Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierıa y Agrimensura

Departamento de Matematica

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

GEOMETRIA I

Licenciatura en Matematica - Profesorado en Matematica - Ano 2016

Equipo docente:

Francisco Vittone - Justina Gianatti - Martın Alegre.

Unidad 3: Congruencia de triangulos, area de figuras planas y el Teorema de

Pitagoras.

1. Introduccion.

En la unidad anterior hemos definido que entendemos por dos triangulos congruentes y hemos establecido

como axioma el primer criterio de congruencia de triangulos, o criterio LAL.

Recordemos que dos triangulos son congruentes si existe una correspondencia entre los vertices de modo que

los pares de lados homologos y los pares de angulos homologos para esta correspondencia son congruentes entre

si. El criterio LAL establece que si dos pares de lados homologos y los angulos comprendidos entre ellos son

congruentes, entonces los triangulos son congruentes, lo que significa que automaticamente el tercer lado de un

triangulo es congruente con el tercer lado del otro y los otros dos angulos del primer triangulo son congruentes

con los respectivos angulos en el otro.

Es decir que un criterio de congruencia nos permite garantizar que dos triangulos son congruentes con mucha

menos informacion que la que tendrıamos que verificar segun la definicion de congruencia.

El objetivo de esta unidad es establecer otros criterios de congruencia y estudiar algunas de las muchas

aplicaciones que tienen. Sin dudas los criterios de congruencia de triangulos constituyen los resultados mas

importantes y que mas aplicaciones tienen en la geometrıa plana.

Comenzaremos descubriendolos en base a nuestra experiencia y nos ocuparemos de demostrarlos en la proxi-

ma seccion. Como ya hemos mencionado, un criterio de congruencia nos permitira concluir que dos triangulos

son congruentes cuando conocemos mucha menos informacion que la que requiere la definicion. Determinaremos

por lo tanto cual es la menor cantidad de informacion de que debemos disponer para poder asegurar que dos

triangulos son congruentes.

Un triangulo tiene seis elementos que lo caracterizan: sus tres lados y sus tres angulos. El primer criterio

de congruencia nos dice que si sabemos que tres de estos elementos (dos lados y un angulo, el comprendido

entre ellos) de un triangulo son congruentes con los respectivos elementos de otro, entonces los triangulos son

congruentes. ¿Pero no podremos llegar a la misma conclusion con menos informacion?

Supongamos que conocemos solo uno de estos elementos, es decir, conocemos la medida de un angulo o

un lado de un triangulo. ¿Cuantos triangulos no congruentes podemos construir con estos datos? Es bastante

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evidente que infinitos. En las siguientes figuras mostramos muchas maneras de construir muchos triangulos no

congruentes que tienen un lado o un angulo de la misma medida.

Es decir que si sabemos que dos triangulos tienen un lado o un angulo de la misma medida, esto no nos

alcanza para concluir que los triangulos son congruentes.

Por lo tanto necesitamos conocer mas informacion. Supongamos entonces que tenemos ahora dos datos:

dos angulos, dos lados, o un angulo y un lado.

Si conocemos dos angulos de un triangulo, automaticamente conocemos el tercero. Nuevamente es facil ver

que existen muchos triangulos no congruentes que tienen angulos de la misma medida. Basta tomar un triangulo

cualquiera y cortar dos de sus lados por rectas paralelas al tercer lado. Obtenemos ası triangulos que tienen los

mismos tres angulos pero sus lados no tienen obviamente la misma medida, y por lo tanto no son congruentes.

Si conocemos un lado y un angulo, o dos lados tambien podemos construir muchos triangulos no congruentes

que tienen estos datos en comun, como se muestra en la siguiente figura. Les proponemos que construyan otros.

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Por lo tanto necesitamos conocer al menos tres datos sobre los triangulos. Las posibles formas de “agrupar”

tres datos son dos angulos y un lado, dos lados y un angulo, tres lados o tres angulos.

Ya hemos visto que si dos triangulos tienen sus tres angulos congruentes no necesariamente son congruentes,

y por lo tanto esto no constituye un criterio de congruencia.

Supongamos ahora que conocemos la medida de dos lados y un angulo. ¿Cuantos triangulos no congruentes

podemos construir con estos datos? El axioma 17 nos dice que si el angulo es el comprendido entre los lados

dados, todos los triangulos que construyamos seran congruentes entre sı.

¿Que ocure si el angulo que tenemos como dato tiene como lado solo uno de los lados del triangulo de los

que conocemos la medida? Nuestros datos son la medida a y c de dos lados y un angulo α como los de la figura.

Trataremos de ver cuantos triangulos podemos construir con estos datos, de modo que el angulo sea adyacente

solo a uno de los lados dados.

Comenzamos con un punto A cualquiera y con extremo en el construimos, utilizando el compas, un segmento

de la medida c dada. Sea B el extremo del segmento. Sobre la semirrecta−−→AB transportamos el angulo α de

modo que su vertice sea A. Sea−→AY el otro lado del angulo. Con centro en B trazamos una circunferencia de

radio a.

Vemos que la circunferencia interseca a la recta←→AY en dos puntos. Estos dos puntos, llamemoslos C y C ′,

estaran a distancia a de B, con lo cual4

ABC y4

ABC ′ son dos triangulos que tienen dos lados y un angulo

respectivamente congruentes, pero que no son congruentes.

En este caso, α se opone al menor de los dos lados ya que en el ejemplo c > a. Veamos que ocurre cuando

α se opone al lado mayor. Partimos ahora de un punto C y marcamos un punto B tal que BC = a. Con vertice

en C y sobre la semirrecta−−→CB trasladamos el angulo α. Sea

−−→CY el otro lado del angulo α. Trazamos ahora

con centro en B una circunferencia de radio c. Vemos que la circunferencia corta a−−→CY en un unico punto A,

y por lo tanto queda determinado un unico triangulo4

ABC con lados AB = c, BC = a y C = α.

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Concluimos que si dos triangulos tienen dos pares de lados homologos congruentes y los angulos que se oponen

al mayor de los lados tambien son congruentes, entonces los triangulos son congruentes. Este constituye por lo

tanto un criterio de congruencia.

Les poponemos que, siguiendo el procedimiento anterior, intenten construir todos los triangulos no con-

gruentes posibles si se conocen los siguientes datos: la medida de dos angulos y un lado; la medida de tres lados.

Completen la siguiente tabla con las conclusiones que obtengan:

Si se conocen... ¿Cuantos triangulos no congruentes ¿Determina un criterio

pueden construirse? de congruencia?

dos lados y el angulo 1 Sı

comprendido entre ellos

dos lados y el angulo mas de No

opuesto al menor de ellos uno

dos lados y el angulo

opuesto al mayor de ellos

dos angulos y un lado

tres lados

tres angulos

1.1. Ejercicios propuestos

1. En cada ıtem, las mismas marcas sobre angulos o lados indican que son congruentes. Determinar, en

funcion del analisis realizado en esta seccion, si los datos dados en cada caso junto con las propiedades

de las distintas figuras son o no suficientes para determinar que los triangulos indicados son congruentes.

