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Congruencia de triángulos. 1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC DEF , entonces: ; ; AB FD AC DE BC FE ; ; A D B F C E Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si ; ; AB DF BC FE B F Entonces ABC DEF DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes. ; AB DE BC EF ABC DEF

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Congruencia de triángulos. 1

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos.

Si ABC DEF , entonces:

; ;AB FD AC DE BC FE

; ; A D B F C E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.

Si

; ; AB DF BC FE B F

Entonces ABC DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

;AB DE BC EF ABC DEF

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Congruencia de triángulos. 2

TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

TESIS: CAB CBA

RAZÓN AFIRMACIÓN

1. En CA se toma un punto D y en CB se

toma un punto E, tal que CD CE 1. Postulado de construcción de segmentos

2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento

3. CA CB 3. De hipótesis

4. CD CE 4. De 1. Construcción.

5. C C 5. Propiedad reflexiva

6. CAE CBD 6. L – A – L. De 3, 4, 5

7. CAE CBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

8. CD CE 8. De 1

9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9

11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa

12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes

13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L – A – L

14. EAB DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.

HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero

TESIS: A B C

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Congruencia de triángulos. 3

TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.

HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB

ABC es isósceles con CA CB A – D – B

TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA CB 1. De hipótesis.

2. 1 2 2. De hipótesis. Definición de bisectriz.

3. CD CD 3. Propiedad reflexiva

4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L

5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. D punto medio de AB 6. De 5. Definición de punto medio

7. CD es mediana 7. De 6. Definición de mediana

8. CDA CDB 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal

10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.

11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales

12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad

13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura

14. CD es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

HIPÓTESIS:

; ;A P AB PQ B Q

TESIS: ABC PQR

NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.

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Congruencia de triángulos. 4

TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

HIPÓTESIS:

AB DE

AC DF

BC EF

TESIS: ABC DEF

1. En el semiplano de borde AB que no

contiene a C, se traza AP , tal que

y BAP D AP DF

1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.

2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento

3. AB DE 3. De hipótesis.

4. APB DEF 4. De 3 y 1. L – A – L

5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

6. PB EF BC 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva

7. PBC es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles

8. BCP BPC

8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

9. AP DF AC 9. De hipótesis y de 1

10. CAP es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles.

11. ACP APC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adición de ángulos.

13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adición de ángulos

14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en 13

15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva

16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L – A – L

17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

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Congruencia de triángulos. 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son

congruentes.

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC

y CEBD son bisectrices

TESIS: CEBD

1. m ACB m ABC 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.

2.

2

m ACBm DBC 2. De hipótesis. Definición de bisectriz

3.

2

m ABCm ECB 3. De hipótesis. Definición de bisectriz

4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.

5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.

6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A – L – A

7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.

Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC

HIPÓTESIS: K es punto medio de AB

K es punto medio de CD

TESIS: AC BD y AD BC

1. K es punto medio de AB 1. De hipótesis

2. AK KB 2. De 1. Definición de punto medio

3. K es punto medio de DC 3. De hipótesis.

4. CK KD 4. De 3. Definición de punto medio.

5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vértice.

6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L

7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.

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Congruencia de triángulos. 6

HIPÓTESIS: ABC es equilátero.

AE BF CD

TESIS: EFD es equilátero.

1. A B C 1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.

2. AE BF CD 2. De hipótesis.

3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa

7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L – A – L

8. DE EF FD

8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero

HIPÓTESIS: DE AE

;DE EC AE EB

D A

D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

1. D A 1. De hipótesis.

2. DE AE 2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.

4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A – L – A

5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 7

6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento

7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva

8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes

9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A – L – A

10. C B 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento

12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes

13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos

14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB EF

DB LF

AC y EH son medianas

AC EH

TESIS: LEF ABD

1. LF DB 1. De hipótesis.

2. AC y EH son medianas 2. De hipótesis

3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana

4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definición de punto medio

5. ( )

( )2

m LFm HF y

( )( )

2

m DBm CB 5. De 4. Definición de punto medio.

