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I.E.P. MARヘA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti. TERCER GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MARITZA DOLORES SOTO VノLIZ PARA SER TRABAJADO DEL 09 DE MAYO AL 06 DE JUNIO 2011 CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Discrimina los criterios de congruencia de triángulos. COMUNICACIÓN MATEMÁTICA Utiliza gráficos para solucionar problemas con triángulos RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño pero diferente posición. * ABC es congruente al PQR. CASOS DE CONGRUENCIA: CASO 1 : ÁNGULO, LADO, ÁNGULO (A.L.A.) CASO 2 : LADO, ÁNGULO, LADO (L.A.L.) CASO 3 : LADO, LADO, LADO (L.L.L.) CASO 4 : ÁNGULO, LADO, LADO mayor (A,L,L mayor ) P Q R C B A ABC PQR M Q N C B A ABC MNQ P Q R C B A ABC PQR E F D C B A ABC DEF a c P N M a c C B A ABC MNP c a

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I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

TERCER GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

PARA SER TRABAJADO DEL 09 DE MAYO AL 06 DE JUNIO 2011

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

Discrimina los criterios de congruencia de triángulos.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

Utiliza gráficos para solucionar problemas con triángulos

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resuelve problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma

forma, el mismo tamaño pero diferente posición.

* ABC es congruente al PQR.

CASOS DE CONGRUENCIA:

CASO 1: ÁNGULO, LADO, ÁNGULO (A.L.A.)

CASO 2: LADO, ÁNGULO, LADO (L.A.L.)

CASO 3: LADO, LADO, LADO (L.L.L.)

CASO 4: ÁNGULO, LADO, LADO mayor (A,L,L mayor)

P

Q

R

C

B

A

ABC PQR

M Q

N

C

B

A

ABC MNQ

P

Q

R

C

B

A

ABC PQR

E

FDC

B

A

ABC DEF

ac

P

N

M

ac

C

B

A

ABC MNP c a

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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

Todo punto que pertenece a la bisectriz de un

ángulo, se encuentra a igual distancia de los lados.

Si: OP es bisectriz del QOR; PQ = PR.

POQ POR

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ

Todo punto que pertenece a la mediatriz de un

segmento, se encuentra a igual distancia de los

extremos del segmento.

Si: L

es mediatriz de AB ; PA = PB.

PAM PBM

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS:

(BASE MEDIA)

Si: AM = BM y MN // AC .

BN = NC2

ACMN

TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN UN

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En todo triángulo rectángulo la longitud de la

mediana relativa a la hipotenusa, es igual a la mitad de la

longitud de la hipotenusa.

Si: BM mediana relativa a la hipotenusa.

2

ACBM

R

P

Q

O

BM

P

A

L

M N

C

B

A

MA C

B

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APLICO LO QUE APRENDÍ

* En cada una de las figuras, indica el caso de

congruencia de triángulos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

60°

120°

AB = DEB

D

A EC

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10.

11.

12.

13.

14.

AB = AD

* En los siguientes gráficos, calcula la medida de “x”:

15.

16.

17.

E

DC

B

A

7

x

8 – x

2x – 1

9 x

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18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

x + 63x – 4

x

9

14

x

x + 2

3x

x12

x

18

x

12

9 – x

x

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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

APLICO LO QUE APRENDÍ

1. En la figura, calcula “x”:

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

2. En la figura, calcula “x”:

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

3. En la figura, calcula “x”:

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

4. Del gráfico, calcula “x”:

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6

a + 6

x

b – 2a + b

x

68

x – 2

x – 4

6x

x + 4

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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSDos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son

proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir:

ABC A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’) si y sólo si :

i) A = A’ ; B = B’ ; C = C’

ii)c'c

=b'b

=a'a

Ejemplo : Los triángulos siguientes son semejantes :

En efecto :

A = A’ ; B = B’ ; C = C’

2=c'c

=b'b

=a'a

B’

C’

A’

a’

c’

b’

B

C

A

a

c

b

6

10

8C A

B

C’ A’

B’

3

4

5

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CASOS DE SEMEJANZA

1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dosángulos respectivamente iguales.(Ángulo-ángulo)Ejemplo 01:

Ejemplo 02:

Según la figura, si DE//AB ,

¿ es ABC DCE ?