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2. Criterios de congruencia de triangulos

De la actividad propuesta en la introduccion, surge que ademas del axioma 17, existen otros criterios de

congruencia de triangulos. Sin embargo no necesitamos establecer estos criterios como axiomas, ya que pueden

ser deducidos a partir del axioma 17. Dedicaremos esta seccion a enunciarlos adecuadamente y demostrarlos.

Recordemos que dos triangulos4

ABC y4

A′B′C ′ son congruentes si existe una correspondencia s : {A,B,C} →{A′, B′, C ′} entre sus vertices de modo que los pares de lados y angulos homologos para esta correspondencia

son congruentes.

En el desarrollo teorico de esta unidad, cuando trabajemos con triangulos genericos4

ABC y4

A′B′C ′, su-

pondremos, a menos que se especifique de otra manera, que la correspondencia esta dada por s(A) = A′,

s(B) = B′ y s(C) = C ′. En ese caso, resulta

4ABC=c

4A′B′C ′ ⇐⇒ AB = A′B′, AC = A′C ′, BC = B′C ′, A = A′, B = B′, C = C ′.

Finalmente, utilizaremos la siguiente convencion: cuando escribamos4

ABC=c

4DEF supondremos que la

correspondencia esta dada por s(A) = D, s(B) = E y s(C) = F . Ası, AB = DE, AC = DF , B = E, etc.

CRITERIO LAL: (Axioma 17) Si en dos triangulos dos

pares de lados homologos y los angulos comprendidos en-

tre dichos lados son congruentes, entonces los triangulos

son congruentes.

En el dibujo:

AB = A′B′, AC = A′C ′ y A = A′ ⇒4

ABC=c

4A′B′C ′ .

En la unidad anterior hemos visto varias aplicaciones de este criterio. Veremos a continuacion de cada nuevo

criterio que enunciemos algunas aplicaciones y problemas resueltos.

Comenzamos con un resultado muy simple que sera de gran utilidad.

Lema 1. La congruencia de triangulos define una relacion de equivalencia en el conjunto de todos los

triangulos del espacio. Es decir:

1. es reflexiva, o sea, todo triangulo es congruente a sı mismo.

2. es simetrica, o sea, si4

ABC es congruente con4

A′B′C ′, entonces4

A′B′C ′ es congruente con4

ABC.

3. es transitiva, o sea, si4

ABC es congruente con4

A′B′C ′ y si4

A′B′C ′ es congruente con4

A′′B′′C ′′,

entonces4

ABC es congruente con4

A′′B′′C ′′.

Demostracion: Sean4

ABC,4

A′B′C ′ y4

A′′B′′C ′′ tres triangulos.

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1. Consideremos la correspondencia trivial s : {A,B,C} → {A,B,C} tal que s(A) = A, s(B) = B y

s(C) = C. Entonces es claro que los pares de lados y anguos homologos son congruentes, pues en efecto

son coincidentes. Luego4

ABC es congruente consigo mismo.

2. Supongamos ahora que4

ABC es congruente a4

A′B′C ′ y que la congruencia corresponde, sin perdida de

generalidad, a la correspondencia s tal que s(A) = A′, s(B) = B′ y s(C) = C ′. Entonces

t : {A′, B′, C ′} → {A,B,C} tal que t(A′) = A, t(B′) = B y t(C ′) = C es tal que lados y angulos

homologos son congruentes. Luego4

A′B′C ′ es congruente a4

ABC.

3. Finalmente supongamos que4

ABC es congruente a4

A′B′C ′ y4

A′B′C ′ es congruente a4

A′′B′′C ′′ con

correpondencias s y t tales que s(A) = A′, s(B) = B′, s(C) = C ′, y t(A′) = A′′, t(B′) = B′′, t(C ′) = C ′′.

Entonces es facil verificar que los lados homologos y los angulos homologos para la correspondencia

l : {A,B,C} → {A′′, B′′, C ′′} dada por l(A) = A′′, l(B) = B′′ y l(C) = C ′′, son congruentes. Luego4

ABC es congruente a4

A′′B′′C ′′. �

Teorema 2. CRITERIO ALA

Si en dos triangulos un par de lados homologos y los

angulos con vertices en los extremos de dichos lados

son respectivamente congruentes, entonces los triangu-

los son congruentes.

En el dibujo:

AB = A′B′, A = A′ y B = B′ ⇒4

ABC=c

4A′B′C ′ .

Demostracion:

Sean4

ABC y4

A′B′C ′ dos triangulos tales que AB = A′B′, A = A′ y B = B′. Observemos que basta probar

que AC = A′C ′, pues entonces por el criterio LAL resutarıa4

ABC=c

4A′B′C ′ y el teorema estarıa demostrado.

Supongamos, razonando por el absurdo, que AC 6= A′C ′. Entonces AC > A′C ′ o AC < A′C ′.

Si AC > A′C ′, entonces podemos determinar un punto D sobre el segmento AC de modo que AD = A′C ′.

Como D es un punto interior de B, resulta DBA < B, como se muestra en la figura.

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Comparando los triangulos4

ABD y4

A′B′C ′, resultan AB = A′B′ y A = A′ por hipotesis, y AD = A′C ′

por construccion. Luego, por el criterio LAL,4

ABD=c

4A′B′C ′.

Pero entonces ABD = B′, lo cual es absurdo pues B′ = B por hipotesis y ABD < B. El absurdo proviene

de suponer que AC 6= A′C ′, con lo cual debera ser AC = A′C ′ como querıamos probar.

Si suponemos que AC < A′C ′ la demostracion es analoga y se deja como ejercicio. �

Problemas resueltos:

1. Un barco atraviesa un rıo cuyos margenes son paralelos. El barco recorre un total de 4km en lınea

recta y exactamente a mitad de camino deja caer una boya con un ancla que debera recoger otro barco.

El segundo barco sale desde la misma orilla y de un punto a 5km del punto de partida del primero y,

navegando siempre en lınea recta, recoge la boya al cabo de 4km. ¿Que distancia total recorre el segundo

barco al atravesar el rıo? ¿A que distancia del primer barco llega el segundo barco a la otra orilla?

Para resolver el problema, comenzamos analizando bien los datos que nos proporciona y realizamos un

dibujo de la situacion. El rıo corre entre dos margenes paralelos, que modelizaremos con dos rectas

paralelas que llamamos r y s. Denotemos por A y B el punto de partida y de llegada del primer barco

respectivamente. El barco deja caer la boya en un punto, que denotamos con O, exactamente a mitad de

camino. En nuestra modelizacion matematica, esto quiere decir que O es el punto medio del segmento

AB. Sabemos que el barco recorre una distancia total de 4km, o sea que AB = 4km y entonces

AO = OB = 2km.