6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva

7. ;EH AC EF AB 7. De hipótesis

8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L – L – L

9. F B 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L – A – L

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Congruencia de triángulos. 8

HIPÓTESIS: CA CB

DA DB C – E – D ; A – E – B

TESIS: AB CD

1. AC BC 1. De hipótesis.

2. ABC es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.

3. 1 2 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes

4. AD BD 4. De hipótesis.

5. ADB es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.

6. 3 4 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adición de ángulos.

8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adición de ángulos

9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.

11. CAD CBD 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L

12. ACD DCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz

14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura.

15. CE AB 15. De 14. Definición de altura.

16. CD AB 16. De 15 y de hipótesis C – E – D

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Congruencia de triángulos. 9

HIPÓTESIS: AB AF

AC AE A – B – C; A – F – E

TESIS: 1)BE CF

2)AD es bisectriz de CAE

1. AB AF 1. De hipótesis

2. A A 2. Propiedad reflexiva

3. AC AE 3. De hipótesis

4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

6. BC AC AB 6. Resta de segmentos

7. FE AE AF 7. Resta de segmentos.

8. FE AC AB 8. Sustitución de 1 y 3 en 7.

9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.

10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

11. CBD es el

suplemento de ABE

11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios

12. DFE es el

suplemento de AFC

12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios

13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.

14. C E 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A – L – A

16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.

18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L – L – L

19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

20. AD es bisectriz de

CAE

20. De 19. Definición de bisectriz.

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Congruencia de triángulos. 10

PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( )

2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( )

3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( )

4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados

congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un

lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados

congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados

correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura se tiene que:

AG GE ED FG GB BC .

Demostrar que: D C

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Congruencia de triángulos. 11

2.

HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB

TESIS: 1) ACD BCD

2) CA CB

3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

4.

HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E

TESIS: EAD BAC

5.

HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD

A – C – E

TESIS: 1)

2)

BC CD

BCE DCE

6.

HIPÓTESIS: ABC es equilátero

AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.

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Congruencia de triángulos. 12

7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto

medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8.

HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D – F – H – B

ED EA

DE EC

AE EB D A

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

9.

HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF

TESIS: EH EC

10.

HIPÓTESIS: B es punto medio de AC

;AD CE BD BE

TESIS: 1)

2) es isosceles.

E D

APC

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Congruencia de triángulos. 13

11.

HIPÓTESIS:

AB AF

BD DF

BAC FAE

TESIS: 1)

2)

AC AE

BC FE

12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado

AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se

puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta. 14.

HIPÓTESIS: AE BC

AC BE

TESIS: 1)

2) es isosceles

DEA DCB

ABD

15.

HIPÓTESIS: 1 2

3 4

A – E – C y D – E – B

TESIS: 1)

2)

AE EC

DE AC

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Congruencia de triángulos. 14

16.

HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF

TESIS: 1)

2)

B F

DC DE

SUGERENCIA: Trazar AD

17.

HIPÓTESIS:

OED ODE

A C

AE DC

TESIS: 1)

2)

BF BH

OF OH

18.

HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB

TESIS: 1)

2)

EAD CAD

ED CD

19.

HIPÓTESIS: EAD CAD

AF AB

TESIS: 1)

2)

DF DB

EF CB

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Congruencia de triángulos. 15

20.

HIPÓTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR

TESIS: 1)

2)

BSA DRS

PR PS

21.

HIPÓTESIS: BD es mediana

;AE BF CF BF

TESIS: AE CF

22.

HIPÓTESIS: y son medianas

AC AE

CF EB

TESIS: AD CE

23.

HIPÓTESIS: ;AB BC DC BC

ABD DCA

TESIS: ABC DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.

25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC

se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB

26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo

equilátero forman otro triángulo equilátero.

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Congruencia de triángulos. 16

27.

HIPÓTESIS: ;TR TS PR PS

TESIS: TRP TSP

28.

HIPÓTESIS: A – B – C – D

1 2

AB CD

TESIS: A D

29.