Si DE//AB , entonces B=D (Alternos internos entre paralelas)

y A=E ( alternos internos entre paralelas)

Por lo tanto : ABC DCE

2. Dos triángulos que tienen un ángulo igual comprendidopor lados proporcionales son semejantes (lado-ángulolado).Ejemplo

3. Dos triángulos que tiene sus tres lados proporcionalesson semejantes (lado – lado - lado).

Ejemplo 01:¿Son semejantes los triángulos ?

Ejemplo 02: ¿ Son semejantes los triángulos ?

como

35º=B=Rademasy812

1015

Entonces CRJ LBQ

70º

40º70º

40º

94 3636

2712

9

65

18

1210

A B

C

D E

C

R J

15

1235º

QB

L

35º

10

8

N

B I

1005

82

35

55º

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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

UTILIZAMOS LO APRENDIDO

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m.,

respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden

12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si

son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los

ángulos marcados del mismo modo, establece la

proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54

m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a

éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar

los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el

triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son

18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m.

y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los

catetos de un triángulo semejante al primero si su

hipotenusa mide 15 m.?

6. Según la fig.

NK JL ; ML JL

NK = 4 , ML = 6 ,

JM = 15 , JN =?

7. ¿ En qué casos el ABC DEF ?

a)FD

CA

EF

BC

DE

AB

b) E=B;EF

DE

BC

AB

c) D=B,DF

AC

EF

BC

d) E=C,D=A

8. Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm. por

2,5 cm. Se quiere ampliar de manera que el lado

mayor mida 26 cm. ¿Cuanto medirá el lado menor?

9. Se desea hacer un plano de un terreno de 100m de

largo por 300m de ancho usando una escala de 1:500

¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno?

10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3

cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm..

homólogo del primer lado de este triángulo, un

triángulo semejante a aquel.

11. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinarED y BD.

L M

K N

J

E D

FBA

C

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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

APLICO LO QUE APRENDÍ

1. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm.

Determina c’.

2. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.

3. Los triángulos de la figura son semejantes. Escribir la proporcionalidad de sus lados homólogos.

4. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del

primero mide 6 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo.

5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de

un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 20 cm?

C’

B’A’

C

BAC’

ab’

c

ab

F

ED

C

BA

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SEMEJANZA EN LA VIDA REAL1. El profesor de arte te pide hacer una copia del

cuadro "La Mona Lisa" de Leornardo Da Vinci. El

cuadro original tiene las medidas que se muestran

en el dibujo.

¿Cuál de las siguientes cartulinas tiene el tamaño

exacto que te sirve para hacer una reducción del

cuadro original manteniendo sus proporciones?

A. 38,5 cm. x 26,5 cm.

B. 70 cm. x 53 cm.

C. 71,5 cm. x 47,5 cm.

D. 77cm. x 77 cm.

2. ¿Qué altura tiene el faro, de acuerdo a la información entregada?

A. 9,3 m

B. 13,3 m

C. 18 m

D. 21 m

3. Se desea hacer un plano de un terreno de 200m de largo por 600m de ancho usando una escala de 1:500 ¿Cuáles serán

las dimensiones del dibujo del terreno

A. 40m por 120m

B. 40 cm. por 60cm

C. 40cm. por 120 cm.

D. 400 cm. por1200 cm.

4. En una fotografía de Juan y Pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5m y en la foto aparece de 10 cm. ¿Cuánto mide

Pedro si la foto lo muestra de 11cm?

A. 0,73 m

B. 1,36 m

C. 1,65 m

D. 1,71 m