Teorema de Green 15 Final (1)

8/16/2019 Teorema de Green 15 Final (1)

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FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Título de Investigación:TEOREMA DE GREEN CON APLICACIÓN –CÁLCULO III

Integrantes:

Cojal Aguilar, Carlos Iván

Docente:

Lic. Christian Murga Tirado

Cajamarca Perú 2016


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INDICE

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3

2. OBJETIVOS. ................................................................................................................................ 4

2.1. OBJETIVO GENERAL. ................................................................................................................... 4

2.2. OBJETIVO ESPECÍFICO ................................................................................................................ 4

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO. ................................................................................................... 5

1. EL TEOREMA DE GREEN. ......................................................................................................... 5 1.1. Teorema de Green-Riemann . .................................................................. ................................ 6

1.2. Teorema de Green para regiones múlti plemente conexas...................................................... 7

1.3. Pri ncipio De I ndependencia De La Trayectoria. .................................................................... 7

CAPITULO 2: APLICACIÓN ............................................................................................................. 9

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................... 10

CONCLUSIONES .............................................................................................................................. 24

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA) .................................................................... 25 ANEXOS............................................................................................................................................. 26


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1. INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se da a conocer el concepto y aplicación del teorema de Green así

como también parte de la integral de line ya que el teorema de Green está relacionado con

este. El teorema de Green nos dice que la integral de una función sobre un conjunto S =

[a, b] es igual a una función relacionada (la anti-derivada) evaluada de cierta manera sobre

la frontera de S, en esta caso solo consta de do puntos a y b este teorema da la relación

entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble

sobre la región plana D limitada por C.

Mediante este trabajo se presentara como se desarrolla el teorema de Green del mismo

modo, resolverán ejercicios relacionados a este, y finalmente se presentara una aplicación

del teorema de Green.

Para ello se ha seleccionado previamente bibliografía adecuada las cuales definen

términos basados en el desarrollo de integrales, se exponen ecuaciones para resolver

problemas de integrales de superficie y áreas. Esta síntesis presenta diferentes formas de

resolver problemas de cálculo vectorial mediante el Teorema de Green.


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2. OBJETIVOS.

2.1. Objetivo General.

Analizar y explicar el teorema de Green

2.2. Objetivo Específico

Definir los procesos y desarrollo del teorema de Green.

Aprender las aplicaciones del teorema de Green.

Resolver ejercicios relacionados al teorema de Green.

Desarrollar un problema de aplicación del teorema de Green.


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DESARROLLO DEL TEMA.

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO.

1. EL TEOREMA DE GREEN.

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una

curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva

cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad m ́as

simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia

de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva

(CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN, s.f.)

Teorema: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente

orientada, en el plano R 2 , y sea D la unión de la región interior a C. Sea F –

(P,Q): D → R2 un campo vectorial de clase C 1. Entonces se tiene que:

Nota Histórica.

El teorema de Green toma su nombre del científico inglés autodidacta

George Green (1793 – 1841) quien trabajo en la panadería de su padre

desde los nueve años de edad y aprendió matemáticas por sí mismo por

medio de libros de la biblioteca. En 1828 publico privadamente un ensayo

titulado “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the

Theories of Electricity and Magnetism” (Un ensayo sobre la aplicación del

Análisis Matemático a las Teorías de la Electricidad y el Magnetismo) del


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que solo se imprimieron 100 copias, la mayor parte de las cuales fueron a

parar a manos de sus amigos.

El panfleto contenía un teorema que es equivalente a lo que hoy

conocemos como el teorema de Green, pero no fue ampliamente conocido

en aquella época. Finalmente, a los 40 años de edad, Green entro a la

universidad de Cambridge pero murió cuatro años después de graduarse.

