Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• diferenciará entre modelo probabilístico y modelo determinístico• describirá y enumerará los espacios muestrales de experimentos probabilísticos• identificará los eventos de un experimento probabi- lístico• diferenciará las cuatro principales corrientes de la probabilidad• utilizará las operaciones fundamentales del álgebra de eventos• resolverá problemas de operaciones entre eventos por medio de sus definiciones y diagramas de Venn- Euler• calculará probabilidades de eventos por medio de los principales teoremas de la probabilidad axio- mática

Bases de la probabilidad

UNIDAD

2

Introducción

En esta unidad se analizan fundamentos teóricos en los que se basa la construcción de la teoría de las probabilidades. Inicia con sus modelos y su importancia en el estudio de los diferentes fenómenos, haciendo énfasis en los modelos matemáticos que se clasifican en determinísticos y probabilísticos.

Se definen los experimentos aleatorios y determinísticos. Las bases de la proba-bilidad se abordan partiendo de una discusión sobre las diferentes corrientes para la asignación de probabilidades a un suceso, como

• corriente frecuencial• corriente clásica• corriente subjetiva• corriente bayesiana

Se continúa con el enfoque matemático de la teoría de las probabilidades, fundamentado en el estudio de los axiomas de Kolmogorov, con los que prácticamente se comienza un estudio formal de las probabilidades como una ciencia.

Esta unidad termina formulando diferentes teoremas y con una explicación de suaplicación en el cálculo de probabilidades.

2.1 Modelos determinísticos y probabilísticos

Uno de los objetivos del estudio de las ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenómenos que ocurren en la naturaleza y poder predecir los efectos que de ellos se derivan. De la experiencia científica se deduce que para poder estudiar un fenómeno es necesaria su imitación o reproducción en cantidad suficiente para que su investigación sea lo más precisa posible. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos. Por modelo se entiende la representación o reproducción de los fenómenos. Los modelos pueden ser de diferentes tipos, pero de acuerdo con los objetivos de este libro, sólo se analizarán los modelos matemáticos.

Un modelo matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizada

Los modelos matemáticos se pueden clasificar en determinísticos y probabilísticos .

Cuando se realiza un modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, se le llama modelo determinístico .

Definición 2.1

Definición 2.2

60

1. Se tiene el diseño de un modelo que muestra la influencia de la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve en una superficie; con él se podrá concluir que en superficies más ásperas se tiene mayor fuerza de rozamiento.

Este modelo es determinístico, puesto que se manejan las superficies y se puede predecir el resultado; por ejemplo, la distancia a la que se puede detener el cuerpo. Si se mueve con una fuerza inicial y se cambian las asperezas es posible establecer una fórmula matemática que indique, como resultado de un cálculo numérico, la distancia en la que se detendrá.

2. Se tiene un diseño en el cual se elaboran dos productos al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. Ahí el tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad determinada de horas por día; igualmente, el tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto se pueden establecer de tal manera que, combinando los productos, se puede obtener una ganancia óptima.

En este modelo es posible controlar los diferentes parámetros que intervienen; por tanto, al establecer el modelo matemático correspondiente y los valores para los factores que intervienen, es posible predecir resultados.

3. El lanzamiento de una moneda en la que sus dos caras son águila. Este modelo muestra que siempre se pueden predecir los resultados puesto que

sólo se tiene una opción: cara águila.

Gran cantidad de fenómenos son del tipo determinístico, pero existen muchos más en los cuales no es posible controlar los factores que intervienen; por tanto

Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno en el cual no se pueden controlar los factores que intervienen en su estudio, y si dichos factores ocurren de manera que no es posible predecir sus resultados, se llama no determinístico , probabilístico 1 o estocástico .

1. Se desea conocer el lugar donde caerá un satélite que salió de su órbita y se dirige a la Tierra. No es posible predecir el lugar donde caerá, puesto que no se tiene control de su movimiento; por tanto, sólo es posible indicar un área o región donde se cree caerá, con un valor numérico que represente la aseveración.

2. No es posible establecer la posición de un electrón en un determinado momento. Por lo aprendido en cursos de física se sabe que un electrón no tiene posición fija, sino que cambia constantemente sin reglas en su movimiento. En tal caso sólo es posible suponer, con un cierto valor numérico, un área en la que el electrón puede estar.

3. Se lanza diez veces una moneda con el fin de obtener cinco caras águila. Este modelo es probabilístico, puesto que no se puede predecir sus resultados.

Al reproducir el fenómeno, ya sea de manera determinística o probabilística, se está experimentando –en este curso se entiende por experimento el uso de un modelo matemático de tipo probabilístico–.

Enseguida se muestran algunas definiciones y sus ejemplos.

Ejemplo 1

1 Sobre la definición de probabilidad, ver la sección siguiente.

Definición 2.3

Ejemplo 2

61

Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, se le llama experimento aleatorio o probabilístico .

1. Se lanza una moneda tres veces y se hace el conteo referente a la cantidad de soles que aparecen.

2. Se lanza un dado para observar la cara superior resultante.3. Se lanzan dos dados y se hace el conteo a partir de la suma de las caras superiores

resultantes.4. Se observa la cantidad máxima y mínima de gotas de lluvia que caen durante un día

en un área de diez centímetros cuadrados.5. Se observa la cantidad de artículos defectuosos en un lote de 50 objetos, en el cual

existen nueve defectuosos. Se toman al azar (sin reemplazo) los artículos y se anotan los resultados hasta obtener el último defectuoso.

6. Se lanza un dado hasta obtener tres caras iguales consecutivas. Se lanza el dado y se anotan los resultados hasta obtener tres resultados iguales.

Al proceso por el cual se describen los fenómenos cuyos resultados se pueden predecir, se le llama experimento determinístico .

