Cálculo diferencial (arq)

La derivada

El problema de la recta tangente

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

(a; f(a))

(x; f(x))

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la recta secante que pasa por esos dos puntos

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

¿Cuál es la pendiente de la recta secante?

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

ax

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

ax

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

ax

afxfPendiente

)()(

Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

ax

afxflímm

ax

)()(

La siguiente es una forma equivalente:

h

afhaflímmh

)()(0

Ejemplos

1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1).

2) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).

Ejemplos

3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9;3) a la curva:

xy

Definición

La derivada de una función f en un número a, denotada con f’(a), es:

h

afhaflímafh

)()()('

0

si este límite existe.

Definición alterna

ax

afxflímaf

ax

)()()('

Interpretación geométrica de la derivada

La derivada de una función f en un número a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)).

Posteriormente se verá que la derivada también se puede interpretar como la razón de cambio de una magnitud respecto de otra.

La derivada como una función

Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos:

h

xfhxflímxfh

)()()('

0

En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.

Ejemplos

Halle las derivadas de f, g y h enuncie sus respectivos dominios.

1)()3 xxh

xxxg 3)()2

235)()1 xxf

Sección 2.8Ejercicios 2.8 (pág. 161)4; 5; 7; 8; 13; 14; 18- por definicion.

Sección 2.9Ejercicios 2.9 (pág. 171)19; 20; 22; 23