GAUSS - JORDAN

Un sistema de ecuaciones lineales de mxn es una expresión de la forma:

mnmnmm

nn

nn

bxa...xaxa

..............................................

..............................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

Y su solución es un conjunto de valores: nkkk ,..., 21 tales que:

mnmnmm

nn

nn

bka...kaka

..............................................

..............................................

bka...kaka

bka...kaka

2211

222122121

11212111

Se les llama sistemas equivalentes a dos o más sistemas de ecuaciones que tienen el mismo conjunto de soluciones.

Son aquellas operaciones que, al realizarse sobre un sistema de ecuaciones, no cambian la solución de este, solo lo transforman en un sistema equivalente. Estas son:

1) Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema.

2) Multiplicar una ecuación por un número complejo distinto a cero.

3) Multiplicar una ecuación por un número y sumar a otra ecuación, sustituyendo la última con el resultado.

El método de Gauss-Jordan consiste en la eliminación consecutiva de las incógnitas con el propósito de llegar a un sistema escalonado. Para llevar a cabo dicha transformación se recurre a las transformaciones elementales, considerándolas sobre una matriz que represente al sistema de ecuaciones únicamente a través de sus coeficientes. Esta matriz se conoce como Matriz del Sistema; si además esta contiene los términos independientes se le da el nombre de Matriz Aumentada del sistema.

nnnn2n21n1

2n2n222121

1n1n212111

bxa...xaxa

........................................................

........................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

nn21

2n21

1n21

cx...0x0x

...........................................

...........................................

c0x...x0x

c0x...0xx

T(s)=>T(s)=>……T(s)

Para ilustrar la idea central del método, consideremos el problema de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

01x4x2x

11x4x3x

96x3x3x

321

321

321

El cual está representado por el siguiente arreglo matricial:

0142

1143

9633

El 1er paso será obtener un renglón “pivote”, cuyo 1er elemento sea 1, normalizando un

renglón, en este caso el 2do.

Antes de comenzar el escalonamiento, intercambiaremos los renglones 1 y 2.

Ahora, para comenzar a escalonar, multiplicaremos el 1er renglón por -3.

0142

9633

1143

0142

3211

11431/3 (R2)

0142

1143

3211R1=>R2

0142

1143

9-6-3-3--3 (R1)

Ahora sumaremos el 1er renglón al segundo, y sustituiremos este último con el resultado.

Después, volvemos a normalizar el renglón 1.

Justo como antes, multiplicaremos el primer renglón, por el primer elemento del 3er

renglón, cambiado de signo, en este caso por 2.

Una vez más sumaremos renglones, ahora el 1ro y el 3ro, sustituyendo este último con el

resultado y después normalizamos de nuevo el pivote.

0142

1143

9-6-3-3-

0142

105-10

3211R1+R2

-1/3 (R1)

0142

105-10

6422

2 (R1)

6320

105-10

3211R1+R3

1/2 (R1)

Una vez que la primera columna se ha llenado de ceros, cambiamos de pivote al renglón

inmediato hacia abajo y llenamos de ceros la segunda columna, hacia abajo.

Este algoritmo se repite hasta convertir a la matriz en una matriz diagonal superior, con

solo ceros por debajo de su diagonal principal.

Esta primera parte del método se conoce como Eliminación Gaussiana. Como se aprecia, el sistema ha sido transformado en uno equivalente cuyas ecuaciones son de 1, 2 y 3

variables. A partir de aquí, con la eliminación Gaussiana se obtienen los valores de las incógnitas a través de una sustitución hacia atrás, como se muestra:

102(2)3x)2(x3x

05(2)10)5(x10x

2714/x

231

32

3

6320

105-10

3211

14-7-00

105-10

3211

2 (R2)

R2+R3

1/2 (R2)

Esta primera parte del método se conoce como Eliminación Gaussiana. Como se aprecia, el sistema ha sido transformado en uno equivalente cuyas ecuaciones son de 1, 2 y 3

variables. A partir de aquí, con la eliminación Gaussiana se obtienen los valores de las incógnitas a través de una sustitución hacia atrás, como se muestra:

102(2)3x)2(x3x

05(2)10)5(x10x

2714/x

231

32

3

Un método mas eficiente para obtener los valores de las incógnitas es el de completar la diagonalización de la matriz. Esta parte es conocida como eliminación de Jordan y en conjunto con la eliminación Gaussiana conforma el método de Gauss-Jordan. Esta continuación consiste en la escalonación de la matriz, ahora hacia arriba. Prosiguiendo con el ejemplo tenemos que:

Tomaremos el 3er renglón como pivote, así que primero lo normalizaremos.

Ahora repetimos los pasos anteriores pero hacia arriba. Multiplicamos el pivote por el último

elemento del 2do renglón de la Matriz del sistema, con el signo cambiado.

Para comenzar a hacer cero la tercera columna, sumaremos los renglones 3 y 2, sustituyendo este último con el resultado y renormalizando el pivote.