1. Tiempo de caída libre de un objeto. Si se conoce la altura y no existen fuerzas externas, se puede predecir el tiempo de caída por medio de la expresión analizada en el curso de física experimental o en el de cinemática

h gt12

2

donde h es la altura, g la aceleración de la gravedad y t el tiempo de caída.2. Mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto.

Al realizar un experimento generalmente se registran sus resultados para obtener las conclusiones correspondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la necesidad de introducir un concepto referente al conjunto2 de todos los resultados del experimento.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico se le llama espacio muestral 3 del experimento y se simboliza por S. A los elementos de un espacio muestral se les llama puntos muestrales .

Definición 2.4

Ejemplo 3

Definición 2.5

Ejemplo 4

2 El concepto de conjunto fue estudiado en el curso de álgebra superior, en el que se determinó que por conjunto se entiende una colección de objetos bien definida, por medio de alguna o algunas propiedades en común. Por objeto se entiende no sólo cosas físicas como discos, computadoras, etc., sino también abstractas, como números, letras, etc. A los objetos que forman el conjunto, se les llama elementos del conjunto.3 Este concepto se empleó en la sección 2.3, junto con las propiedades de conjuntos; por ahora es suficiente su definición.

Definición 2.6

62

1. Se lanza una moneda tres veces y se anotan los resultados. El espacio muestral está representado águila por a y sol por s

S = {sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}

2. Se lanza una moneda tres veces y se anota la cantidad de caras águila que aparecen. El espacio muestral está representado por cero para la ausencia de caras águila, uno para la presencia de una y así sucesivamente.

S = {0, 1, 2, 3}

3. Se lanza un dado y se anota el resultado. El espacio muestral está formado por

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4. Se lanzan dos dados y se anota la suma que resulte de ambos. El espacio muestral está formado por

S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S, se le llama evento a un conjunto de posibles resultados de S. Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.

Al evento que consta de un solo elemento se le llama evento simple .

Retomando los ejemplos anteriores, se determina el evento indicado en los espacios muestrales:

1. Se lanza una moneda tres veces y se anotan los resultados. Dado el evento E: “aparece sólo una cara águila”, representado águila por a y sol por s

E = {ssa, sas, ass}

2. Se lanza un dado. Dado el evento E: “el número de la cara superior que sea menor o igual a cuatro”

E = {1, 2, 3, 4}

3. Se lanzan dos dados y se hace la suma de sus resultados. Dado el evento E: “ la suma de las carasque sean mayores que cuatro”

E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Hasta el momento no se ha abordado cómo asignar probabilidades a los eventos ni se ha definido la probabilidad. En la siguiente sección, los analizaremos.

Ejemplo 5

Definición 2.7

Definición 2.8

Ejemplo 6

63

Ejercicio 1

1. Se lanzan tres monedas y se anota la cantidad de veces que caen caras águila.

a) establece los elementos del espacio muestral del experimento b) dado el evento A: “resulte por lo menos una cara águila”, escribe los elementos

de A

2. Se lanzan tresmonedasy seobservan lascombinacionesde resultadoscon lastresSe lanzan tres monedas y se observan las combinaciones de resultados con las tres monedas.

a) establece los puntos muestrales del experimentob) dado el evento A: “resulte por lo menos una cara águila”, encuentra los puntos

muestrales de A

3. Un aparato electrónico se compone de cuatro sistemas. Se toman al azar dos de los cuatro para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos (físicamente, no hay diferencia entre unos y otros). Si dos de los cuatro sistemas son realmente defectuosos, encuentra el espacio muestral del experimento.

4. Una agencia comercial compra papelería a uno de tres vendedores,Una agencia comercial compra papelería a uno de tres vendedores, V1, V2, V3. Se ordena el pedido en dos días sucesivos, un pedido por día (sin repetir vendedor), tal que (V1, V3); significa que el vendedor V1 recibe el pedido el primer día y el vendedor V3 el segundo día. Establece los puntos muestrales de este experimento.

5. Se lanza un dado no cargado una vez y, si sale un número par, se lanza una moneda; si el lanzamiento del dado no resulta par, entonces se lanza por última vez el dado. Describe el espacio muestral del experimento.

2.2 Interpretaciones de la probabilidad

La palabra probabilidad es empleada frecuentemente en la vida cotidiana; por ejemplo, expresiones como: “es probable que hoy estudie estadística”; “el equipo está jugando bien, y es probable que gane su siguiente partido”, “el cielo está bastante despejado, por tanto no hay muchas posibilidades de que hoy llueva”. Como se puede notar, las expresiones relacionadas con la probabilidad tienen la característica de basarse en sucesos que pueden ser verdaderos y con base en los hechos observados (resultados preliminares, tiempo, etc.) se puede hablar de la probabilidad de su ocurrencia.

A pesar de los esfuerzos realizados por muchos científicos, desde el inicio del estudio de la probabilidad hasta la fecha, para definir el concepto, no se tiene una definición única aceptada por todos ellos. De las diferentes corrientes que surgen en su estudio y tratan de definir el concepto, siempre aparece alguna corriente que critica a la anterior; de hecho, el verdadero significado de la probabilidad sigue siendo conflictivo, por tanto, en lugar de comenzar el curso con una definición formal de probabilidad, se analizan las cuatro corrientes más comunes.

64

2.2.1 Corriente clásica

La corriente clásica considera espacios muestrales uniformes, es decir, se asignan probabilidades a eventos basándose en resultados equiprobables (igualmente verosímiles). Esto es, los clasisistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral (1/n, donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral), posteriormente para obtener la probabilidad de la ocurrencia de un evento E se suma la cantidad de elementos y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral (1/ n). Por lo anterior, se deduce que la probabilidad de los puntos muestrales se establece antes de cualquier experimento.

