8/18/2019 Teorema de Valor Medio

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Teorema de Rolle

  Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:

- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)- Toa el iso valor en los e!treos del intervalo, es decir f(a) " f(b)

Entonces, e!iste un punto c que pertenece (a, b) tal que f#(c) " $ , es decir, con tangentehori%ontal&

Ejemplos y ejercicios resueltos

1 Comprobar que la función f(x) = x 2  !x " 11 #erifica las $ipótesis del teorema de Rolleen el inter#alo %1& '

- Es continua en [', ] por ser polinóica&- Es derivable en (', ) por ser polinóica&- f(') " * f() "

Entonces e!iste un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto&

+eaos: f#(!) " ! . f#(c) " $ c . " $ c " . c "

El punto c " esta en el interior del intervalo [', ]

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Teorea del valor edio

 

E/eplos 0 e/ercicios

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Teorea de 1auch0

Raíces de una ecuación o función. Existencia: teoremas de Bolzano y Rolle

2Entre cada dos ra3ces de una función derivable e!iste al enos una ra3% de la función derivada4

5 Si f# no posee ra3ces reales, el n6ero 7!io de ra3ces de f ser7 uno&

5 Si f# sólo posee una ra3% real, en n6ero 7!io de ra3ces ser7 dos 0 as3 sucesivaente&

8a función puede tener coo 7!io una ra3% 7s que la derivada&

E/eplo

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9eostrar que la función f(!) " !   ! ' tiene coo 7!io una ra3% real&

9erivaos f#(!) " ! ' ! ' " $ !  " -'; f#(!) no tiene ra3ces reales,

la función f(!) " !   ! ' no tiene 7s de una ra3% real&

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eri#abilidad de una función en un punto

Ejemplos y ejercicios resueltos

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