El segundo barco sale de un punto C de la orilla r. Este punto esta a 5km del punto de partida del primer

barco, lo que quiere decir que AC = 5km. El segundo barco se mueve siempre en lınea recta, pasando

por O. Llega al margen s del rıo en un punto que denotamos por D. Como se mueve siempre en lınea

recta, O ∈ CD. Por ultimo, el barco recoge la boya, que se encuentra en el punto O, al cabo de 4km, lo

que nos indica que CO = 4km. Podemos finalmente realizar el dibujo completo de la situacion.

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Ya hemos modelizado el problema, para resolverlo debemos trabajar con las herramientas matematicas

que disponemos, y al final interpretar los resultados que obtengamos en funcion de lo que cada uno de

los objetos geometricos que tenemos representan en la situacion real.

El problema nos pide averiguar la distancia total que recorre el segundo barco, que en nuestro modelo

viene dada por la longitud del segmento CD. Tambien debemos obtener la distancia entre los puntos de

llegada de ambos barcos, que en nuestro modelo esta representada por la longitud del segmento BD.

Observemos que las restas r y s son paralelas, y por lo tanto ˆCAO = ˆOBD por ser alternos internos entre

r y s cortadas por←→AB. Por otro lado, ˆAOC = ˆBOD por ser opuestos por el vertice y AO = OB = 2km

por hipotesis.

Concluimos que los triangulos4

AOC y4

BOD tienen un lado y los angulos adyacentes a el respectivamente

congruentes. Por el criterio ALA resultan congruentes.

Los lados homologos son AO y BO, OC y OD y AC y BD. Esto implica que OD = OC y AC = BD.

Concluimos que OD = 4km y BD = 5km. Luego el segundo barco recorre un total de 8km (longitud de

CD) y llega a un punto a 5km del primer barco (longitud de BD).

2. Sea ABCD un cuadrilatero tal que BD esta contenido en la bisectriz de los angulos B y D. Demostrar

que AB = BC y AD = CD es un romboide.

Este problema es completamente teorico. Comenzamos analizando los datos: tenemos un cuadrilatero

ABCD de modo que su diagonal es bisectriz de B y D. Luego ˆABD = ˆCBD y ˆADB = ˆCDB.

Comparando los triangulos4

ABD y4

CBD se tiene ˆABD = ˆCBD, ˆADB = ˆCDB y BD es un lado comun

a ambos. Luego, por el criterio ALA ambos triangulos resultan congruentes, y en particular AB = BC y

AD = DC.

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Teorema 3. CRITERIO LLL Si dos triangulos tienen

tres pares de lados homologos congruentes, entonces

los triangulos son congruentes.

En el dibujo:

AB = A′B′, AC = A′C ′ y BC = B′C ′ ⇒4

ABC=c

4A′B′C ′ .

Demostracion:

Sean4

ABC y4

A′B′C ′ dos triangulos tales que AB = A′B′, AC = A′C ′ y BC = B′C ′. Constuiremos un

tercer triangulo que, utilizando criterios distintos, resultara congruente con ambos, lo que implicara que los

triangulos originales son congruentes.

Consideremos un punto D en el semiplano semp←→AB

(¬C) de modo que ˆBAD = ˆB′A′C ′ y AD = A′C ′

(¿por que es esto posible?).

Comparando los triangulos4

BAD y4

B′A′C ′ tenemos AB = A′B′ por hipotesis, y A′ = ˆBAD y AD =

A′C ′ por construccion. Consideremos la correspondencia s : {A′, B′, C ′} → {A,B,D} tal que s(A′) = A,

s(B′) = B, s(C ′) = D. Entonces dos pares de lados homologos para esta correspondencia son congruentes,

y los angulos comprendidos entre ellos en cada triangulo son congruentes entre sı. Luego por el criterio LAL

resulta4

BAD=c

4B′A′C ′. En particular, como BD y B′C ′ son lados homologos, BD = B′C ′. Por hipotesis,

B′C ′ = BC de donde resulta

BD = BC.

Ahora bien, como C y D son puntos en distintos semiplanos de los determinados por←→AB, resulta

←→AB∩CD =

{E}. Existen esencialmente tres opciones: E esta entre A y B, E = A o A esta entre E y B (en realidad

tambien podrıa ocurrir que E = B o que B esta entre A y E, pero estos casos son completamente analogos a

los dos ultimos anteriores).

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Demostraremos el teorema para el caso en que E este entre A y B y dejamos los otros dos como ejercicio. En

este caso, E es un punto interior del angulo C y del angulo D, por lo tanto resultan

C = ˆACE + ˆECB y D = ˆADE + ˆEDB (1)

Pero AC = AD y por lo tanto4

ACD es isosceles. Luego ˆACE = ˆADE. Pero tambien4

CBD es isosceles, pues

CB = DB. Luego ˆECB = ˆEDB. Reemplazando en (1) resulta C = D.

Por lo tanto, si comparamos los triangulos4

ACB y4

ADB tenemos AC = AD, CB = DB y C = D.

Por el criterio LAL4

ABC y4

ABD son congruentes, y como4

ABD es congruente con4

A′B′C ′, resulta que4

ABC=c

4A′B′C ′. �

Utilizaremos los criterios de congruencia para obtener algunas propiedades importantes de los cuadritaleros.

Antes de continuar definiremos los distintos cuadrilateros en funcion de las propiedades que tienen.

Definiciones:

En un cuadrilatero ABCD, los lados AB y CD, y BC y DA se denominan lados opuestos. Un cuadrilatero

ABCD se denomina:

• cuadrado si sus cuatro lados son congruentes entre sı y sus cuatro angulos son rectos.

• rectangulo si sus cuatro angulos son rectos.

• paralelogramo si los pares de lados opuestos son paralelos.

• rombo si los cuatro lados son congruentes entre sı.

• romboide si AB = BC y CD = DA.

• trapecio si tiene un par de lados opuestos paralelos.

Problemas resueltos

1. Probar que en un rombo los angulos opuestos son congruentes.

Consideremos un rombo ABCD. Entonces AB = BC = CD = DA. Tracemos la diagonal AC.

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Comparando los triangulos4

ABC y4

CDA resultan AB = AD y BC = CD por hipotesis, y AC es lado

comun. Consideremos la correspondencia s : {A,B,C} → {C,D,A} tal que s(A) = C, s(B) = D y

s(C) = A. Luego por el criterio LLL resulta4

ABC=c

4CDA. Como B y D son angulos homologos resulta

B = D. Los otros pares de angulos homologos son ˆCAB y ˆDCA, y ˆBCA y ˆDAC. Luego

A = ˆCAB + ˆDAC = ˆDCA+ ˆBCA = C.

2. Probar que un cuadrilatero es un paralelogramo si y solo si los dos pares de lados opuestos son congruentes.

⇐) Consideremos un cuadrilatero ABCD tal que AB = CD y BC = AD, como en la figura.