En 1846 William Thompson (Lord Kelv n) encontró una copia del ensayo

de Green, comprendió su importancia, y lo hizo reimprimir. (EEI, 2012)

1.1. Teorema de Green-Riemann.

Sea R una región del plano simplemente conexa y acotada, y supongamos que C

es la curva cerrada y simple que envuelve a la región R orientada en sentido

positivo. Supondremos que la curva anterior es rectificable. Si P(x,y) y Q(x,y)

son dos campos escalares definidos sobre R derivables y con derivadas parciales

continuas, se verifica que:

, ,

Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar:

Teorema: Sea un campo vectorial, F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) derivable,

con derivadas continuas, sobre la región R simplemente conexa y acotada,

y supongamos que en todo el conjunto R. Entonces F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) es un campo gradiente.

Ya sabíamos también que si F era un campo gradiente resultaba que


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1.2. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas.

Sea un conjunto R del plano simplemente conexo y denominamos por Ck ,

k=1,2,...n a “n” subconjuntos simplemente conexos contenidos en R.

Supondremos que si C es la curva que envuelve a R y Ck la que envuelve a cada

R k , todas esas curvas son cerradas, regulares, simples y orientadas positivamente.

En estas condiciones, si ⋃ = y admitimos que el campo vectoriales derivable, con derivadas continuas, sobre la región T, se verifica que:

, , ∑ , ,=

1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria.

Sea f(z) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente conexo

D y sean z1 y z2 dos puntos de D. entonces, sí usamos contornos contenidos en

D, el valor de ∫ no dependerá del contorno utilizado para ir de z1 a z2.Demostración. Sea D un dominio simplemente conexo y C1 y C2 dos contornos

en D sin intersección que van de z1 a z2. Se tiene que los contornos C1 y – C2

forman un contorno cerrado simple, que denominaremos C. Luego, por el

teorema de Cauchy-Goursat.

0 Pero:

−


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8

Por lo tanto,

Lo cual indica que la integral desde z1 hasta z2 es así independiente del contorno

seguido, en tanto ese contorno se encuentre dentro de D.

Del principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primitiva

de una función de variable compleja. Sea f(z) una función analítica en un dominio

simplemente conexo D. Sea z0 en un punto de D. La función F(z) definida en D

por:

Donde C es una constante compleja, se denomina integral indefinida o primitiva

de f. En realidad f(z) posee un número infinito de primitivas. Dichas primitivas

difieren en valores constantes y son analíticas en D, y satisfacen:

′ Usamos la integral indefinida ∫f(z) dz para indicar todas las posibles primitivasde f(z). El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica

∫ queda determinado por el límite de integración inferior.


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CAPITULO 2: APLICACIÓN

Se dejara caer una canica por una curva que viene modelada por la ecuación: la altura

desde donde carera la canica es de un 1m. al igual que la distancia horizontal que

corresponde a 1m.

y = 50.022x6 - 183.23x5 + 251.02x4 - 159.86x3 + 48.355x2 - 7.1929x + 1.0037.

Mediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.


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CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.

1. Calcular ᶋ , donde es da frontera del cuadrado [-1.1] x [-1.1] orientada en sentido cntario al de las agujas del reloj.

Solución

Por el tema de Green, si llamamoms D al interior del cuadrado,

entonces

ᶋ ∬ como , , , , resultado en este caso,

2 2 ∙ 8 2. Usar el teorema de Green para calcular ᶋ , donde es el perímetro de 0,10,1 en sentido positivo.

Solución:

Como

,

, , , entonces

4

2 . de este modo, si Des el interior del cuadrado 0,10,1,por elteorema de Green,

4 2 4 2 4 1 0


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3. Sea 2 , .a) Calcular ᶋ F ds, donde es la circunferencia unidad recorrida en

sentido antihorario.

b) Verificar el teorema de Green cuando es la frontera de región anulardescrita por ≤ ≤ orientada en sentido positivo.

