DERIVADA Y RECTA TANGENTE

Definición de Recta Tangente a la gráfica de una función:

Suponga que la función f es continua en 1x . La recta tangente a la gráfica de f en el punto

))(( 11 xf,xP es la recta que pasa por Py tiene pendiente )( 1xm dada por

x

xfxxfxm

x

)()(Lim)( 11

01 Si este límite existe.

Ejemplo:

a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola 1xy 2 en el punto (2,3).

b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbolax

y1

en el punto

3

1,3

Halle la pendiente de la tangente a la curva; en el punto indicado.

Pregunta Pendiente Ecuación

1. 2xy 9 ; 2,5 42m 13xy 4

2. 4 2xy ; 1,5- 21-m 3xy 2

3. xxy 2 42 ; 2,0- 42-m 84 xy

4. 96 xxy 2; 3,0 03m 0y

5. 3 3xy ; 1,4 31m 1xy 3

6. 3xy 1 ; 2,-7 122m 17xy 12

7. xy 4 ; 5,3- 615-m 66

1 13xy

8. 3xxy 2 ; 2,4- 102-m 16xy 10

9. 2x

y4

; 2,1 12m 3xy

10. x

y8

; 4,-4 2

14m 6-xy 21

Definición de la derivada de una función:

La derivada de la función f es aquella función, denotada por 'f tal que su valor en un número

x del dominio de f está definida por

x

xfxxfxf

x

'

)()(Lim

01 Si este límite existe.

Ejemplo: Determine xf '

a) x

xf3

b) xxf

Determinar las siguientes derivadas utilizando la definición de límite

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 11. xxf 3 3 12. 55 xxf 5 13. 43 2 xxf x6

14. 28 xxf x2 15. 38 xxf 23x 16. yyyf 52 52 y

17. 2

8

xxf

22

8

x 18.

xxf

2

3

1

x 19. x

xxf

2

1 1

23

x

20 tttf 3 13 2 t 21. xxxf 33 2 36 x 22. xxxxf 535 23 5615 2 xx

Teoremas sobre derivación. Función Derivada Función Derivada Función Derivada

1) cxf )( 0 2) cxxf )( )(' xcf 3) )()()( xgxfxf )(')(' xgxf

4) xxf )( 1 5) nxxf )(

1nnx 6) )()()( xgxfxh )(')()(')( xfxgxgxf

7) xxf ln)(

x

1

8) xxf alog)(

ax ln

1 9)

)(

)()(

xg

xfxh

2)(

)(')()(')(

xg

xgxfxfxg

10) xexf )(

xe 11) xaxf )( aax ln

12) senxxf )( xcos 13) xxf tan)( x2sec 14) xxf sec)( xx tansec

15) xxf cos)( senx 16) xxf cot)( x2csc 17) xxf csc)( xxcotcsc

Resolver las siguientes derivadas

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

23. xxxxf 535)( 23 5615 2 xx 24. 538)( 36 xxxf 25 948 xx

25. xxf )(

x2

1 26.

3)( xxf

2

3 x

27. 3 2)( xxf

33

2

x 28.

5 4)( xxf 55

4

x

29.

25

)( xxf

2

5 xx

30. 7)( xxf

8

7

x

31. 74

)(

xxf 7 47

4

xx 32.

3

1)(

xxf

4

3

x

33. 2

3

1)(

xxf

52

3

x 34.

4 11)( xxf

4

114 3xx

35.

xxf

1)(

32

1

x 36.

5

1)(

xxf

55

1

xx

37. 3 7

1)(

xxf

333

7

xx 38.

3

4 632

4)(

xx

xxf

42

3 183

xxx

39323 3

3

23)( xxxxf

3 2

2 4

3

49

xxx

40

1233)( 22 xxxf xx 1824 3

413 22

31

xxxxxxy

3 223

5

2

5

2

3

xxxxx

42

4464)( 23 xxxf xxx 484880 24

43 53)( 2 xxxxf 15163 2 xx 44 525 223 xxxy

251510 24 xx

45.

