Teorema Green
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TEOREMA DE GREEN David Gualpa
Introduccin
El teorema de Green establece la relacin entre una integral de lnea alrededor de una
curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la regin plana limitada por .
El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green y es un caso
especial del ms general Teorema de Stokes.
Este tipo de teoremas resulta muy til ya que dados un campo vectorial y una curva
cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad ms simple
entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia
de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.
Por otra parte, la relacin as establecida entre la integral de la lnea sobre una curva y la
integral doble sobre la regin interior a sta, permite a veces obtener informacin sobre
una funcin o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta funcin
sobre la frontera de dicho recinto.
ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea
F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas
parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a la regin D acotada por C.
Entonces:
CD C
QdyPdxdAy
P
x
QdrF
Demostracin
CD C
QdyPdxdAy
P
x
QdrF
En y , es constante, de modo tal que y
Por lo tanto,
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=George_Greenhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Stokes
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Comparando esta expresin con la de la ecuacin 3, vemos que,
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Transformacin de una integral de lnea en una de rea. Evaluar C
xydxdxx4 ,
donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada
positivamente.
SOLUCIN:
La grfica indica la regin encerrada por la curva C.
Tenemos:
yx
QxyyxQ
y
PxyxP
);(
0);( 4
Por lo tanto:
x
y
1
1
y = 1 - x
-
y
x 1
1
-1
-1
2.) Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine el rea de la
regin limitada por la hipocicloide que tiene la ecuacin vectorial
r(t) = cos3t i + sen
3t j , 0 t 2
SOLUCIN:
De la parametrizacin de la curva tenemos:
x = cos3t x
2/3 = cos
2t
y = sen3t y
2/3 = sen
2t
Sumando miembro a miembro tenemos:
1
1
2/33/21
1
1
1
2/33/23/23/2 12 11
2/33/2
2/33/2dxxdydxAxyyx
x
x
Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. El teorema de Green
nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la
hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin.
Veamos:
El rea de una regin D viene dada por D
dAA 1 . Por lo tanto, para aplicar Green
deberamos encontrar funciones P, Q / 1
y
P
x
Q . Un par de funciones sencillas que
cumplen esta condicin son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos:
x = cos3t dx = -3 cos
2t sent dt
y = sen3t dy = 3 sen
2t cost dt
Luego:
8
3
6
2sen
8
4sen2cos2sen
2
4cos1
)2cos2sen2(sen4
2sen
2
2cos13
4
2sencos3
sencos3cossen3cos
2
0
3
21
83
2
0
2
83
2
0
22
83
2
0
22
0
22
2
0
242
0
23
tttdttt
t
dttttdttt
dtt
t
tdtttdtttQdyPdxdAy
P
x
QA
CD
De esta manera contamos con una herramienta ms para obtener el rea de la regin
encerrada por una curva cerrada, que se suma al mtodo en coordenadas polares visto en
Anlisis II y al clculo por integral de rea que ejecutamos cuando tenemos la expresin
cartesiana de la curva.
-
3.) Limitaciones en la aplicacin del Teorema de Green. Dado
F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y
2)
a) Calcular su integral de lnea sobre el crculo x2 + y
2 = 1
b) Calcular dAy
P
x
Q
D
, donde D es la regin encerrada por la curva del punto a).
c) Discutir si estos resultados estn de acuerdo o no con el Teorema de Green.
SOLUCIN:
a) Parametricemos el crculo.
20 , cossen
sencos
t
tdtdyty
tdtdxtx
tdtQdxtdttt
ttytxQ
tdtPdxtdttt
ttytxP
2
22
2
22
coscoscossen
cos))();((
sensencossen
sen))();((
Integrando tendremos, as:
C
dtttQdyPdx
2
0
22 2cossen
b) Haciendo los clculos directamente en coordenadas cartesianas es:
00
2)(
2
222
22
222
22
222
22
222
22
dAyP
x
Q
y
P
x
Q
yx
xy
yx
yyyx
y
P
yx
xy
yx
xxyx
x
Q
D
c) Aparentemente estos resultados contradiran el Teorema de Green. Sin embargo, este
ltimo no es aplicable a la regin en cuestin, dado que las funciones P y Q no tienen
derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que est contenido en la regin.
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4.) Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una regin con
agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de radio
interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus dimetros.
SOLUCIN:
Determinaremos el momento de inercia
respecto al dimetro colineal con el eje x.
De Fsica sabemos que:
D
x dAyI2
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es
homognea.
Esta regin no es simplemente conexa pero,
como se vio en la teora, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones
con agujeros, siendo:
D C C
QdyPdxQdyPdxdAy
P
x
Q
1 2
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos
integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:
3
312 ; 0 :ejemplopor , tomamos; yPQy
y
P
x
Q
Aplicando Green con esta funcin tenemos:
2121
3
313
313
313
312 00
CCCCD
x dxydxydydxydydxydAyI (1)
Parametrizando estas curvas tenemos
20 ,cossen
sencos
20 ,cossen
sencos
2
1
ttadytay
tadxtaxC
ttbdytby
tbdxtbxC
Reemplazando con esto en (1) tendremos:
y
x a b
C2
C1
-
2
0
444
31
2
0
2
0
33
3133
31 sen)sen(sen)sen(sen tdtabdttatadttbtbI x
Mab
abababdttt
ab
dtt
tabdtttab
22
41
2222
4144
41
2
0
44
31
2
0
2244
31
2
0
2244
31
8
4cos1
2
cos1
4
2sensencos1sen
sta es la manera estndar de expresar un momento de inercia: como el producto de una
longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rgido.