Se tiene el siguiente ejemplo: se lanza una moneda tres veces y se anotan los resultados, dado el evento E: “obtención de dos caras sol en los tres lanzamientos”, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?

Desde el punto de vista clasisista se obtiene el espacio muestral (representado águila por a y sol por s)

S={sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}

Considerando que cada punto del espacio muestral es equiprobable con 1/ 8 de probabilidad de ocurrencia, se tiene que la probabilidad del evento E se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento

E={ssa, sas, ass}

Como E contiene tres elementos, la probabilidad de que ocurra el evento E es

E = 3 1/ 8 = 0.375

Algunas de las dificultades por las que atraviesa esta corriente de probabilidad son

1. Al hablar de resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad), se emplea el concepto que se está definiendo.

2. Cuando los resultados no son equiprobables sus elementos tampoco lo son; como en el ejemplo 5, numeral 4, sobre lanzar dos dados, donde S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

3. No seindicaun método pararealizar el cálculo delasprobabilidades.o se indica un método para realizar el cálculo de las probabilidades.4. En casos como los siguientes, la probabilidad clásica no da respuesta:

a) en el cálculo de la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso no se pueden asignar probabilidades iguales a los resultados del experimento y, por tanto, es necesario un método diferente para dicho cálculo

b) en el cálculo de la probabilidad de que una persona se case este año no se puede hablar de resultados equiprobables para determinar el valor numérico que represente dicha probabilidad

2.2.2 Corriente frecuencial

La corriente frecuencial (tal vez una de las más empleadas) asigna un valor de probabilidad a un evento E, a partir de lo que se cree que ocurrirá. Su definición o interpretación de la

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probabilidad está basada, como su nombre lo indica, en la frecuencia relativa,4 con la que se obtiene E si el experimento se repite una gran cantidad de veces, en condiciones similares (no idénticas, puesto que en este caso el proceso no sería aleatorio).

Por ejemplo, se lanza una moneda tres veces y se anota la cantidad de caras sol que aparece. Dado el evento E: “obtención de dos caras sol en los tres lanzamientos”, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?

Desde el punto de vista frecuentista, el experimento se debe realizar una gran cantidad de veces. Considerando que el experimento se repite mil veces en condiciones similares y el resultado es igual a 400 casos con dos caras sol, la probabilidad de que ocurra E es 400/ 1 000=0.4.

Ahora bien, si el experimento se repite cien mil veces, de las cuales 38 mil resultan con dos caras sol, la probabilidad de que ocurra E es 38 000/ 100 000 = 0.38.

De esta forma, el experimento podría repetirse tantas veces como se quiera y obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento E. Pero, ¿por qué diferentes resultados para un mismo evento? La respuesta está en la interpretación de lo que se entiende por “repetir el experimento una gran cantidad de veces”. ¿Qué se entiende por una gran cantidad de veces? y ¿cuál sería la cantidad de repeticiones? Estas condiciones son muy vagas para servir de base para una definición científica de probabilidad. En combinación con esto, en muchos de los fenómenos no es posible realizar gran cantidad de repeticiones, por ejemplo

1. Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso, evidentemente, no es posible realizar una gran cantidad de lanzamientos de cohetes para obtener la probabilidad (basada en la corriente frecuentista) del éxito de un lanzamiento.

2. Para calcular la probabilidad de que una persona se case este año. Tampoco es posible realizar una gran cantidad de repeticiones del experimento para indicar el valor numérico que representa, desde el punto de vista de la frecuencia relativa, de que se casará o no este año.

2.2.3 Corriente subjetiva

En la corriente subjetiva –esta interpretación de la probabilidad es muy empleada en el estudio de análisis de decisiones– se asignan probabilidades a eventos basándose en el conocimiento o experiencia que cada persona tiene sobre el experimento, por tanto, la probabilidad asignada se encuentra sujeta al conocimiento que el científico tenga del fenómeno estudiado; es decir, para un mismo experimento, las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas. En un ejemplo anterior de lanzar una moneda, se definió el evento E: “dos caras sol en los tres lanzamientos”, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E? Desde el punto de vista subjetivista, la respuesta dependerá del conocimiento que se tenga del lanzamiento de la moneda, es decir, si el individuo que lanza la moneda tiene cierta habilidad, habría mayor probabilidad de la verosimilitud del evento E.

4 Ver la definición de frecuencia relativa en la unidad 1.

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La interpretación subjetiva de la probabilidad presenta diferentes inconvenientes, uno de ellos es la dependencia en el juicio de cada persona al asignarla, además de que tal juicio no debe tener contradicciones, lo que resulta difícil por depender de la persona que la asigna. Como se mencionó, a un mismo experimento se le pueden asignar diferentes probabilidades de éxito, dependiendo de quien lo lleve a cabo, aun en el caso que dos o más individuos trabajen en conjunto.

Podemos mencionar que en la asignación de probabilidades subjetivas se emplea en muchos casos el conocimiento frecuentista que se tenga del experimento.

2.2.4 Corriente bayesiana

En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos después del experimento. Es decir, las probabilidades son del tipo dependiente, basándose en el conocimiento de la ocurrencia de eventos que dependan del evento estudiado. Por ejemplo, en el caso de la moneda, si se sabe que el primer lanzamiento resultó una cara sol. ¿Cuál será la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea también cara sol? El cálculo de tales probabilidades se llevará a cabo en la unidad 4, sobre probabilidad condicional; para estos casos se puede emplear en gran parte la idea de la probabilidad clásica (sobre los resultados equiprobables). Como se verá el resultado de dicha probabilidad es 0.5.

En conclusión, no se tiene una definición universal de probabilidad. Sin embargo, es necesario estructurarla sobre una base axiomática que le dé el formalismo que el álgebra o la geometría tienen, haciendo uso de la notación matemática que proporciona la teoría de conjuntos.

