PPTC

ANM

TGEA

0300

5V3

Congruencia y semejanza de triángulos

Pregunta oficial PSU

1. Figuras congruentes

1.1 Definición

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

1. Figuras congruentes

1.2 Triángulos congruentes

A

C

B D

F

E

Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:

Δ ABC Δ DEF

1. Figuras congruentes

1.2 Triángulos congruentes

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.):Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

aa

5

3

5

3

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

1. Figuras congruentes

1.2 Triángulos congruentes

3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

aa

1212

Ejemplo:

b b

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Figuras semejantes

2.1 Definición

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G

F

J

I

Ha

b

gd

e

A

E

DC

Bab

gd

e

1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

2. Figuras semejantes

2.1 Definición

A

E

DC

Bab

gd

e

G

F

J

I

Ha

b

gd

e

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

2. Figuras semejantes

2.2 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.

Ejemplo:

A B

C

a

b

g

E

F

D

a

b

g

Los lados homólogos están en razón: 1:3 = k

5

3

15

94 12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homólogo a DEBC es homólogo a EFAC es homólogo a DF

ABDE

BCEF

ACDF

13= = = = k

2. Figuras semejantes

2.3 Criterios de semejanza

1° Criterio AA.

• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

34o 55o

E

F

D

34o

55o

Δ ABC ~ Δ DFE por AA

Además ABDF

BCFE

ACDE

= = = k

2. Figuras semejantes

2.3 Criterios de semejanza

2° Criterio LLL.

• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

Δ ABC ~ Δ FDE por LLL

A B

C

4

E

F

D

5

6

12 8

10

Además BAC = DFE, CBA = EDF y ACB = FED

ABFD

BCDE

ACFE

12

= = = = k

3. Figuras semejantes

3.3 Criterios de semejanza

3° Criterio LAL.• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados

respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

4

E

F

D

5 12

15

57°

57°

Δ ABC ~ Δ FED por LAL

Además BAC = DFE y CBA = FED

ACFD

BCED= 4

12515

13= = = k

3. Figuras semejantes

3.3 Criterios de semejanza

Ejemplo:Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

a

b

g4 10

Q

R

P

a

g

b

6Solución:

60 = 4∙QR 15 = QREs decir:

Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que

Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:

Con k razón de semejanzaABPR

CBQR

ACPQ

= = = k

ABPR

10QR

46

= = 10QR

46

=

2. Figuras semejantes

2.4 Razón entre áreas y perímetros

• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:Q

610

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC

PPQR

=12

24

=1

2

= k

3. Figuras semejantes

3.5 Razón entre áreas y perímetros

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo: Q

610

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k

5

10=

1

2

AABC

APQR

= 6

24

=1

4

= k2

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

B

Síntesis de la clase

Figuras CongruentesÁngulos congruentes

Lados congruentes

A

C

B D

F

E

3 36 6

8 8

LLL

LAL A

D

E

BC

F2

2

44

ALA

A

DB

E

FC

3

3

Triángulos Congruentes

Figuras Equivalentes

Igual área

4

9

4

9

6

6

6

6

Síntesis de la clase

Figuras semejantes

Triángulos semejantes

Ángulos respectivos congruentes

Lados homólogos proporcionales

A B

C

4

E

F

D

5

6 12

8 10

Δ ABC ~ Δ DEF

CriteriosElementos homólogos

Lados proporcionales

AC

DF=

CB

FE=

AB

DE= k =

12

Razones

Perímetro ÁreaP Δ ABC = k P Δ DEF

Á Δ ABC = k2 Á Δ DEF

AA

LLL

LAL

Profesora de Matemática Margarita Oyanedel