TEOREMA DE GREEN EN EL PLANOSea C una curva simple cerrada tal que cualquier lnea paralela a los ejes coordenados le corta a C cuando ms en dos puntos.1) Sean:

- Ecuacin curva

- Ecuacin curva

- P(x,y) y Q(x,y) funciones definidas sobre R, siendo R la regin limitada por C.

Consideremos entonces la integral:

Esto es:

De donde: (a)

2) Sean:Ecuacin Curva DA:Ecuacin Curva DB:

Consideremos la integral:

Esto es:

De donde: (b)

Sumando los resultados dados por (a) y b) obtenemos la frmula del denominado teorema de Green:

APLICACIN AL CALCULO DE AREASSi en I1 hacemos , entonces I1 proporciona el rea de la regin R limitada por la curva C:

Esto implica que Y por lo tanto, en el resultado dado por (a) se tiene:

De idntico modo, si en I2 hacemos obtenemos:

De donde:Que sustituido en el resultado (b) proporciona:

Sumando los resultados dados por (c) y (d), obtenemos una expresin para calcular el rea de la regin R=AR

EJERCICIOS1. Evaluar siendo C el segmento de la parbola y=x2 que une los puntos A(0,0) y B(2,4)I=-56/152. Evaluar siendo C la misma trayectoria que el problema 1.I=-40/33. Evaluar siendo C las trayectorias a) y=xc) x=y2que unen los puntos A(0,0)b) y=x2d) y=x3B(1,1)e) a lo largo de A-C-B siendo C(1,0) y I=1 (en todos los casos)

4. Evaluar siendo C: a) y=xque unen los puntos A(0,0)I=1/3b) y=x2B(1,1)I=1/12c) x=y2I=17/30d) y=x3I=-1/20e) a lo largo de A-C-B siendo C(1,0) I=-1/25. Evaluar a lo largo de las trayectorias:a) y=x , entre A(0,0) y B(1,1)I=5/6b) A-P-B, siendo P(1,0)I=3/2c) A-C-B,siendo C(0,1)I=-1/2

6. Evaluar a lo largo de las trayectorias del problema 5.I=2 (todos los casos)

7. Evaluar siendo C la mitad superior de la elipse:x= a cos(t) +y= b sen(t) I=

8. Evaluar siendo C:a) I=0b) I=-4

9. Calcular el rea encerrada por la elipse AR= ab10. Calcular el rea encerrada por la curva:x= a cos3(t) AR y= a sen3(t) 11. Calcular el rea encerrada por el ptalo de la hoja cartesiana: AR

12. Calcular el trabajo que realiza el campo vectorial al moverse en este campo un cuerpo material de masa=1, por la trayectoria.x= a cos(t) y= a sen(t)entre los puntos para los cuales: t=0 y t=2z=btW=-2a(a+b)13. Hallar la circulacin del vector sobre la curva de interseccin de las superficies:

14. Hallar la circulacin del vector a lo largo de contorno conformado por la mitad superior de la elipse:x= a cos(t) y el segmento ;y=0y= b sen(t)

15. Demostrar que la circulacin del campo vectorial por cualquier contorno cerrado C es nula.

16. Demostrar que: y que no depende del contorno de integracin, siempre y cuando qu?

17. Evaluar la integral del problema 16, si el contorno cerrado es la circunferencia

18. Cul es la conclusin de los problemas 16 y 17?

19. Hallar la circulacin del vector a lo largo del contorno triangular formado por los puntos A(1,1), B(2,2), C(1,3)20. Hallar la circulacin del vector a lo largo del contorno formado por: y=0, y=x, , 21. Hallar la circulacin del vector a lo largo de la curva:C 22. Evaluar siendo y C la recta:y=xque une los puntos P0(0,0,2) y PN(5,5,2)z=2 I=200/3

23. Evaluar siendo C una trayectoria cualquiera que une los puntos P0(1,1,1) y PN(a,b,c)I=(abc-1)

TEOREMA DE STOKESEste teorema, establece que la integral curvilnea de la componente tangencial de un vector , tomada alrededor de una curva simple cerrada C, es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotacional de tomada sobre cualquier superficie S que tenga como frontera la curva C.

