CLCULO DE VARIAS VARIABLES

FORMACIN POR COMPETENCIAS

Campos vectoriales

conservativos

Teorema de Green

Parametrizacin de

superficies

Objetivos

Comprender y usar el teorema fundamental de las integrales de lnea

Aplicar el Teorema de Green para calcular una integral de lnea.

Calcular reas aplicando el teorema de Green.

Parametrizar superficies.

Calcular el vector normal y el plano tangente a una superficie en un punto.

Aplicar las integrales de lnea a diferentes problemas de contexto real.

Campos vectoriales

conservativos

Campo vectorial conservativo

Un campo vectorial se llama conservativo si existe una funcin derivable tal que = . A la funcin se le llama funcin de potencial para .

Criterio para que un campo vectorial sea conservativo

Si = + es un campo vectorial, donde y son funciones cuyas primeras derivadas parciales son continuas. es conservativo si y

slo si

=

Si = + + es un campo vectorial donde , y son funciones cuyas primeras derivadas parciales son continuas. es conservativo si y slo si

=

,

=

y

=

Ejemplo

Determine si los siguientes campos vectoriales son conservativos. Si lo es,

encuentre una funcin de potencial para el campo vectorial

Solucin

(a) (; ) = 12; 6 2 + .

(b) (; ) = cos + sen .

(c) (; ) = 2

2

2 .

(d) (; ; ) = 23; 23; 322 .

(e) (; ; ) = sen cos + .

(f) (; ; ) = 1

2 + 2 1 .

Teorema fundamental de la

integrales en lnea

Teorema. Sea una curva suave contenida en una regin abierta y dada por , donde . Si es conservativo en entonces

donde es una funcin de potencial de , es decir = .

.

= .

=

Este teorema expresa que si es un campo continuo y

conservativo en una regin abierta , el valor de . es el

mismo para toda curva suave por partes que una los puntos y .

Es decir . es independiente de la trayectoria si y slo si es

un campo conservativo .

Nota: Las afirmaciones siguientes son equivalentes 1. es un campo continuo y conservativo

2. . es independiente de la trayectoria

3. . = 0 para toda curva cerrada .

Ejemplo

Para el campo de fuerza (; ; ) = cos sen + 2.

Solucin

(a) Muestre que . es independiente de la trayectoria.

(b) Calcule el trabajo realizado por al trasladar una partcula a lo

largo de la curva que une los punto 0;

2; 1 y 1; ; 3 .

Teorema de Green

Conceptos previos

1. Una curva dada por = 1() + 2() , donde es simple si no se corta a s misma (no tiene auto intersecciones).

2. Una regin en el plano es simplemente conexa si su frontera es una curva cerrada simple.

regin simplemente conexa regin no simplemente conexa

3. Una curva est orientada positivamente (en sentido

contrario a la manecillas del reloj)

si hace solo un recorrido de

manera que la regin se

encuentra siempre a su izquierda. Orientacin positiva Orientacin negativa

Teorema de Green

Sea una regin simplemente conexa cuya frontera es una curva cerrada simple regular orientada positivamente. Si

,,

,

son funciones continuas en una regin abierta que

contenga a , entonces

; + ;

=

Observacin

Si

= 1 entonces el rea dela regin es:

= + =

Ejercicios

Solucin

2) Una curva esta formada por los segmentos de recta de (0;1) a (0;0) y de (0;0) a (1;0) y la parbola = 1 2 de (1;0) a (0;1)

1) Calcule la integral + +

donde

es la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 2.

a. Grafique la curva indicando claramente su orientacin.

b. Calcule la integral +

donde esta descrita

en el item (a)

Ejercicios

Solucin

3) En cada caso calcule la integral de lnea dada usando el teorema de Green

. + 2 donde es el rectngulo que tiene dos de sus lados

paralelos al eje y dos de sus vrtices opuestos son (1;1) y (2;4)

. (2 3) + (4 2) donde es el cuadrado cuyos

vrtices son (0;0), (2;0), (2;2), (0;2).

4) Una partcula inicia su desplazamiento en el punto (-2;0)

movindose a lo largo del eje hasta el punto (2;0), luego se desplaza

a lo largo de la semicircunferencia = 4 2 hasta el punto de partida. Use el Teorema de Green para hallar el trabajo realizado sobre

esta partcula por el campo de fuerza ; = (; 3 + 33).