Un método mas eficiente para obtener los valores de las incógnitas es el de completar la diagonalización de la matriz. Esta parte es conocida como eliminación de Jordan y en conjunto con la eliminación Gaussiana conforma el método de Gauss-Jordan. Esta continuación consiste en la escalonación de la matriz, ahora hacia arriba. Prosiguiendo con el ejemplo tenemos que:

14-7-00

105-10

3211

2100

105-10

3211

-1/7 (R3)

10500

105-10

3211

5 (R3)

2100

0010

3211R3+R2

1/5 (R3)

Terminando con la tercera columna, multiplicaremos el pivote por -2, lo sumamos al 1er renglón, cambiamos este con el resultado y

renormalizamos el pivote.

Ahora usamos el 2do renglón como pivote, en este caso ya no hay que normalizarlo. Para hacer

ceros la 2da columna seguimos los pasos anteriores.

Una vez que la matriz queda diagonalizada, la solución del sistema se muestra en la Matriz

Aumentada del Sistema

2100

0010

3211

2100

0010

1-0112 (R3)

R3+R1

1/2 (R3)

2100

0010

1-001-1 (R2)

R2+R1

1/-1 (R3)

2

0

1-

x

x

x

3

2

1

En ocasiones, al resolver por eliminación Gaussiana un sistema de ecuaciones nos encontraremos con que no podemos continuar con el método debido a la aparición de un renglón lleno de ceros en la Matriz Aumentada del Sistema, obteniendo una expresión como la siguiente:

0000

gfe0

dcba

Esta expresión significa que una de las ecuaciones originales es una combinación lineal de las otras, por lo que el sistema admite infinitas soluciones. A este tipo de sistemas se les conoce como Sistemas Compatibles Indeterminados.

Otras veces, hallaremos que en la eliminación Gaussiana aparece un renglón de ceros solo en la Matriz del Sistema, obteniendo una expresión como la siguiente:

0K

K000

gfe0

dcba

Esta expresión claramente revela que no hay soluciones para el sistema puesto que no existe un posible valor de Xn tal que multiplicado por cero nos dé el valor de K. Este tipo de sistemas son llamados Sistemas Incompatibles.

GAUSS - JORDAN

Este método es uno de las mas útiles y sencillos para encontrar un sistema de ecuaciones lineales.Siendo en principio una variación del método de eliminación Gaussina, éste método consiste en obtener sistemas equivalentes, es decir, que tengan el mismo conjunto de soluciones.Basándonos en el principio

“Por cada variable, se debe plantear una ecuación”

El sistema de ecuaciones se necesita pasar a una forma ampliada, es decir, que con los valores de contiene el sistema de ecuaciones, se formará una matriz.

Ahora bien, ya teniendo el sistema en forma ampliada, tendremos que resolverlo para obtener una matriz identidad.

Pero el resolver un sistema matricial en forma correcta se requiere el seguimiento de ciertas reglas.

Solo se pueden intercambiar los renglones y columnas entre sí, no así los elementos contenidos por separado.

Caso 1: RenglonesForma correcta Forma Incorrecta

Caso 2: ColumnasForma correcta Forma incorrecta

Cuando se hace una suma entre renglones, el resultado se pone en el renglón donde se está sumando.

Así también, cuándo se desee realizar una multiplicación de un término de la matriz, se deberá multiplicar todo el renglón que contenga al elemento de interés.

Teniendo en cuenta las reglas anteriores, se procederá a ejemplificar el método

Ejemplo 1

Comencemos con uno sencillo

1.Se pasa a forma matricial.

2. Se divide el 1° renglón entre 4.

3. Se suma el 1° renglón al 2° renglón

4. Se divide el 1° renglón entre 3

Los resultados son

x1 = 1

x2 = 1

Ejemplo 2.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Se resolverá el sistema paso a paso:

1. Se necesita escribir el sistema en forma matricial.

2. Se busca simplificar la ecuación, para lo cual se dividirá el segundo renglón entre 3.7 (el valor mas alto).

3. Se suma el 2° renglón al 1° renglón.

4. Ahora se multiplicará el 2° renglón por -0.3.

5. Se sumará el 2° renglón al 3° renglón.

9. Se multiplica el 1° renglón por 0.541 y se le suma al 2° renglón

10. Se dividen el 1° renglón entre 0.541 y el 3° renglón entre -0.578

11. Se multiplica el 3° renglón por -0.861 y se le suma al 1° renglón

6. Se dividirá el 1° renglón entre 3.759 y el 2° renglón se dividirá entre -0.3

7. Se multiplica el 1° renglón por 0.538

8. Se suma el 1° renglón al 3° renglón

12. Se divide el 3° renglón entre -0.861 e inmediatamente después se vuelve a multiplicar el mismo renglón ahora por -0.601 y se suma al 2° renglón.

13. Se divide el 3° renglón entre -0.601.

14. Se reacomoda la matriz.

El resultado es:

x1 = 6.04

x2 = -4.164

x3 = -1.511