Teorema de Green Avance

7/25/2019 Teorema de Green Avance

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FACULTAD DE

INGENIERACARRERA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

Ttulo de Investigacin:

TEOREMADE GREEN CON APLICACIN CLCULO III

Integrantes:

Cojal Aguilar, Carlos Ivn

L!a"a L#$!, %&a""ar Alviro

O'as Cul(ui, C)sar E*uar*o

Crisologo Lli'o E*i+& Lis+&

-aja&uan'a A'u.a, /in0lin+on

Docente:

Li'1 C&ris+ian Murga Tira*o

Caja"ar'a 2 Pr3 4567


2/31

CALCULO III

INDICE

1. INTRODUCCIN...................................................................................1

2. OBJETIVOS..........................................................................................2

2.1. OBJETIVOGENERAL...........................................................................................2

2.2. OBJETIVOESPECFICO........................................................................................2

CAPITULO 1: MARCO TERICO.....................................................................3

1. EL TEOREMA DE GREEN...................................................................................31.1. Teorema de Green-Riemann..............................................................................4

1.2. Teorema de Green para regiones mltiplemente conexas..........................................5

1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria......................................................5

2. INTEGRAL DE LINEA.........................................................................................7

CAPITULO 2: APLICACIN...........................................................................8

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS............................................................9

CONCLUSIONES.......................................................................................23

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)...............................................24

ANEXOS.................................................................................................25

1. INTRODUCCIN

En el presente trabajo se da a conocer el concepto y aplicacin del teorema de Green as

como tambin parte de la integral de line ya que el teorema de Green est relacionado


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CALCULO III

con este. El teorema de Green nos dice que la integral de una funcin sobre un conjunto

S = [a b! es igual a una funcin relacionada "la anti#deri$ada% e$aluada de cierta manera

sobre la frontera de S en esta caso solo consta de do puntos a y este teorema da la

relacin entre una integral de lnea alrededor de una cur$a cerrada simple & y una

integral doble sobre la regin plana ' limitada por &.

(ediante este trabajo se presentara como se desarrolla el teorema de Green del mismo

modo resol$ern ejercicios relacionados a este y finalmente se presentara una

aplicacin del teorema de Green.

)ara ello se *a seleccionado pre$iamente bibliografa adecuada las cuales definen

trminos basados en el desarrollo de integrales se e+ponen ecuaciones para resol$er

problemas de integrales de superficie y reas. Esta sntesis presenta diferentes formas de

resol$er problemas de clculo $ectorial mediante el ,eorema de Green.

2. OBJETIVOS.

2.1. O!"#$%& G"'"a.

-naliar y e+plicar el teorema de Green

2.2. O!"#$%& E*+",-$,&

'efinir los procesos y desarrollo del teorema de Green.


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CALCULO III

-prender las aplicaciones del teorema de Green.

/esol$er ejercicios relacionados al teorema de Green.

'esarrollar un problema de aplicacin del teorema de Green.

DESARROLLO DEL TEMA.

CAPITULO 1: MARCO TERICO.

1. EL TEOREMA DE GREEN.

El teorema de Green relaciona la integral de lnea de un campo $ectorial sobre una

cur$a plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la cur$a.


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CALCULO III

Este tipo de teoremas resulta muy 0til porque dados un campo $ectorial y una

cur$a cerrada simple sobre la cual *ay que integrarlo podemos elegir la posibilidad

m1 as simple entre integrar el campo directamente sobre la cur$a o bien integrar la

diferencia de sus deri$adas parciales cruadas sobre el recinto que delimita la cur$a

"&-)2,345 667 E4 ,E5/E(- 'E G/EE8 s.f.%

T"&"/a: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente

orientada, en el planoR2, y seaDla unin de la regin interior a C. Sea F (P,

Q): ! "#un campo vectorial de clase C$. %ntonces se tiene &ue:

P dx+Q dyD

0

Q

x

P

y

C

0

Na 0$*#$,a.El teorema de Green toma su nombre del cientfico ingls autodidacta

George Green "69:; < 6>6% quien trabajo en la panadera de su padre

desde los nue$e a?os de edad y aprendi matemticas por s mismo por

medio de libros de la biblioteca. En 6@ publico pri$adamente un

ensayo titulado A-n Essay on t*e -pplication of (at*ematical -nalysis

to t*e ,*eories of Electricity and (agnetismB "3n ensayo sobre la

aplicacin del -nlisis (atemtico a las ,eoras de la Electricidad y el

(agnetismo% del que solo se imprimieron 6CC copias la mayor parte de

las cuales fueron a parar a manos de sus amigos.El panfleto contena un teorema que es equi$alente a lo que *oy

conocemos como el teorema de Green pero no fue ampliamente

conocido en aquella poca. Dinalmente a los >C a?os de edad Green

entro a la uni$ersidad de &ambridge pero muri cuatro a?os despus de


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CALCULO III

graduarse. En 6> Filliam ,*ompson "4ord el$ n% encontr una copia

del ensayo de Green comprendi su importancia y lo *io reimprimir.

