Vector, versor y recta tangente Longitud de arco

vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco

Vector, versor y recta tangenteLongitud de arco

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

29 de febrero de 2012


vector velocidad

vector velocidad

vector velocidadα curva paramétrica C1

vector velocidad a α en t :

α′(t) = lim∆t→0

α(t + ∆t)− α(t)∆t


vector velocidad

vector velocidad

vector velocidad


velocidad

velocidad

velocidadα curva paramétrica C1

velocidad de α en tes el número

‖α′(t)‖

=√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2


velocidad

velocidad


velocidad de α en t

es el número

‖α′(t)‖

=√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2


velocidad

velocidad



‖α′(t)‖

=√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2


velocidad

velocidad



‖α′(t)‖ =√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0

α′(t) = (1,2t ,et )

en t = 0α′(0) = (1,0,1)


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0α′(t) = (1,2t ,et )

en t = 0α′(0) = (1,0,1)


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


en t = 0

α′(0) = (1,0,1)


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


en t = 0α′(0) = (1,0,1)


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Encontrar α′(π2 ) dondeα(t) = (cos t , sin t , t)

α′(t) = (− sin t , cos t ,1)

α′(π2 ) = (−1,0,1)


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Encontrar α′(π2 ) dondeα(t) = (cos t , sin t , t)α′(t) = (− sin t , cos t ,1)

α′(π2 ) = (−1,0,1)


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)α′(t) = (0,0) si t = 2kπ


ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)α′(t) = (0,0) si t = 2kπNO


versor tangente

versor tangente

versor tangente

α curva paramétrica C1

α′(t) 6= 0versor tangente en t

α′(t)‖α′(t)‖


versor tangente

versor tangente

versor tangente


α′(t) 6= 0

versor tangente en t

α′(t)‖α′(t)‖


versor tangente

versor tangente

versor tangente


α′(t) 6= 0versor tangente en t

α′(t)‖α′(t)‖


versor tangente

ejemplo

ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)

versor tangente:

v(t) =(1− cos t , sin t)

√


versor tangente

ejemplo

ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)versor tangente:

v(t) =(1− cos t , sin t)√

(1− cos t)2 + sin2 t


versor tangente

ejemplo

ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)versor tangente:

v(t) =(1− cos t , sin t)√

2− 2 cos t


recta tangente

recta tangente

recta tangente


α′(t0) 6= ~0recta tangente a α en α(t0):

l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)


recta tangente

recta tangente

recta tangente


α′(t0) 6= ~0

recta tangente a α en α(t0):

l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)


recta tangente

recta tangente

recta tangente


α′(t0) 6= ~0recta tangente a α en α(t0):

l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)


recta tangente

recta tangente

recta tangente a α en α(t0)


recta tangente

ejemplo 1

ejemplo 1α curva que pasa en t = 0 por (3,6,5) con vector tangente(1,−1,0)

calcular la recta tangente

l(t) = (3,6,5) + t(1,−1,0)


recta tangente

interpretación física

interpretación físicaes la trayectoria que seguiría el punto si se “liberara” de la

curva en el instante t0


recta tangente

ejemplo 2

ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1

¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)

l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)

la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)


recta tangente

ejemplo 2

ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?

α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)

l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)



recta tangente

ejemplo 2

ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)

l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)



longitud de arco

longitud de arco

problema

¿ cómo calculamos la longitud de una curva α : [a,b]→ R3?


longitud de arco

longitud de arco

aproximación


longitud de arco

longitud de arco

aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva

long(Pα) =

x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1)

= α′(ξi)∆t


longitud de arco

longitud de arco


long(Pα) =N∑

i=1

‖α(ti)− α(ti−1)‖

x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1)

= α′(ξi)∆t


longitud de arco

longitud de arco


long(Pα) =N∑

i=1

‖α(ti)− α(ti−1)‖

x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1) = α′(ξi)∆t


longitud de arco

longitud de arco


long(Pα) =N∑

i=1

‖α′(ξi)‖∆t

x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1) = α′(ξi)∆t


longitud de arco

aproximación

aproximacióncuando ∆t → 0

tenemos

long(Pα) =N∑

i=1


→∫ b

a‖α′(t)‖dt


longitud de arco

aproximación

aproximacióncuando ∆t → 0tenemos

long(Pα) =N∑

i=1


→∫ b

a‖α′(t)‖dt


longitud de arco

aproximación

aproximacióncuando ∆t → 0tenemos

long(Pα) =N∑

i=1

‖α′(ξi)‖∆t →∫ b

a‖α′(t)‖dt


longitud de arco

longitud de arco

longitud de arco

α : [a,b]→ R3 curva C1

longitud de arco de α:

long(α) =

∫ b

a‖α′(t)‖dt


ejemplos

ejemplo 1

longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio r

α(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]

α′(t) = (−r sin t , r cos t)

long(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt =

∫ 2π

0rdt = 2πr


ejemplos

ejemplo 1

longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]


long(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt =

∫ 2π

0rdt = 2πr


ejemplos

ejemplo 1



long(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt

=

∫ 2π

0rdt = 2πr


ejemplos

ejemplo 1



long(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt =

∫ 2π

0rdt

= 2πr


ejemplos

ejemplo 1



long(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt =

∫ 2π

0rdt = 2πr


ejemplos

ejemplo 2

longitud de la hipocicloide de 4 puntas

Calcular la longitud de la curva


ejemplos

ejemplo 2


Calcular la longitud de la curva{x = cos3 ty = sin3 t


ejemplos

ejemplo 2


Calcular la longitud de la curva{x = cos3 ty = sin3 t

α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)


ejemplos

ejemplo 2


{x = cos3 ty = sin3 t

α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)‖α′(t)‖ =√

9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t)


ejemplos

ejemplo 2


{x = cos3 ty = sin3 t



‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |


ejemplos

ejemplo 2




‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |

long(α) =

∫ 2π

03| cos t sin t |dt


ejemplos

ejemplo 2


‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |

long(α) =

∫ 2π

03| cos t sin t |dt

long(α) = 4.3∫ π

2

0cos t sin tdt


ejemplos

ejemplo 2


long(α) =

∫ 2π

03| cos t sin t |dt

long(α) = 4.3∫ π

2

0cos t sin tdt

long(α) = 6sin2 t

2

∣∣∣∣∣π2

0


ejemplos

ejemplo 2


long(α) =

∫ 2π

03| cos t sin t |dt

long(α) = 4.3∫ π

2

0cos t sin tdt

long(α) = 6sin2 t

2

∣∣∣∣∣π2

0

= 3


ejemplos

ejemplo 2

hipocicloide de 4 puntas

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