DEMOSTRACION.- Sea S una superficie abierta de dos curvas limitada por una curva simple cerrada C. Considrese al vector normal a S como positivo si est en una de las caras de S, y negativo si est en la otra cara de S (la seleccin de que cual cara de S es la positiva, es arbitraria).La direccin o el sentido de C es positivo, si un observador, al caminar por la frontera de S, con su cabeza dirigida en la direccin de la normal positiva, le tiene siempre a la superficie a su izquierda. Sea, la superficie S, tal que sus proyecciones hacia los planos coordenados, sean regiones limitadas por curvas simples cerradas como se ejemplariza en la siguiente figura: (para el plano xy)Supngase que S est definida por:z=f(x,y)x=g(y,z)y=h(x,z)donde f, g y h son funciones uniformes, continuas y derivables

Si Debemos demostrar que:

o lo que es lo mismo:

Consideremos primero:

Como:Entonces:

Si la ecuacin de Stokes es z=f(x,y), entonces el vector de posicin de cualquier punto P(x, y, z) de S es:

de donde:reemplazando (2) en (1)

Ahora bien: De donde (4) en (3)Por consiguiente en (a):

La ultima igualdad, por el teorema de Green en el plano.Como en cada punto (x,y) de C el valor de F es el mismo que para P en cada punto (x,y,z) de C, y como dx es el mismo para las dos curvas, se tiene que:

Por consiguiente,

De igual modo, considerando las proyecciones en los otros planos coordenados, se puede demostrar que:

Sumando (5), (6) y (7) se obtiene:

NOTA: Si , se puede demostrar que:

EJEMPLO 1.- Demostrar que: si entonces:

Sobre la respectiva regin proyectada de S en los planos coordenados.DEMOSTRACION

NOTA: Si en (m) hacemos z=0 se tiene el TEOREMA DE GREENEJEMPLO 2.- Calcular la siguiente integral Si C es la curva de interseccin de las superficies:

SOLUCION:

Por consiguiente es un campo vectorial conservativo y es una diferencial exacta; esto es, existe una funcin tal que y EJEMPLO 3.- Calcular la siguiente integral Si C es la curva de interseccin de las superficies:

SOLUCION:

Por consiguiente:

2 METODO DE CALCULOLa proyeccin de S en el plano xy es la regin limitada por la circunferencia , cuyas ecuaciones paramtricas son:

Sustituyendo en la integral:

3 METODO DE CALCULO

La ecuacin de la superficie S es: z=1-x

EJEMPLOCalcular el trabajo realizado por el campo vectorial

al mover una partcula de masa igual a uno a lo largo de la trayectoria dada por la curva de interseccin de las superficies:

Siendo R>r y z0SOLUCION:

Pero, por el teorema de Stokes:

Anlisis de las superficies:a)

b)

Calculo de la normal a la esfera:

Proyectando S al plano xy

Por consiguiente:

Pero:

Pero:

De (b) en (a)

la proyeccion de S en el plano xz es un arco de parabola (es una linea), No es una Regin , por consiguiente: la integral:

la proyeccion de S al plano xy, es la Region cuya frontera es la circunferencia Por consiguiente, transformando la integral a coordenadas polares:

CAPITULO IIIA. TRANSFORMACIONES EN EL ESPACIO.-El conjunto de ecuaciones:

Define una transformacin o mapeo que establece una correspondencia entre los puntos del espacio xyz y el espacio .Si a cada punto del espacio xyz le corresponde uno, y solamente un punto del espacio , y viceversa se dice que tiene una TRANSFORMACIN O MAPEO UNO A UNO.A las ecuaciones (1) se les denomina ECUACIONES DE TRANSFORMACIONEJEMPLOS1.- Una traslacin paralela de ejes coordenados define una transformacin del sistema original (x,y,z) al nuevo sistema mediante las ecuaciones:

2.- Una rotacin de ejes coordenados define una transformacin del sistema original (x,y,z) al nuevo sistema mediante las ecuaciones:

3.- El cambio de coordenadas rectangulares (x,y,z) a coordenadas cilndricas define una transformacin mediante las ecuaciones.

