Cap3 - Integrales de Linea - Teorema de Green

CA

PÍ

TU

LO

3INTEGRAL DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN

3.1. Integrales de Línea

Estudiaremos en esta sección las integrales de línea de campos vectoriales. Sudefinición está inspirada en el concepto físico de trabajo o energía. Si por ejemplouna partícula se mueve en el espacio bajo la acción de un campo de fuerzas, eltrabajo realizado por la partícula de un punto a otro de su trayectoria se mide conuna integral de línea.

Definición 3.1

Sea F :Rn →Rn un campo vectorial y sea α : [a,b] →Rn una curva que supondre-mos diferenciable. Entonces definimos∫

αF dα=

∫ b

aF (α(t )) ·α′(t )d t (3.1)

Otra notación para la integral de línea es∫ b

aFdα en donde a y b representan

los vectores que están al inicio y al final de la trayectoria de la curva α, ésto es,α(a) = a yα(b) = b.

Puesto que F = (f1, f2, ..., fn

), en donde los fi representan sus funciones com-

ponentes y análogamente α = (α1,α2, ...,αn) , entonces (3.1) lo podemos escribirasí:

39

40 CAPÍTULO 3. INTEGRAL DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN

∫α

Fdα =n∑

k=1

∫ b

afk (α(t ))α′

k (t )d t

=∫α

f1dα1 + f2dα2 + ...+ fndαn .

Es claro que

∫α

(pF+qG

)dα= p

∫α

Fdα+q∫α

Gdα,

para todo p, q reales y F,G, cualquier par de campos vectoriales.También, una curva γ puede ser una curva conformada por otras dos curvas

α y β : La curva α une al vector a con el vector b y la curva β une al vector b conel vector c. Entonces la curva γ une el vector a con el vector c. En este sentidodecimos que γ=α+β. Entonces tenemos:

∫γ

Fdγ=∫α

Fdα+∫β

Fdβ.

La integral de línea que definimos en (3.1) depende del camino α que uneel punto a con el punto b. Por ejemplo, el campo vectorial F(x, y) = (p

y , x3 + y)

,consideremos los caminos α(t ) = (t , t ) , t ∈ [0,1] y β(t ) = (

t 2, t 3)

, t ∈ [0,1] . Los doscaminos unen los puntos (0,0) y (1,1) por trayectorias distintas. Vemos, que

∫α

Fdα = 1712 y

∫β

Fdβ = 5942 .

Ahora, si en lugar del caminoβ la integración la hacemos a lo largo del camino

γ(t ) =(t , t

32

), t ∈ [0,1] , que tiene la misma trayectoria del camino β, vemos que

∫γ

Fdγ=∫β

Fdβ= 59

42.

3.2. Curvas equivalentes

Definición 3.2

Dr. Miguel Montenegro

3.2. CURVAS EQUIVALENTES 41

Sea u : [c,d ] → [a,b] sobreyectiva, derivable, con derivada no nula. Seaα : [a,b] →Rn una curva diferenciable. Diremos que una curvaβ : [c,d ] →Rn y la curvaα sonequivalentes si β=α◦u.

Si u es creciente las dos curvas, α y β, recorren su imagen en la misma direc-ción y si u es decreciente la recorrerán en sentidos opuestos. Es, entonces, fácil verque en el primer caso ∫

βFdβ=

∫α

Fdα

y en el segundo caso ∫β

Fdβ=−∫α

Fdα.

Ejemplo.

Las curvas

α (t ) = (t , t 2

), t ∈ [0,1]

y

β (t ) = (1− t , (1− t )2

), t ∈ [0,1]

son curvas equivalentes y recorren el arco de parábola en sentidos contrarios, có-mo se indica en la figura (3.1).

x

y

(1,1)

α(t)β(t)

Figura 3.1: Curvas equivalentes

Consideremos el campo vectorial F(x, y

)= (x y, x + y

). Entonces

Universidad Tecnológica Metropolitana . Departamento de Matemática


∫α

Fdα =∫ 1

0F (α (t ))◦α′ (t )dt

=∫ 1

0

(t 3 · t + t 2)◦ (1,2t )dt = 17

12Por otra parte∫

βFdβ =

∫ 1

0F

(β (t )

) ·β′ (t )d t

=∫ 1

0

((1− t )3 , (1− t )+ (1− t )2)◦ (−1,−2(1− t ))dt

= −1712

3.2.1. Primera Interpretación física de la Integral de Línea

Seaα : [a,b] →Rn y sea F un campo vectorial constante, F = c, que representauna fuerza constante. Entonces vemos que∫

αc◦dα= c◦ (α (b)−α (a)) = c◦ (b−a) = c · b−a

‖b−a‖ ‖(b−a)‖ .

Esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento porla magnitud del desplazamiento. Esto es conocido como el trabajo realizado paradesplazar la partícula desde el punto a hasta el punto b. Observemos que en estecaso particular no importa cual es el camino que une el punto a con el punto b, elvalor de la integral depende del punto inicial a y el punto final b.

