trigonometría. Juan Antonio Cuéllar Carvajal. Dennis G. Zill. Dennis G. Zill – J. M. Dewar. Ed. McGrawHill. Ed. Iberoamérica. Ed. McGrawHill.

- Matemáticas IV: Funciones. - Cálculo - Álgebra Intermedia. M. Angel García Licona. Larson – Hostetler. Larson – Hostetler. Ed. ST. Ed. McGrawHill. Ed. McGrawHill.

- Matemáticas IV. - Cálculo Diferencial E Integral. - Matemáticas 4: Precálculo Lucía Zamarrón de Campos. James Stewart. Joaquín Ruiz Basto Ed. GES. Ed. Cengage Learning (Thomson). Ed. Publicaciones Cultural

- Fundamentos De Matemáticas. - Cálculo con Geometría Analítica - Cálculo Diferencial. Silva – Lazo. Edwards Y Penney Samuel Fuenlabrada. Ed. Limusa. Prentice Hall Ed. McGrawHill.

- Cálculo Dif. e Integral - 6 fascículos - Cálculo - ¿Qué son las Matemáticas?Abreu – Canavati – Minzoni – Ize. Frank Ayres, Jr – E. Mendelson Richard CourantEd. Limusa. Ed. McGrawHill Fondo de Cultura Económica

- Desarrollo Conceptual del Cálculo - Cálculo Diferencial e Integral. - Historia de las MatemáticasR. Cantoral – M. Farfán Anthony Granville. Eric temple BellEd. Cengage Learning (Thomson). Ed. Limusa. Fondo de Cultura Económica

Matemáticas IV: Bibliografía - Referencias.


“La Página Escr i ta Nunca Recuerda Todo Lo Que SeHa Intentado, S ino Lo Poco Que Se Ha Conseguido.”

- Antonio Machado -

Espero Haberles Sido Útil…

Correcciones, observaciones, comentarioso sugerencias… favor de dirigirlos a…

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FINFIN

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