HIPÓTESIS: AB AC

BD CE

TESIS: 1)

2)

ACD ABE

BDC CEB

30.

HIPÓTESIS: biseca a CE BF

TESIS: C E

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Congruencia de triángulos. 17

31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se

toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH

SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura se tiene que:

AG GE ED FG GB BC .

Demostrar que: D C

1. AG GE ED FG GB BC 1. De hipótesis

2. AD AG GE ED 2 Suma de segmentos

3. FC FG GB BC 3 Suma de segmentos

4. FC AG GE ED Sustitución de 1 en 3

5. AD FC 5 De 2 y 4, propiedad transitiva

6. AGB FGE 6. Ángulos opuestos por el vértice

7.GA GE GB GF 7 De 1

8. AGB FGE 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L

9. F A 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

10. FE AB 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

11. FEC ABD 11. De 10, 9 y 5, L – A – L

12. D C 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 18

2.

HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB

TESIS: 1) ACD BCD

2) CA CB

1. AD DB 1. De hipótesis

2. D es punto medio de

AB

2. De 1, definición de punto medio

3. CD es mediana 3. De 2, definición de mediana

4. CD es altura 4. De hipótesis

5. ABC es isósceles 5. De 3 y 4, por ser una mediana también altura

6. CD es bisectriz 6. De 5, 3 y 4, en un triángulo isósceles la altura sobre la base es también bisectriz.

7. ACD BCD 7. De 6, definición de bisectriz

8. CA CB 8. De 5, definición de triangulo isósceles.

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Congruencia de triángulos. 19

3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

HIPÓTESIS ABC es isósceles

y AD BE son medianas

TESIS AD BE

1. ABC es isósceles 1. De hipótesis

2. CA CB 2. De 1, definición de triangulo isósceles

3. AD es mediana 3. De hipótesis

4. D es punto medio de

CB

4. De 3, definición de mediana

5. BE es mediana 5. De hipótesis

6. E es punto medio de

CA

6. De 5, definición de mediana

7. AE BD 7. De 6, 4 y 2, por ser mitades de segmentos congruentes

8. EAB DBA 8. De 1, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes

9. AB AB 9. Propiedad reflexiva

10. ABE ABD 10. De 9, 8 y 7 L – A – L

11. AD BE 11. De 10, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 20

4. HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E

TESIS: EAD BAC

Este ejercicio se demuestra utilizando el teorema L – A – A, que se demostrará en la siguiente unidad.

1. E B 1. De hipótesis

2. ABE es isósceles 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes

3. AB AE 3. De 2, definición de triangulo isósceles

4. ADE ACB 4. De hipótesis

5. ABC ADE 5. De 3, 1 y 4 L – A – A

6. EAD BAC 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 21

5.

HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD

A – C – E

TESIS: 1)

2)

BC CD

BCE DCE

1. AB AD 1. De hipótesis

2. AE es la bisectriz de BAD 2. De hipótesis

3. 1 2 3. De 2, definición de bisectriz

4. AC AC 4. Propiedad reflexiva

5. ACB ACD 5. De 1, 3 y 4, L – A – L

6. ACB ACD 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

7. BCE es el suplemento de ACB 7. Definición de ángulos suplementarios

8. DCE es el suplemento de ACD 8. Definición de ángulos suplementarios

9. BCE DCE 9. De 7 y 8, por tener el mismo suplemento

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Congruencia de triángulos. 22

6.

HIPÓTESIS: ABC es equilátero.

AE BF CD

TESIS: EFD es equilátero

1. A B C 1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.

2. AE BF CD 2. De hipótesis.

3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos

5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4

6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa

7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L – A – L

8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero

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Congruencia de triángulos. 23

7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto

medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD

HIPÓTESIS isósceles, con ABC CA CB

D y E son puntos medios.

TESIS ACE BCD

1.CA CB 1. De hipótesis

2. C C 2. Propiedad reflexiva

3. D es punto medio de CA y E es punto

medio de CB 3. De hipótesis

4.CD CE 4. De 1 y 3, por ser mitades de segmentos congruentes

5. ACE BCD 5. De 1, 2 y 4 L – A – L

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Congruencia de triángulos. 24

8.