2.3 Álgebra de eventos

En la sección 2.1 se definieron los conceptos de espacio muestral y evento, el primero deellos como el conjunto formado por todos los resultados de un experimento probabilístico; el segundo como un subconjunto del espacio muestral. Por tanto, se pueden establecer los resultados obtenidos en la teoría de conjuntos para los espacios muestrales y los eventos, formando un álgebra de eventos.

2.3.1 Conceptos fundamentales de eventos

Es necesario recordar la notación sobre los eventos. El espacio muestral de un experimento se denota por S, y a los eventos por letras mayúsculas; usualmente se emplean las primeras letras del alfabeto. A los resultados del experimento, que cumplen las condiciones del evento, se les representa por letras minúsculas. Si el resultado a del experimento realizado pertenece al evento A, se simboliza a A; en caso de no pertenecer, se simbolizará a A. Los eventos también se representan por llaves, dentro de las cuales se escriben sus elementos sin repetirlos, o las propiedades que dichos elementos cumplen, por ejemplo

1. Evento por comprensión A ={x | x es el lado que queda arriba al lanzar un dado}. 2. Evento por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

67

Al evento que tiene como resultado una cantidad determinada al contar sus elementos, se le llama evento .

Por ejemplo

1. A: “es un número par”, resultado del lanzamiento de un dado, esto es A = {2, 4, 6}.2. A: “al menos se observan cuatro caras sol en seis lanzamientos de una moneda”,

esto es A ={4, 5, 6}.

Al evento que no contiene ningún elemento, es decir, no existe algún resultado del experimento que cumpla sus condiciones, se le llama evento vacío (no realizable).

Por ejemplo

A: “ lanzamiento de un par de dados y que la suma de sus lados sea mayor a trece”; esto es, A = { }, el evento A no tiene ningún elemento. La máxima suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es doce. El evento vacío se simboliza por Ø.

Al evento en el cual el proceso de conteo de resultados no termina, se le llama .

Por ejemplo

1. E: “ la cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primer cara águila”; esto es E = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

2. El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado, E = (2, 7).

Al evento A que tiene entre sus elementos y el conjunto de los números naturales N o algún subconjunto de éste, una correspondencia en la cual a cada elemento del evento A le corresponde uno y sólo un elemento de N o algún subconjunto de N y, además, a cada elemento de N le corresponde un elemento de A se le llama numerable o contable .

Con esta definición se puede verificar que cualquier evento finito es numerable. Estos conceptos, aunque sencillos, requieren de gran cuidado en su aplicación. En loscasos de los eventos infinitos se presentan dificultades para encontrar la correspondencia que nos indique si son o no numerables, si a eso se agrega que los eventos infinitos no siempre son numerables y que su demostración no siempre es sencilla, surgen muchas dificultades para distinguir entre eventos numerables y no numerables, además de que es necesario introducir algunos otros conceptos que están fuera del objetivo del libro. Por ejemplo, cualquier evento cuyos elementos son los puntos del intervalo (a, b) con a b, no es numerable.

Definición 2.9

Definición 2.10

Definición 2.11

Definición 2.12

68

Los siguientes incisos son ejemplos de eventos infinitos numerables (los eventos finitos siempre son numerables).

1. El conjunto de los enteros Z. Este evento es numerable, ya que es posible ponerlo en correspondencia con el conjunto de los números naturales:

0 –1 –3

–2 etcétera

Sobre la notación

0 , de manera similar –1 –1 le corresponde el , etcétera.

2. A = {–8, –6, –4, –2, 0, 2, 4,...}. Este evento es numerable, y su correspondencia es

–8 –6 2

– etcétera –2

2.3.2 Relaciones fundamentales entre eventos

Cuando se trabaja con eventos se observa que entre sus elementos pueden existir algunas relaciones. Por ejemplo, la igualdad entre éstos, o como se verá al final de la subsección, el caso contrario, es decir, cuando los eventos no tienen elementos en común.

Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales si cualquier resultado de A es también elemento de B, y viceversa

A = B, si a A, entonces a B y viceversa, b B, entonces b A

donde

Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos en que todos los elementos de un evento están contenidos en otro.

Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está en B. Se simboliza

A B

es decir, A B; si a A, entonces a B.

Ejemplo 7

Definición 2.13

Definición 2.14

69

1. De las definiciones 2.13 y 2.14 se deduce que A = B, si y sólo si A B y B A.2. Es posible generalizar que el evento vacío es subevento de cualquier evento.

Anteriormente se indicó que entre los elementos de dos o más eventos puede ser que no exista alguna propiedad en común, en dicho caso se dice que ambos se excluyen o que son mutuamente excluyentes.

Los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, se llaman mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Esto es, para cualquier a A, entonces a B; igualmente, para todo b B, entonces b A (ver conjuntos ajenos o disjuntos).

Es posible generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento son mutuamente excluyentes.

2.3.3 Diagramas de Venn-Euler

En muchas ocasiones es preferible emplear una representación gráfica de los eventos de un experimento. Las gráficas usualmente representan el espacio muestral por rectángulos y los eventos por figuras circulares u ovaladas en forma simple o rayada, como lo muestra la figura 2.1. Estos diagramas se emplean para visualizar las operaciones fundamentales entre eventos.

2.3.4 Operaciones fundamentales entre eventos

En esta sección se analizarán algunas operaciones fundamentales entre eventos: unión, intersección, diferencia y complemento.

Los profesores han observado que muchos estudiantes, al realizar operaciones entre even-tos, cometen el error de indicar como resultado de estas operaciones los elementos sin formar un evento. Las operaciones entre eventos siempre deben dar como resultado otro evento.

Notas

Definición 1.15

A B

S

Nota

70

Unión entre eventos

La unión de los eventos A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro eventoformado por los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos. La unión se simboliza por A B (A unión B).

