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Derivadas (1) Jes´ us Garc´ ıa de Jal´ on de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2020 JGJ Derivadas (1)
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Derivadas (1)
Jesús Garćıa de Jalón de la Fuente
IES Ramiro de MaeztuMadrid
2020
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada en un punto
La derivada de la función f(x) en el puntox0 se define como:
f ′(x0) = ĺımx→x0
∆f
∆x
= ĺımx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
Si existe la derivada f ′(x0) la función escontinua en x0.
ĺımx→x0
∆f
∆x= f(x0) =⇒ ĺım
∆x→0∆f = 0
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Derivada en un punto
La derivada de la función f(x) en el puntox0 se define como:
f ′(x0) = ĺımx→x0
∆f
∆x
= ĺımx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
Si existe la derivada f ′(x0) la función escontinua en x0.
ĺımx→x0
∆f
∆x= f(x0) =⇒ ĺım
∆x→0∆f = 0
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Derivada en un punto
La derivada de la función f(x) en el puntox0 se define como:
f ′(x0) = ĺımx→x0
∆f
∆x
= ĺımx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
Si existe la derivada f ′(x0) la función escontinua en x0.
ĺımx→x0
∆f
∆x= f(x0) =⇒ ĺım
∆x→0∆f = 0
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Derivada en un punto
La derivada de la función f(x) en el puntox0 se define como:
f ′(x0) = ĺımx→x0
∆f
∆x
= ĺımx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
Si existe la derivada f ′(x0) la función escontinua en x0.
ĺımx→x0
∆f
∆x= f(x0) =⇒ ĺım
∆x→0∆f = 0
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Derivada en un punto
La derivada de la función f(x) en el puntox0 se define como:
f ′(x0) = ĺımx→x0
∆f
∆x
= ĺımx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
Si existe la derivada f ′(x0) la función escontinua en x0.
ĺımx→x0
∆f
∆x= f(x0) =⇒ ĺım
∆x→0∆f = 0
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
JGJ Derivadas (1)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
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La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Derivada y tangente
La derivada de la función f(x) en elpunto x0 es la pendiente de la rectatangente a y = f(x) en el punto deabscisa x0.
La ecuación de la recta tangente es:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
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Función derivada
JGJ Derivadas (1)
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Función derivada
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h) = 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h) = 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h) = 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h
= ĺımh→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h) = 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h
= ĺımh→0
(2x + h) = 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h)
= 2x
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Función derivada
Definición
La función:
f ′(x) = ĺımh→0
f(x + h)− f(x)h
se llama derivada de la función f(x).
Por ejemplo, la derivada de la función f(x) = x2 es:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)2 − x2
h= ĺım
h→0
x2 + 2xh + h2 − x2
h= ĺım
h→0(2x + h) = 2x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)
= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
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Derivada de las funciones potenciales
Sea f(x) = xn:
f ′(x) = ĺımh→0
(x + h)n − xn
h
= ĺımh→0
xn + nxn−1h + . . .− xn
h
= ĺımh→0
(nxn−1 + h · . . .