HIPÓTESIS: DE AE

;DE EC AE EB

D A

D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

1. D A 1. De hipótesis.

2. DE AE 2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.

4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A – L – A

5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 25

9.

HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF

TESIS: EH EC En este ejercicio también emplearemos el teorema L – A – A que se demostrará en la próxima unidad.

1. AI IC CD BI IH HF 1. De hipótesis

2. AD AI IC CD 2 Suma de segmentos

3. BF BI IH HF 3 Suma de segmentos

4. BF AI IC CD Sustitución de 1 en 3

5. AD BF 5 De 2 y 4, propiedad transitiva

6. BIC AIH 6. Ángulos opuestos por el vértice

7. IB IH IA IC 7 De 1

8. BIC AIH 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L

9. B A 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

10. AH BC 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

11. AHD BCF 11. De 10, 9 y 5, L – A – L

12. D F 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

13. HEF CED 13. Por ser ángulos opuestos por el vértice

14. FH DC 14. De hipótesis

15. ECD EHF 15. De 14, 13 y 12, por teorema L – A – A

16. EH EC 16. De 15, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 26

10.

HIPÓTESIS: B es punto medio de AC

;AD CE BD BE

TESIS: 1)

2) es isosceles.

E D

APC

1. B es punto medio de AC 1. De hipótesis

2. AB BC 2. De 1, definición de punto medio

3. ;AD CE BD BE 3. De hipótesis

4. BCE ABD 4. De 2 y 3, por el teorema L – L – L

5. D E 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. C A 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

7. APC es isósceles 7. De 6, por tener dos ángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 27

11.

HIPÓTESIS:

AB AF

BD DF

BAC FAE

TESIS: 1)

2)

AC AE

BC FE

1. AB AF 1. De hipótesis

2. BD DF 2. De hipótesis

3. AD AD 3. De hipótesis

4. ADB ADF 4. De 1, 2 y 3, teorema L – L – L

5. B F 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. BAC FAE 6. De hipótesis

7. ABC AFE 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A

8. AC AE 8. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

9. BC FE 9. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 28

12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes. De este ejercicio vamos a hacer el numeral c.

HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles, con CA CB

BE es bisectriz del ángulo CAB

es bisectriz del ángulo CBA

AD

BE

TESIS: AD BE

1. EAB DBA 1. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles

2. BE es la bisectriz de CBA 2. De hipótesis.

3. 1 2 3. De 2, definición de bisectriz de un ángulo

4. AD es la bisectriz de CAB 4. De hipótesis

5. 3 4 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo

6. ( ) ( 3) ( 4)m EAB m m 6. Suma de ángulos

7. ( ) ( 1) ( 2)m DBA m m 7. Suma de ángulos

8. ( 4) ( 3) ( 1) ( 2)m m m m 8. De 1, 6 y 7, propiedad transitiva

9. 2 ( 4) 2 ( 2)m m 9. De 3,5 y 8, suma de ángulos

10. ( 4) ( 2)m m 10. De 9, propiedad cancelativa

11. AB AB 11. Propiedad reflexiva

12. ABE ABD 12. De 11, 10 y 1, teorema A – L – A

13. AD BE 13. De 12, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 29

13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado

AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se

puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta.

Para demostrar que ?AR AD deberíamos demostrar primero que el triángulo ARC es

congruente con el triángulo ADB y el teorema L – L – A no lo hemos demostrado y además veremos más adelante que este teorema no se cumple siempre. Para que este teorema se cumpla es necesario que los lados opuestos a los ángulos congruentes sean los lados mayores en los triángulos. El teorema L – L – A si se cumple en los triángulos rectángulos.

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Congruencia de triángulos. 30

14.

