DERIVADAS (2) 4.- Aplicaciones de la derivada

4.1.- Recta tangente a una curva en un punto

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑥 = −1 a la función 𝑓(𝑥) =𝑥( − 2𝑥 − 3. Primeramente, recordamos la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑥 = 𝑎,

𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) Para calcularla en 𝑥 = −1, necesitamos el valor 𝑓(−1) y 𝑓′(−1). 𝑓(−1) = (−1)( − 2 · (−1) − 3 = 0; Para calcular 𝑓′(1), necesitamos primeramente calcular 𝑓′(𝑥): 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 − 2, por tanto 𝑓1(−1) = 2 · (−1) − 2 = −4; Por tanto, la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑥 = −1 será: 𝑦 − 𝑓(−1) = 𝑓1(−1)3𝑥 − (−1)4 ⟹ 𝑦 − 0 = −4(𝑥 + 1) ⟹ 𝒚 = −𝟒𝒙 − 𝟒 A la derecha vemos gráficamente la representación de la función y su recta tangente en el punto indicado.

Actividad 1.- Obtén la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥:, en 𝑃(1,1); c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2, en 𝑥 = 2;

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥( + 5𝑥 − 2, en 𝑥 = −2; d) 𝑓(𝑥) = @A, en 𝑥 = 2;

SOL: a) 𝑦 = 3𝑥 − 2; b) 𝑦 = 𝑥 − 6; c) 𝑦 = @C𝑥 + :

(; d) 𝑦 = −@

C𝑥 + 1;

Actividad 2.- Sea 𝑓 una función derivable en 𝑥 = 2 tal que 𝑓(2) = 3 y 𝑓1(2) = −5. ¿Es 𝑦 = −5𝑥 + 3 la ecuación de la recta tangente a 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = 2? SOL: No, la recta tangente en 𝑥 = 2, sería 𝑦 = −5𝑥 + 13.

4.2.- Crecimiento y decrecimiento (monotonía). Extremos relativos Si una función tiene derivada en un punto, existe una relación estrecha entre el signo de la derivada y el hecho de que sea creciente o no en ese punto.

Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 6𝑥D − 15𝑥C − 80𝑥: + 1, estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos) Para hacer el estudio de la monotonía y los extremos relativos de una función siempre seguiremos el siguiente esquema:

1. Calculamos 𝒇′(𝒙) 𝑓1(𝑥) = 30𝑥C − 60𝑥: − 240𝑥(

2. Resolvemos 𝒇1(𝒙) = 𝟎 30𝑥C − 60𝑥: − 240𝑥( = 0 ⟹ 30𝑥((𝑥( − 2𝑥 − 8) = 0 Tenemos 30𝑥( = 0 y 𝑥( − 2𝑥 − 8 = 0; Resolvemos y nos queda 𝑥@ = −2, 𝑥( =0 y 𝑥: = 4.

3. Colocamos en la recta real los valores obtenidos, además de los valores excepciones del dominio y comprobamos el signo de la derivada para así conocer el comportamiento de la función: En nuestro ejemplo 𝐷(𝑓) = ℝ, por tanto, los únicos valores a colocar en la recta son 𝑥@ = −2, 𝑥( = 0 y 𝑥: = 4.

−∞ +∞ 𝑓1 + + − − + 𝑓 ↗ ↘ ↘ ↗

Para comprobar el signo de 𝑓′, tomamos valores en los distintos intervalos posibles: 𝑓1(−3) > 0; 𝑓1(−1) < 0; 𝑓1(2) < 0 y 𝑓1(5) > 0, por tanto:

- 𝑓 es creciente en (−∞,−2) y (4,+∞) - 𝑓 es decreciente en (−2, 0) y (0, 4), aunque en 𝑥 = 0, tenemos que 𝑓1(𝑥) = 0, 𝑓

es decreciente a la izquierda de 𝑥 = 0 y continúa siendo decreciente a la derecha de 𝑥 = 0, por lo que en dicho punto la función también es decreciente, luego 𝑓 es decreciente en (−2, 4).

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento siempre son abiertos ya que, en los valores iniciales y finales de los intervalos, hay un posible cambio en el signo de la derivada, luego en dichos puntos la función no es decreciente ni creciente. Los posibles extremos relativos son 𝑥@ = −2, 𝑥( = 0 y 𝑥: = 4:

- 𝑓 es creciente a la izquierda de 𝑥@ = −2 y decreciente a la derecha de 𝑥@ = −2, por tanto, el punto 𝑀3−2, 𝑓(−2)4 = 𝑀(−2, 209) es máximo relativo, usamos 𝑀 para denotar los puntos máximos.

- 𝑓 es decreciente a la izquierda de 𝑥( = 0 y también es decreciente a la derecha de 𝑥( = 0, por tanto, el punto 𝑃30, 𝑓(0)4 = 𝑃(0, 1) no es extremo relativo.

- 𝑓 es decreciente a la izquierda de 𝑥: = 4 y creciente a la derecha de

𝑥: = 4, por tanto, el punto 𝑚34, 𝑓(4)4 = 𝑚(4,−2815) es mínimo relativo, usamos 𝑚 para denotar los puntos mínimos.

Actividad 3.- Determina los máximos y mínimos relativos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥: − 6𝑥( + 9𝑥 − 2;

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥C − 2𝑥( + 4;

c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥C + 8𝑥: + 6𝑥( + 24𝑥 + 1;

SOL: a)

b)

c)

4.3.- Extremos absolutos. Problemas de optimización

Actividad 4.- Calcula el valor máximo y mínimo de:

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥( − 6𝑥 + 10 en el intervalo [0, 4];

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥C − 𝑥( + 1 en el intervalo [−2, 2];

SOL: a) Máximo √10 y se alcanza en 𝑥 = 0, mínimo 1 y se alcanza en 𝑥 = 3.

b) Máximo 13 y se alcanza en 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2 , mínimo :C y se alcanza en

𝑥 = −√((

y 𝑥 = √((

.

Actividad 5.- Halla dos números reales positivos cuya suma sea 20 y de forma que la suma de los cuadrados del mayor y del doble del menor sea mínima. SOL: Los números son 4 y 16.

Actividad 6.- Queremos delimitar una parcela rectangular para hacer una huerta y disponemos de 200 m de alambre. Solamente tenemos que utilizar alambre para tres lados de la parcela, ya que el cuarto aprovechamos un muro. Calcula las dimensiones de la parcela de área máxima. SOL: Los lados del rectángulo son 50 m y 100 m. Actividad 7.- Los beneficios de una fábrica de camisetas dependen del número de unidades producido cada día según la función 𝑓(𝑥) = −𝑥( + 6𝑥 − 5, donde 𝑥 indica miles de camisetas producidas al día y 𝑓(𝑥) miles de euros. Si las limitaciones de personales y máquinas obligan a producir entre 2000 y 2500 camisetas, ¿cuántas debe producir diariamente para obtener máximos beneficios? SOL: El beneficio máximo es 3750 € y se alcanza produciendo 2500 camisetas diarias.