Entonces,∫α

Fdα mide el trabajo realizado al desplazar la partícula desde el

punto a hasta el punto b a lo largo de la curvaα.

3.2.2. Segunda Interpretación física de la Integral de Línea

Si α(t ) determina la posición de la partícula en el tiempo t entonces α′(t ) =v(t ) mide la velocidad y α′′(t ) la aceleración. Ahora, la segunda ley de Newtonnos dice que para cierta clase de campos vectoriales F, que llamaremos camposconservativos o gradientes, se tiene que

F (α(t )) = m v′(t ).

Ahora,

F (α(t )) ·α′(t ) = m v′(t ) ·v(t ) = 1

2m

d

d tv2(t ),

en donde v(t ) = ‖v(t )‖ . Por lo tanto∫α

Fdα=∫ b

a

1

2m

d

d tv2(t )d t = 1

2m

{v2(b)− v2(a)

}.


http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton


Esto es, el trabajo es igual a la diferencia entre las energías cinéticas de la par-tícula en el punto b y el punto a.

Teorema 3.1

Teorema (Segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea) Seaφ : S →R un campo escalar diferenciable, definido en un conjunto abierto conexodeRn . Para cualquier curva diferenciableα : [a,b] → S, se tiene que∫

α∇φdα=φ(α(b))−φ(α(a)) (3.2)

Comentario: La integral en (3.2) es independiente del camino que une lospuntosα(a) = a yα(b).

Demostración : La prueba se basa en el segundo teorema fundamental delcálculo para funciones de una variable real. Sea g(t ) = φ(α(t )). Entonces g′(t ) =∇φ(t ) ·α(t ). Por lo tanto

∫α∇φdα=

∫ b

ag′(t )d t = g(b)−g(a)

3.2.3. El Principio de la Conservación de la Energía

La diferencia φ(b)−φ(a) es conocida cómo la diferencia de potencial entre losdos puntosα(a) = a yα(b) = b. Por otra parte∫

α∇φdα= K (b)−K (a),

ésto es, la diferencia de las energías cinéticas entre los dos puntos. Si iguala-mos la diferencia de las energias potencial y cinética encontramos que

K (b)−K (a) =φ(b)−φ(a),

que podemos escribir cómo

K (b)−φ(b) = K (a)−φ(a).

La energía total del sistema en cualquier punto x de la trayectoria se expresacómo K (x)−φ(x). Entonces la igualdad anterior nos dice que tenemos el principiode conservación de la energía: La energía total en cualquier par de puntos de latrayectoria es constante.



3.2.4. Campos Conservativos o Gradientes

Los campos vectoriales F para los cuales existe un campo escalar φ tal que∇φ = F son conocidos como campos conservativos o gradientes. Su importancia

radica en el hecho de que∫α

Fdα es independiente de la curva α. En el caso en

queα sea una curva cerrada∮α

Fdα= 0.

Recíprocamente, campos vectoriales cuyas integrales de línea son indepen-dientes del camino son campos conservativos. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3.2

(Primer Teorema Fundamental del Cálculo para integrales de línea). Sea F un cam-po vectorial continuo definido sobre un conjunto abierto y conexo S ⊂Rn . Si

∫αFdα

es independiente de la curva α que une los puntos extremos, entonces el campo es-calar

φ (x) =∫ x

aFdα, (3.3)

en donde α es cualquier curva diferenciable que une el punto a con el punto x, sa-tisface que ∇φ(x) = F(x).

Comentario: Los Teoremas (3.2) y (3.3) nos dicen que una condición necesariay suficiente para que un campo vectorial sea conservativo es que las integrales delínea entre dos puntos sea independiente de la curva que los une.

Demostración: Sólo tenemos que probar que Dkφ(x) = fk (x), para k = 1,2, ...n.De (3.3) vemos que

φ (x+hek )−φ(x) =∫ x+hek

xFdα, (3.4)

en donde ek = (0,0, ...,1,0, ...,0).Supongamos queα(t ) = x+ thek con t ∈ [0,1] . Ahora,

F (x+ thek ) ·hek = h fk (x+ thek ) .

Si hacemos el cambio de variable s = ht , de (3.4) obtenemos

φ (x+hek )−φ(x)

h= 1

h

∫ h

0fk (x+ sek )d s

= g(h)−g(0)

h

(3.5)



en donde g (h) =∫ h

0fk (x+ sek )d s.

Puesto que g′(0) = fk (x), de (3.5) obtenemos que

Dkφ(x) = fk (x)

Necesitamos disponer de un método práctico para detectar cuando un cam-po vectorial es un gradiente. Si por ejemplo, F es un gradiente diferenciable concontinuidad, entonces F = ∇φ y por lo tanto f j = D jφ, para todo j . Esto implicaque

Di f j = Di D jφ= D j Diφ= D j fi .

Esto es, Di f j = D j fi es una condición necesaria para que un campo vectorialsea un gradiente. Esta condición, en general, no es suficiente, como lo muestra elsiguiente ejemplo.

Ejemplo: El campo vectorial

F(x, y) =( −y

x2 + y2 ,x

x2 + y2

),(x, y

) 6= (0,0) ,

cumple que D1 f2 = D2 f1, pero no es un gradiente puesto, que para la curva

α(t ) = (cos t , sen t ), t ∈ [0,2π] ,∮α

Fdα= 2π.

Nuestra condición, en este caso, no es suficiente debido a queRn − {(0,0)} noes un conjunto convexo. Un conjunto S ⊂ Rn se dice convexo si para cualquierpar de puntos a,b ∈ S, se cumple que ta+(1− t )b ∈ S para todo t ∈ [0,1] , ésto es, elsegmento de línea que une los dos puntos está en S. Ver figura (3.2.4)

A B A B

Conjunto Convexo Conjunto No Convexo

Figura 3.2: Tipos de convexidad

Tenemos el siguiente teorema



Teorema 3.3Sea F : S →Rn , S convexo, diferenciable con continuidad, (sus funciones compo-

nentes tienen derivadas parciales continuas). El campo F es un gradiente si y sólo siDi f j (x) = D j fi (x), para todo i , j = 1,2...n y todo x ∈ S.

Demostración: Ya habíamos observado que la condición era necesaria. Paraprobar que es suficiente supongamos que por ejemplo θ ∈ S y tomemos

φ (x) =∫ x

θFdα, ( θ representa al vector nulo) conα(t ) = tx, t ∈ [0,1] . Esto es,

φ (x) =∫ 1

0F(tx) ·xd t . (3.6)

Probemos que Dkφ (x) = fk (x). Puesto que F es diferenciable con continuidad,

Dkφ (x) =∫ 1

0Dk F(tx) ·xd t .

Si usamos la condición del teorema, encontramos que

Dk F(tx) ·x = fk (tx)+ t∇ fk (tx) ·x.

Si llamamos g(t ) = fk (tx) , entonces g′(t ) =∇ fk (tx) ·x y por lo tanto

Dkφ (x) =∫ 1

0Dk F(tx) ·xd t =

∫ 1

0g(t )d t +

∫ 1

0tg′(t )d t .

Integramos por partes la última integral y obtenemos que Dkφ (x) = g(1) =fk (x) , como queríamos

EjemploIlustremos el Teorema (3.3) con el siguiente ejemplo:

Sea F(x, y

)= (x y, 1

2 x2)

. Observamos que f1(x, y

)= x y y f2(x, y

)= 12 x2. Ahora,

D2 f1(x, y

)= D1 f2(x, y

)= x

por lo tanto F(x, y

)es un campo vectorial gradiente. La fórmula (3.6) nos dice

cómo hallar un potencial φ tal que ∇φ(x, y

)= F(x, y

). En efecto:

φ(x, y

)= ∫ 1

0t 2

(x y,

1

2x2

)· (x, y

)d t = 1

2x2 y.

3.3. Teorema de Green

El Teorema de Green conecta los conceptos de integral de línea con los deintegral doble sobre regiones trazadas por curvas continuas de Jordan, regulares


http://es.wikipedia.org/wiki/George_Green

http://es.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan

3.3. TEOREMA DE GREEN 47

x

y

φ

ψ

S1

a b

Figura 3.3: Conjuntos del tipo S1

o regulares a trozos.

Teorema 3.4(Green). Sean P y Q dos campos escalares derivables con continuidad sobre un con-junto S, en donde S es un conjunto abierto y simplemente conexo del plano. Sea γuna curva continua de (Jordan) regular que encierra a S en el sentido contrario alas manecillas del reloj. EntoncesÏ

S

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d x,d y =

∮γ

Pd x +Qd y (3.7)

Nota: Con el símbolo∮γ

Pd x +Qd y denotamos la integral de línea del campo

vectorial F (x, y) = (P (x, y),Q(x, y)) a lo largo de la curva cerrada γ(t ) = (x(t ), y(t )).Realmente lo que probaremos de (3.7) son las igualdadesÏ

S

∂Q

∂xd x d y =

∮γ

Qd y

y

−ÏS

∂P

∂yd x d y =

∮γ

Pd x

Por ejemplo, sobre conjuntos de la forma. (ver figura (3.3)

S1 ={(x, y},φ(x) ≤ y ≤ψ(x), x ∈ [a,b] , φ,ψ continuas

}O sobre conjuntos del tipo (ver figura (3.4)

S2 ={(x, y},φ(y) ≤ x ≤ψ(y), y ∈ [c,d ] , φ,ψ continuas

}Universidad Tecnológica Metropolitana . Departamento de Matemática




x

y

φψ

S1

c

d

Figura 3.4: Conjunto del tipo S2

x

y

(1,1)

y = x

y = x2S

Figura 3.5: Ejemplo

Una gran variedad de conjuntos deR2 los podemos reducir a una reunión deconjuntos del tipo S1 o S2.

Ejemplo

Sea f (x, y) = x y2. CalculemosÏ

Sf (x, y), en donde S es la región que se en-

cuentra entre las curvas y = x y y = x2. cómo se indica en la figura, (3.5)

El Teorema es de fácil prueba para regiones especiales como las regiones S1

o S2 . Una gran variedad de regiones se pueden representar como la unión de lasdos anteriores y entonces el Teorema de Green lo podemos extender a ellas.

Que el conjunto S sea simplemente conexo significa que no posee huecos. Másadelante podremos dar una explicación matemática precisa de esta característicageométrica. Para conjuntos que tengan huecos, llamados conjuntos multiplemen-



3.3. TEOREMA DE GREEN 49

te conexos, también hay una versión del Teorema de Green.

Demostración: Sólo probaremos el teorema para una región del tipo

S1 ={(x, y},φ(x) ≤ y ≤ψ(x), x ∈ [a,b] , φ,ψ derivables

}También, sólo probaremos que

−ÏS1

∂P

∂yd xd y =

∮γ

Pd x

el otro caso se demuestra en forma idéntica.Tenemos que

−ÏS1

∂P

∂yd xd y =−

∫ b

a

{∫ ψ(x)

φ(x)

∂P

∂y

}d x

=∫ b

a

{∫ φ(x)

ψ(x)

∂P

∂y

}d x

=∫ b

aP (x,φ(x))d x −

∫ b

aP (x,ψ(x))d x

Por otra parte, la curva γ se compone de cuatro curvas:La curva γ1, definida por {

(t ,φ(t )), t ∈ [a,b]}

.

La curva γ2, definida por la recta vertical x = b. La curva γ3, definida por{(t ,ψ(t )), t ∈ [a,b]

},

pero recorrida en sentido contrario. Y finalmente la curva γ4, definida por larecta x = a.

Es claro que∫γ2

Pd x =∫γ4

Pd x = 0. Entonces, puesto que∫γ3

Pd x =−∫ b

aP (t ,ψ(t ))d t ,

tenemos que ∮γ

Pd x =∫γ1

Pd x +∫γ3

Pd x

=∫ b

aP (t ,φ(t ))d t −

∫ b

aP (t ,ψ(t ))d t

Esto prueba el teorema




3.4. Aplicaciones

El Teorema de Green está dentro de los resultados que más aplicacionestienen en el análisis matemático. En el transcurso de las exposiciones haremos usode él. Por lo pronto vemos que podemos calcular integrales de línea calculandointegrales dobles apropiadas y recíprocamente.

3.4.1. Áreas de regiones planas

El área de la región S viene expresada como

|S| =ÏS

d xd y =ÏS

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d x d y,

en donde P =−12 y y Q = 1

2 x.Sea γ(t ) = (x(t ), y(t )), t ∈ [a,b] la curva que encierra la región S. Entonces ob-

tenemos

|S| = 1

2

∫ b

a

{x(t )y ′(t )− y(t )x ′(t )

}d t

Ejemplo

Si γ(t ) = (r cos t ,r sen t ), t ∈ [0,2π] , vemos que

1

2

∫ 2π

0

{x(t )y ′(t )− y(t )x ′(t )

}d t =πr 2,

ésto es, el área del círculo de radio r.Otra consecuencia importante del Teorema de Green es que una condicción

necesaria y suficiente para que un campo vectorial F = (P,Q), definido sobre S,abierto simplemente conexo sea un gradiente es que:

∂Q

∂x= ∂P

∂y.

Ya habíamos visto que la condición era necesaria para campos vectoriales deriva-bles con continuidad. La condición también es suficiente. Sobre cualquier curva

cerrada de Jordan contenida en S la integral∮γ

Pd x +Qd y = 0. Este hecho nos

permite demostrar que la integral de línea sobre una curva que une a dos puntosde S es independiente del camino que los une.

Este resultado ya lo conocíamos para conjuntos convexos y el Teorema deGreen lo extiende a conjuntos simplemente conexos.






3.5. INTEGRAL DE LÍNEA CON RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO 51

3.5. Integral de línea con respecto a la longitud de arco

Recordemos que si α(t ) es una curva derivable entonces la longitud del arcode la curva, entre el tiempo a y el tiempo t , la expresamos así: s(t ) = ∫ t

a

∥∥α′(t )∥∥d t .

Entonces, s′(t ) = ∥∥α′(t )∥∥ . Siα′(t ) 6= 0, el vector tangente unitario a la curva es

T(t ) = α′(t )

‖α′(t )‖ = dα

d s.

Si F es un campo vectorial, la integral de línea de F a lo largo de la curva α lopodemos escribir así: ∫

αFdα =

∫ b

aF(α(t )) ·α′(t )d t

=∫ b

aF(α(t )) · dα

d s

d s

d td t

=∫ b

aF(α(t )) ·T(t )d s.

=∫ b

aφ(α(t ))d s,

en donde φ(α(t )) = F(α(t )) ·T(t ).Lo anterior nos sugiere que podemos definir integrales de línea, con respecto

a la longitud de arco, para campos escalares φ en la siguiente forma:∫αφd s =

∫ b

aφ(α(t ))s′(t )d t (3.8)

La expresión (3.8) es particularmente útil debido a que si, por ejemplo, el cam-po escalar φ determina una función de densidad entonces (3.8) lo podemos inter-pretar como la masa de un alambre que tiene la forma de la curva α. Podemos,entonces, obtener fórmulas para el centro de masa de un alambre que tiene la for-ma una curvaα enR2 o R3 de la misma manera cómo lo hicimos anteriormente.Así:

x =∫α xφ d s∫α φ d s

, y =∫α yφ d s∫α φ d s

, z =∫α zφ d s∫α φ d s

Ejemplo: Hallar el centro de masa de un alambre en forma de hélice dado porla curvaα (t ) = (cos t , sin t , t ) , t ∈ [0,2π] , y que tiene una función de densidad da-da por φ

(x, y, z

)= x2 y2z2.

Solución: La masa M del alambre es M =∫αφd s y tenemos que

M =∫αφd s =

∫ 2π

0

p2(cos2 t sin2 t

)t 2d t = 1

3

p2π3 − 1

32

p2π= 14.478



Ahora

∫α

xφd s =∫ 2π

0

p2(cos3 t sin2 t

)t 2d t = 104

225

p2π= 2.0536

Por lo tanto

x =104225

p2π

13

p2π3 − 1

32

p2π

= 0.14185

Análogamente calculamos y y z. Así obtenemos que el centro de masa de lahélice es (0.14185, −0.51418, 4.6672) . Observe que el centro de masa de la héliceno está en ella.

3.6. Derivada Normal

Si α(t ) = (x(t ), y(t )) y α′(t ) 6= 0, el vector normal unitario a la curva se defineasí:

n(t ) = (y ′(t ),−x ′(t ))

‖α′(t )‖ .

Paraφ, campo escalar, definimos la derivada en la dirección del vector normalunitario cómo

∂φ

∂n=∇φ · n (3.9)

en donde ∇φ debe evaluarse enα (t ) .

Ejemplo

Sea α (t ) = (cos t , sen t ) , t ∈ [0,2π] . Sea φ(x, y

) = x y2 + y x2. Sabemos que elvector normal unitario n (t ) = (cos t , sen t ) , entonces

∇φ (α (t )) = (sin2 t +2sin t cos t ,2sin t cos t +cos2 t

)Por lo tanto

∂φ (α (t ))

∂n= 3sin t cos2 t +3cos t −3cos3 t


3.7. FÓRMULAS DE GREEN 53

3.7. Fórmulas de Green

Las siguientes igualdades son conocidas como fórmulas de Green y son degran importancia en el estudio de la ecuaciones diferenciales parciales. Sean fy g campos escalares derivables con continuidad hasta el orden dos en un con-junto S simplemente conexo del plano. Sea α una curva de Jordan diferenciable.Entonces

1.-∮α

∂g

∂nd s =

ÏS

∆g d xd y

2.-∮α

f∂g

∂nd s =

ÏS

{f ∆g +∇ f ·∇g

}d xd y

3.-∮α

{f∂g

∂n− g

∂ f

∂n

}d s =

ÏS

{f ∆g − g∆ f

}d xd y ,

en donde ∆φ= ∂2φ

∂x2 + ∂2φ

∂y2 .

La expresión 2. es la versión bidimensional del método de integración por par-tes que conocemos en los cursos elementales de cálculo.

Probaremos la fórmula 1. y dejamos las otras como ejercicio al lector. Hacemosuso del Teorema de Green y obtenemos

ÏS∆g =

ÏS

∂2g

∂x2 + ∂2g

∂y2

=Ï

S

∂

∂x

(∂g

∂x

)− ∂

∂y

(−∂g

∂y

)=

∮α

−∂g

∂yd x + ∂g

∂xd y

=∫ b

a

−∂g

∂yx ′(t )+ ∂g (x, y)

∂xy ′(t ) d t

=∫ b

a

(∂g

∂x,∂g

∂y

)◦ (

y ′(t ),−x ′(t )) 1

‖α′(t )‖ s′(t )d t

=∫ b

a

∂g

∂nd s.

Teorema 3.5






Teorema de Green para regiones multiplemente conexasSea S un conjunto abierto simplemente conexo, como se indica en la figura. Enton-ces Ï

S

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d x d y =

∮α

Pd x +Qd y −n∑

i=1

∮αi

Pd x +Qd y

Veámoslo para el caso i = 1. Supongamos que la curva exterior α y la interiorβ se recorren en sentido contrario a las manecillas del reloj. Luego aplicamos elTeorema de Green a las dos regiones simplemente conexas que se indican en lafigura. Nótese que los caminos horizontales se recorren en direcciones opuestas ypor lo tanto las integrales de línea se anulan.

Después sumamos y obtenemos queÏS

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d x d y =

∮α

Pd x +Qd y −∮β

Pd x +Qd y

El caso general lo deducimos repitiendo el razonamiento anterior.

3.8. Número de Giros

Consideremos el campo vectorial

Ψ= (f , g

)= (−(

y − y0)

(x −x0)2 + (y − y0

)2 ,(x −x0)

(x −x0)2 + (y − y0

)2

)

en donde(x, y

) 6= (x0, y0

) = p0. Es fácil ver que∂g

∂x= ∂ f

∂y. Sea α una curva

cerrada regular que circunda un conjunto abierto S, entonces

G(α, p0) = 1

2π

∮α

f d x + g d y (3.10)

es un entero positivo, negativo o nulo. El número G(α, p0) es el número de girosque la curvaα da alrededor del punto p0. Para verlo procedemos así: Para simpli-

ficar la escritura supongamos que p0 =Θ. Si llamamos cosθ = x√x2 + y2

y senθ = y√x2 + y2

, vemos que,

dθ = d{

arctan( y

x

)}= xd y − yd x

x2 + y2 .

Entonces1

2π

∮α

dθ = 1

2π

∮α

f d x + g d y.




3.9. PROBLEMAS RESUELTOS 55

Puesto que la curva α es cerrada debemos tener que1

2π

∮α

dθ es un entero

positivo o negativo siempre que Θ esté circundado por la curva α. En el caso enqueΘ ∉ S, en donde S es el conjunto simplemente conexo encerrado porα, vemos

queΨ es un gradiente y por lo tanto∮α

f d x + g d y = 0.

Consideremos la curva β(t ) = (x0 + r cos t , y0 + r sen t

), t ∈ [0,2π] , con r lo su-

ficientemente pequeño como para que la curva β esté en el interior de S. La curvaβ está orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Supongamos,ahora, que la curva α es una curva de Jordan regular orientada en el sentidocontrario de las manecillas del reloj. Entonces de (4.5.4) concluímos que∮

αPd x +Qd y =

∮β

Pd x +Qd y.

Un cálculo sencillo nos dice que1

2π

∮β

Pd x +Qd y = 1. Ahora, si la curva β es

β(t ) = (x0 + r cos(−t ) , y0 + r sen (−t )

), t ∈ [0,2π] , vemos que

1

2π

∮β

Pd x +Qd y =−1

Lo anterior nos indica que para curvas de Jordan α, la expresion orienta-da en el sentido, o en sentido contrario, de las manecillas del reloj, que ha teni-do un sentido vago, puede asignársele un sentido matemático preciso: Decimosque α está orientada positivamente si G(α, p0) = 1 y orientada negativamente siG(α, p0) =−1, para todo p0 en el conjunto que encierra.

3.9. Problemas resueltos

1.- Calcule las integrales de línea∫α

F◦dα, donde

a) F(x, y, z) = (x +2y + z,2y,3x − z) yα(t ) = (t +1,2t +1, t )

α′(t ) = (1,2,1) entonces∫α

F◦dα=∫ 1

0F(t +1,2t +1, t )◦ (1,2,1)d t =

=∫ 1

0(t +1+4t +2+,4t +2,37+3− t )◦ (1,2,1)d t

=∫ 1

0(6t +3+8t +4+2t +3)d t =

∫ 1

0(16t +10)d t = 18

b) F(x, y) = (x + y, x2 − y2) y α es el triángulo formado por los puntosA = (−1,0), B = (1,0) y C = (0,1) recorrido en el sentido positivo.

c1 : recta de A a B ,α1(t ) = (t ,0), −1 ≤ t ≤ 1c2 : recta de B a C ,α2(t ) = (1− t , t ), 0 ≤ t ≤ 1



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Jordan.html


x

y

A = (−1,0) B = (1,0)

C = (0,1)

c3 : recta de C a A,α3(t ) = (−t ,1− t ), 0 ≤ t ≤ 1

∴∫α1

F◦dα2 +∫α2

F◦dα2+∫α3

F◦dα3 =

=∫ 1

−1F(t ,0)◦ (1,0)d t

+∫ 1

0F(1− t , t )◦ (−1,1)d t +

∫ 1

0F(−t ,1− t )◦ (−1,1)d t

=∫ 1

−1(t , t 2)(1,0)d t +

∫ 1

0(1,1−2t + t 2 − t 2)◦ (−1,1)d t

+∫ 1

0(1−2t , t 2 − (1−2t + t 2)◦ (−1,−1)d t

=∫ 1

−1td t +

∫ 1

0(2t −2)d t = t 2

2

∣∣∣∣1

−1+ (t 2 −2t )

∣∣∣∣∣1

0

=−1

2.- Dado el campo vectorial F(x, y) = (e y , xe y )

a) Calcular la integral de línea∫

F◦dα desde el origen al punto para el

cual t = 1 sobre la curvaα(t ) = (t ,2t )F(α(t)) = F(t ,2t ) = (e2t , te2t ); α′(t ) = (1,2).∫ 1

0(e2t , te2t )◦ (1,2)d t =

∫ 1

0(e2t +2te2t )d t = e2.

b) Verificar que F es conservativo y determine φ tal que ∇φ= F∂Q

∂x− ∂P

∂y= r y − e y = 0, ∴ F es conservativo, dado que además tiene

las derivadas parciales continuas.Para obtener φ, calculamos

φ(x, y) =∫ 1

0F(t x, t y)◦ (x, y)d t =

∫ 1

0(e t y , t xe t y )◦ (x, y)d t

= x∫ 1

0e t y d t +x y

∫ 1

0te t y d t = xe y

Luego la función potencial es φ(x, y) = xe y +C .Otra forma de obtener φ, es:


3.9. PROBLEMAS RESUELTOS 57

∇φ=(∂φ

∂x,∂φ

∂y

)= (e y , xe y )

∴∂φ

∂x= e y ; φ(x, y) = xe y +ϕ(y)

∂φ

∂y= xe y +ϕ′(y) = xe y ; de esta manera se tiene que

ϕ′(y) = 0, luego ϕ(y) =C y φ(x, y) = xe y +C

c) Use el resultado anterior para calcular la integral de línea desde el ori-gen al punto (1,2) sobre cualquier curva suave que una los dos puntos.∫α

F◦dα=φ(α(1))−φ(α(0)) =φ(1,2)−φ(0,0) = e2

3.- Verificar el Teorema de Green para el campo vectorial F(x, y) = (ex−x2 y,3x2 y)en la región R encerrada por las curvas y = x2, x = y2.∂Q

∂x− ∂P

∂y= x2 +6x yÏ

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d yd x =

∫ 1

0

∫ px

x2(x2 +6x y)d yd x =

∫ 1

0(x2px +3x · x)− (x2 · x2 +3x · (x2)2)d x = 41

70

Mediante la integral de líneaα1(t ) = (t , t 2); α1(t ) = (t 2, t );∫ 1

0F(α1(t ))◦α′

1(t )d t =∫ 1

0F(t , t 2)◦ (1,2t )d t

=∫ 1

0(e t − t 2 · t 2,3t 2 · t 2)◦ (1,2t )d t =

∫ 1

0(e t − t 4 +6t 5)d t = e − 1

5

Sobreα2(t )F(α2(t )) = F(t 2, t )∫α2

dα2 =∫ 1

0(e t 2 − t 5,3t 5)◦ (2t ,1)d t =

∫ 1

0(2te t 2 −2t 6 +3t 5)d t = e − 11

14

∴∫

Fdα=∫

−Fdα1 −∫

Fdα2 = (e − 1

5)− (e − 11

14) = 41

70

4.- Dado el campo vectorial F(x, y) = (x2 + y2,2x y) y la curva α es el borde dela región R formada por la parábola y = x2 y las dos rectas mostradas en lafigura, recorrida en sentido positivo

x

y

2

y=

x2

Region de IntegracionProblema 4

R

a) Calcule la integral de línea

b) Use el Teorema de Green para calcular la integral anterior



α1(t ) = (t , t 2), 0 ≤ t ≤ 2, α′1(t ) = (1,2t ), F(α1(t )) = (t 2 + t 4,2t 3)∫ 2

0(t 2 + t 4,2t 3)◦ (1,2t )d t =

∫ 2

0(t 2 +5t 4)d t =

(t 3

3+ t 5

)∣∣∣∣2

0= 104

3sobreα2,α2(t ) = (2,4)+ (−2,0)t = (2−2t ,4), 0 ≤ t ≤ 1α′

2(t ) = (−2,0), F(α2(t )) = ((2−2t )2 +16,8(2−2t ))F(α2(t )) = (4t 2 −8t +20,16−16t )

∴∫α

Fdα2 =∫ 2

0(4t 2 −8t +20,16−16t )◦ (−2,0)d t =

∫ 1

0(−8t 2 +16t −40)d t =

−104

3Sobreα3; α3(t ) = (0,4)+ (0,−4)t = (0,4−4t ), 0 ≤ t ≤ 1,F(α3(t )) = ((4−4t )2,0), α′

3(t ) = (0,−4)∫α3

Fdα3 =∫ 1

0 ((4−4t )2,0)◦ (0,−4)d t = 0

Luego∫α

Fdα= 104

3− 104

3+0 = 0

Usando el Teorema de Green F(x, y) = (x2 + y2,2x y)

∂Q

∂x− ∂P

∂y= 2y −2y = 0 ∴

ÏD

d yd x = 0

5.- Calcular la integral de línea∫

C

xd x − yd y√1+x2 + y2

, siendo C el cuarto de circunfe-

rencia que une los puntos (a,0) con el punto (0, a).

x

y

1

1

Región de integraciónProblema 5

El cuarto de la circunferencia de radio a, es x2 + y2 = a2, x ≥ 0, y ≥ 0 sepuede parametrizar de la siguiente forma x = acost , y = asent de dondese obtiene qued x =−asentd t , d y = acostd ty reemplazando∫

C

xd x − yd y√1+x2 + y2

=∫ π

2

0

acost · (−asent )−asent ·acostp1+a2

d t =

= a2

p1+a2

∫ π2

0−2cost sentd t = a2

p1+a2

(cos2t )

∣∣∣∣π2

0=− a2

p1+a2

6.- Verificar el Teorema de Green para el campo vectorial F(x, y) = (ex−x2 y,3x2 y)en la región encerrada por la curva C determinada por y = x2, y x = y2, re-corrida en el sentido positivo

y=

x2x

=y2

x

y

R

Region de integracion

Problema 6

a) F(x, y) = (ex −x2 y,3x2 y);∂Q

∂x− ∂P

∂y= 6x y +x2


3.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 59

ÏR

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)d yd x = =

∫ 1

0

∫ px

x2(6x y +x2)d yd x = 41

70

b) α1(t ) = (t , t 2) ; 0 ≤ t ≤ 1, α′1(t ) = (1,2t )

α−2 (t ) = (t 2, t ) ; 0 ≤ t ≤ 1, α−′

2 (t ) = (2t ,1)

∫α

F◦dα=∫ 1

0(e t − t 4,3t 4)◦ (1,2t )d t −

∫ 1

0(e t 2 − t 5,3t 5)◦ (2t ,1)d t

=∫ 1

0(e t − t 4 +6t 5)d t −

∫ 1

0(2te t 2 −2t 6 +3t 5)d t = 41

70

luego se verifica el Teorema de Green.

3.10. Problemas propuestos

1.- Sea F(x, y

)= (x + y, x − y

)y sea

γ (t ) =

(2t ,0) si t ∈ [0, 1

2

](1,2t −1) si t ∈ [1

2 ,1]

Calcule∫γ

F ·dγ

2.- Sea F(x, y

)= (x + y, x − y

)y sea γ el camino cerrado que une los puntos a =

(0,−1) , b = (1,0) , c = (0,1) y en ese orden. Calcule∫γ

F ·dγ.

3.- Muestre que las curvas

α (t ) = (t , t 2

), t ∈ [2,3]

β (t ) = (t +2, t 2 +4t +4

), t ∈ [0,1]

recorren la misma imagen y en la misma dirección.

4.- Sea

F(x, y) =( −y

x2 + y2 ,x

x2 + y2

),(x, y

) 6= (0,0)

y sea

α(t ) = (cos t , sent ), t ∈ [0,2π] .

Calcule∮α

F ·dα.



5.- Explique por qué

F(x, y) =( −y

x2 + y2 ,x

x2 + y2

),

(x, y

) ∈ B(a, 12 ), en donde a = (0,1) , es un gradiente.

Halle un campo escalar φ definido en el disco B(a, 1

2

)tal que ∇φ= F

6.- Calcular la integral de línea∫γ

f d s del campo escalar f (Integral de trayecto-

ria) sobre la curva γ donde:

a) f (x, y) = y, γ(t ) = (t 2.t ), 0 ≤ t ≤ 2.

b) f (x, y) = yex , γ es el segmento de recta que une (1,2) y (4,7)

c) f (x, y) = x y + l nx, γ es el arco de la parábola y = x2 desde (1,1) hasta(3,9)

7.- Sea α (t ) = (cos t +cos2 t , sin t + sin t cos t

), t ∈ [0,2π] . Calcule el centro de

masa de un alambre homogéneo (densidad constante) que tiene la formade la curvaα (t ) .

8.- Calcular∮α

F(x, y) ·dα dondeα es el contorno, recorrido en sentido positivo

del triángulo ∆O AB donde O = (0,0) , A = (1,0), B = (0,1) y F(x, y) = ((x +y)2,−x2 − y2)

9.- Calcule∮

xd y − yd x

x2 + y2 sobre los círculos

a) x = 1+ cost , y = 2+ sent

b) x = 1+ cost , y = sent

c) x = 1+2cost , y = 2sent

10.- Calcular la integral∫α

6x yd x + (3x2 +2y)d y dondeα es:

a) El círculo x2 + y2 = r 2

b) El cuadrado |x|+ |y | = 1

11.- Calcular la integral de línea∫α

(2x y3 + y z)d x + (3x2 y2 +xz)d y +x yd z, don-

de α es un camino cuyo punto inicial es p = (0,0,0) y cuyo punto final esq = (1,1,1), en cada uno de los casos siguientes:

a) α es un segmento de recta


3.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 61

b) α : [0,1] →R3, α(t ) = (t , t 2, t 3)

c) α : [0,1] →R3, α(t ) = (t k , t m , t n), donde k,m,n ∈N

12.- Calcular por medio de la integral de línea, la integral dobleÏS

(2x + y3)d xd y ,

donde S es el interior de la circunferencia x2 + y2 = 2ax

13.- Use el Teorema de Green para calcular la integral de línea del campo F(x, y) =(5x3 +4y,2x −4y4) a lo largo del círculo (x −2)2 + y2 = 4

14.- Calcular usando el teorema de Green , la integral de línea∮α

y2d x + (x y +x2)d y

a lo largo del contorno cerrado en sentido positivo formado por una semi-circunferencia de centro en el origen y radio dos y su diámetro sobre el ejeOX

15.- Calcular∮

C(ex + cosx +2y)d x +

(4x − y2

3

)d y siendo C :

a) La elipse de centro (2,3) y semiejes 2 y 7

b) La circunferencia de radio 5 centrada en el origen

16.- Use el Teorema de Green para calcular la integralÏS

(2x −1)d xd y

en donde S es región limitada por las curvas

(x − 1

2

)2 + (y − 1

2

)2 = 14

x2 + y2 = 4

y orientadas positivamente.


Cap3 - Integrales de Linea - Teorema de Green

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