1REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIOEXTENSION MERIDA

ESCUELA DE ARQUITECTURA

TEOREMAS

Gauss, Stokes, Green y Ampere

PROFESORA: ESTUDIANTE:Lcda. Mara E. Rivas Dilmer A. Prez U.Matemticas 3.0 V-24.191.891

27 de enero de 2015

2INTRODUCCIN

Histricamente la idea de integral se halla unida al clculo de reas a

travs del teorema fundamental del clculo. Ampliamente puede decirse que

la integral contiene informacin de tipo general mientras que la derivada la

contiene de tipo local. El concepto operativo de integral se basa en una

operacin contraria a la derivada a tal razn se debe su nombre de:

antiderivada.

Es importante tener en cuenta que, cuando se invierte algo donde

intervienen ms de una operacin, stas han de invertirse, pero en orden

opuesto. A la hora de hablar de antiderivadas intervienen ms elementos

como son los llamados mximos y mnimos que bsicamente son las alturas a

la que llega la curva trazada de una funcin, la cual puede ser cncava.

Es por ello que la presente investigacin tiene como finalidad mostrar

ciertas leyes propuestas por matemticos y fsicos en las que las integrales

son el mejor mtodo de resolucin de problemas ligados a la matemtica y la

fsica. A continuacin, se muestran los teoremas de Gauss, Stokes, Green y

Ampere los cuales usando integrales ms complejas como dobles y definidas

llegamos a un resultado preciso sin mayor variacin con otros mtodos

existentes para el clculo del campo elctrico de formas regulares.

Cabe resaltar que las derivadas e integrales son usadas tambin para

calcular reas en superficies, usadas comnmente en carreras como

ingenieras, construccin civil, arquitectura y otras afines.

3TEOREMA DE GAUSS

El teorema de Gauss permite encontrar de manera fcil el campo

elctrico, de manera sumamente fcil para cuerpos cargados

geomtricamente de manera regular.

Esta ley afirma que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie

cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie

dividido entre o.

Aplicaciones del teorema de Gauss

Por ejemplo, si queremos encontrar el campo elctrico de una esfera

cargada, de carga Q, tendremos que considerar un cuerpo imaginario que

tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este caso de una esfera

de radio r, arbitrario, una superficie Gaussiana. Analizando la primera

ecuacin (la definicin del teorema) podemos decir que q es igual a la carga

total contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de la esfera

cargada. En un punto A a una distancia R del centro de la esfera podemos

calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie

gaussiana una superficie esfrica de radio R con el mismo centro que la esfera

cargada y sabemos que por razones de simetra en todos los puntos de la

esfera el campo vale lo mismo, E y adems el campo ser perpendicular a la

superficie, por lo que al hacer la integral de E. dS nos queda simplemente E S

4donde S es la superficie de la esfera de radio R q es la carga total y o es una

constante.

TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes en geometra diferencial es una proposicin sobre

la integracin de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del

clculo vectorial. Se nombra as por George Gabriel Stokes (1819-1903), a

pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada por

William Thomson y aparece en una correspondencia que l mantuvo con

Stokes fechada el 2 de julio de 1850.1 2 3 Stokes puso el teorema como una

pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado

que ahora lleve su nombre.

El teorema fundamental del clculo establece que la integral de una

funcin f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de

una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalizacin de este teorema en el siguiente

sentido:

Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas

diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma

5(como por ejemplo una funcin) F: dF = f dx. El teorema general de

Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F.

En un lenguaje matemtico, el intervalo abierto (a, b) es

una variedad matemtica unidimensional. Su frontera es el conjunto

que consiste en los dos puntos a y b. Integrar fen ese intervalo puede

ser generalizado como integrar formas en una variedad matemtica de

mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones tcnicas: la

variedad matemtica debe ser orientable, y la forma tiene que ser

compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto.

Ms genricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades

orientadas M con frontera. La frontera M de M es una variedad en s

misma y hereda la orientacin natural de M. Por ejemplo, la orientacin

natural del intervalo da una orientacin de los dos puntos frontera.

Intuitivamente a hereda la orientacin opuesta a b, al ser extremos

opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos

frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) F(a).

Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una funcin

sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la funcin en los

lmites que encierran dicho intervalo:

6TEOREMA DE GREEN

En fsica y matemticas, el teorema de Green da la relacin entre

una integral de lnea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral

doble sobre la regin plana Delimitada por C. El teorema de Green se llama

as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del

ms general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable

por trozos, en el plano y sea D la regin limitada por C.

Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que

contiene D,

A veces la notacin

se utiliza para establecer que la integral de lnea est calculada usando la

orientacin positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relacin con el teorema de Stokes

El teorema de Green es un caso especial del clsico teorema de Kelvin-

Stokes cuando es aplicado a una regin en el plano-xy.

7Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de

tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0.

Escribiremos F como una funcin vectorial . Empezaremos

con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

La superficie es simplemente la regin en el plano , con el vector

normal unitario apuntando (en la direccin positiva de z) de tal manera que

coincida con las definiciones de "orientacin positiva" para ambos teoremas

(Green y Stokes). Se verifica .

La expresin dentro de la integral queda

De esta manera obtenemos el lado derecho del teorema de Green

8Relacin con el teorema de la divergencia

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analoga bidimensional

del teorema de Stokes:

donde es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la

ecuacin. Como es un vector apuntando tangencialmente a

travs de una curva, y la curva C est orientada de manera positiva (es decir,

en contra del sentido de las agujas del reloj) a travs de la frontera, un vector

normal saliente sera aquel que apunta en 90 hacia la derecha, el cual podra

ser . El mdulo de este vector es . Por lo

tanto .

Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte

en

que por medio del teorema de Green resulta:

9LEY DE AMPERE

Andr-Marie Ampre naci en Lyon, Francia el 20 de enero de 1775.Fue considerado como uno de los descubridores del electromagnetismo. Es

conocido por sus importantes aportes al estudio de la corriente elctrica y el

magnetismo, que contribuyeron, junto con los trabajos del dans Hans Chistian

Oesterd, al desarrollo del electromagnetismo. Ampre descubri las leyes que

hacen posible el desvo de una aguja magntica por una corriente elctrica, lo

que hizo posible el funcionamiento de los actuales aparatos de medida.

Descubri las acciones mutuas entre corrientes elctricas, al demostrar que

dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo

sentido, se atraen, mientras que, si los sentidos de la corriente son opuestos,

se repelen. La unidad de intensidad de corriente elctrica, el amperio, recibe

este nombre en su honor.

Ley de Ampre

La ley de Ampre tiene una analoga con el teorema de Gauss aplicado

al campo elctrico. De la misma forma que el teorema de Gauss es til para el

clculo del campo elctrico creado por determinadas distribuciones de carga,

la ley de Ampre tambin es til para el clculo de campos magnticos creados

por determinadas distribuciones de corriente. La ley de Ampre dice:

"La circulacin de un campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual

al producto de m0 por la intensidad neta que atraviesa el rea limitada por la

trayectoria".

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Ley de Ampre aplicada a una corriente rectilnea

Para calcular el valor del campo B en un punto P a una distancia R deun conductor, escogeremos una lnea cerrada que pase por P, dicha lnea ha

de ser tal que el clculo de la circulacin sea sencillo. En este caso se ha

escogido una circunferencia de radio R con centro en el conductor, por lo cual

todos los puntos del contorno estn a la misma distancia que el punto P del

conductor, y el valor de B toma el mismo valor en dicho contorno coincidiendo

su direccin con el de dl.

Una vez escogida la lnea calculamos la circulacin del campo a lo largo de la

lnea escogida y aplicamos la ley de Ampre. Obteniendo, la ecuacin que nos

da el campo magntico creado por un conductor rectilneo:

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Ley de Ampre aplicada a un solenoide

En un solenoide tambin se puede calcular

el valor de B en un punto interior aplicando la ley

de Ampre. Para ello se siguen los mismos

pasos que en el caso anterior.

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de

sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el

interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

La imagen figura un

corte de un pedazo del

solenoide. Los puntos

representan las corrientes

que se dirigen hacia

nosotros y las aspas las que

se dirigen hacia el interior de

la hoja, de modo que cada espira, recorrida por la corriente de intensidad, I,

da una media vuelta saliendo por un punto y volviendo a entrar por el aspa

correspondiente.

Para aplicar la ley de Ampere tomamos un camino cerrado ABCD que es

atravesado por varias espiras. Como el campo magntico, B, es constante en

el segmento BC y nulo en los otros cuatro segmentos, se obtiene:

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NBC/LBC es el nmero de espiras por unidad de longitud considerada y, por

tanto, coincide con N/L (siendo N el nmero de espiras de todo el solenoide y

L su longitud total). Por tanto, bajo las condiciones establecidas, el campo, B,

en cualquier punto interior del solenoide es:

Ley de Ampre aplicada a un toroide

Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r , cuyo

centro est en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. De esta

forma el campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r y tiene

el mismo mdulo en todos los puntos de dicha circunferencia.

Aplicaremos la ley de Ampre y calcularemos la

intensidad para los siguientes valores de r:

Fuera del ncleo con r < ra

Como se puede observar en este caso la intensidad que atraviesa la

circunferencia de radio r es cero por lo tanto aplicando Ampere:

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En el interior del ncleo ra < r < rb

Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino cerrado (la circunferencia

de color rojo de la figura siguiente) la intensidad ser NI, siendo N el nmerode espiras e I la intensidad que circula por cada espira, con lo cual:

Fuera del ncleo con r > rb

Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia

roja de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos.

La intensidad neta es NI - NI = 0, y B = 0 en todoslos puntos del camino cerrado.

De los clculos anteriores se deduce que el campo magntico generado

por un toroide queda confinado en el interior del mismo.

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CONCLUSIN

La antiderivada de una funcin tambin puede recibir el nombre de

integral indefinida o primitiva de una funcin; cada uno tiene su razn de ser,

antiderivada viene dado porque se hace una operacin contraria para llegar a

la funcin original; integral indefinida porque existe una constante C que puede

dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una

operacin que busca el gnesis de la funcin. Todas, aunque tienen diferentes

nombres relativamente significan lo mismo.

A modo de reflexin, es posible observar que hay instrumentos que

calculan las integrales indefinidas (tambin las definidas). Pero esto no quita

valor al esfuerzo, aunque meramente operacional, que supone el aprendizaje

del clculo de integrales. Seguramente la mente se estructura de forma que

se pueda afrontar otros retos de ms calado.

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REFERENCIAS

Bibliografias

Lorrain, Corson. Campos y ondas electromagnticas. Editorial SeleccionesCientficas, pginas 124-126.

Stong C. L: Taller y laboratorio. El campo elctrico de la tierra aportaenerga a los motores electrostticos. Investigacin y Ciencia. N 11Agosto1977. pgs 108-115.

Thuillier P. De la filosofa al electromagnetismo: el caso Oersted. MundoCientfico V-10, n 102, Mayo 1990, pgs. 562-569.

Archivos Online

Ley de Ampere. https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Ampere [Consultado en

lnea] 24-01-2015.

Teorema de Gauss. http://neetescuela.com/search/teorema-de-gauss-

explicacion/ [Consultado en lnea] 26-01-2015.