"EE2 @C6@%

1.1. T"&"/a " G""'R$"/a''.

Sea Runa regin del plano simplemente cone+a y acotada y supongamos que

Ces la cur$a cerrada y simple que en$uel$e a la regin / orientada en sentido

positi$o. Supondremos que la cur$a anterior es rectificable. Si P(456)y 7(456)

son dos campos escalares definidos sobre / deri$ables y con deri$adas

parciales continuas se $erifica que7

c

0

P (x , y ) dx+Q(x , y )dy=R

0

(Q x P Y)dxdy

&omo consecuencia de este teorema podemos enunciar7

T"&"/a:Sea un campo $ectorial F(456) 8 (P(456)5 7(456))deri$able

con deri$adas continuas sobre la regin / simplemente cone+a y

acotada y supongamos que ( Q x = P y ) en todo el conjunto R. Entonces F(456) 8 (P(456)5 7(456))es un campo gradiente.

Ha sabamos tambin que si D era un campo gradiente resultaba que

( Q x = P

y )


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CALCULO III

1.2. T"&"/a " G""' +aa "9$&'"* /#$+"/"'#" ,&'"4a*.

Sea un conjunto / del plano simplemente cone+o y denominamos por & I

[email protected] a AnB subconjuntos simplemente cone+os contenidos en /.

Supondremos que si & es la cur$a que en$uel$e a / y &Ila que en$uel$e a cada

/I todas esas cur$as son cerradas regulares simples y orientadas

positi$amente.

En estas condiciones si T=R k=1n R k y admitimos que el campo

$ectorial es deri$able con deri$adas continuas sobre la regin , se $erifica

que7

c

0

P (x , y ) dx+Q(x , y )dyk=1

n

C

k

0

P (x , y )dx+Q(x , y )dy=T

0

( Q x P

Y)dxdy

1.3. P$',$+$& D" I'"+"'"',$a D" La Ta6",#&$a.

Sea f "% una funcin analtica en todo punto de un dominio simplemente

cone+o ' y sean 6 y @dos puntos de '. entonces s usamos contornos

contenidos en ' el $alor de x

1

x2

f(z ) dz no depender del contorno utiliado

para ir de 6a @.

'emostracin. Sea ' un dominio simplemente cone+o y &6y &@dos contornos

en ' sin interseccin que $an de 6a @. Se tiene que los contornos &6y < &@

forman un contorno cerrado simple que denominaremos &. 4uego por el

teorema de &auc*y#Goursat.


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CALCULO III

C

0

f(z ) dz=0

)ero7

C

0

f(z ) dz=C

1

0

f(z ) dz+C

2

0

f(z ) dz

C

1

0

f(z ) dzC

2

0

f(z ) dz

)or lo tanto

C

1

0

f(z ) dz=C

2

0

f(z ) dz

4o cual indica que la integral desde 6*asta @es as independiente del contorno

seguido en tanto ese contorno se encuentre dentro de '.

'el principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primiti$a

de una funcin de $ariable compleja. Sea f"% una funcin analtica en un

dominio simplemente cone+o '. Sea Cen un punto de '. 4a funcin D"%

definida en ' por7

F(z )=z0

z

f( s) ds+C1

'onde & es una constante compleja se denomina integral indefinida o primiti$a

de f. En realidad f"% posee un n0mero infinito de primiti$as. 'ic*as primiti$as

difieren en $alores constantes y son analticas en ' y satisfacen7

F '(z )= f(z)


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CALCULO III

3samos la integral indefinida Jf"% d para indicar todas las posibles primiti$as

de f"%. El $alor de la constante correspondiente a una primiti$a especfica

z

0

z

f( s )ds queda determinado por el lmite de integracin inferior.

2. INTEGRAL DE LINEA.

En matemticas una integral de lnea o cur$ilnea es aquella integral cuya funcin

es e$aluada sobre una cur$a. En el caso de una cur$a cerrada en dos dimensiones o

del plano complejo se llama tambin integral de contorno.