HIPÓTESIS: AE BC

AC BE

TESIS: 1)

2) es isosceles

DEA DCB

ABD

1. AE BC 1. De hipótesis

2. AC BE 2. De hipótesis

3. AB AB 3. Propiedad reflexiva

4. AEB BCA 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L

5. DEA DCB 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

6. EDA CDB 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice

7. EDA CDB 7. De 1, 5 y 6, por el teorema L – A – A

8. DE DC 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

9. DA AC DC 9. Resta de segmentos

10. DB BE DE 10. Resta de segmentos

11. DB AC DC 11. Sustitución de 2 y 8 en 10

12. DA DB 12. De 11 y 9, propiedad transitiva

13. ABD es isósceles 13. De 12, definición de triangulo isósceles

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Congruencia de triángulos. 31

15.

HIPÓTESIS: 1 2

3 4

A – E – C y D – E – B

TESIS: 1)

2)

AE EC

DE AC

1. 1 2 1. De hipótesis

2. 3 4 2. De hipótesis

3. DB DB 3. Propiedad reflexiva

4. DBA DBC 4. De 1, 2 y 3, por el teorema A – L – A

5. DA DC 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

6. ADC es isósceles 6. De 5, definición de triangulo isósceles

7. DE es bisectriz de ADC 7. De 1, definición de bisectriz de un ángulo

8. DE es mediana 8. De 7 y 6, la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es también mediana

9. E es punto medio de AC 9. De 8, definición de mediana

10. AE EC 10. De 9, definición de punto medio

11. DE es altura 11. De 6 y 8, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura

12. DE AC 12. De 11, definición de altura en un triangulo

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Congruencia de triángulos. 32

16.

HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF

TESIS: 1)

2)

B F

DC DE

SUGERENCIA: Trazar AD

1. AB AF 1. De hipótesis

2. DB DF 2. De hipótesis

3. AD AD 3. Propiedad reflexiva

4. ADB ADF 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L

5. B F 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. 1 2 6. De hipótesis

7. ABC AFE 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A

8. BC EF 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

9. DC DB BC 9. Resta de segmentos

10. DE DF EF 10. Resta de segmentos

11. DE DB BC 11. Sustitución de 2 y 8 en 10

12. DC DE 12. De 9 y 11, propiedad transitiva

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Congruencia de triángulos. 33

17.

HIPÓTESIS:

OED ODE

A C

AE DC

TESIS: 1)

2)

BF BH

OF OH

1. A C 1. De hipótesis

2. OED ODE 2. De hipótesis

3. AE DC 3. De hipótesis

4. AD AE ED 4. Suma de segmentos

5. EC DC ED 5. Suma de segmentos

6. EC AE ED 6. Sustitución de 3 en 5

7. AD EC 7. De 4 y 6, propiedad transitiva

8. FAD HCE 8. De 7, 2 y 1, por el teorema A – L – A

9. FA HC 9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

10. ABC es isósceles 10. De 1, por tener dos ángulos congruentes

11. BA BC 11. De 10, definición de triangulo isósceles

12. BF BA FA 12. Resta de segmentos

13. BH BC HC 13. Resta de segmentos

14. BH BA FA 14. Sustitución de 11 y 9 en 13

15. BF BH 15. De 12 y 14, propiedad transitiva

16. EOD es isósceles 16. De 2, por tener dos ángulos congruentes

17. OE OD 17. Definición de triangulo isósceles

18. FD HE 18. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

19. OF FD OD 19. Resta de segmentos

20. OH HE OE 20. Resta de segmentos

21. OH FD OD 21. Sustitución de 18 y 17 en 20

22. OF OH 22. De 21 y 19, propiedad transitiva

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Congruencia de triángulos. 34

18.

HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB

TESIS: 1)

2)

EAD CAD

ED CD

1. AF AB 1. De hipótesis

2. DF DB 2. De hipótesis

3. AD AD 3. Propiedad reflexiva

4. ADF ADB 4. De 1, 2 y 3 por el teorema L – L – L

5. EAD CAD 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. 1 2 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

7. El suplemento de 3 es 1 7. Definición de ángulos suplementarios

8. El suplemento de 4 es 2 8. Definición de ángulos suplementarios

9. 3 4 9. De 6, 7 y 8 por tener el mismo suplemento

10. FE BC 10. De hipótesis

11. FED BCD 11. De 10, 9 y 2, por el teorema L – A – L

12. ED CD 12. De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

19. Para demostrarlo analizar el ejercicio 18.

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Congruencia de triángulos. 35

20.