5555)( xxxf 5050 x 46.

33253)( xxxf 64536 23 xx

47.

xsenxxf csc)( 0 48.

xxxf seccos)(

0

49.

cottan)(xf

0 50.

tttf ln)(

tln1

51.

tt eetf 11)(

te22 52.

tt etettf )(

tet 222

53.

14

25)(

2

x

xxf

22

2

14

51620

x

xx 54.

1)(

x

xxf

21

1

x

55.

2

42)(

2

x

xxxf

22

2

4

x

xx 56.

12

12)(

x

xxf

212

4

x

57.

74

52)(

2

3

x

xxf

22

24

74

40428

x

xxx 58.

43

54)(

2

23

x

xxxf

22

24

43

404812

x

xxx

59.

12

12)(

2

2

xx

xxxf

31

14

x

x 60.

44

44)(

2

2

xx

xxxf

32

28

x

x

61.

34

52 6)(

xx

xxxf

27

27914

1

118224

x

xxxx 62.

xx

y

3

2

23

2 26

xx

x

63.

73

323)(

2

2

x

xxxf

22

2

73

14246

x

xx 64.

seny

yyf

1

cot)(

22

1

cos1csc

senyseny

yy

65.

1cos

1)(

senf

21cos

1cos)(

senf

66.

1csc

1csc2)(

t

ttf

21csc

cotcsc

t

tt

67.

seny

senyyf

1

1)(

21

cos2

seny

y

68.

1tan

1tan)(

y

yyf

22

1tan

sec2

y

y

69.

4cos

tan)(

t

ttf

22

4coscos

sec41

tt

tsent

70.

cos1)(

senf

cos1

1

71.

1

ln)(

x

xxf

21

ln1

xx

xxx

72.

2)(

x

exf

x

3

2

x

exe xx

73 3454 42 xxxy 126808024 345 xxxx

74.

5465 432 xxxxy 5507880120 234 xxxx

75.

43

42

43

6)(

xx

xxxf

265

456710

43

152454963

xx

xxxxx

76. xxsenxxxf cos2)( 2 xxx cos2cos2

77. xxsenxxxxf cos22cos)( 2 senxx2

78. senxxxsenxxxxf 2cos2)( 23 xxsenxxxx cos44cos3 22

79. yyy eyeeyyf 2)(

yy yeey 2

80. xxxxxxf lnlnln)( 2

xxxxx

1ln1ln2

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS: REGLA DE LA CADENA

Sea nxgxf )()( su derivada está dada por )()()(1

xgxgnxfn

; es decir, se deriva como una potencia y

se multiplica por la derivada interna.

Ejemplo 1:

710754)(75)(3242 xxxxfxxxf

Ejemplo 2: Si 53 45 xxy

415455 243 xxxy

En el caso en que n xgxf )()(

Se debe expresar f en función de potencias por luego aplicar la propiedad.

Ejemplo 3: Si 3 52 )32()( xxf

Entonces: 3/52 )32()( xxf

Luego: 3 223/22 )32(3

20)()4()32(

3

5)( x

xxfxxxf

Ejemplo 4: Si 43

32

2

xx

xy Pruebe que:

2/32 )43(2

7)(

xxxf

Teoremas sobre derivación. Función Derivada Función Derivada Función Derivada

1) uexf )( 'ueu 2) uxf ln)(

'1

uu

3) senuxf )( 'cos uu 4) uxf tan)( 'sec2 uu 5) uxf sec)( 'tansec uuu

6) uxf cos)( 'usenu 7) uxf cot)( 'csc2 uu 8) uxf csc)( 'cotcsc uuu

Resolver las siguientes derivadas

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

81. 22 34)( xxf xx 4864 3 82. 2237)( xxf 33684 xx

83. 42 32)( xxxf 32 321216 xxx 84. 736 35 xx 63625 3563210 xxxx

85. 823 52)( xxxf 7232 528048 xxxx 86. 575)( xxxf 47564 3525 xxxx

87. 823 52)(

xxxf

923

2

52

8048

xx

xx

88. 575)(

xxxf

675

64 3525

xx

xx

89. 32)( 2 xxxf

32

1

2

xx

x 90. 63)( 25 xxxf

632

65

25

4

xx

xx

91. xxxxf 23 23)(

xxx

xx

23

2

232

149

92. 24)( xxxf

24

32

xx

xx

93. 3 2 3)( xxxf

3 22 33

32

xx

x

94. 4 325)( xxxf

4 254

330

xx

x

95. 5 623)( xxxf 5

12185 232 xxxx

96. 4 556 5)( xxxf

4

525304 5645 xxxx

974 23 52)( xxxxf

4 323

2

524

526

xxx

xx

98 5 234 2)( xxxf

5 334

23

25

128

xx

xx

99

5

1

2)(

xxf 61

160

x 100

5

2 53

2)(

x

xxf

52

35

53

320192

x

xx

101.

6

3

2

24

53)(

x

xxf

73

5224

24

537236072

x

xxxx

102.

5

2

2

35

36)(

xx

xxf

62

422

35

364515090

xx

xxx

103. xxxf 22 tansec)( xxxx 234 sectan2sectan2

104. xxsenxf 23cos2)( xxsenxsenx 324 cos6cos4

105. xxsenxf 23 cos2)( xxsenxxsen 324 cos6cos4

106. tttf 44 csccot)( tttt 423 csccot4csccot4

107. xxsenxf 52 csc)( xx 4csccos3

108. xxxf 52 seccos)( xsenx 4sec3

109. xxxf 52 cottan)( xx 22 csccot3

110. 3)( 2 xsenxf 3cos2 2 xx

111. xxxf 23tan)( 2 xxx 23sec)26( 22

112. 22tan)( xxf

222 sectan4 xxx

113. 263)( xsenxf 263cos3618 xx

114. 725 1)( xsenxf 7272462 1cos1170 xxsenxx

115. 22 63cos)( xxf 226363cos7236 xsenxx

116. 33 2cos)( xxxf 33232 2269 xxsenxxx

117. 624 1cos)( xxf 6262352 11cos148 xsenxxx

118. 22cos)( 33 xxf 2222cos18 3322 xsenxx

119. 322tan)( xxxf 2222 tan6sectan6 xxxxx

120. xxsenxf 22 cos94)(

xxsen

xsenx

22 cos94

cos5

121. 3 2 2cot)( xxf

3 22

2

2cot3

2csc2cot4

x

xx

122. xsenxf 2cos)( 2 xxxsensen 2coscos2cos24

123. xsenxf 5tan)( xxsenx

5cos5sec2

5 2

124. 14ln)( xxf

14

4

x 125.

4

3ln)(

xxf

x

1

126. xxf 7ln2

3)(

x2

3 127.

4ln3)( xxf

x

12

128. 21

ln6)( xxf

x

3 129.

3ln)( xxf

x2

3

130. 3 2ln)( xxf

x3

2 131.

7 5ln4

3)( xxf

x28

15

132. xxf cosln)( xtan 133. senxxf ln)( xcot

134. xxxf 43ln)( 2

xx

x

43

462

135. xxxf cos45ln)( 2

xx

senxx

cos45

4102

3

136. 13ln)( 43 xexxxf

13

4943

52

x

x

exx

exx

137. 21

2ln1ln)( xxxf

422

52

xx

x

138. x

xxf

1

1ln)( 21

2

x

139. xxxf ln)( 5 xxx ln5 44

140. 2

1ln)(

x

xxf

422

52

xx

x 141.

