Teorema del Valor medio y Teorema de Rolle:Teorema de rolle:Si f es una funcin en la que se cumple:i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b] ii. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) iii. f (a) = 0 y f (b) = 0 Entonces, existe un nmero c que pertenece a (a, b) tal que F '(c) = 0El Teorema de Rolle se atribuye al matemtico francs Michel Rolle (1652-1719).En la figura de la derecha se ilustra la interpretacin geomtrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y f (a) = f (b) = 0. Tambin se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la grfica de f es paralela al eje x, es decir donde se cumple que f '(c) = 0.

Y

X

a0cb

El Teorema de Rolle es susceptible de una modificacin en su enunciado que no altera para nada la conclusin del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la funcin sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.

Y

d

X

cab

Teorema del Valor medio: Si f es una funcin en la que se cumple que: f es continua en el intervalo cerrado [a, b] f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un nmero c que pertenece a (a, b) tal que

A la izquierda se observa una ilustracin de la interpretacin geomtrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la funcin es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto C en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,

acbYcX

Ejercicios sobre teorema de rolle

1. Verificar que las tres condiciones del teorema de rolle son satisfechas por la funcin en el intervalo .Luego, hallar el valor de c adecuado que satisfaga la conclusin del teorema de rolle.Solucin: como la funcin f es polinomial, entonces es continua y derivable , por lo que las condiciones son satisfechas.Dado que y 0, la funcin f tambin satisface la condicin .luego, si

Derivando la funcin obtenemos Ahora, si Es fcil comprobar que y que por lo tanto

Para

2. Para la funcin , hallar los intervalos en los que la y el teorema de rolle es aplicable.Solucin: si 0 , , Como f es continua y derivable en toda la recta real Y si Vemos que y , por lo tanto, en , y en ,

3. Usando el teorema de rolle, demostrar que si , entonces la ecuacin Tiene tres races reales (sin resolver dicha ecuacin) Demostracin: en efecto, la funcin f es continua y derivable en toda la recta real, pues se trata de una funcin polinomial.Ademas, evaluando directamente la funcin encontramos que:

Luego, las condiciones del teorema de rolle se satisfacen en cada uno de los intervalos .entonces ,

Y En consecuencia, la ecuacin tendr por conjunto solucin:

4. Probar que la funcin , satisface la hiptesis del teorema de rolle en el intervalo , y hallar los nmeros c que satisfacen la condicin del teorema.

Solucin: determinaremos el intervalo interceptando la funcin con los ejes coordenadosSi:

Con esto se cumple la condicin

Las condiciones tambin se cumplen, pues f es continua y derivable , toda vez que Entonces,Derivando la funcin obtenemos:

Si

5. Use el teorema de rolle para demostrar que la ecuacin , donde p es cualquier constante, no puede tener ms de una raz real.Demostracin: supongamos que la funcin tiene dos races reales tales que Luego, si , entonces por el teorema de rolle,

Si Vemos que , porque , Entonces lo supuesto que tiene dos races reales es una contradiccin, por lo tanto no puede tener ms de una raz real , cualquiera que sea el valor de p.6. Probar que la funcin satisface la hiptesis del teorema de rolle en el intervalo y hallar todos los nmeros que satisfacen la conclusin del teorema.Solucin: como las funciones seno y coseno son continuas y derivables en todo su dominio entonces:i. f es continua en ii. f es derivable en iii. Adems , Luego, si Y si , de donde , k Dado que Por lo tanto, cada c satisface la conclusin del teorema.

Ejercicios del teorema de valor medio1. Aplicar el teorema de valor medio a las funciones dadas en el intervalo indicado y , hallar los valores de c que satisfacen su conclusina. , xLa funcin polinomial f es continua y derivable en toda la recta real, en particular lo es en .luego, hallaremos los valores de c resolviendo la ecuacin:

Esto es: Resolviendo la ecuacin obtenemos: y , por tanto, el nico c satisface la conclusin del teorema es y por tanto el nico c que satisface la conclusin del teorema es b. es continua y derivable , y en particular lo es en Derivando la funcin obtenemos:

Luego, si

Si . Por lo que, el nico c que satisface la conclusin del teorema de valor medio es

2. Sea una funcin continua en el intervalo con . Si para x , demostrar que

DemostracinEn efecto, sea el intervalo Por hiptesis:F es continua en tambin lo es en F es derivable en tambin lo es en Luego, por el teorema de valor medio

Pero como y Por lo tanto, en 3. Halle el posible valor de c que satisface el teorema de valor medio para la funcin Solucin: segn el teorema del valor medio se tiene:Si es continua en y derivable en entonces , tal que:

, como 4. Verificar que la hiptesis del teorema del valor medio se satisface para la funcin dada en el intervalo indicado. Luego encontrar un valor adecuado c que satisfaga la conclusin del teorema del valor medio.

a) ,Solucin:Calculamos la derivada: entonces es diferenciable en U y por lo tanto es continua en .Ahora hallaremos un valor para c haciendo Como b) Solucin: la funcin es continua en , y como , es diferenciable en ahora hallaremos un valor haciendo como 5. Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la funcin en el intervalo , en caso afirmativo hallar el valor o valores que lo verifican.Solucin: no es continua en , por lo tanto no es diferenciable en Como entonces no existe Tal que Como y Por lo tanto no existe c real que cLuego no se cumple las condiciones del teorema del valor medioEjercicios aplicando el teorema de la constante1. Resolver:

Solucin:Tenemos Luego por el teorema de la diferencia constante, se tiene: Donde c es una constante. Para hallar c evaluamos la ecuacin en

2. resolver: Solucin:Tenemos: entonces:

Evaluando la ecuacin

Ejercicios propuestos:I.En los ejercicios verificar que la funcin dada satisface la hiptesis del teorema de rolle. Hallar todos los valores de c que cumplan la conclusin de ese teorema. II.En los ejercicios hallar los intervalos en los que y el teorema de rolle es aplicable. Para cada uno de ellos hallar los valores de c que

III.Haciendo uso del teorema de rolle, pruebe que la ecuacin dada , tiene una y solamente una raz en el intervalo indicado. IV.Indicar el nmero de races reales de la ecuacin , usando mtodos analticos.V.En los ejercicios, usando el teorema del valor medio, demostrar las desigualdades dadas.