Si trazamos la diagonal BD y comparamos los triangulos4

ABD y4

CDB tenemos AB = CD y BC = AD

por hipotesis, y BD es un lado comun a ambos triangulos. Luego por el criterio LLL,4

ABD=c

4CDB para

la correspondencia s : {A,B,D} → {C,D,B} tal que s(A) = C, s(B) = D y s(D) = B. Los angulos

homologos son A y C, ˆABD y ˆCDB, y ˆADB y ˆCBD.

En particular resulta ˆABD =cˆCDB. Pero estos angulos son alternos internos entre las rectas

←→AB y

←→DC,

cortados por la transversal←→BD. Como los angulos son congruentes, resulta

←→AB ||

←→DC.

Tambien tenemos ˆADB =cˆCBD, y estos angulos son alternos internos congruentes entre las rectas

←→AD

y←→BC cortadas por la transversal

←→BD. Luego

←→AD ||

←→BC y por lo tanto ABCD es un paralelogramo.

⇒) Supongamos ahora que ABCD es un paralelogramo con←→AB ||

←→DC y

←→AD ||

←→BC.

Si trazamos la diagonal BD, tenemos que los angulos ˆABD y ˆCDB resultan congruentes por ser alternos

internos entre las paralelas←→AB ||

←→DC cortadas por

←→BD. De la misma manera, los angulos ˆADB y ˆCBD

son congruentes (¿por que?).

Comparando los triangulos4

ABD y4

CDB resultan ˆABD = ˆCDB, ˆADB = ˆCBD y BD es un lado

comun. Luego ambos triangulos son congruentes, con la correspondencia dada por s(A) = C, s(B) = D

y s(D) = B. Como AB y CD, y AD y CB son pares de lados homologos, resultan congruentes como

querıamos probar.

Observemos que hemos probado ademas que A = C y B = D. O sea, en todo paralelogramo los angulos

opuestos son congruentes.

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Teorema 4. Criterio LLA Si dos triangulos tienen

dos pares de lados homologos congruentes, y los angu-

los opuestos al mayor de los lados son congruentes,

entonces los triangulos son congruentes.

En el dibujo: AB > AC,

AB = A′B′, AC = A′C ′ y C = C ′ ⇒4

ABC=c

4A′B′C ′ .

Demostracion:

Sean4

ABC y4

A′B′C ′ dos triangulos tales que AB = A′B′, AC = A′C ′, AB > AC y C = C ′.

Para probar la congruencia de los triangulos, bastara mostrar que BC = B′C ′. El teorema entonces sigue

del criterio LAL o del criterio LLL.

Para ello razonaremos por el absurdo. Supongamos que fuese BC 6= B′C ′, entonces BC > B′C ′ o BC <

B′C ′. Supongamos primero que BC > B′C ′, Podemos entonces encontrar un punto D ∈ BC tal que CD =

C ′B′, como en la figura

Los triangulos4

ADC y4

A′B′C ′ resultan congruentes pues AC = A′C ′ y C = C ′ por hipotesis, y CD = C ′B′

por construccion.

Luego AD = A′B′. Pero A′B′ = AB por hipotesis, de donde resulta que4

ADB es un triangulo isosceles. Por

el Pons Asinorum, resulta B = ˆBDA. Pero por ser un angulo exterior a ˆADC resulta ˆBDA = C + ˆDAC > C.

O sea que B > C lo que es absurdo, pues AB > AC y a mayor lado debe oponerse mayor angulo. �

En esta seccion hemos presentado varias aplicaciones de los criterios de congruencia de triangulos. Muchas

de ellas han servido para estudiar propiedades importantes de los cuadrilateros. Proponemos como ejercicio

que prueben algunas mas. Estas propiedades deben recordarse ya que pueden ser utiles para resolver muchos

problemas. Los ejercicios que presentan propiedades teoricas importantes estaran marcados con un asterisco (∗).

En las distintas secciones que componen esta unidad estudiaremos muchas otras aplicaciones de estos

criterios.

Finalizamos esta seccion introduciendo el concepto de congruencia de polıgonos.

Definiciones:

Sean A1A2 · · ·An y A′1A′2 · · ·A′n dos polıgonos de n lados y sea

s : {A1, A2, · · · , An} → {A′1, A′2, · · · , A′n}

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una aplicacion que a cada vertice del primer polıgono le hace corresponder un unico vertice del segundo, de

modo que a vertices distintos de uno le corresponden vertices distintos del otro. Entonces los pares de lados

AiAi+1y s(Ai)s(Ai+1), i = 1, · · · , n− 1, y AnA1 y s(A1)s(An)

se denominan pares de lados homologos para la correspondencia s. Los angulos Ai y ˆs(Ai), i = 1, · · · , n se

denominan pares de angulos homologos para la correspondencia s.

Decimos que los polıgonos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vertices de modo que

los pares de lados homologos y los pares de angulos homologos son congruentes entre sı.

En los ejercicios analizaremos si existen criterios de congruencia de polıgonos.

2.1. Ejercicios propuestos

1.

En la figura,←→BD es la bisectriz de ˆABC y ˆADC.

Demostrar que4

BAD=c

4BCD.

2.

En la figura AB = AC, D es el punto medio de AB, E es el punto medio de

AC, D, F, C y E, F, B son puntos alineados.

Demostrar que4

ABE=c

4ACD y

4DBF=c

4EFC.

3. En la siguiente figura, AD = CF , A = F ,←→BC//

←→DE y A, C D y F estan alineados. Demostrar que

←→AB//

←→EF y que AB = EF .

4.

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En la figura, B ∈ AC, {X} = AE ∩BF ∩ CT , F ∈ TE y

C = ˆCBX,

BX = TX = FX

Probar que AC = TE.

5. En un triangulo4

ABC se tiene AB = BC. Sea X un punto en el semiplano que define←→AB que no contiene

a C, tal que4

ABX es equilatero. Sea M un punto en el semiplano que define←→BC que no contiene al

punto A y tal que4

BMC es equilatero. Demostrar que AM = CX.

6. ∗ Sea ABCD un cuadrilatero. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) ABCD es un paralelogramo, es decir, tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

b) Los lados opuestos de ABCD son congruentes.

c) Los angulos opuestos de ABCD son congruentes.

d) Un par de lados opuestos son congruentes y paralelos.

e) Las diagonales AC y BD se bisecan, es decir, se intersecan en su punto medio.

7. ∗ Demostrar que un paralelogramo con un angulo recto es un rectangulo.

8. ∗ Demostrar que un paralelogramo es un rectangulo si y solo si sus diagonales son congruentes.

9. ∗ Demostrar que un cuadrilatero es un romboide si y solo si sus diagonales se cortan perpendicularmente

en el punto medio de una de ellas.

10. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente la respuesta.

a) Dos cuadrados con un lado en comun son congruentes.

b) Dos rectangulos con un lado en comun son congruentes.

c) Si dos rectangulos tienen un lado y una de las diagonales respectivamente congruentes entonces son

congruentes.

d) Si dos rombos tienen un par de lados homologos congruentes entonces son congruentes.

e) Si dos paralelogramos tienen sus cuatro pares de lados homologos congruentes, entonces son con-

gruentes.