)= nxn−1
Sea f(x) =√x:
f ′(x) = ĺımh→0
√x + h−
√x
h
= ĺımh→0
(√x + h−
√x)(√x + h +
√x)
h(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
x + h− xh(√x + h +
√x)
= ĺımh→0
h
h(√x + h +
√x)
=1
2√x
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
hln
x + h
x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
x
)= ĺım
h→0
1
h·h
x
=1
x
Sea f(x) = ex:
f ′(x) = ĺımh→0
ex+h − ex
h
= ĺımh→0
exeh − ex
h
= ĺımh→0
ex(eh − 1)h
= ĺımh→0
exh
h
= ex
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
hln
x + h
x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
x
)= ĺım
h→0
1
h·h
x
=1
x
Sea f(x) = ex:
f ′(x) = ĺımh→0
ex+h − ex
h
= ĺımh→0
exeh − ex
h
= ĺımh→0
ex(eh − 1)h
= ĺımh→0
exh
h
= ex
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
hln
x + h
x
= ĺımh→0
1
hln
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h
x
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1
h·h
x
=1
x
Sea f(x) = ex:
f ′(x) = ĺımh→0
ex+h − ex
h
= ĺımh→0
exeh − ex
h
= ĺımh→0
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= ĺımh→0
exh
h
= ex
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
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x + h
x
= ĺımh→0
1
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h
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1
h·h
x
=1
x
Sea f(x) = ex:
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h
= ĺımh→0
exeh − ex
h
= ĺımh→0
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= ĺımh→0
exh
h
= ex
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
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x + h
x
= ĺımh→0
1
hln
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x
)
= ĺımh→0
1
h·h
x
=1
x
Sea f(x) = ex:
f ′(x) = ĺımh→0
ex+h − ex
h
= ĺımh→0
exeh − ex
h
= ĺımh→0
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= ĺımh→0
exh
h
= ex
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
= ĺımh→0
1
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x
=1
x
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h
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
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x
=1
x
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
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x
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x
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
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1
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x
=1
x
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
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1
hln
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hln
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x
=1
x
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
ln(x + h)− lnxh
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x
=1
x
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
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x
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hln
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x
=1
x
Sea f(x) = ex:
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exh
h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones logaŕıtmicas y exponenciales
Sea f(x) = lnx:
f ′(x) = ĺımh→0
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hln
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hln
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x
=1
x
Sea f(x) = ex:
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h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
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cosx cosh− senx senh− cosxh
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− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
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h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
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−h2 senx2h
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Sea f(x) = cosx:
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2
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h
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−h2 cosx2h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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senx(−h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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senx(−h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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senx(−h
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−h2 senx2h
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Sea f(x) = cosx:
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h
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−h2 cosx2h
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
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senx(−h
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Sea f(x) = cosx:
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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2
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JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
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2
2
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h
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2
2
)h
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h
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−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
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= ĺımh→0
senx cosh + cosx senh− senxh
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senx(cosh− 1)h
+ ĺımh→0
cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
= ĺımh→0
cosx cosh− senx senh− cosxh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)− senx senhh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)h
− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
sen(x + h)− senxh
= ĺımh→0
senx cosh + cosx senh− senxh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1) + cosx senhh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1)h
+ ĺımh→0
cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
= ĺımh→0
cosx cosh− senx senh− cosxh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)− senx senhh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)h
− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
sen(x + h)− senxh
= ĺımh→0
senx cosh + cosx senh− senxh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1) + cosx senhh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1)h
+ ĺımh→0
cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
= ĺımh→0
cosx cosh− senx senh− cosxh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)− senx senhh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)h
− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
sen(x + h)− senxh
= ĺımh→0
senx cosh + cosx senh− senxh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1) + cosx senhh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1)h
+ ĺımh→0
cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
= ĺımh→0
cosx cosh− senx senh− cosxh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)− senx senhh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)h
− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Derivada de las funciones circulares
Sea f(x) = senx:
f ′(x) = ĺımh→0
sen(x + h)− senxh
= ĺımh→0
senx cosh + cosx senh− senxh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1) + cosx senhh
= ĺımh→0
senx(cosh− 1)h
+ ĺımh→0
cosx senh
h
= ĺımh→0
senx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h cosx
h
= ĺımh→0
−h2 senx2h
+ cosx
= cosx
Sea f(x) = cosx:
f ′(x) = ĺımh→0
cos(x + h)− cosxh
= ĺımh→0
cosx cosh− senx senh− cosxh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)− senx senhh
= ĺımh→0
cosx(cosh− 1)h
− ĺımh→0
senx senh
h
= ĺımh→0
cosx(−h
2
2
)h
+ ĺımh→0
h senx
h
= ĺımh→0
−h2 cosx2h
− senx
= − senx
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)
= ĺımh→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln(1 + x) en el punto de abscisax0 = 0.
− La ordenada del punto de tangencia esy0 = ln(1 + 0) = ln 1 = 0. Aśı pues, el punto detangencia es (0, 0).
− Calculemos la derivada de la función:
f′(x) = ĺım
h→0
ln(1 + x + h)− ln(1 + x)h
= ĺımh→0
1
hln
1 + x + h
1 + x
= ĺımh→0
1
hln
(1 +
h
1 + x
)= ĺım
h→0
1
h·
h
1 + x
=1
1 + x
La pendiente de la recta tangente es:
m = f′(x0) =
1
1 + 0= 1
− La recta tangente es:
y = x
JGJ Derivadas (1)
-
Agradecimiento
Gracias por vuestra atención
JGJ Derivadas (1)