HIPÓTESIS:

AR SC

AB CD

BS DR

TESIS: 1)

2)

BSA DRS

PR PS

1. AR SC 1. De hipótesis

2. AB CD 2. De hipótesis

3. BS DR 3. De hipótesis

4. AS AR RS 4. Suma de segmentos

5. CR SC RS 5. Suma de segmentos

6. CR AR RS 6. Sustitución de 1 en 5

7. AS CR 7. De 4 y 6, propiedad transitiva

8. ABS CDR 8. De 2, 3 y 7, teorema L – L – L

9. BSA DRS 9. De 8, por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes

10. RPS es isósceles 10. De 9, por tener dos ángulos congruentes

11. PR PS 11. De 10, definición de triangulo isósceles.

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Congruencia de triángulos. 36

21.

HIPÓTESIS: es mediana

y

BD

AE BF CF BF

TESIS: AE CF

1. es medianaBD 1. De hipótesis

2. D es punto medio de

AC 2. De 1, definición de median en un triangulo

3. AD DC 3. De 2, definición de punto medio

4. AED DFC 4. De hipótesis, por ser ángulos rectos por definición de perpendicularidad.

5. 1 2 5. Por ser ángulos opuestos por el vértice

6. AED CFD 6. De 5, 4 y 3, por el teorema L – A – A

7. AE CF 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 37

22.

HIPÓTESIS: , y se cortan en G

y son medianas

AC AE

CF EB AD

EB CF

TESIS: AD CE

1. AC AE 1. De hipótesis

2. ACE es isósceles 2. De 1, definición de triángulos isósceles

3. y CF EB son

medianas 3. De hipótesis

4. AD es mediana 4. De 3 y de hipótesis, las 3 medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.

5. AD es altura 5. De 2 y 4, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura

6. AD CE 6. De 5, definición de altura de un triangulo

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Congruencia de triángulos. 38

23.

HIPÓTESIS: ;AB BC DC BC

ABD DCA

TESIS: ABC DCB

1. ABD DCA 1. De hipótesis

2. y DCA ABC son rectos 2. De hipótesis, por definición de perpendicularidad

3. El complemento de es ACB DCA 3. De 2, definición de ángulos complementarios

4. El complemento de es DBC ABD 4. De 2, definición de ángulos complementarios

5. ACB DBC 5. De 1, 3 y 4, por tener el mismo complemento

6. DCB ABC 6. De 2, por ser ángulos rectos.

7. BC BC 7. Propiedad reflexiva

8. DCB ABC 8. De 7, 6 y 5, por el teorema A – L – A

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Congruencia de triángulos. 39

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB D, E y F son puntos medios

TESIS: DF EF

1. A B 1. De hipótesis, por ser ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles

2. F es punto medio de AB 2. De hipótesis

3. AF FB 3. De 2, definición de punto medio de un segmento

4. CA CB 4. De hipótesis

5. DA EB 5. De 4 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes

6. DAF EBF 6. De 5, 3 y 1, por el teorema L – A – L

7. DF EF 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 40

25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC

se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB

HIPÓTESIS: es punto medio de M AC

BM MC

TESIS: EC AB

1. es punto medio de M AC 1. De hipótesis

2. AM MC 2. De 1, definición de punto medio

3. 1 2 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice

4. BM ME 4. De hipótesis

5. MEC MAB 5. De 2, 3 y 4, por el teorema L – A – L

6. EC AB 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 41

26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero.