Ejemplos prcticos de su utiliacin pueden ser7 el clculo de la longitud de una

cur$a en el espacio o tambin para el clculo del trabajo que se realia para mo$er

alg0n objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fueras

"descritos por campos $ectoriales% que act0en sobre el mismo.

I'#"9a ,;%$-'"a " ;' ,a/+& "*,aa

)ara f7 /@K / un campo escalar la integral sobre la cur$a & "tambin llamada integral de

trayectoria% parametriada como r"t% = +"t%i L y"t%j con t [a b! est definida como7


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CALCULO III

x ( t) , y (t)[x '(t)]2

+[x '( t)]2

dt

f

f(r (t))r '(t)dt=a

b

fds=a

b

C

0

'nde7 r7 [a b! K & es una parametriacin biyecti$a arbitraria de la cur$a & de tal manera

que r"a% y r"b% son los puntos finales de &. 4as integrales de trayectoria son independientes

de la parametriacin r"t% porque solo depende de la longitud del arco tambin son

independientes de la direccin de la parametriacin r"t%.

CAPITULO 2: APLICACIN

Se dejara caer una canica por una cur$a que $iene modelada por la ecuacin7 la altura

desde donde carera la canica es de un 6m. al igual que la distancia *oriontal que

corresponde a 6m.

y = MC.C@@+# 6;.@;+ML @M6.C@+># 6M:.+;L >.;MM+@# 9.6:@:+ L 6.CC;9.


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CALCULO III

(ediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.

CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.

1. &alcular ydxxdy donde es da frontera del cuadrado [#6.6! +

[#6.6! orientada en sentido cntario al de las agujas del reloj.

S&;,$'


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CALCULO III

)or el tema de Green si llamamos ' al interior del cuadrado

entonces

Pdx+Qdy=D( Q x P y)dxdy

&omo P (x , y )=y ,Q (x , y )=x resultado en este caso

I=D

2 dxdy=2area (D )=8

2. 3sar el teorema de Green para calcular (y2+x2 ) dx+x4 dy donde

es el permetro de [ 0,1 ]x [0,1 ] en sentido positi$o.

S&;,$':

&omo P (x , y )=y2+x3 , Q (x , y )=x4 entonces

Q

x

P

y=4x32y .

'e este modo si 'es el interior del cuadrado [ 0,1 ]x [0,1 ] por el

teorema de Green

I=D

0 ( 4x32y ) dxdy=0

1 ( 4x32y ) dy=0

1 ( 4x31 ) dx=0

3. Sea F=(2x3y3 , x3+y3) .

a% &alcular D ds donde es la circunferencia unidad recorrida en

sentido anti*orario.


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CALCULO III

b% Nerificar el teorema de Green cuando es la frontera de regin

anular descrita por a x2+y2 b orientada en sentido positi$o.

S&;,$':

a% Si llamamos )"+ y% = 2x3+y3 O"+ y% = x

3+y3 entonces

Q

x

P

y=3x2+3y2 . )or

el teorema de Green I=D(3x2+3y2 ) dxdy, dondees el circulo

x2+y2 1. (ediante un cambio a coordenadas polares la integral

queda de la forma

I=0

2

d=0

1

3 !2

"!d!=3

2

b% Si aplicamos el teorema de Green la situacin es anloga a la del

apartado "a% donde a*ora la regin ' es la corona circular a

x2+y2 b

.

El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a

I=0

2

d=0

b

3 !2

"!d!=3 2 b

4a4

4 =

3 (b4a4)4


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CALCULO III

Si queremos resol$er la integral de forma directa debemos

descomponer la trayectoria en dos cur$as7 C1 es la circunferencia

e+terior x2+y2=b2 recorrida en sentido anti*orario y &@ la

circunferencia interior x2+y2=a2 recorrida en sentido *orario. Si

parametriamos ambas cur$as como7

C1={x=bc#sty=bsent0 t 2 P C1={

x=ac#sty=asent0 t 2

/esulta

I=C1

0

F ds+C2

0

F ds

0

2

[ (2 b3 cos3 tb3 sen3t)(bsent)+(b3 cos3t+b3 sen3t)(bc#st)] dt

+0

2

[ (2 a3 cos3 ta3 sen3 t)(asent)+(a3cos3t+a3 sen3 t)(ac#st)] dt

0

2

[ (b4

+a4

) (2 sentcos3

t+sen3

t c#st)+(b4

a4

)(cos4

t+sen4

t)] dt

3 (b4a4)

2


15/31

CALCULO III


16/31

CALCULO III

=. &alcular el rea de la elipsex

2

a2+

y2

b2=1.

