Teorema De Green En El Plano

El teorema de green se aplica a cualquier campo vectorial que satisfaga ciertas condiciones matemáticas. su validez no depende de que el campo tenga una interpretación física particular.

Divergencia:

La primera divergencia de un campo vectorial en un punto, a veces llamada por los ingenieros y físicos densidad de flujo del campo vectorial. la obtenemos de la siguiente manera.

Ejemplo

Calculo De La Divergencia

Encontrar la divergencia de F(x,y) = (x2 - y)i + (xy - y2)j.

solución:

div F = aMax + aNay = aax (x2- y) + aay (xy - y2)

= 2x + x - 2y = 3x - 2y.

DEFINICION: Divergencia (densidad de flujo)

la divergencia (densidad de flujo) de un campo vectorial F = Mi + Nj en el punto (x,y) es:

div F =aMax + aNaY

(1)

Giro Alrededor De Un Eje: El Componente K Del Rotación

La Segunda Idea Que Necesitamos Para El Teorema De Green Tiene Que Ver Con La Forma De Medir En Un Punto, El Giro De Una Rueda Con Paletas En Un Fluido Que Se Mueve En Una Región Plana.

ejemplo calculo el componente k del rotacional

encontrar el componente K del rotacional para el campo vectorial

F(x,y) =(x2 - y)i + (xy - y2)j

solución

(rot F).k = aNax -

aMay =

aax (xy - y2) -

aay (x2 - y) = y +1.

DEFINICION El componente k del rotacional (densidad de circulación)

El componente k del rotacional (densidad de circulación) de un campo vectorial F = Mi + Nj en el punto (x,y) es el escalar

(rot F).k =aNax

−aMay.

(2)

Dos Formas Del Teorema De Green

En una forma, el teorema de Green dice que bajo condiciones adecuadas, el flujo hacia afuera de un campo vectorial a través de una curva simple cerrada en el plano (figura 16.28) es igual a la doble integral de las divergencias del campo sobre la región encerrada en la curva. Recordaremos las formulas para el flujo en las ecuaciones anteriores.

En otra forma, el teorema de Green dice que la circulación en sentido contrario al de las manecillas del reloj de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada por la curva. Recordamos la ecuación (2)

Teorema 3 Teorema De Green (Divergencia Del Flujo O Forma Normal

el flujo hacia afuera de un campo F = Mi + Nj a través de una curva cerrada simple C es igual a la doble integral de div F sobre la región R encerrada por C.

∮c

❑

F .n ds = ∮c

❑

Mdy - N dx = ∬R

❑

¿¿+aNay )dx dy

flujo hacia afuera Integral de divergencia (3)

Teorema 4 Teorema De Green (Circulación Rotacional O Forma Tangencial)

la circulación en sentido en sentido contrario al de las manecillas del reloj de un campo F = Mi + Nj alrededor de una curva simple cerrada C en el plano, es igual a la doble integral de (rot F) . K sobre la región R encerrada por C.

∮C

❑

F .T ds=∮c

❑

M dx+N dy=∬R

❑

( aNaX ¿¿)dx dy ¿¿

circulación en sentido contrario integral del rotación (4)al de las manecillas del reloj

al d

Los dos formas del teorema de green son equivalentes. Al aplicar la ecuación (3) al campo G1= ni - mj se tiene la ecuación (4), y al aplicar la ecuación (4) a G2 = -ni + mj se tiene la ecuación (3)

Ejemplo verificación del teorema de Green

verificar ambas formas del teorema de Green para el campo

F(x,y) = (x - y)i + xj

y la región R acotada por la circunferencia unitaria

C: r(t) = (cos t)i + (sen t)j 0 ≤ 2π.

solución

M = cos t - sen t, dx= d(cos t) = - sen t dt,

N = cos t, dy = d(sen t) = cos t dt,

aMax =1, aMay =-1, aNax =1, aNay =0.

los dos lados de la ecuación (3) son

∮c

❑

M dy−N dx=∫t=0

2π

(cos t−sen t)(cos t dt)−(cos t)(−sen t dt)

=∫0

2π

cos2t dt = π

∬R

❑

(aMax + aNay )dx dy=∬

R

❑

(1+0 )dx dy

los dos lados de la ecuación (4) son

∮C

❑

M dx+N dy= ∫t=0

t=2π

(cos t−sen t)(−sen t dt )+(cos t )(cos t dt)

= ∫0

2π

(−sen t cos t+1)dt=2π

∬R

❑

( aNax + aMdy )dx dy = ∬

R

❑

(1−(−1))dx dy=2∬R

❑

dxdy=2π

Uso del teorema de Green para evaluar integrantes de línea

si construimos una curva cerrada C, uniendo varias curvas por sus extremos, el proceso de evaluación de la integral de línea sobre C puede ser laborioso, ya que habría que evaluar varias integrales de línea. sin embargo, si C acota una región R para la que puede aplicarse el teorema de Green, podemos usar este teorema para cambiar la integral de línea sobre C por un doble integral sobre R.

Ejemplo Evaluación de una integral de línea usando el teorema de Green para evaluar la integral

∮C

❑

xy dy− y2dx

donde C es el cuadrado delimitado en el primer cuadrante por las rectas x=1 y y=1.

solución:

podemos usar cualquier forma del teorema de Green para cambiar la integral de línea por una doble integral sobre el cuadrado.

1. Con la forma normal, ecuación (3): Si M = xy, N = y2, y C y R son la frontera y el interior del cuadrado, entonces.

2. Con la forma tangencial, ecuaciones (4): Si M = - y2 Y N = xy, tenemos el mismo resultado:

∮C

❑

− y2dx+xy dy=∬R

❑

( y−(−2 y))dxdy=32

De Francisco Javier Pérez Becerra