44

I

C

(Pdx+Qdy) =

ZZ

S

✓�Q

�x� �P

�y

◆dxdy

�F = P i+Qj

I

C

�F · d�r =

ZZ

S

⇣⇥� �F

⌘· kdxdy

�F = Qi� P j

I

C

�F · d�r =

ZZ

S

⇣� · �F

⌘dxdy

P = x

4 ; Q = xy ) �Q

�x= y ;

�P

�y= 0

ZZ

S

✓�Q

�x� �P

�y

◆dxdy =

ZZ(y � 0) dxdy =

1Z

0

dx

1�xZ

0

ydy =

1Z

0

dx1

2

�y2���1�x

0

ZZ

S

✓�Q

�x� �P

�y

◆dxdy =

1

2

1Z

0

(1� x)2 dx = �1

2

1Z

0

u2du = �1

6u3 = �1

6(1� x)3

���1

0=

1

6

Teorema de Green en el plano

Si P, Q y sus derivadas son continuas en una región R del plano xy limitado por una curva cerrada C, entonces:

Si hacemos: entonces:

Si hacemos: Entonces también se expresa como:I

C

�x

4dx+ xydy

�Problema.- Evalúe donde C es la curva triangular formada por los

segmentos de recta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) y de (0,1) a (0,0). Como se muestra en la FiguraSolución Para aplicar el teorema de Green Hagamos:

45

) �Q

�x= �3x2 ;

�P

�y= 3y2 )

ZZ

S

✓�Q

�x� �P

�y

◆dxdy =

ZZ ��3x2 � 3y2

�dxdy

ZZ

S

✓⇥Q

⇥x� ⇥P

⇥y

◆dxdy = �3

ZZ �r2 cos2 �+ r2 sin2 �

�rdrd�

ZZ

S

✓⇤Q

⇤x� ⇤P

⇤y

◆dxdy = �3

ZZr3drd⇥ = �3

✓r4

4

◆����2

0

(⇥)2�0 = �24�

I

C

�y

3dx� x

3dy

�x

2 + y

2 = 4Problema.- Evalúe donde la curva C es el círculo:

P = y

3 ; Q = �x

3Solución Para aplicar el teorema de Green Hagamos:

Sustituyendo por coordenadas polares

Solución Para aplicar el teorema de Green Hagamos:

Problema.- Hallar siendo C es la circunferencia I

C

[(3x+ 4y) dx+ (2x� 3y) dy]x

2 + y

2 = 4

P = 3x+ 4y ; Q = 2x� 3y ) @Q

@x

= 2 ;@P

@y

= 4

)ZZ

S

✓@Q

@x

� @P

@y

◆dxdy =

ZZ(2� 4) dxdy

I

C

[(3x+ 4y) dx+ (2x� 3y) dy] = �2

ZZdxdy = �8⇡

Problema.- Demostrar que el área de una curva cerrada simple C está dada por:

A =1

2

I

C

(xdy � ydx)

Solución: El teorema de Green establece que:I

C

(Pdx+Qdy) =

ZZ

S

✓�Q

�x� �P

�y

◆dxdy

Así, si en el teorema de Green Hacemos Q = x ; P = -y, tenemos

Problema.- Utilizando el resultado anterior calcular el área de una elipse.

Solución: Sabemos que en una elipse las coordenadas (x,y) están dadas en coordenadas polares por:

Utilizando el teorema de Green para hallar el área

x = a cos ✓ ; y = b sin ✓ ) dx = �a sin ✓d✓ ; dy = b cos ✓d✓

A =

1

2

I

C

[(a cos ✓) (b cos ✓d✓)� (b sin ✓) (�a sin ✓d✓)]

A =

1

2

ab

I

C

�cos

2✓ + sin

2✓�d✓ =

1

2

ab

2⇡Z

0

d✓ ) A = ⇡ab

ZZ

S

✓@Q

@x

� @P

@y

◆dxdy = 2

ZZdxdy = 2A )

I

C

(xdy � ydx) = 2A ) A =1

2

I

C

(xdy � ydx)