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Concepto de derivada de una función “La recta tangente y su relación con la derivada de una función ”
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Concepto de derivadade una función
“La recta tangente y surelación con la derivada
de una función”
Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actualDónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.
Fuerzas externas que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…
Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Introducción a la Derivada
Ya analizamos
funciones…
También
limites de
funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….
“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por 2xy
xy 2Algunos contestarían, su derivada es:
¡MUY BIEN! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“¡¡las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funciónFunción original
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta secante
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta tangente
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y ym
x x
Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y ym
x x
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?y y
mx x
Algo de historia.
Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Aprox.tanm
secm
Luego procedemos
a sustituir:
12
12sec
xx
yym
2 1
2 1
y y
x x
tanm Así
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
)( 1xf
)( 2xf
tanm
tanm
2 1
2 1
y y
x x
Y considerando: ( )y f x
tanm
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
Procedemos a sustituir:
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x x
tanm
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
2 1x x x Ahora consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
2 1x x x
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x x
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm
tanm
2 1( ) ( )f x f x
x
Podemos expresar lo anterior así:
lim
2 1( ) ( )f x f x
x
0x
0x
Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x x
tanm
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
2 1( ) ( )f x f x
x
0x
2 1x x x
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
1 1( ) ( )f x x f x
x
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm
La derivada.
Introducción a la Derivada
tanm lim0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
dx
dy=
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2)( xxfy
x
xfxxf
dx
dy
x
)()(lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf se puede observar que:
2)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:
Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxx
dx
dy
x
22
0
)(lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x
222
0
))()(2(lim
Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:
Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2lim xx
xx
00lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold
Representación
gráfica de:
2xy
La función que
representa su
derivada es:
xdx
dy2
Representación
gráfica de:
2xy
La función que
representa su
derivada es:
xdx
dy2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:2)1(2tan
dx
dym
Observe que:
?tan m
Representación
gráfica de:
2xy
La función que
representa su
derivada es:
xdx
dy2
2tan m
Representación
gráfica de:
2xy
La función que
representa su
derivada es:
xdx
dy2
𝟏) 𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 3𝑥 + 4 , obtener 𝑓´ −2
𝟐) 𝑓 𝑥 = 𝑥 , obtener 𝑓´(4)
𝟑) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 , obtener 𝑓´(𝜋
4)
Usando definición, obtener la derivada y evaluar según se indica
