RAZON DE CAMBIO

TABLA DE CONTENIDO

• Razón de cambio.• Situaciones problemas

RAZON DE CAMBIO

La razón de cambio es resultado de una medida que cambia en función de otra. En

nuestra cotidiana son muchas las magnitudes que se pueden analizar a partir del

estudio de la razón de cambio.

La razón de cambio instantánea

en una función f(x) estudia la

rapidez con que cambia su

pendiente. Entonces lo que

calcula en la razón de cambio es

la pendiente de la curva en untiempo especifico

Cuando la variable que actúa cambia en función del tiempo, estamos hablando de

razón de cambio instantánea, la cual permite resolver diferentes situaciones

problemas como: La variación de una población en el tiempo, el volumen de un

cuerpo que se infla. La variación del dinero cuando gana interés en el tiempo, Los

cambios de velocidad y distancia que sufre un móvil.

Para resolver problemas sobre razón de cambio, se sugiere realizar los

siguientes pasos

• -hacer un dibujo o grafica que ilustre el problemas a resolver

• Identificar las magnitudes que varían en el tiempo.

• Verificar cuales variables son conocidas y cuales son desconocidas.

• Establecer la ecuación en la cual se relacionan todas las variables que

interviene en el problema.

• Darle solución al problema a través de la derivación implícita

Solución

Las variables que intervienen son el volumen y el radio las cuales cambian con respecto al tiempo𝑑𝑣

𝑑𝑡=50 cm3/s , así mismo

𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 y r= 20 cm

Tenemos que el volumen de una esfera de halla con la formula

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Al derivar la ecuación anterior en función del tiempo tenemos𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

4

3𝜋𝑟3

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

4

3𝜋3𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝑡Reemplazamos los valores en las variables conocidas

50 =4

3𝜋3(20)2

𝑑𝑟

𝑑𝑡

50

4𝜋(20)2=𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0,0099 𝑐𝑚/𝑠

Ejemplo 1

Se infla un globo esférico de tal forma que su volumen aumenta a razón de 50 cm3/s, con qué rapidez crece el diámetro del

globo cuando su radio es de 20 cm.

Ejemplo 2

Sea el triangulo equilátero, cuya área disminuye a razón de 3 𝑐𝑚2, hallar la rapidez con que disminuyen sus lados, cuando

el área mide 300 𝑐𝑚2, teniendo en cuenta que sus lados siempre son iguales.

Tenemos que el lado del triángulo se llama L y la altura se llama h, de donde tenemos que:

𝐿2 = ℎ2 + (𝐿

2)2 Despejamos h en la ecuación

𝐿2 = ℎ2 +𝐿2

4

4𝐿2 = 4ℎ2 + 𝐿2

4𝐿2 − 𝐿2 = 4ℎ2

3𝐿2 = 4ℎ2

𝐿2 =4

3ℎ2

h=3

2𝐿

Así mismo tendríamos que el área el triángulo es

𝐴 =𝐿 ∗ ℎ

2

𝐴 =𝐿 ∗

32

𝐿

2

𝐴 =𝐿2 3

4En donde A y L varían en función del tiempo de donde

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

32𝐿

4

𝑑𝐿

𝑑𝑡

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

3𝐿

2

𝑑𝐿

𝑑𝑡

𝑑𝐿

𝑑𝑡=

2

3𝐿

𝑑𝐴

𝑑𝑡

Hallemos el valor de L cuando el área mide 300 𝑐𝑚2

300 =𝐿2 3

4

𝐿2 =4 ∗ 300

3

𝐿 =4 ∗ 300

3

𝐿 =

𝑑𝐿

𝑑𝑡=

2

3𝐿

𝑑𝐴

𝑑𝑡

Ejemplo 3Se ha derramado en el mar 500 𝑚3 de petróleo crudo, el cual forma sobre las aguas un cilindro circular recto, sedebe calcular con que rapidez crece el radio de la mancha cuando el radio es de 20 m, si el espesor disminuye arazón de 10 cm/h en el instante en que el radio mide 20 m.

Se observa que el volumen de la mancha se calcula por la ecuación 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

Al derivar la ecuación en función de tiempo tenemos

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜋 2𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡. ℎ + 𝑟2.

𝑑ℎ

𝑑𝑡

Como el volumen de la mancha es constante, tenemos que 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 0

Entonces tenemos que

0= 𝜋 2𝑟𝑑𝑟

𝑑𝑡. ℎ + 𝑟2.

𝑑ℎ

𝑑𝑡

2r𝑑𝑟

𝑑𝑡. ℎ + 𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 0

𝑑𝑟

𝑑𝑡=−𝑟

2ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡

Ahora tenemos que 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ al despejar h

ℎ =𝑣

𝜋𝑟2

ℎ =𝑣

𝜋𝑟2de donde

ℎ =𝑣

𝜋𝑟2

ℎ =500 𝑚3

𝜋(20 𝑚)2

ℎ =1,25

𝜋𝑚

Así mismo tenemos que 𝑑ℎ

𝑑𝑡= −10 𝑐𝑚/ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −10−2𝑚/ℎ

Reemplazando estos valores en la ecuación

𝑑𝑟

𝑑𝑡=−𝑟

2ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑡=

−20

21,25𝜋

−10−2𝑚/ℎ

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0,8𝜋 𝑚/ℎ

BIBLIOGRAFIA

• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650, • Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN

9781449227180• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433 • Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971