4.- El cambio de coordenadas rectangulares (x,y,z) a coordenadas esfricas define una transformacin mediante las ecuaciones.

NOTAS1.- En todos estos casos de transformaciones, las bases de vectores en cada sistema de coordenadas se caracterizan por ser BASES CANONICAS, esto es, las bases estn constituidas por vectores unitarios, linealmente independientes y perpendiculares entre s. 2.- Por medio de una transformacin:

Un volumen cerrado V del espacio (x,y,z) se mapea en general en un volumen cerrado V del espacio 3.- El elemento diferencial de volumen dV en un sistema coordenado curvilneo ortogonal , est dado por:

Siendo:

4.- Si las ecuaciones (a) se resuelve en trminos de x, y, z, se obtiene la transformacin:

Denominada la TRANSFORMACION INVERSA de (a)5.- Se puede demostrar que los JACOBIANOS y de estas transformaciones son recprocos, esto es:

6.- Si (x,y,z) son las coordenadas rectangulares de un punto en el espacio xyz, entonces especifican tambin las coordenadas del mismo punto con respecto al espacio . se denominan LAS COORDENADAS CURVILINEAS DEL PUNTO.7.- DEMOSTRACION del ENUNCIADO (3)Consideremos el vector de posicin de un punto P(x,y,z) del espacio xyz:

Pero,

La funcin vectorial de tres variables dada por la ecuacin (1) define geomtricamente un volumen.(a).- Si en (1) , la funcin vectorial de dos variables define geomtricamente una SUPERFICIE denominada SUPERFICIE COORDENADA (b).- Si en (1) , la funcin vectorial de dos variables , define geomtricamente una SUPERFICIE denominada SUPERFICIE COORDENADA (c).- Si en (1) , la funcin vectorial de dos variables , define geomtricamente una SUPERFICIE denominada SUPERFICIE COORDENADA (d) De igual forma si:1) CURVA COORDENADA La curva coordenada , es la interseccin de las superficies coordenadas 2) CURVA COORDENADA La curva coordenada , es la interseccin de las superficies coordenadas 3) CURVA COORDENADA La curva coordenada , es la interseccin de las superficies coordenadas

De (1) se obtiene:

El vector es tangente a la CURVA COORDENADA en el punto PEl vector es tangente a la CURVA COORDENADA en el punto PEl vector es tangente a la CURVA COORDENADA en el punto P

El vector es NORMAL a la SUPERFICIE COORDENADA en el punto PEl vector es NORMAL a la SUPERFICIE COORDENADA en el punto PEl vector es NORMAL a la SUPERFICIE COORDENADA en el punto P

Vectores tangentes unitarios a las CURVAS COORDENADAS.-

Siendo por consiguiente:

Denominadas FACTORES DE ESCALA.-Introduciendo las expresiones (3) en la (2) obtenemos:La expresin vectorial (4) se interpreta geomtricamente como el vector diagonal de un paraleleppedo formado por los vectores

En un sistema de coordenadas CURVILINEAS ORTOGONALES, los vectores constituyen una BASE CANONICA ORTOGONAL:

En otras palabras, si las SUPERFICIES COORDENADAS se INTERSECAN en un ngulo recto, el sistema de coordenadas CURVILINEAS se denomina ORTOGONAL. El diferencial de longitud de arco (ds) es , por consiguiente:

A lo largo de la curva coordenada , se tiene que por tanto, el diferencial de longitud de arco ( a lo largo de la curva es De igual forma:

El elemento diferencial de volumen dV, para un sistema de coordenadas curvilneas ortogonales est dado por:

Pero: quedando por consiguiente:

Pero, sabemos que:

De donde:

Haciendo el triple producto escalar de estos tres vectores, se tiene:

Es decir: JACOBIANO de la TRANSFORMACIONPor consiguiente:

NOTA.- Obsrvese que si el Jacobiano de la transformacin es NULO, entonces los vectores SON COPLANARES y No existe el sistema de coordenadas curvilneas ortogonal.EJEMPLO.- Determinar ds, dV, los factores de ESCALA, y la base de los vectores para el sistema de COORDENADAS CILINDRICASSOLUCION

a)

b)

c)

d)

e)

EJEMPLO Determinar dS, dV, los factores de ESCALA y la base de vectores para el sistema de coordenadas ESFERICAS

SOLUCION

a)

b)

c)

d)

e)

B.- INTEGRALES TRIPLESDEFINICION.- Sea F(x, y, z) una funcin definida en una regin cerrada R tridimensional del espacio xyz. Subdividimos la regin R en n subregiones de volumen , donde Sea algn punto de la subregin Formemos la sumatoria:

Consideremos: Donde el lmite se toma de modo que el nmero de subdivisiones aumenta sin lmite y tal que la mayor dimensin lineal de cada subregin tiende a cero. Si este lmite existe, se lo denota por:

y se denomina la INTEGRAL TRIPLE de F(x, y, z) sobre la regin R.

Si se construye una rejilla mediante planos paralelos a los planos coordenados, la Regin R se subdivide en subregiones, las cuales son paraleleppedos rectangulares. En este caso, la integral triple (1) puede evaluarse sobre la Regin R, de la siguiente forma:

Donde, primero se evala la integral entre llaves, luego la integral entre parntesis cuadrados y luego la restante. La integracin, puede realizarse tambin en otro orden al indicado, para proporcionar un resultado equivalente.NOTAS.-1.- En la definicin de integral triple, si , entonces ella representa el VOLUMEN de la regin R.

2.- PARA VOLUMENES. OTRAS APLICACIONESCon densidad superficial

Coordenadas del centroide de un volumen:

C.- TRANSFORMACION DE INTEGRALES TRIPLES

Al resolver una integral triple en una Regin R, es conveniente a veces utilizar coordenadas curvilneas.Si son coordenadas curvilneas de los puntos del espacio, hay un conjunto de ecuaciones de transformacin:

Que mapean los puntos del plano XYZ, en puntos del plano . En tal cosa, la Regin R del plano XYZ se mapea en una regin R del plano .

En coordenadas rectangulares, la integral triple de sobre la Region R es:

Esta integral triple, tambin puede evaluarse considerando una Rejilla formada por una familia de superficies coordenadas CURVILINEAS construidas sobre la Regin R, como se indica en la siguiente figura:

Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la regin R

esta dado aproximadamente por:

Como , y en F(x,y,z) se tiene que:

Consideremos la sumatoria:

Llevando al lmite:

Donde R es la Regin del espacio , en la cual es mapeada la Regin R bajo la transformacin , y

Donde: y

EJEMPLOS.-1.- Colocar los lmites de integracin a si R es la regin del espacio limitada por las superficies:

Considerando, las seis posibilidades de orden de integracin.2.- Colocar los lmites de integracin a si R es la regin del espacio limitada por las superficies: 3.- Colocar los lmites de integracin a si R es la regin del espacio limitada por las superficies:

4.- Transformar la integral del ejercicio anterior (3) a Coordenadas esfricas. (Nota hacer primero la transformacin )5.- Colocar los lmites de integracin a si R es la regin del espacio limitada por las superficies

6.- Identificar la regin R sobre la que est definida la integral:

7.- Evaluar la integral del ejemplo anterior (6)Sol.8.- Identificar la regin R sobre la que est definida la integral:

9.- Evaluar la integral del ejemplo anterior (8) directamente y mediante una transformacin a coordenadas esfricas. Sol. 10.- Identificar la regin R sobre la que est definida la integral:

11.- Evaluar la integral del ejemplo anterior (10)12.- Calcular el volumen de la regin ms pequea limitada por las superficies y , utilizando una transformacin a coordenadas esfricas.Sol.