Teorema de Green:

Clculo de reas

Integral de lnea para el rea de una regin

Si es una regin del plano, acotado por una curva simple cerrada y suave por partes, orientada en sentido antihorario, el

rea de est dada por:

=1

2

Ejemplo

Use el Teorema de Green para calcular el rea de la regin acotada por las curvas = 4 y = 22.

Solucin

=1

2

1+2

=1

2 +

1

( )

2

Las funciones vectoriales que representan las curvas 1: = 4 y 2: = 2

2 cuyo movimiento sobre sus trayectorias es

antihoraria son:

=1

2 42 22)

2

0

=8

32.

1: 1 = ;4 2; 0 2: 2 = ; 2

2 0; 2

Ejercicios

Solucin

1) Considere la elipse de ecuacin: 2

2+2

2= 1

a) Exprese el rea de la elipse como una integral de lnea.

b) Determine el rea de la regin limitada por la elipse.

2) Considere la regin en el primer cuadrante limitada por las curvas 4 = , = 4 y = 4. a) Grafique en el plano cartesiano la regin . b) Defina la curva formada por la unin de las curvas anteriores

parametrizadas en sentido antihorario.

c) Exprese el rea de la regin como una integral de lnea. d) Calcule el rea de la regin .

Parametrizacin de

superficies

Parametrizacin de superficies

Sea ; y funciones de y que son continuas en un dominio de en el plano . El conjunto de puntos (; ; ) dado por ; = ; ; ; ; (; ) se llama una parametrizacin de la superficie

3.

En general, una superficie dada como la

grfica de una funcin = (; ) tambin puede ser considerada como superficie

paramtrica al considerar e como parmetros y escribir la parametrizacin

como

; = ; ; (, )

Ejemplo 1

Encuentre una parametrizacin del cono:

= 2 + 2, 0 1

Solucin

; = ; ; , Adems la parametrizacin es uno a uno (inyectiva)

Ejemplo 2

Solucin

Encontrar una parametrizacin de la esfera:

2 + 2 + 2 = 2

Ejemplo 3

Solucin

Encontrar una parametrizacin del cilindro:

2 + ( 3)2= 9, 0 5

Vector normal y plano

tangente a una superficie

Vector normal a una superficie paramtrica suave

Sea S una superficie paramtrica suave r ; = ; ; ; ; (; )

definida sobre una regin abierta en el plano .

Sea 0; 0 un punto en . El vector normal a la superficie en el punto 0; 0; 0 = 0; 0 ; 0; 0 ; 0; 0 est dado por

= 0; 0 0; 0 =

Plano tangente a una superficie paramtrica suave

Sea una superficie paramtrica suave ; = ; ; ; ; (; )

y su vector normal en el punto 0 0; 0; 0 . El plano tangente a est dado por

: 0 = 0

0 0

0; 0; 0

Al efectuar el producto escalar se obtiene la ecuacin general

del plano tangente.

Ejemplo

Encontrar la ecuacin del plano tangente del paraboloide dado

por ; = (; ; 2 + 2) en el punto (1;2;5)

Solucin

El punto en el plano que es asignado con el punto ; ; = (1; 2; 5) es ; = (1; 2). Las derivadas parciales

de r son:

r = (1; 0; 2) y r = (0; 1; 2), r r = (2;2; 1)

Entonces en el punto (1; 2; 5) tenemos r r = (2;4; 1) As la ecuacin del plano tangente en el punto (1;2;5), esta dado

por:

1; 2; 5 2,4; 1 = 0 2 + 4 = 5

Ejercicio

Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie

representada por: r ; = (2; 3; 2) en el punto (0;6;4)

Solucin

Bibliografa

[1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Clculo Esencial

1 ed. Mxico: Cengage Learning

[2] Stewart, J. (2010) Clculo de varias variables conceptos y

contextos. 4 ed. Mxico. Cengage Learning

[3] Anton, H. (2009) Clculo Multivariable. 2 ed. Mxico: Limusa

Wiley.

[4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Clculo con trascendentes

tempranas. 7 ed. Mxico: Pearson Educacin.

[5] Thomas, G. (2006) Clculo varias variables. 11 ed. Mxico:

Pearson