Solución:

a) Si llamamos P(x, y) = 2 , Q(x, y) = , entonces 3 3. Porel teorema de Green, ∬3 3, donde D es elcirculo

≤ 1. Mediante un cambio a coordenadas polares, la

integral queda de la forma

3. 32

b) Si aplicamos el teorema de Green, la situacion es analoga a la del

apartado (a), donde ahora la region D es la corona circular a≤ ≤ .El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a

3. 3 ∙ 2

4 3

4


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12

Si queremos resolver la integral de forma directa, debemos

descomponer la trayectoria en dos curvas: 1 es la circunferenciaexterior recorrida en sentido antihorario, y C2 lacircunferencia interior recorrida en sentido horario. Si

parametrizamos ambas curvas como:

1 0 ≤ ≤ 2 ; 1 0 ≤ ≤2Resulta,

∫ ∫ CC

2

2

2

3

2


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4. Si C es una curva cerrada que limita una región D a la que se puede

aplicar el teorema de Green, probar que área ∫D ∫D Solución:Por definición, área ∬D . Si elegimos ,

0, , , entonces 1 , por el teorema de Green,

∬ dxdy ∬ d x d y ∫ xdy.Por otra parte, la elecci´on P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0, tambi´en

conduce a la igualdad 1, aplicando nuevamente el

teorema de Green, resulta que

∫ ydx Observación. Sumando los dos resultados obtenidos, llegamos

también a la formula conocida

12 ∫ xdy ydx

5. Calcular el área de la elipse 1.

Solución


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14

Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, podemos aplicar la formula

∫ xdy. Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por lasecuaciones

, , 0 ≤ ≤ 2De este modo,

∙ 122 2 ∙ 2 .

6. Usar el teorema de Green para calcular la integral de línea ∮ 3 , donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica de

de (1,1) a (0,0) sobre la gráfica y=x.

SOLUCIÓN

3

3 3 3

3 3 3 3

3


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3

3 3

34 6

34

12

14 7. Calcula el área de la elipse: 1

SOLUCION:

Podemos aplicar la fórmula: A=

∫ . (Aplicando teorema de gren)

Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las ecuaciones

X= a cos t

Y= b sen t

( 0 ≤ t ≤ 2

)

De este modo:

A=∫ cos . = ab ∫ + = . 2

8. . Calcular:

∫ 2,


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r(t)=ti+ / j+ k , 0 ≤ ≤ 2

SOLUCION:

De r”(t)=i+2/ j+tk,y‖"‖= "2 "2 "2=√ 1 4 Se sigue que:

∫ 2 =∫ 2 √ 1 4 dt= ∫ 2 2 1 4 /dt evaluado en 0 y 2

≈. 9. Mediante la fórmula de Green calcular la integral ∮ 2

donde Ces el circulo 1 Solución

∮ 2 =∬ dA

2

⇒

3 3

∮ 2 =∬ 3 donde D: ≤ 1 Pasando a coordenadas polares x=rcos,y=sen , 0≤ ≤ 2 0 ≤ ≤ 1 .

2 =∬ 3


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=∫ ∫ 3 =

10. Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar

∫ X.C dx xy dx, donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y(1;0), orientada positivamente.

Solución:

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

Px, y X → dPdy 0 Qx, y x y → dQdx y

Por lo tanto:

x.C

dx xy dx dQdx.

D dPdydA

ydydx 12

−

y| 1 x0 12

1 x dx 16 1 x | 10 16

x

y

1

1

y = 1 - x


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11. Mientras está bajo la acción de la fuerza ⃗ ⃗ una partícula da una vuelta a la circunferencia de radio 3, usar el teorema de Green

para hallar el trabajo realizado por

⃗.

SOLUCIÓN

∫ . ∫ ∬ 3 Pasando a coordenadas polares r=3, 0 ≤ ≤ 2

3 3

34

34

2438 [ 22 ]

2438 12. El próximo ejemplo enseña cómo utilizar una integral de línea para hallar la

masa de un muelle, en forma de hélice, de densidad variable. En la figura 14.11,


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téngase en cuenta que la densidad aumenta conforme la hélice asciende entorno

al eje z.

Calcular la masa de un muelle que tiene la forma de la hélice circular

r(t)= √ (costi+sentj+tk), 0 ≤ ≤ 6 Si la densidad del muelle viene dada por , , 1 14.11

SOLUCIÓN

‖"‖ = √ 2 2 12 =1La masa del muelle es:

Masa= ∫ 1 =∫ (1+ √ ) dtIntegrando y evaluando en 0 y 6 se tiene:≈.

13. Utilice el Teorema de Green para calcular la integral ∮ 2 , donde C es la frontera de la región situada en el interior del


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rectángulo limitado por X=-5, X=5, Y=-3, Y=3 y en el exterior del cuadrado

limitado por X=-2, x=1, Y=-1, Y=1

=∬ 2 1

=∫ ∫ −− ∫ ∫ −− =

∫ (3 3)

− ∫ (1 1)

−

=∫ 6− ∫ 2− =(5 5) . 6 2 1 1

=56


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14. Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con

agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio

interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.

Solución:

Determinaremos el momento de inercia

respecto al diámetro colonial con el eje x. De

Física sabemos que:

D

x dA y I 2

Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es

homogénea.

Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender

el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

D C C

Qdy PdxQdy PdxdA

y

P

x

Q

1 2

Por lo tanto, podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos

integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

3

312 ; 0 :ejemplo por, tomamos; y P Q y

y

P

x

Q

Aplicando Green con esta función tenemos:

y

xa b

C 2

C 1


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22

2121

3

313

313

313

312 00

C C C C D

x dx ydx ydydx ydydx ydA y I

(1)

Parame trizando estas curvas tenemos

20 ,cossen

sencos

20 ,cossen

sencos

2

1

t t adyt a y

t adxt a xC

t t bdyt b y

t bdxt b xC

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

2

0

444

31

2

0

2

0

33

3133

31 sen)sen(sen)sen(sen tdt abdt t at adt t bt b I x

M ab

abababdt t t

ab

dt t

t abdt t t ab

22

41

2222

4144

41

2

0

44

31

2

0

2244

31

2

0

2244

31

8

4cos1

2

cos1

4

2sensencos1sen

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una

longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.

15. Calcular

∫ 0 ( Donde C es el camino que encierra la región anular de la figura 14.31


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Solución:

En coordenadas polares, R viene dada por 1 ≤ ≤ 3 y 0 ≤ ≤ , Ademas а͟Nа а͟Mа =-2x-2y=-2(rcos

Así pues por el teorema de Green:

∫ ( =∫ ∫ -2(x+y) dA=

∫

∫2

=


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CONCLUSIONES

Analizamos las Integrales de línea independiente de la trayectoria.

Explicamos el Teorema de Green.

Definimos integrales de línea.

Comparamos las diferentes definiciones de la bibliografía escogida.

Definimos los procesos y desarrollo del teorema de Green.

Resolvimos ejercicios y problemas usando ecuaciones las Integrales

de línea independiente de la trayectoria y a la vez los Teoremas de

integrales de línea entre ellos el Teorema de Green.

Aprendimos los métodos existentes para resolver las Integrales de

línea independiente de la trayectoria.

Aprendimos las aplicaciones de este tipo de integrales de línea.


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REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)

Integrales de línea. Teorema de Green, José Antonio Vallejo

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-alculus/line_integrals_topicntegrales de

línea, ISABEL MARRERO, Departamento de Análisis Matemático

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/

lineavec/lineavec.html

CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN. (s.f.). Obtenido de

https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/117590/mod_resource/content/1/cap11-green.pdf

EEI. (8 de Febrero de 2012). Demostración y aplicaciones del teorema de Green .

Obtenido de

http://torricelli.uvigo.es/web_de_E.Faro/Calculo_II/Apuntes_files/clase_08.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea


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ANEXOS

Modela a escala de la curva para aplicar el teorema de Green.

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