PROBLEMACalcular el volumen limitado por:(a) (b) SOLUCION: cambio a coordenadas esfricas

Transformacin de (a)Transformacin de (b)

PROBLEMA.- Plantear le integral que da el volumen de la porcin ms pequea, limitada por las siguientes superficies:

SOLUCION: Volumen en el primer octante:

1) Eliminando z entre (1) y (3) se obtiene la ecuacin de la superficie cilndrica AABB

2) Eliminando z entre (1) y (3) se obtiene la ecuacin de la superficie cilndrica CCDD

3) De los numerales (1) y (2) se obtiene:

4) Planteamiento de la integral que da el volumen:

Siendo V1

PROBLEMA: Valorar la siguiente integral:siendo R el elipsoide: Transformacin:

Siendo R la esfera: en el espacio Transformacin: a coordenadas esfricas

D.- EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA(FORMULA DE OSTROGRASKI GAUSS)(TEOREMA DE GREEN EN EL ESPACIO)Este teorema establece que la integral de la superficie de la componente normal de un vector , tomada sobre una superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia de tomada sobre el volumen encerrado por la superficie S.

Si y (1) Se puede tambin expresar como:

o tambin:

DEMOSTRACION.- Sea S una superficie cerrada que limita una regin de volumen V, y tal que cualquier lnea paralela a los ejes coordenadas le corta a (S) en cuanto mas dos puntos.Las normales dirigidas hacia el exterior de S se consideran como POSITIVAS.

Supongamos que las ecuaciones de las partes inferior y superior de S1 y S2 son: y respectivamente: Sea la proyeccin de S hacia el plano xy, la regin R. Consideremos la integral:

Para S2: Para S1:

Por consiguiente:

Entonces:

De igual modo, si se proyecta S sobre los otros planos coordenados, se puede entender que:

Sumando (2), (3) y (4) obtenemos:

EJEMPLO (1) Aplicar el teorema de la divergencia a la siguiente integral:

SOLUCION

NOTA.- Una funcin escalar u para la cual (ecuacin de Lapuxe) se denomina FUNCION ARMONICA.EJEMPLO (2) Aplicar el Teorema de la divergencia a la integral:

Por consiguiente:3.- Aplicar el Teorema de la Divergencia a la siguiente integral:

4.- Aplicar el Teorema de la Divergencia a la siguiente integral:

5.- Verificar el Teorema de divergencia para: , siendo Sol: 84

6.- Aplicando el Teorema de la Divergencia calcular la siguiente integral:

Siendo: Sol: I=3a47.- Aplicando el Teorema de la Divergencia calcular la siguiente integral:

Siendo: Sol: I=a3

8.- Calcular el flujo del vector sobre la superficie limitada por:

Coordenadas del punto M (0,y0,z0)

Cambio a coordenadas esfricas

9.- calcular el flujo del vector a travs de la superficie limitada por:

Cambio a coordenadas esfericas

10.- Hallar el flujo del vector a travs de la superficie cerrada limitada por:

SOLUCION:

1) CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS

Transformacin de Transformacin de

2) CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

Transformacin de (a)

11.) Evaluar de las dos formas la siguiente integral

Siendo y S la superficie cerrada limitada por:

SOLUCION:1 FORMA

Evaluacin de la integral para las cinco superficies:

(debe apuntar hacia afuera)

Por consiguiente:

2 FORMA

Cambio a coordenadas cilndricas: