Teorema de Green t3

7/25/2019 Teorema de Green t3

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FACULTAD DE

INGENIERÍACARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Título de Investigación:

TEOREMA DE GREEN CON APLICACIÓN –CÁLCULO III

Integrantes:

Cojal Aguilar, Carlos Iván

L!a"a L#$!, %&a""ar Alviro

O'as Cul(ui, C)sar E*uar*o

Crisologo Lli'o, E*i+& Lis+&

-aja&uan'a A'u.a, /in0lin+on

Docente:

Li'1 C&ris+ian Murga Tira*o

Caja"ar'a 2 Pr3 4567



CALCULO III

INDICE

1. INTRODUCCIÓN...................................................................................1

2. OBJETIVOS..........................................................................................2

2.1. OBJETIVO GENERAL...........................................................................................2

2.2. OBJETIVO ESPECÍFICO........................................................................................2

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO.....................................................................3

1. EL TEOREMA DE GREEN...................................................................................31.1. Teorema de Green-Riemann..............................................................................4

1.2. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas..........................................5

1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria......................................................5

2. INTEGRAL DE LINEA.........................................................................................7

CAPITULO 2: APLICACIÓN...........................................................................8

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS............................................................9

CONCLUSIONES.......................................................................................23

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)...............................................24

ANEXOS.................................................................................................25

1. INTRODUCCIÓN

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial

sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierrala curva. Este tipo de teoremas resulta muy ´útil porque, dados un campo



CALCULO III

vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campodirectamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas

parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva. or otro lado, la

relaci!n así establecida entre la integral de línea sobre una curva y laintegral doble sobre la regi!n interior a ´esta permite a veces obtener informaci!n sobre una funci!n o su integral en un recinto a partir delcomportamiento de la funci!n sobre la frontera de dicho recinto.

En el presente traba"o se da a conocer el concepto del teorema de Green delmismo modo, se resolverán e"ercicios relacionados a este, y finalmente se

presentara una aplicaci!n del teorema de Green.

ara ello se ha seleccionado previamente bibliografía adecuada las cualesdefinen t#rminos basados en el desarrollo de integrales, se e$ponenecuaciones para resolver problemas de integrales de superficie y áreas. Estasíntesis presenta diferentes formas de resolver problemas de cálculovectorial mediante el %eorema de Green.

2. OBJETIVOS.

2.1. Ob!"#$% G!&!'.

• &efinir y e$plicar el teorema de Green.



CALCULO III

2.2. Ob!"#$% E*+!,-#,%

• &efinir los procesos y desarrollo del teorema de Green.• E$plicar las aplicaciones del teorema de Green.• 'esolver un e"ercicio relacionado al teorema de Green

DESARROLLO DEL TEMA.



CALCULO III

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO.

1. EL TEOREMA DE GREEN.

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una

curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una

curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad

m ( as simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la

diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva

)*+%-/ 001 E %E/'E2+ &E G'EE3, s.f.4

T!%'!/: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente

orientada, en el plano R2 , y sea D la unión de la región interior a C. Sea F – (P,

Q): ! "# un campo vectorial de clase C $. %ntonces se tiene &ue:

P dx+Q dy−¿∫ D

0

∂ Q∂ x

− ∂ P∂ y

∫C

0

¿

1.1. T!%'!/ 0! G'!!&R#!/&&.

5ea R una regi!n del plano simplemente cone$a y acotada, y supongamos que

C es la curva cerrada y simple que envuelve a la regi!n ' orientada en sentido

positivo. 5upondremos que la curva anterior es rectificable. 5i P(4) y 5(4)

son dos campos escalares definidos sobre ' derivables y con derivadas

parciales continuas, se verifica que1

∫c

0

P ( x , y ) dx+Q( x , y )dy=∬ R

0

( ∂Q

∂ x−

∂ P

∂ Y )dxdy

*omo consecuencia de este teorema, podemos enunciar1



CALCULO III

• T!%'!/: 5ea un campo vectorial, F(4) 6 (P(4) 5(4)) derivable,

con derivadas continuas, sobre la regi!n ' simplemente cone$a y

acotada, y supongamos que ( ∂Q

∂ x=

∂ P

∂ y ) en todo el con"unto R.

• Entonces F(4) 6 (P(4) 5(4)) es un campo gradiente.

6a sabíamos tambi#n que si 7 era un campo gradiente resultaba que

( ∂Q∂ x =∂ P

∂ y )1.2. T!%'!/ 0! G'!!& +' '!7#%&!* /8"#+!/!&"! ,%&!*.

5ea un con"unto ' del plano simplemente cone$o y denominamos por * 8 ,

890,:,...n a ;n< subcon"untos simplemente cone$os contenidos en '.

5upondremos que si * es la curva que envuelve a ' y *8 la que envuelve a cada

' 8 , todas esas curvas son cerradas, regulares, simples y orientadas

positivamente.

En estas condiciones, si T = R−¿ k =1¿n R k y admitimos que el campo

vectorial es derivable, con derivadas continuas, sobre la regi!n %, se verifica

que1

∫c

0

P ( x , y ) dx+Q( x , y )dy−∑k =1

n

∫C

k

0

P ( x , y )dx+Q( x , y )dy=∬T

0

( ∂ Q

∂ x−

∂ P

∂Y )dxdy

1.3. P'#&,#+#% D! I&0!+!&0!&,# D! L T'4!,"%'#.

5ea f )z4 una funci!n analítica en todo punto de un dominio simplemente

cone$o & y sean z0 y z: dos puntos de &. entonces, sí usamos contornos



CALCULO III

contenidos en &, el valor de ∫ x

1

x2

f ( z ) dz no dependerá del contorno utilizado

para ir de z0 a z:.

&emostraci!n. 5ea & un dominio simplemente cone$o y *0 y *: dos contornos

en & sin intersecci!n que van de z0 a z:. 5e tiene que los contornos *0 y = *:

forman un contorno cerrado simple, que denominaremos *. uego, por el

teorema de *auchy>Goursat.

∫C

0

f ( z ) dz=0

ero1

∫C

0

f ( z ) dz=∫C

1

0

f ( z ) dz+∫−C

2

0

f ( z ) dz

¿∫C

1

0

f ( z ) dz−∫C

2

0

f ( z ) dz

or lo tanto,

∫C

1

0

f ( z ) dz=∫C

2

0

f ( z ) dz

o cual indica que la integral desde z0 hasta z: es así independiente del contorno

seguido, en tanto ese contorno se encuentre dentro de &.

&el principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primitiva

de una funci!n de variable comple"a. 5ea f)z4 una funci!n analítica en un

dominio simplemente cone$o &. 5ea z? en un punto de &. a funci!n 7)z4

definida en & por1



CALCULO III

F ( z )=∫ z0

z

f ( s) ds+C 1

&onde * es una constante comple"a, se denomina integral indefinida o primitiva

de f. En realidad f)z4 posee un número infinito de primitivas. &ichas primitivas

difieren en valores constantes y son analíticas en &, y satisfacen1

F ' ( z )= f ( z)

-samos la integral indefinida @f)z4 dz para indicar todas las posibles primitivas

de f)z4. El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica

∫ z

0

z

f ( s )ds queda determinado por el límite de integraci!n inferior.

2. INTEGRAL DE LINEA.

En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya funci!n

es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o

del plano comple"o, se llama tambi#n integral de contorno.

E"emplos prácticos de su utilizaci!n pueden ser1 el cálculo de la longitud de una

curva en el espacio, o tambi#n para el cálculo del traba"o que se realiza para mover

algún ob"eto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas

)descritos por campos vectoriales4 que actúen sobre el mismo.

I&"!7' ,9'$#-&! 0! 9& ,/+% !*,'

ara f1 ' : A ' un campo escalar, la integral sobre la curva * )tambi#n llamada, integral de

trayectoria4, parametrizada como r)t4 9 $)t4i B y)t4" con t Ca, bD, está definida como1



CALCULO III

x ( t ) , y (t )√ [ x ' (t )]2

+[ x ' ( t )]2

dt

¿f ¿

f (r (t ))‖r' (t )‖dt =∫

a

b

¿

fds=∫a

b

¿

∫C

0

¿

&!nde1 r1 Ca, bD A * es una parametrizaci!n biyectiva arbitraria de la curva * de tal manera

que r)a4 y r)b4 son los puntos finales de *. as integrales de trayectoria son independientes

de la parametrizaci!n r)t4, porque solo depende de la longitud del arco, tambi#n son

independientes de la direcci!n de la parametrizaci!n r)t4.

CAPITULO 2: APLICACIÓN

5e de"ara caer una canica por una curva que viene modelada por la ecuaci!n1 la altura

desde donde carera la canica es de un 0m. +l igual que la distancia horizontal que

corresponde a 0m.

y 9 ?.?::$F > 0H.:H$ B :0.?:$I > 0J.F$H B I.H$: > K.0J:J$ B 0.??HK.



CALCULO III

2ediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.

1. %ransformaci!n de una integral de línea en una de área. Evaluar

∫C

.

X 4

dx+ xydx

, donde * es la curva triangular que une los puntos )?L?4, )?L04



x

y

1

1

y = 1 - x

CALCULO III

y )0L?4, orientada

positivamente.

S%9,#&:

a gráfica indica la regi!n

encerrada por la curva *.

%enemos1

P ( x , y )= X 4→

dP

dy=0

Q ( x , y )= xy →dQ

dx= y

or lo tanto1

dQ

dx

(¿−dP

dy )dA

∫C

.

x4

dx+ xy dx=∬ D

.

¿



CALCULO III

1

2

¿

1− x¿3∨1

0=1

6

12(¿1− x )2 dx=−1

6¿

(¿¿ y2∨1− x

0)=∫

0

1

¿

ydydx=∫0

1

¿

∫0

1− X

¿

∫0

1

¿

CONCLUSIONES

*oncluimos definiendo y e$plicando el %eorema de Green.

2ediante el presente traba"o se da e$plicaci!n referente a la

aplicaci!n.

5e concluye que los e"ercicios *omparamos las diferentes

definiciones de la bibliografía escogida.

+l haber realizado el presente traba"o como resultado es poder

solucionar el e"ercicio.



CALCULO III

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)

ntegrales de línea. %eorema de Green, Mos# +ntonio Nalle"o

http1OOes.Pi8ipedia.orgOPi8iOntegralQdeQlR*HR+&nea

https1OOes.8hanacademy.orgOmathOmultivariable>alculusOlineQintegralsQtopicntegrales de

línea, 5+SE 2+''E'/, &epartamento de +nálisis 2atemático

http1OOPPP.uantof.clOfacultadesOcsbasicasO2atematicasOacademicosOemartinezOcalculoHOl

ineavecOlineavec.html

*+%-/ 001 E %E/'E2+ &E G'EE3. )s.f.4. /btenido de

https1OOeva.fing.edu.uyOpluginfile.phpO00KJ?OmodQresourceOcontentO0Ocap00>green.pdf

EE. ) de 7ebrero de :?0:4. &emostraci!n y aplicaciones del teorema de Green .

/btenido de

http1OOtorricelli.uvigo.esOPebQdeQE.7aroO*alculoQO+puntesQfilesOclaseQ?.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea


http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.html








CALCULO III

ANEXOS

M%0! !*, 0! ,9'$ +' +#,' ! "!%'!/ 0! G'!!&.

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