1

1ln)(

x

x

e

exf

1

22

x

x

e

e

142. 3

2

3ln)(

x

xxf

xx 63

22

143. 5 ln)( xxf

5 4ln5

1

xx

144. 5ln)( xxf

x5

1

145. xxxf ln)(

x

x

2

ln2

146. 4

3

13

12ln)(

x

xxf

16

1862

xx

x 147.

23

23ln)(

x

xxf

49

62

x

148. xx xeexf ln)(

xx

x

xee

xe

149.

x

x

e

xexf

3

84)(

xe

xxf

3

)1(8)(

150. 2

2

)(x

exf

x

3

2 )1(2

x

xe x

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una aplicación importante de la derivada es determinar donde una función alcanza sus valores máximos y

mínimos

Definición: Suponga que D, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:

)i )(cf Es el valor máximo de f en D, si xxfcf )()( en D

)ii )(cf Es el valor mínimo de f en D, si xxfcf )()( en D

)iii )(cf Es el valor extremo de f en D, si es un valor máximo o un valor mínimo.

)iv La función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.

Teorema. Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese

intervalo.

Definición de número crítico: Si c es un número del dominio de la función f, y si 0)´( cf o )´(cf no existe, entonces c es un número

crítico de f.

Obtenga los números críticos de la función dada.

1. xxxxf 57)( 23 números críticos 31,5

Se calcula )´(xf , se iguala a cero y se despeja x

2. 31

34

37

3)( xxxxf números críticos 73,0,1

3. 32

)4()( 2 xxf números críticos 2,0,2

4. xxxxxf 1224)( 234 números críticos 1,1,3

5. 31

34

4)( xxxf números críticos 0,1

Valor máximo absoluto de una función en todo su dominio: )(cf Es el valor máximo absoluto de la función f si domc de f y si xxcf )()( en el dominio de f

Valor mínimo absoluto de una función en todo su dominio: )(cf Es el valor mínimo absoluto de la función f si domc de f y si xxcf )()( en el dominio de f

Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [a, b]

1. Se obtienen los números críticos de la función en (a, b), y se calculan los valores correspondientes de f para

dichos números.

2. Se hallan f (a) y f (b)

3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor

mínimo absoluto.

Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de las siguientes funciones:

1. 3)( xxf En [-2,2]

2. 23 32)( xxxf En [-1/2, 2]

MONOTONÍA Y CONCAVIDAD

Definición Sea f definida en un intervalo I. decimos que:

)i f Es creciente en I si, para toda pareja de números x1 y x2 en I,

)()( 2121 xfxfxx

)ii f Es decreciente en I si, para toda pareja de números x1 y x2 en I,

)()( 2121 xfxfxx

)iii f Es estrictamente monótona en I, si es creciente en I o es decreciente en I.

Teorema de monotonía Sea f continua en un intervalo I y derivable en todo punto interior de I.

)i Si xxf ,0)´( interior a I, entonces f es creciente en I.

)ii Si xxf ,0)´( interior a I, entonces f es decreciente en I.

Encuentre donde f es creciente y donde es decreciente si:

1. 71232)( 23 xxxxf

2. 196)( 23 xxxxf

3. 43)( 23

31 xxxxf

Prueba de la primera derivada: Suponga que c es un número crítico de una función continua f

)i Si ´f cambia de positivo a negativo en c f tiene un máximo local en c

)ii Si ´f cambia de negativo a positivo en c f tiene un mínimo local en c

)iii Si ´f no cambia de signo en c f no tiene ni mínimo local ni máximo local en c

Encuentre los valores máximo y mínimo locales de las funciones:

1. 51243)( 234 xxxxf

Segunda derivada y concavidad: Se analiza como gira la recta cuando nos movemos de izquierda

a derecha a lo largo de la gráfica.

Si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia arriba. En sentido contrario a

las manecillas del reloj es cóncava hacia abajo.

Teorema de concavidad: Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I.

)i Si 0)´´( xf x en I f es cóncava hacia arriba en I

)ii Si 0)´´( xf x en I f es cóncava hacia abajo (convexa) en I

Prueba de la segunda derivada: Suponga que ´´f es continua cerca de c.

)i Si 0)´( cf 0)´´( cf f tiene in mínimo local en c

)ii Si 0)´( cf 0)´´( cf f tiene in máximo local en c

En vista de la prueba de concavidad, existe un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada

cambie de signo.

Analice cada curva con respecto a concavidades, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Use la

información para trazar la gráfica.

1. 34 4)( xxxf

2. xxxxf 1232)( 23

3. 46 3)( xxxf

4. 21

)(x

xxf

5. 112)( 3 xxxf

6. 12634)( 23 xxxxf

7. 243)( 34 xxxf

8.

1)(

2

2

x

xxf

9. 153)( 35 xxxf

10. 34

31

8)( xxxf

Problemas de optimización.

11. Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un río y se desea delimitar de modo que no se utilice

alambre a lo largo de la orilla. Si el material para la cerca de los lados cuesta $12 por pie colocado y $18 por pie

colocado para el lado paralelo al río, determinar las dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda

delimitarse con $5400 de cerca.

12. Calcular las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que pueda inscribirse en un cono

circular recto de radio 5 cm y altura 12 cm.

13. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el

área máxima?

14. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El

perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana

tenga el área máxima?

15. Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor área lateral que pueda inscribirse en una

esfera cuyo radio mide 6 pulgadas.

16. De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

17. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y

márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del

papel.

18. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus

dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

19. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un

círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la

suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

20. Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

21. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor

debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

22. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus

dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

23. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el

séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

24. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo

rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50

€ para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

TASAS DE VARIACIÓN RELACIONADAS

VARIABLES RELACIONADAS

Sugerencia para resolver un problema.

Lea cuidadosamente el problema de modo que lo entienda. En ocasiones es útil dibujar la figura. Después

aplique los siguientes pasos:

1. Defina las variables de la ecuación que obtendrá.

2. Escriba los hechos numéricos conocidos acerca de las variables y de sus derivadas con respecto a t

3. Escriba lo que se desea determinar.

4. Escriba una ecuación que relacione las variables que dependen de t. esa ecuación será un modelo

matemático de la situación.

5. Derive con respecto a t los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4 para relacionar las tasas

de variación de las variables.

6. Sustituya los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 5 y despeje la cantidad

deseada.

7. Escriba una conclusión que responda las preguntas del problema. No olvide que la conclusión debe

contener las unidades correctas de medición.

EJERCICIOS

1. Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada contra una pared vertical. La base de la escalera se hala

horizontalmente alejándola de la pared a 3 pies/s. Se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia

abajo la parte superior de la escalera sobre la pared, cuando su base se encuentra a 15 pies de la pared.

R. spies /25.2

2. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/min. hacia el interior de un depósito cuya forma es la de

un cono invertido de 16m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha

alcanzado 5m de profundidad? R. min/4074.0 m

3. Un niño vuela una cometa a una altura de 40 pies y lo hace moviéndose horizontalmente a una tasa de 3

pies/s. Si la cuerda está tensa ¿A qué tasa se afloja cuando la longitud de la cuerda suelta es de 50 pies?

R. spies /8.1

4. Se infla un globo esférico de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 5 m3/min. ¿A qué tasa

aumenta el diámetro cuando éste es de 12m? R. min/022.0 m

5. Se está formando una bola de nieve de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 8 pie3/min.

¿Determine la tasa a la que el radio aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4 pies? R.

min/1591.0 pies

6. Se deja caer arena en un montículo de forma cónica a una tasa de 10 m3/min. Si la altura del montículo

siempre es el doble del radio de la base. ¿A qué tasa se incrementa la altura cuando ésta es de 8m? R.

spies /1989.0