A B = {x | x A o x B} (la unión de los eventos A y B).

La representación general de la unión, por medio de diagramas de Venn-Euler, corresponde al área rayada de la figura 2.2.

Intersección entre eventos

La intersección entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección se simboliza por A B (A intersección B).

A B = {x | x A y x B} (la intersección de los eventos A y B).

La representación general de la intersección, por medio de diagramas de Venn-Euler, corresponde al área rayada de la figura 2.3.

S A B

A B

A B

S A B

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Diferencia entre eventos

La diferencia del evento A menos B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B. La diferencia se simboliza por A – B (A menos B).

A – B = {x | x A o x B} (la diferencia del conjunto A menos B).

La representación general de la diferencia, por medio de diagramas de Venn-Euler, corresponde al área rayada de la figura 2.4.

Evento complementario o complemento de un evento

El complemento del evento A es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A se simboliza por Ac o A' (complemento de A).

Ac = {x | x S y x A} (el evento complementario de A).

La representación general del complemento de un evento, por medio de diagramas de Venn-Euler, corresponde al área rayada de la figura 2.5.

S A – B

A B

72

Dados el espacio muestral S = Z (el conjunto de los números enteros) y los eventos A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}; B = {5, 6,..., 30}; C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y D = {–6, –4,..., 10, 12}; se realizan las operaciones A B; A B; C A; C D; A – B; C – A, y A D

• A B = {5, 7, 11, 13, 17}• A B = {2, 3, 5, 6, 7,..., 30}• C A = {2, 3, 5, 7}• C D = {–6, –4, –2, 0, 1, 2,..., 10, 12}• A – B = {2, 3}• C – A = {0, 1, 4, 6, 8, 9}• A D = {2}

de las cuales se derivan, también

• (A B) – (A D) = {5, 7, 11, 13, 17} – {2} = {5, 7, 11, 13, 17}• {Ac – Bc} C = {6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20,..., 30} C = {6, 8, 9}• {Ac – Bc} C c = {6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20,..., 30} C c = {10, 12, 14,

15, 16, 18, 19, 20,..., 30}• (B D)c C c = {6, 8}c C c = C c

• (A D) – C = {2} – C = • (A B)c–(A D)c={...3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19,...}–{...0, 1, 3, 4, ...}={2}

En la teoría del álgebra de eventos es de suma importancia trabajar con algunos eventos especiales, donde sus elementos a lavez son eventos de un espacio muestral. De hecho, el desarrollo teórico de las probabilidades está basado en dichos eventos, pero por llevar a cabo un curso práctico de estadística y probabilidad, sólo se analizará uno de estos eventos: la partición de eventos, el cual es tratado en la siguiente subsección.

Al conjunto cuyos elementos son todos eventos se le llama familia de eventos . Para diferenciar en la notación de un simple evento a la familia de eventos, se representará por las letras A , B, etcétera.

Por ejemplo, A = {A1, A2,..., An}, donde A1, A2,..., An son eventos, es una familia de eventos.

Se identifican familias de eventos

• {{1, 2, 3}, {2, 3, 5, 7}, {4, 8, 12, 16}} sí es una familia de eventos, ya que sus tres elementos son eventos

• {1, 2{1, 2, 3}, {2, 3, 5, 7}} no es una familia de eventos, ya que de sus cuatro elementos, 1 y 2 no son eventos

• { , {1, 2, 3}, {2, 3, 5, 7}, {4, 8, 12, 16}} sí es una familia de eventos, ya que sus cuatro elementos son eventos

Ejemplo 8

Definición 2.17

Ejemplo 9

73

Generalización de la unión e intersección de eventos

Dados los eventos A1, A2,..., An, es posible generalizar las operaciones de unión e inter-sección entre ellos de la siguiente manera

i

n

1 A1 = A1 A2, ..., An = {x | existe una i In tal que x Ai} (unión).

i

n

1 A1 = A1 A2, ..., An = {x | x Ai para toda i In} (intersección).

donde se denota por In el conjunto de todos los números naturales, menores o iguales a n.

Dados los eventos A1={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A2={3, 5, 7, 9, 11}; A3={2, 4, 6, 8, 10}; A4={1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22}, y A5={0, 1, 2,..., 9}, se encuentran su unión e intersección

Unión i 1

5

Ai= {0, 1, 2,..., 10, 11, 13, 16, 19, 22}

Intersección i 1

5

Ai=

2.3.5 Particiones de eventos

En el estudio de los eventos y sus operaciones surgen familias que debido a sus propie-dades son de gran importancia en la formalización del desarrollo de la teoría de las probabilidades; dichas familias se llaman particiones .

Particiones

Dado A como un evento y A1, A2,..., An subeventos de A, los cuales forman una familia A = { A1, A2,..., An}, de eventos, se dice que A forma una partición del evento A, si los subeventos dados cumplen con

1. Para toda k In se cumple Ak

2. A Aii

n

1

3. Para cualesquiera eventos Ai y Aj de un mismo experimento, con i, j In, se cumple que Ai = Aj o, en caso contrario, Ai Aj =

Ejemplo 10

74

Dado el evento A = {1, 2,..., 100}, se indica si los eventos siguientes, del mismo experi-mento, forman una partición de A

1. A1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A2 = {8, 9,..., 70}, A3 = {70, 71, 72,..., 100}.

Los tres eventos son subeventos de A, con los cuales la segunda condición de una partición se cumple, ya que A = A1 A2 A3; sin embargo, la tercera condición no se cumple, puesto que A2 A3 y A2 A3 ; por tanto, dichos eventos no forman una partición del evento A.

2. A1 = {10, 11,..., 19}, A2 = {20, 21,..., 29},..., A9 = {90, 91,..., 100} y A10 = {0, 1, 2,..., 9}.

Es posible verificar que se cumple la tercera condición de particiones, ya que los diez eventos son mutuamente excluyentes, los eventos no forman unapartición de A, en tanto, el evento A10 no es un subevento de A, puesto que 0 A10, pero 0 A.

3. A1 = {10, 11,..., 19}, A2 = {20, 21,..., 29},..., A9 = {90, 91,..., 100} y A10 = {1,..., 9}.

Estos eventos sí forman una partición del evento A, ya que se cumplen las tres con-diciones. A = A1 A2 ... A10 y todos los eventos son mutuamente excluyentes.

4. A1 = {10, 11,..., 19}, A2 = {20, 21,..., 29},..., A9 = {90, 91,..., 100}, A10 = {1,..., 9}, A11 = {10, 11,..., 19}.

Estos eventos sí forman una partición del evento A, ya que se cumplen las tres condiciones: A = A1 A2 ... A11, y los eventos 1, 2,..., 10 son mutuamente excluyentes y el evento 11 es igual al evento 1.

5. A = R.

a) A1 = (– , –4), A2 = [–4, 7), A3 = [7, 45], A4 = (45, 1 056], A5 = (1 056, + ). Estos eventos sí forman una partición del evento A.

b) A1 = (– , 0), A2 = [0, ). Estos eventos también forman una partición del evento A.

2.3.6 Leyes del álgebra de eventos

Trabajar con eventos dentro de un mismo espacio muestral, basándose en la definición de sus operaciones o de sus propiedades, puede resultar bastante tedioso. No obstante, la solución de problemas relacionados con los eventos también se puede hacer de manera fácil e intuitiva por medio de los diagramas de Venn-Euler, aunque este método carece de fundamento teórico sólido para cualquier caso en general, por lo cual se introducen las siguientes leyes de la teoría de eventos llamadas leyes o propiedades del álgebra de eventos.

Ejemplo 11

75

Dados S el espacio muestral y A una familia de eventos en él, con A, B y C, eventos cualesquiera en S, que pertenecen a A , se llaman leyes del álgebra de eventos a las contenidas en el siguiente cuadro

Con ayuda de estas leyes se pueden efectuar demostraciones sobre la igualdad entre eventos y para el cálculo de probabilidades, como se verá en la siguiente sección.

Ejercicio 2

1. Enuncia dos ejemplos de eventos finitos y dos infinitos. 2. Indica si los siguientes eventos son numerables

a) A = {2, 4, 8, 16, 32,...} b) A = {a, b, c, d,...} c) A = {45, 44, 43, 42, 41, 40,...} d) A = [2, 1 768] e) A = (–134, 234)

76

3. Dado el espacio muestral S = {0, 1,... 20}, los eventos A = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15}, B = {0, 2,..., 20} y C = {2, 3, 5, 7, 11}, encuentra

a) Ac Bc

b) (Ac Bc) C c) A – (B C) d) (B – C)c – A e) (A – C)c B

4. Por medio de diagramas de Venn-Euler, verifica si son ciertas las siguientes igualdades

a) (B A)c C = (Bc C) (Ac C) b) A (Ac B) = A B

5. Construye una partición para cada uno de los siguientes eventos

a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20} b) A = (2, 24)

2.4 Axiomas de la probabilidad

En la sección 2.2 se analizó el problema relativo a la asignación de probabilidades para un evento. También se destacó la importancia de crear una base teórica para el estudio de la probabilidad; esta formalización matemática se incorporó en la sección anterior sobre espacio muestral y los eventos, así como las leyes del álgebra de eventos. En esta sección se da por hecho la asignación de probabilidad a un evento y se desarrolla una teoría de las probabilidades con base en los axiomas que se expondrán.

Dado un experimento con espacio muestral S y una familia de eventos A , tal que sus elementos cumplen con las leyes del álgebra de eventos, se llama probabilidad axiomática a la función numérica P, cuyo dominio es A y rango el intervalo [0, 1], tal que los valores P(E), para cualquier evento E en A , cumplen con los siguientes tres axiomas, llamados axiomas de Kolmogorov para

Axioma 1 Para cualquier evento E, de la familia A , P(E) 0.

Axioma 2 Para el espacio muestral S, P(S) = 1.

Axioma 3 A , E1, E2, E3, ..., En , se cumple

P E P E P E P E P Ekk

n

n kk

n

11 2

1

Es necesario tener en cuenta que en la definición de probabilidad axiomática no se menciona el método de obtención de la probabilidad, es decir, el número P(E), para cualquier evento E en A , se le puede asignar un valor numérico de probabilidad, según

Definición 2.18

77

alguna de las interpretaciones de probabilidad conocidas. Por tanto, se llama P(E) a la probabilidad del evento E, si para cualquier evento E en A cumple con los axiomas de Kolmogorov.

Cabe aclarar que esta definición axiomática de probabilidad no se contrapone a otras, puesto que después de asignada una probabilidad para el evento E, por medio de alguna de las interpretaciones establecidas, la probabilidad P(E) se trata como un valor numérico y, por tanto, se pierde en los axiomas su origen; esto es, los axiomas se basan en valores numéricos que cumplen con las propiedades establecidas, no con la forma de asignación de éstos. En conclusión, las dificultades que se tienen en la asignación de probabilidades a un evento no contradicen los axiomas de Kolmogorov.

En particular, la asignación de probabilidades, según las corrientes de probabilidad mencionadas, cumplen con los axiomas de Kolmogorov.

Hechas estas aclaraciones, basados en los axiomas de Kolmogorov, podemos formular los teoremas necesarios para desarrollar una teoría axiomática sobre las probabilidades.

Teorema 2.1 Sea el evento vacío, entonces P( ) = 0.

Teorema 2.2 Para cualquier evento E, P(Ec ) = 1 – P(E).

Teorema 2.3 Para cualquier evento E, 0 P(E) 1.

Teorema 2.4 Si A y B son eventos dentro de un mismo espacio muestral, tales que A B, entonces P(A) P(B).

Teorema 2.5 Para dos eventos cualesquiera A y B, dentro de un mismo espacio muestral se

cumple P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

El siguiente teorema generaliza el teorema anterior.

Teorema 2.6 Para k eventos cualesquiera A1, A2,..., Ak, dentro de un mismo espacio muestral, se cumple

P A A A P A P A A

P A A A

k ii

k

i ji j

k

i j ri

( ) ( ) ( )

( )

1 21 2

jj r

kk

kP A A A 3

11 21( ) ( )

1. Dados los eventos A y B correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que P(Ac) = 0.6, P(Bc) = 0.7 y P(A B) = 0.2, se calcula P(A B).

Empleando el teorema 2.2, se tiene

P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 0.6 = 0.4P(B) = 1 – P(Bc) = 1 – 0.7 = 0.3

Finalmente, del teorema 2.5, se tiene

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.4 + 0.3 – 0.2 = 0.5

2. Dados los eventos A y B correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que P((A B)c ) = 0.2, P(Ac) = 0.2 y P(A B) = 0.2, se calcula P(A) y P(B).

Nota

Ejemplo 12

78

Empleando el teorema 2.2, se tiene

P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 0.2 = 0.8

de igual manera,

P(A B) = 1 – P((A B)c) = 1 – 0.2 = 0.8

Finalmente, del teorema 2.5, se tiene

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

despejando P(B)

P(B) = P(A B) – P(A) + P(A B) = 0.8 – 0.8 + 0.2 = 0.2

Se podría continuar de esta manera, mostrando ejemplos de resolución de ejercicios, pero como se verá, los seis teoremas hasta ahora formulados no son suficientes para realizar algunos cálculos de probabilidades. Se mostrará que combinando las leyes del álgebra, los teoremas anotados y los diagramas de Venn-Euler, el proceso para la solución de este tipo de problemas se simplifica.

3. Dados los eventos A y B correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que P(Ac) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A B) = 0.7, se calcula P(A – B) y P(Ac – Bc).

Se tiene

P(Ac) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A B) = 0.7

Empleando el teorema 2.2, se calcula

P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 0.4 = 0.6

Empleando el teorema 2.5, se deduce

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.6 + 0.5 – 0.7 = 0.4

De esta manera, el diagrama de Venn-Euler para calcular P(A – B) y P(Ac – Bc) es

S

A B

0.2 0.4 0.1

0.3

79

La probabilidad de la intersección resultó P(A B) = 0.4, como P(B) = 0.5, se tiene que la parte de B que no pertenece a la intersección vale 0.1. Del valor de P(A) = 0.6 se puede concluir que la probabilidad para la parte de A que no está en la intersección debe ser igual a 0.2. Finalmente, la probabilidad para el complemento de la unión vale 0.3, así se pueden calcular las probabilidades deseadas por medio de los diagramas de Venn-Euler.

Al observar el diagrama anterior se deduce la probabilidad P(A – B) = 0.2.De la misma forma, se tiene que Ac – Bc representa a todo lo que está en Ac pero

no se encuentra en Bc, coincide con B – A, donde P(Ac – Bc) = 0.1.

4. En un juego se toman al azar (sin repetición) de una urna, que tiene cinco esferas numeradas del uno al cinco, dos de ellas. La persona gana si las dos esferas extraídas tienen número par. Se calcula la probabilidad de que la persona gane.

La solución de los problemas se puede dividir en tres pasos:

1. Definir al experimento del que se habla en el enunciado del problema.2. Encontrar el espacio muestral.3. Definir y encontrar el evento del problema.

El experimento consiste en extraer dos esferas aleatoriamente de un total de cinco, numeradas del uno al cinco.

Definido el experimento del que se habla, se puede encontrar el espacio muestral

S = {1– 2, 1 – 3, 1 – 4, 1 – 5, 2 – 3, 2 – 4, 2 – 5, 3 – 4, 3 – 5, 4 – 5}

donde las parejas i – j significan que se extrajeron las esferas i con las j, con i j e i, jdesde 1 hasta 5.

Dado el evento E: “ las dos esferas extraídas tienen número par”, donde

E = {2 – 4}

del espacio muestral encontrado (contiene diez elementos) y considerando a los puntos muestrales equiprobables, se tiene

P E( ) .1

100 10

Ejercicio 3

1. Dados A y B como dos eventos en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.3, P(B) = 0.3 y P(A B) = 0.4, calcula a) P(A B) y b) P(Ac Bc).

2. Dados los eventos A y B en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = P(B) = 0.5 y P(A B) = 0.4, calcula a) P(Ac B) y b) P(Ac – B).

Nota

80

3. Dados A y B como dos eventos en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7, P(A B) = 0.9 y P(B) = 0.6, calcula P(Ac Bc ).

4. Dados A y B como dos eventos mutuamente excluyentes, tales que P(A) = 0.4 y P(B) = 0.2, calcula P(Ac B).

5. Se lanzan tres monedas y se anota la cantidad de caras águila que resultan. Encuentra los puntos muestrales de este experimento y

a) asigna una probabilidad razonable a cada punto. ¿Son los puntos igualmente probables?

b) dado el evento A: “observar exactamente una vez cara águila” y el evento B: “observar al menos una cara águila”, encuentra los puntos muestrales de A y B, y calcula P(Ac B )

6. Un aparato electrónico se compone de cinco sistemas. Se seleccionan al azar dos para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defectuosos o no defec- tuosos. Si dos son realmente defectuosos, calcula la probabilidad de que los dos sistemas probados sean buenos.