S&;,$'

,eniendo en cuenta el ejercicio anterior podemos aplicar la formula

%=$ Dxdy " )ara ello parametriamos la frontera de la elipse por

las ecuaciones

{x=bc#st,y=bsent ,

0t 2

'e este modo

I=0

2

ac#stbc#st dt=0

2 1+cos 2t

2 dt=

ab

2 2 =ab"

>. 3sar el teorema de Green para calcular la integral de lnea

c y3dx+(x3+3x y 2 ) dy donde & es el camino de "CC% a "66% sobre la

grfica de y=x3y de "66% a "CC% sobre la grfica y=+.

SOLUCIN

c y3dx+(x3+3x y 2 ) dy=R( dQdx dPdy)dxdy

{ P=y3dQ

dy=3y2

Q=x3+xydQ

dx=3x2+3y2


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CALCULO III

c y3dx+(x3+3x y2 ) dy=R (3x2+3y 2 )3y2 dxdy

R (3x2) dxdy

0

1

(x

3

x

3x2)dy

0

1

(3x3+3x5 ) dx

(3x4

4

x6

6)01

3

4

1

2

1

4

?. &alcula el rea de la elipse7x

2

a2+

y2

b2=1

SOLUCION:

)odemos aplicar la frmula7 -= dD

xdy . "-plicando teorema de gren%

)ara ello parametriamos la frontera de la elipse por las ecuaciones

= a cos t

H= b sen t

"C T t T @

%


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CALCULO III

'e este modo7

-= #

2

acos t " bcos t dt = ab 0

2 1+cos2 t

2 dt =

ab

2 " 2 =ab

@. .&alcular7 c

(x+2 ) ds, s&end# C 'a c!ra dada (#r

r"t%=tiL4

3t

3 /2

jL1

2t

2

I 0t 2

SOLUCION:

'e rB"t%=iL@ t1 /2

jLtIy

r ( t ) right rdline =

z ( t ) right ] 2}

[x ( t ) right ] 2+ left [y (t) ]2+

= 1+4 t+t2

Se sigue que7

c

(x+2) ds = 0

2

( t+2 )1+4 t+t2 dt

=

1+4 t+t2

2( t+2 )

1

20

2

dt e$aluado en C y @

)15 "2


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CALCULO III

. (ediante la frmula de Green calcular la integral c

(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy

donde &es el circulo x2

+y2

=1

S&;,$'

c

(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy = D

( Q

x

P

y) d-

{P=2x3y3

Q=x3y3

{ P

x=3y2

Q

y=3x2

c

(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy = D

3 (x2+y2 ) d% donde '7 x2+y2 1

)asando a coordenadas polares +=rcos * y=sen * C * 2 y 0r 1"

c

(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy

= D

3 (x2+y2 ) d%

=

3 r2rdr

0

1

d*

0

2


20/31

x

y

1

1

y = 1 - x

CALCULO III

= 32

1. ,ransformacin de una

integral de lnea en

una de rea. E$aluar

C

"

+

4

dx+xy dx

donde & es la cur$a

triangular que une los

puntos "CPC% "CP6% y

"6PC% orientada

positi$amente.

S&;,$':

4a grfica indica la regin encerrada por la cur$a &. ,enemos7

P (x , y )=+4dPdy =0


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CALCULO III

Q (x , y )=xy dQ

dx=y

)or lo tanto7

dQ

dx

(dP

dy )d%

C

"

x4

dx+xy dx=D

"

1

2

1x310=

1

6

1

2(1x )2 dx=

16

(y21x

0

)=0

1

ydydx=0

1

0

1+

0

1

11. (ientras est bajo la accin de la fuera F(xy )=y3

&+ (x3

+x y2

)- una

partcula da una $uelta a la circunferencia de radio ; usar el teorema de Green

para *allar el trabajo realiado por F .

SOLUCIN


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CALCULO III

.=C

F " dr=C

y3

dx+ (x3+x y2 ) dy=D

3x2

dxdy

)asando a coordenadas polares r=; 0 * 2

3 r2cos

2*rdr

0

3

d*

3x2

dxdy=0

2

.=D

0

2

(r 4cos2*)0

3d*

3

4

340

2

(cos2*)d*

243

8[*+ sen 2 *2 ]02

243

8


23/31

CALCULO III

12. El pr+imo ejemplo ense?a cmo utiliar una integral de lnea para *allar la

masa de un muelle en forma de *lice de densidad $ariable. En la figura 6>.66

tngase en cuenta que la densidad aumenta conforme la *lice asciende entorno

al eje .

&alcular la masa de un muelle que tiene la forma de la *lice circular

r"t%=1

2 "costiLsentjLtI%0t 6

Si la densidad del muelle $iene dada por / (x , y , z )=1+z ( f&0!ra 14.11 )

SOLUCIN

r ( t ) right rdline =

1

2(sent)2+(c#st)2+ (1)2 =6

4a masa del muelle es7

(asa= c (1+z ) ds = 0

6

"6L

t

2 % dt


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CALCULO III

2ntegrando y e$aluando en C y se tiene7 )144 "4!

13. 3tilice el ,eorema de Green para calcular la integral C

(yx ) dx+(2xy )dy

donde & es la frontera de la regin situada en el interior del rectngulo limitado

por =#M =M H=#; H=; y en el e+terior del cuadrado limitado por =#@ +=6

H=#6 H=6

c (yx ) dx+(2xy )dy

= R

(21 ) d%

=

3

3

dydx1

1

1

1

dydx

5

5

=

(3(3 )) dx1

1

( 1(1 ) ) dx

5

5


25/31

y

xa

b

C2

C1

CALCULO III

= 5

5

6 dx1

1

2 dx

= (5 (5)) .62(1(1 ))

=M

1


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CALCULO III

'onde es la densidad superficial de la arandela supuesta constante dado que es

*omognea.

Esta regin no es simplemente cone+a pero como se $io en la teora se puede e+tenderel teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros siendo7

)or lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos

integrales. )ara ello debemos encontrar funciones ) O tales que7

-plicando Green con esta funcin tenemos7

"6%

)arame triando estas cur$as tenemos

/eemplaando con esto en "6% tendremos7


27/31

CALCULO III

Usta es la manera estndar de e+presar un momento de inercia7 como el producto de una

longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rgido.

1=. &alcular

arct0x+y

( 2)dx+

c

0" e

yx2dy

'onde & es el camino que encierra la regin anular de la figura 6>.;6

S&;,$':

En coordenadas polares / $iene dada por1 r 3

y0 *

-demas


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CALCULO III

12

1x

13

1y =#@+#@y=#@"rcos *+rsen*

-s pues por el teorema de Green7

arct0x+y(2)dx+

c

" e

yx2dy = R

#@"+Ly% d-

=

2 r (c#s*+se* )rdrd*

0

1

3

=104

3


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CALCULO III

CONCLUSIONES

-naliamos las 2ntegrales de lnea independiente de la trayectoria.

E+plicamos el ,eorema de Green.

'efinimos integrales de lnea.

&omparamos las diferentes definiciones de la bibliografa escogida.

'efinimos los procesos y desarrollo del teorema de Green.

/esol$imos ejercicios y problemas usando ecuaciones las 2ntegrales

de lnea independiente de la trayectoria y a la $e los ,eoremas de

integrales de lnea entre ellos el ,eorema de Green.

-prendimos los mtodos e+istentes para resol$er las 2ntegrales de

lnea independiente de la trayectoria.

-prendimos las aplicaciones de este tipo de integrales de lnea.


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CALCULO III

REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)

2ntegrales de lnea. ,eorema de Green Vos -ntonio Nallejo

*ttp7WWes.XiIipedia.orgWXiIiW2ntegralYdeYlZ&;Z-'nea

*ttps7WWes.I*anacademy.orgWmat*Wmulti$ariable#alculusWlineYintegralsYtopicntegrales de

lnea 2S-E4 (-//E/5 'epartamento de -nlisis (atemtico

*ttp7WWXXX.uantof.clWfacultadesWcsbasicasW(atematicasWacademicosWemartineWcalculo;Wl

inea$ecWlinea$ec.*tml

&-)2,345 667 E4 ,E5/E(- 'E G/EE8. "s.f.%. 5btenido de

*ttps7WWe$a.fing.edu.uyWpluginfile.p*pW669M:CWmodYresourceWcontentW6Wcap66#green.pdf

EE2. " de Debrero de @C6@%. 'emostracin y aplicaciones del teorema de Green .

5btenido de

*ttp7WWtorricelli.u$igo.esWXebYdeYE.DaroW&alculoY22W-puntesYfilesWclaseYC.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.htmlhttp://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/lineavec/lineavec.html


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CALCULO III

ANEXOS

M&"a a "*,aa " a ,;%a +aa a+$,a " #"&"/a " G""'.

Teorema de Green Avance

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