11. Sean A el conjunto de todos los cuadrados de un plano, B el conjunto de todos los rectangulos, C el

conjunto de todos los rombos y D el conjunto de todos los paralelogramos del plano. Graficar todos

los conjuntos utilizando diagramas de Venn donde se evidencien las distintas relaciones de contencion e

interseccion entre ellos.

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12. Demostrar que la congruencia de polıgonos define una relacion de equivalencia. Esto es:

es reflexiva: todo polıgono es congruente a sı mismo;

es simetrica: si un polıgono P es congruente a un polıgono P ′, entonces P ′ es congruente con P .

es transitiva: si un polıgono P es congruente a un polıgono P ′, y P ′ es congruente a P ′′, entonces

P es congruente a P ′′.

13. En la siguiente figura, {H} = EC ∩ AD, {F} = EB ∩ AD, {G} = BD ∩ EC, EB⊥AB, DB⊥BC,

E = D, AB = BC.

a) Probar que A = C y AD = CE.

b) Probar que BGHF es un romboide.

14. Probar que las bisectrices de dos angulos interiores y consecutivos de un paralelogramos son perpendicu-

lares.

15. Demostrar que un cuadrilatero es un rombo si y solo si las diagonales se cortan perpendicularmente en su

punto medio.

3. Area de figuras planas

En esta seccion determinaremos que entendemos por el area de una figura plana. Esta es una forma de medir,

y la definiremos de manera similar a como ya hemos hecho con la longitud y la medida angular. Repasaremos por

lo tanto cuales son las propiedades que la caracterizan en situaciones reales concretas y veremos como podemos

modelizarlas para crear nuestra teorıa matematica.

Supongamos que queremos pintar un paredon de 12m de largo por 3m de alto. Necesitamos saber cuantos

litros de pintura debemos comprar, para que no sobre demasiado pero que tampoco falte. Una forma de hacerlo

serıa comprar una lata, ver hasta cuanto nos dura, cuando se termina comprar otra y ası sucesivamente hasta

terminar la pared. Sin embargo, nos interesa mantener un registro mas preciso que nos permita preveer la

cantidad de pintura a utilizar no solo en este caso, si no cada vez que debamos pintar otra pared.

75

Una forma posible de proceder es la siguiente. Pintamos un cuadrado de un metro de largo por un metro

de alto en la pared, y vemos cuantos litros de pintura necesitamos para esto. Supongamos que hacen falta 0, 2

litros de pintura para pintar este cuadrado. Ahora cubrimos la pared con cuadrados congruentes a este de modo

de no dejar espacios descubiertos pero que dos de estos cuadrados coincidan en a lo sumo un lado, o sea, los

colocamos sin superponerlos. Llegaremos a la conclusion que necesitamos 36 cuadrados para cubrir la pared, y

por lo tanto necesitaremos 7, 2 litros de pintura.

Si ahora debemos pintar una pared de 2m por 2m, podremos cubrirla con 4 cuadrados de 1m por 1m y

necesitaremos 0, 8 litros.

Se hace evidente que este cuadrado sirve para medir, de la misma manera que un segmento fijo nos servıa

como unidad para a partir de el determinar la longitud de cualquier otro segmento. Esta nueva forma de medir

se denominara area.

La medida del cuadrado que tomamos en el ejemplo es irrelevante, en realidad el cuadrado constituye una

unidad en sı mismo. Por ejemplo, si conocemos un cuadrado como el de la figura, y decimos que el tiene un

area de una unidad, ¿que area tendran las siguientes figuras?

Tambien es claro que si partimos el rectangulo en dos triangulos congruentes, el area del cada triangulo sera

la mitad de la del rectangulo.

Basicamente, determinar el area de una figura plana consistira en ver cuantas veces entra un cuadrado, que

denominamos unidad, en la figura plana.

Antes de determinar el resultado que nos permita definir correctamente el area, observemos que debe

cumplirse ademas un principio basico: si una figura se corta en un numero cualquiera de piezas que se reacomodan

en su totalidad, como un rompecabezas, para formar una nueva figura, el area de esta es la misma que el area

de la primera. Lo vemos en el siguiente ejemplo:

76

Comenzamos dando algunas definiciones.

Definiciones:

• Dada una figura plana F , decimos que una coleccion de polıgonos {F1, F2, · · · , Fn} es una subdivision

de F si F es la union de todos ellos, y dos cualesquira de ellos no tienen puntos interiores en comun, es decir,

si se intersecan, lo hacen en puntos de sus lados.

• Una figura plana se denomina simple si admite una subdivision en polıgonos.

El siguiente resultado garantiza que existe una funcion de area que cumple las propiedades que buscamos.

Su demostracion escapa los objetivos de este curso y por lo tanto no la haremos. El lector interesado puede

consultarla en Elementary geometry from an advanced standpoint, Edwin E. Moise, Editorial Adisson-Wesley

Teorema 5. Supongamos que tenemos dada una medida de longitud l en un plano. Existe una unica

funcion A, que denominamos area que a cada figura plana F ∈ F le asigna un numero real positivo que

verifica:

1. Si C es un cuadrado de lado de longitud a, entonces A(C) = a2

2. Si F y F ′ son polıgonos congruentes, entonces A(F ) = A(F ′).

3. Si {F1, F2, · · · , Fn} es una subdivision de una figura plana F , entonces

A(F ) = A(F1) +A(F2) + · · ·+A(Fn).

Las dos ultimas propiedades implican que si dos figuras planas admiten subdivisiones formadas por polıgonos

congruentes, entonces tienen igual area. Esta es la propiedad de “rearmar un rompecabezas” de modo que el

area se conserva. En la figura del inicio de la pagina anterior, vemos por ejemplo que el area del paralelogramo

inicial es igual al area del rectangulo final.

El cuadrado C cuyo lado tiene longitud igual a 1 se denomina cuadrado unidad o unidad de area.

Ası, si tomamos el cuadrado C de la figura como unidad, el rectangulo que se muestra tiene un area de doce

unidades, mientras que si tomamos el cuadrado C ′, el rectangulo tendra un area de tres unidades. Obviamente

estas funciones de areas que tienen distintos cuadrados como unidad de area provienen de distintas funciones

de longitud (cada una de ellas toma el lado del correspondiente cuadrado como segmento unidad).

77

Las unidades de area asociadas a las distintas unidades de longitud tienen nombres particulares. Por ejemplo

si tomamos el metro como unidad de longitud, una unidad de area sera un cuadrado de un metro de lado.

Este cuadrado tiene obviamente area 1 para la funcion de area asociada al metro. Para hacer mas evidente esta

relacion, decimos que el cuadrado tiene area de un metro cuadrado, que denotamos 1m2.

De la misma manera, si tomamos como unidad de area un cuadrado de un centımetro de lado, su area es 1,

pero para evidenciar que la funcion de area que utilizamos esta asociada al centımetro como unidad de longitud,

decimos que es un centımetro cuadrado, y lo denotamos 1cm2. Podemos hacer lo mismo con cualquier unidad

de longitud.

Calcularemos ahora el area de triangulos y cuadrilateros. No existe en general una formula para el area de

un polıgono o una figura plana arbitraria, pero utilizando el “principio del rompecabezas” podremos calcularla

a partir de las anteriores.

De ahora en mas supondremos que estamos trabajando con una unidad de longitud fija, y la unidad de

area es la asociada a esta unidad de longitud, sin importar cual sea esta. Comenzamos calculando el area del

rectangulo:

Teorema 6. El area de un rectangulo de lados de longitudes a y b es ab.

Demostracion:

Consideremos un ractangulo R de lados a y b, y construyamos un cuadrado C de lado a + b como en la

figura.

Si llamamos R2 al otro rectangulo de lados b y a, C1 al cuadrado de lado a y C2 al cuadrado de lado b,

tenemos que {R, R2, C1, C2} es una subdivision de C, y por lo tanto

A(C) = A(R) +A(R2) +A(C1) +A(C2). (2)

Ahora bien, R y R2 son rectangulos congruentes pues tienen lados de la misma longitud, y sus angulos son

trivialmente congruentes pues son todos rectos. Luego por el Teorema 5, resulta A(R) = A(R2). Tambien por

78

el Teorema 5, resultan A(C) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, A(C1) = a2, A(C2) = b2. Reemplazando en (2)

tenemos:

a2 + 2ab+ b2 = 2A(R) + a2 + b2 ⇒ A(R) = ab

como querıamos probar. �

Determinaremos ahora la formula para el area de un triangulo.

Definiciones:

• Sea4

ABC un triangulo. Trazamos la unica recta perpendicular al lado AB que pasa por C. Esta recta

corta a←→AB en un punto D, denominado pie de la perpendicular. Se denomina altura de

4ABC recpecto de

la base AB al segmento DC y a su medida. A su medida generalmente se la denota por la letra h.

Si repetimos este procedimiento determinamos de manera analoga las alturas de4

ABC respecto de las bases

BC y AC. Por lo tanto todo triangulo tiene tres alturas.

Teorema 7. El area de un triangulo es la mitad del producto de la medida de cualquiera de sus bases por

la altura correspondiente. Solemos escribir:

A(4

ABC) =bh

2

Demostracion:

Tomaremos como base el lado AB. Debemos analizar tres casos como se muestra en la figura anterior: que

el pie D de la perpendicular a←→AB por C coincida con A, que este entre A y B, o que no pertenezca a AB.

En el primer caso,4

ABC es un triangulo rectangulo, pues como D = A resulta AC ⊥ AB. Trazamos por

C una paralela a AB y por B una paralela a AC que se cortan en un punto E. Entonces no es difıcil ver que

el cuadrilatero ABEC determinado es un rectangulo (¡probarlo!).

79

Si comparamos los triangulos4

ABC y4

CEB, ambos triangulos tienen, por construccion, lados de la misma

longitud. Por el criterio LLL resultan congruentes, y por el Teorema 5 tendran entonces la misma area.

Por otro lado, {4

ABC,4

CEB} es una subdivision del rectangulo ABEC. Por lo tanto resulta:

AB ·AC = A(ABEC) = A(4

ABC) +A(4

CEB) = 2A(4

ABC) ⇒ A(4

ABC) =1

2AB ·AC.

Analicemos ahora el caso en que D esta entre A y B. En este caso,4

ADC y4

BDC son triangulos rectangulos

en D y por lo tanto A(4

ADC) = 12AD · h y A(

4BDC) = 1

2DB · h. Ademas {4

ADC,4

BDC} es una subdivision

de4

ABC y por lo tanto

A(4

ABC) = A(4

ADC) +A(4

BDC) =1

2AD · h+

1

2DB · h =

1

2(AD +DB) · h =

AB · h2

Analicemos finalmente el caso en que D /∈ AB. Si consideremos el triangulo rectangulo4

BDC, tenemos que

{4

ADC,4

ABC} es una subdivision de4

BDC y por lo tanto

1

2DB · h = A(

4BDC) = A(

4ADC) +A(

4ABC) =

1

2DA · h+A(

4ABC)

de donde obtenemos que

A(4

ABC) =1

2DB · h− 1

2DA · h =

1

2AB · h

como querıamos probar. �

Definiciones:

• Dado un paralelogramo, se denomina altura del paralelogramo respecto de uno de sus lados, a la medida

de la altura del triangulo cuyos vertices son los vertices del lado dado y uno de los vertices del lado opuesto.

Cada uno de los lados se denomina tambien una base del paralelogramo.

Siguiendo la definicion anterior, fijada una base del paralelogramo, a esta base le corresponden dos alturas,

dependiendo de cual de los vertices del lado opuesto consideremos. Para que la definicion tenga sentido, debemos

probar que ambas alturas son congruentes.

Sea ABCD un paralelogramo, consideremos la base DC y sean E y F los pies de las perpendiculares a←→DC por A y B respectivamente.

80

Observemos que al ser←→DC paralela a

←→AB resultan AB ⊥ AE y AB ⊥ BF . Por lo tanto esl cuadrilatero EFBA

es un rectangulo, de donde AE = BF .

Teorema 8. El area de un paralelogramo es el producto de la medida de una base por la altura correspon-

diente.

Demostracion:

Consideremos un paralelogramos ABCD y sea E el pie de la perpendicular a←→CD por A.

Tracemos la diagonal AC de ABCD. Entonces por el criterio LLL los triangulos4

ABC y4

CDA resultan

congruentes, y por lo tanto tienen el mismo area. Ademas el conjunto formado por ellos dos constituye una

subdivision del paralelogramo. Pero la altura AE del paralelogramo es tambien altura del triangulo4

CDA y por

lo tanto

A(ABCD) = 2A(4

CDA) = 2 · CD ·AE2

= CD ·AE

como querıamos probar. �

Definiciones:

• Dado un trapecio, los lados paralelos se denominan bases del trapecio. La base de mayor longitud se

denomina base mayor y su longitud se denota B y la de menor longitud base menor y su longitud se denota

como b.

• Se denomina altura del trapecio respecto de una de sus bases, a la medida de la altura del triangulo cuyos

vertices son los vertices de la base y uno de los vertices de la base opuesta.

Dejamos como ejercicio la prueba de los siguiente teoremas, con las figuras como guıa:

Teorema 9. El area de un trapecio T de bases B y b y altura h es

A(T ) = (B + b) · h2

Definiciones:

• Dado un rombo o un romboide, la diagonal de mayor longitud se denomina diagonal mayor y su longitud

se denota D. La diagonal de menor longitud se denota diagonal menor y su longitud se denota d.

81

Teorema 10. El area de un rombo o un romboide R de diagonales D y d es

A(R) = D · d2

Problemas resueltos

1. Una pileta tiene un area total de 340m2 y esta formada por un rectangulo para los adultos y un trapecio

para los ninos como en la figura. ¿Cual es el area de cada zona de la pileta? ¿Cual es la longitud de la

pileta para adultos?

Denotemos por A la pileta para adultos y por N la pileta para ninos. N es un trapecio de base mayor de

longitud 15m, base menor de 5m y altura 4m. Por lo tanto

A(N) =(15 + 5) · 4

2m2 = 40m2.

Por otra parte, si denotamos por P a la pileta completa, tenemos A(P ) = A(A) + A(N), de donde

340m2 − 40m2 = A(A).

Luego el area del sector para adultos es de 300m2 y el del sector para ninos es de 40m2.

Responderemos ahora a la segunda pregunta. Denotemos por l la longitud del lado de la pileta para

adultos. Entonces A(A) = l · 15 = 300, de donde l = 20m.

2. Sea ABCD un rectangulo de area 8cm2. Sean E y F los puntos medios de los lados BC y CD respec-

tivamente. ¿Cual es el area de4

AEF?

82

Supongamos que los lados del rectangulo miden AD = a y AB = b. Entonces ab = A(ABCD) = 8. Por

otra parte,

A(4

AEF ) = A(ABCD)−A(4

FCE)−A(4

ABE)−A(4

ADF ).

Por otra parte, EB = a2 , FC = FD = b

2 . Luego A(4

ECF ) =a2

b22 = ab

8 , A(4

ABE) =a2b

2 = ab4 y

A(4

ADF ) =a b22 = ab

4 .

Por lo tanto,

A(4

AEF ) = ab− ab

8− ab

4− ab

4=

3

8ab =

3

88 = 3.

3. Sea ABCD un cuadrilatero convexo de area 10cm2 y sea E el punto medio de la diagonal AC. Calcular

el area de ABED.

Observemos que el area del cuadrilatero ABCD se obtiene como la suma de las areas de los triangulos4

ACD y4

ACB. Denotemos por a y a′ las alturas respectivas de estos triangulos respecto del lado comun

AC. Tenemos entonces:

10 = A(ABCD) = A(4

ACD) +A(4

ACB) =AC · a

2+AC · a′

2=AC · (a+ a′)

2

Por otra parte, A(ABED) = A(4

AED) +A(4

AEB). Observemos que estos dos triangulos tienen alturas

a y a′ respectivamente respecto del lado comun AE. Como ademas AE = 12AC, se tiene:

A(ABED) = A(4

AED) +A(4

AEB) =AE · a

2+AE · a′

2=AE · (a+ a′)

2=

1

2

AC · (a+ a′)

2= 5

3.1. Ejercicios propuestos

1. Calcular en cada caso el area de la figura sombreada expresandola en cm2, en dm2 y en m2, si a = 8cm,

b = 1dm y c = 0, 05m.

83

2. Una hectarea es el area de un cuadrado de 100m de lado, y de denota 1ha. En un campo rectangular

de 250ha esta atravesado diagonalmente por un rıo. De un lado del rıo, se siembra 2/5 del terreno con

maız. Del otro margen del rıo, se siembra una tercera parte del terreno con girasol. El resto se detina al

pastoreo.

a) ¿Cuantas hectareas se destinan al pastoreo?

b) Si se cosechan 335040kg de maız, ¿Cual es el rendimiento promedio por hectarea?

3. Para embaldosar un patio rectangular de 12m por 6m con baldosas cuadradas pueden utilizarse baldosas

de 30cm de lado a $15 el metro cuadrado, o baldosas de 35cm de lado a $14, 50 el metro cuadrado. ¿Cual

de las dos opciones es mas barata?

4. Sean r y s dos rectas paralelas distintas. Sean A y B dos puntos distintos sobre r y C y D dos puntos

distintos sobre s. Demostrar que A(4

ABC) = A(4

ABD).

5. Sea4

ABC un triangulo escaleno de area 7. Se construye el triangulo4

XY Z de la siguiente manera: X es el

punto de la semirrecta−−→AB tal que AX = 2AB; Y es el punto de la semirrecta

−−→BC tal que BY = 3BC;

Z es el punto en la semirrecta−→CA tal que CZ = 4CA. Hallar el rea del tringulo

4XY Z.

6. Dado un triangulo4

ABC, sea D el punto medio del lado AB. Determinar el area de4

ADC en funcion de

A(4

ABC).

7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triangulo isosceles son con-

gruentes entre sı.

8. Sea ABCD un paralelogramo y sea P un punto cualquiera del lado CD. Probar que A(4

ABP ) =12A(ABCD).

9. Sea ABCD un cuadrilatero convexo de area 10cm2. Sean E y F los puntos medios de los lados AB y

BC respectivamente. Calcular el area de EBFD.

10. Sea ABCD un cuadrilatero de area 20cm2. Determinar el area sombreada en la figura correspondiente

si:

a) ABCD es convexo, E, F, G y H son los puntos medios de los lados.

b) ABCD es un rectangulo y E y F son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente.

84

11. Demostrar las formulas para calcular el area de un trapecio y de un romboide.

12. En el plano hay dibujado un rectangulo y tres hormigas estan paradas en tres de sus vertices (una en cada

vertice). Las hormigas se mueven por turnos. En cada turno, una hormiga se mueve por el plano y las

otras dos se quedan quietas. La hormiga que se mueve camina siguiendo la lınea recta que es paralela a la

lınea determinada por las dos hormigas que estan quietas en ese turno. Es posible que, despues de algunos

turnos, las tres hormigas se encuentren ubicadas en los puntos medios de tres lados del rectangulo?

Aclaracion: La distancia que recorre una hormiga en cada turno puede ser variable.

4. El Teorema de Pitagoras

El Teorema de Pitagoras constituye uno de los resultados mas famosos de la matematica. Coloquialmente,

establece que “en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de

los catetos”. Es ademas el teorema del que mas demostraciones se han publicado (en el libro Pythagorean

Proposition, de Elisha Scott Loomis, aparecen 377 demostraciones).

A pesar de que el resultado se atribuye a Pitagoras de Samos, era ya conocido anteriormente al menos

por los egipcios que lo utilizaban constantemente para realizar mediciones. Es un ejemplo perfecto del salto

cualitativo que realizaron los griegos en matematica: comienzan a demostrarse rigurosamente resultados que

hasta el momento se conocıan empıricamente. Pitagoras de Samos fue un matematico que fundo una escuela

mıstica en Crotona, actualmente en el sur de Italia. Se cree que estudio con Thales de Mileto y viajo por Egipto

y Babilonia antes de fundar su hermandad. En general se habla de los pitagoricos, y los resultados que se

atribuyen a Pitagoras deben atribuirse a los miembros de su grupo, fundado en 585 a.C. y que perduro hasta

aproximadamente el 400 a.C.

Por los desarrollos de la logica en tiempos de Pitagoras es poco probable que el mismo haya dado una

demostracion del teorema que lleva su nombre, aunque es probable que los pitagoricos lo demostraran hacia el

final del perıodo en que estuvo activa la escuela.

La importancia de los pitagoricos es que fueron los primeros en insistir que el mundo podıa describirse

perfectamente por medio de la matematica, y que las ideas matematicas eran eso, ideas, y que sus realizaciones

fısicas no eran mas que modelos de esas ideas (para los egipcios, por ejemplo, una recta no era mas que una

cuerda tendida).

La historia de la hermandad pitagorica es de las mas interesantes y misteriosas de la historia de la matematica,

probablemente porque sabemos muy poco de ellos lo que da lugar a muchas especulaciones sobre el caracter

mıstico de la misma. Para mas detalles sobre este y otros temas recomendamos los libros El pensamiento

matematico de la antiguedad a nuestros dıas, de Morris Kline, o Historia de las matematicas de Ian Stewart.

Una buena descripcion de como funcionaba el ritual de la hermandad pitagorica aparece en la novela El teorema

del loro, de Denis Guedj, y un recuento de la historia matematica relacionada con el teorema de Fermat, y que

incluye una muy linda descripcion de la vision numerica que los pitagoricos tenıan del mundo, puede encontrarse

en el libro El ultimo teorema de Fermat, de Simon Singh.

Dedicaremos esta seccion a dar una de las tantas demostraciones del Teorema de Pitagoras, utilizando el

area de figuras planas como herramienta. Demostraremos ademas su recıproco, menos famoso pero igualmente

85

util.

Teorema 11. Teorema de Pitagoras. En todo triangulo rectangulo, la suma de los cuadrados de los catetos

es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostracion:

Sea4

ABC un triangulo de catetos a y b e hipotenusa c. Construimos un cuadrado de lado a + b de modo

que el vertice del angulo recto C de4

ABC sea uno de los vertices del cuadrado y los vertices A y B esten sobre

los lados del cuadrado. Sean D, E y F los otros vertices del cuadrado tal que B esta entre C y D y A esta

entre C y F , como se muestra en la siguiente figura.

Por construccion CB = a y por lo tanto BD = b, y CA = b y por lo tanto AF = a. Consideremos los

puntos G y H tales que G ∈ DE y DG = a, H ∈ FE y FH = b. En consecuencia GE = b y HE = a.

Comparando los triangulos ,4

ACB,4

BDG,4

GEH y4

HFA, todos resultan congruentes entre sı pues todos

tienen un angulo recto comprendido entre dos lados de medidas a y b (criterio LAL). Por lo tanto se tiene

AB = BG = GH = HA = c.

Ademas, el area de todos ellos es igual al area de4

ACB que a su vez es

A(4

ACB) =ab

2.

Por otra parte, estos cuato triangulos junto con el cuadrilatero ABGH constituyen una subdivision de CDEF .

Por lo tanto:

(a+ b)2 = A(CDEF ) = 4A(4

ACB) +A(ABGH) = 2ab+A(ABGH). (3)

Demostraremos ABGH que es un cuadrado. Observemos que ABGH es un paralelogramo pues tiene los

dos pares de lados opuestos congruentes. Nos bastara probar que tiene al menos un angulo recto (¿por que?).

Observemos que ˆCAB+ ˆCBA = 1llano−C = 1R. Por otra parte ˆCBA = ˆHAF y ˆCAB+ ˆBAH+ ˆHAF =

1llano, de dondeˆBAH = 1llano− ( ˆCAB + ˆHAF ) = 1R.

86

Concluimos que ABGH es un cuadrado y por lo tanto A(ABGH) = c2. Reemplazando en (3) resulta

(a+ b)2 = 2ab+ c2

de donde obtenemos a2 + b2 = c2 como querıamos probar. �

Teorema 12. Recıproco del Teorema de Pitagoras. Sea4

ABC un tiangulo de lados a, b y c tales que

a2 + b2 = c2. Entonces4

ABC es rectangulo en C.

Demostracion:

Sea4

ABC un triangulo de lados a, b y c con c =√a2 + b2. Construyamos un triangulo

4A′B′C ′ rectangulo

en C ′ tal que C ′A′ = b y C ′B′ = a. Si aplicamos el Teorema de Pitagoras a4

A′B′C ′, resulta A′B′ =√C ′A′2 + C ′B′2 =

√a2 + b2 = c.

Aplicando el criterio LLL,4

ABC y4

A′B′C ′ resultan congruentes y por lo tanto4

ABC es rectangulo en C. �

87

4.1. Ejercicios propuestos

1. Determinar si los numeros a, b y c dados en cada caso pueden o no ser las medidas de los lados de un

triangulo rectangulo.

a) a = 50cm, b = 30cm, c = 40cm;

b) a = 9cm, b = 10cm, c = 5cm;

c) a = 15cm, b = 9cm, c = 12cm;

d) a = 13cm, b = 6cm, c = 11cm.

2. Una industria construye bastidores para colocar telas para pintura de 80cm por 60cm. Para reforzarlos se

utlizan dos barillas de pino que se colocan en las diagonales. Las barillas se obtienen cortando tirantes de

pino que miden 2, 10m de largo. ¿De cada tirante pueden obtenerse refuerzos para cuantos bastidores?

3. Sea4

ABC un triangulo isosceles con AB = BC.

a) Demostrar que el pie de la altura correspondiente al lado AC es el punto medio de AC.

b) Calcular el area de4

ABC si AC = 22cm y BC = 13.

4. Un trapecio en el cual los lados no paralelos son congruentes se denomina trapecio isosceles. Calcular el

area de un trapecio isosceles si sus lados paralelos miden 5cm y 11cm, y los lados congruentes no paralelos

miden 4cm.

5. Un trapecio isosceles tiene 63cm de perımetro, los lados no parelelos miden 12cm y la base mayor es igual

al doble de la base menor. Determinar su area.

6. Determinar la longitud de la altura de un triangulo equilatero de lado 2.

7. Determinar una formula para calcular el area de un triangulo equilatero de lado l.

8. Un cuadrado y un triangulo equilatero tienen el mismo perımetro, y la diagonal del cuadrado mide 1.

Calcular el area del triangulo.

9. En un cuadrado ABCD de lado 1 se inscribe un triangulo equilatero4

AEF . Determinar su area.

88

10. Ambos cuadrilateros de la figura son romboides y d(A,A′) = d(B,B′) = d(C,C ′) = d(D,D′) = 5cm.

ABCD tiene diagonales de 25cm y 45cm. Calcular el area de la figura sombreada.

11. En la siguiente figura ambos cuadrilateros son cuadrados y todos los triangulos son isosceles. Determinar

el area de la figura sombreada si el cuadrado mayor tiene diagonales de 55dm y el perımetro del cuadrado

del centro es 4m.

12. En un cuadrado se traza una perpendicular a uno de los lados que pase por el punto de interseccion de

las diagonales. La longitud del segmento que va desde este punto al pie de la perpendicular trazada es de

7cm. Determinar el area del cuadrado.

89