7. Dados los eventos A, B y C en un mismo espacio muestral, tales que A y B son mutua-mente excluyentes, con P[(A B C)c] = 0.1, P(A C) = 0.2, P(B C) = 0.1; P(C) = 0.6 y P(A) = 2P(B), calcula P(A B).

Ejercicios propuestos

1. Dado el espacio muestral S = {0, 1,..., 20}, los eventos A = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15}, B = {0, 2,..., 20} y C = {2, 3, 5, 7, 11}, calcula

a) Ac Bc

b) (Ac B )c C

2. Se lanza un dado una vez y si sale un número par se lanza una moneda; si el lanzamiento del dado no resulta par, entonces se lanza por última vez el dado. ¿Son equiprobables los puntos muestrales?

3. Dados los eventos A y B en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7, P(Bc) = 0.6 y P(A B) = 0.9, calcula

a) P(Ac B) b) P(Ac Bc)

4. Dados A y B como eventos mutuamente excluyentes, tales que P(A) = 0.4 y P(B) = 0.2, calcula P((A B)c).

5. Se lanzan tres monedas y se anota la cantidad de caras águila que resultan. Establece los puntos muestrales y asigna una probabilidad razonable a cada punto. Dados los eventos A: “una cara águila” y el B: “por lo menos una cara águila”, calcula P(A B).

6. Dados A y B como eventos mutuamente excluyentes, tales que P(A) = 0.3; P(Bc) = 0.6, calcula

a) P(Ac Bc) b) P(Ac – B)

81

7. Dos ajedrecistas (I y II) tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cinco partidas. En cada partida no podrá haber tablas; para evitarlas se jugarán partidas de cinco minutos hasta obtener un ganador registrando el resultado de cada partida. Dado el evento A: “el ajedrecista I gane la serie”; en caso de que gane tres partidas la serie se termina. Calcula P(A).

8. Se tienen cuatro billetes de 200 pesos, cada uno, de los cuales dos son falsos. Se va a pagar una cuenta con dos de tales billetes; la cuenta la cobra el encargado tomando dos de los cuatro billetes al azar. Calcula la probabilidad de que el encargado tomepor lo menos uno de los billetes falsos.

9. Dados los eventos A, B y C del espacio muestral S, tales que A y B forman una par-tición de C, P(Cc) = 0.2 y P(C) = 4P(A); calcula

a) P(A) b) P(B) c) P(C)

Autoevaluación

1. Se lanzan tres monedas y se anota la cantidad de caras águila que resultan; establece los elementos del espacio muestral de este experimento.

a) {sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa} b) {ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa} c) {1, 2, 3} d) {0, 1, 2, 3}

2. Dados A y B como dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral, ¿qué inciso es correcto?

a) A B A y A B B b) A – B A c) A – B B d) A A – B

3. Dados los eventos A y B mutuamente excluyentes, con P(Ac) = 0.6 y P(Bc) = 0.7; calcula P(A B).

a) 0.70 b) 0.58 c) 0.07 d) 0

4. Dados A y B como dos eventos en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7; P(A B) = 0.9 y P(B) = 0.6; calcula P(Ac B).

a) 0.9 b) 0.1 c) 0.4 d) 0.7

82

5. Dados los eventos A y B en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(A B) = 0.4; calcula P(Ac Bc).

a) 0.1 b) 0.6 c) 0.2 d) 0.9

6. Se lanzan dos dados, calcula la probabilidad de que la suma de las caras del dado que quedan hacia arriba sumen cinco.

a) 1

18

b) 5

36

c) 19

d) 1

12

7. Un aparato electrónico se compone de cinco sistemas. Se seleccionan al azar dos para someterlos a pruebas y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos. Si dos de los cinco son defectuosos, calcula la probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas probados sea defectuoso.

a) 0.60 b) 0.70 c) 0.10 d) 0.33

8. Dados A y B como dos eventos cualesquiera en un mismo espacio muestral, ¿qué inciso es correcto?

a) P(A B ) = P(A) b) P(A B ) P(A) c) P(A B ) P(A) d) P(Ac) = P(A) – 1

9. ¿Qué probabilidad será conveniente emplear para la asignación de un valor numé-rico al suceso de que una persona se case este año?

a) bayesiana b) clásica c) frecuentista d) subjetiva

83

Respuestas de los ejercicios

Ejercicio 1

1. a) {0, 1, 2, 3} b) A = {1, 2, 3} 2. a) {sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa} b) {ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}

3. {bb, bd, db, dd}

4. {(V1, V2), (V2, V1), (V1, V3), (V3, V1), (V2, V3), (V3, V2)}

5. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, s), (2, a), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, s), (4, a), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, s), (6, a)}

Ejercicio 2

1. se pueden construir varios

2. a) numerable b) numerable c) numerable d) no numerable e) no numerable

3. a) {1, 3, 17, 19} b) {1, 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19} c) {4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15} d) {1, 3, 17, 19} e) {0, 2, 10, 14, 16, 18, 20}

4. a) sí b) sí

5. a) se pueden construir varias b) se pueden construir varias

84

Ejercicio 3

1. a) 0.2 b) 0.8

2. a) 0.1 b) 0.4

3. 0.1

4. 0.6

5. a) no b) A = {1} y B = {1, 2, 3} y P(Ac B ) =

1

2

6. 0.3

7. 0.6

Respuestas de los ejercicios propuestos

1. a) {1} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15}

2. no

3. a) 0.2 b) 0.1

4. 1

5. P(A B ) = 3

8

6. a) 0.3 b) 0.3

7. 0.5

8. 5

6

85

9. a) P(A) = 0.2 b) P(B) = 0.6 c) P(C) = 0.8

Respuestas de la autoevaluación

1. d)

2. b)

3. a)

4. d)

5. b)

6. c)

7. b)

8. c)

9. d)