HIPÓTESIS:

es equilátero

D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo

ABC

TESIS DEF es equilátero

1. AB BC CA 1. De hipótesis, definición de triángulo equilátero

2. AF FB BE EC CD DA 2. De 1 y de hipótesis, definición de punto medio, por ser mitades de segmentos congruentes

3. A B C 3. Por ser ángulos opuestos a lados congruentes en un triangulo

4. DFA DEC EFB 4. De 2 y 3, por el teorema L – A – L

5. DF DE EF 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

6. DEF es equilátero 6. De 5, definición de triángulo equilátero

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Congruencia de triángulos. 42

27.

HIPÓTESIS TR TS

PR PS

TESIS TRP TSP

1. RTS es isósceles 1. De hipótesis, definición de triangulo isósceles

2. TRS TSR 2. De 1, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles

3. RPS es isósceles 3. De hipótesis, definición de triangulo isósceles

4. 1 2 4. De 3, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles

5. ( ) ( ) ( 1)m TRP m TRS m 5. Resta de ángulos

6. ( ) ( ) ( 2)m TSP m TSR m 6. Resta de ángulos

7. ( ) ( ) ( 1)m TSP m TRS m 7. Sustitución de 2 y 4 en 6

8. TRP TSP 8. De 5 y 7, propiedad transitiva

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Congruencia de triángulos. 43

28.

HIPÓTESIS 1 2

A B C D

AB CD

TESIS A D

1. 1 2 1. De hipótesis

2. BEC es isósceles 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes

3. EB EC 3. De 2, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes

4. 3 es el suplemento de 1 4. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios

5. 4 es el suplemento de 2 5. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios

6. 3 4 6. De 1, 4 y 5, por tener el mismo suplemento

7. AB CD 7. De hipótesis

8. ABE DEC 8. De 7, 6, y 3, por el teorema L – A – L

9. A D 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 44

29.

HIPÓTESIS AB AC

BD CE

TESIS 1) ACD ABE

2) BDC CEB

1. AD AB BD 1. Suma de segmentos

2. AE AC CE 2. Suma de segmentos

3. AB AC 3. De hipótesis

4. BD CE 4. De hipótesis

5. AE AB BD 5. Sustitución de 3 y 4 en 2

6. AD AE 6. De 1 y 5, propiedad transitiva

7. A A 7. Propiedad reflexiva

8. ACD ABE 8. De 7, 6 y 3, por teorema L – A – L

9. ABC es isósceles 9. De 3, definición de triangulo isósceles

10. 1 2 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles

11. El suplemento de es 1DBC 11. Definición de ángulos suplementarios

12. El suplemento de es 2ECB 12. Definición de ángulos suplementarios

13. DBC ECB 13. De 10, 11 y 12, por tener el mismo suplemento

14. BC BC 14. Propiedad reflexiva

15. BDC CEB 15. De 14, 13 y 4, por teorema L – A – L

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Congruencia de triángulos. 45

30.

HIPÓTESIS: biseca a CE BF

TESIS: C E

1. 1. De hipótesis

2. El suplemento de es CBD 2. Definición de ángulos suplementarios

3. El suplemento de es EFD 3. Definición de ángulos suplementarios

4. CBD EFD 4. De 1, 2 y 3, por tener el mismo suplemento

5. BD DF 5. De hipótesis, biseca a CE BF

6. CDB FDE 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice

7. BDC DFE 7. De 4, 5 y 6, por el teorema A – L – A

8. C E 8. De 7, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

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Congruencia de triángulos. 46

31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se

toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH

HIPÓTESIS ABC es isósceles

AB AC

AE AF

es alturaAH

TESIS 1) EHA FHA

2) EFH FEH

1. AE AF 1. De hipótesis

2. AH AH 2. Propiedad reflexiva

3. es alturaAH 3. De hipótesis

4. es bisectrizAH 4. De hipótesis, en un triángulo isósceles la altura sobre la base también es bisectriz del ángulo opuesto a la base del triangulo

5. 1 2 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo

6. AEH AFH 6. De 5, 1 y 2, por L –A – L

7. EHA FHA 7. De 6, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

8. EH HF 8. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

9. EHF es isósceles 9. De 8, definición de triangulo isósceles

10. EFH FEH 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles

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Congruencia de triángulos. 47

Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise De Internet

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.