Conceptos Básicos 0.1cm Geometría analítica I · Usos t picos del Teorema de Pit agoras....

Conceptos BasicosGeometrıa analıtica I

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Semestre 2017-1

1. Conceptos basicos

Contenido

1.1. Plano y espacio cartesiano.

1.2. Distancia

1.3. Fundamentos 1: Logica y conjuntos

1.4. Lugares geometricos definidos por ecuaciones y desigualdades.

1.5. Fundamentos 2: Relaciones, funciones y sus graficas.

Referencias

1. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York:HarperCollins Publishers.

2. Ramırez-Galarza, Ana I. (2013). Geometrıa analıtica: una introduccion a lageometrıa. Mexico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

Duracion

10 horas.

Fecha de examen

Viernes 27 de agosto.

Conceptos basicosPlano y espacio cartesianos

Plano Cartesiano R2

Puntos en R2 (coordenadas cartesianas en el plano)


Espacio Cartesiano R3

Puntos en R3 (coordenadas cartesianas en el espacio)


Cartesiano R3

El espacio cartesiano se divide en octantes

Algunas propiedades

Es facil notar graficamente que

(x, y) 6= (w, z)⇔ x 6= w o y 6= z,

o equivalentemente,(x, y) = (w, z)⇔ x = w y y = z.


Y del mismo modo,

(x, y, z) 6= (u, v, w)⇔ x 6= u o y 6= v o z 6= w.

Equivalentemente

(x, y, z) = (u, v, w)⇔ x = u y y = v y z = w.

Espacio Cartesiano Rn

En general, para cualquier numero natural n, definimos el espacio euclıdeo de dimensionn, que denotamos como Rn, como el conjunto de todas las n-adas (se lee “ene-adas”)ordenadas de numeros reales (x1, x2, ..., xn). Formalmente

Rn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}.

Por ejemplo,

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} y R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R},

son los espacios euclıdeos de dimension 2 y 3, respectivamente.

Las n-adas son usualmente llamadas vectores o puntos.


Interpretacion vectorial

Si interpretamos un punto (a, b) del plano cartesiano R2 (escribimos (a, b) ∈ R2) comoun vector, entonces tal punto lo representamos geometricamente con una direccion, osea, como una flecha que empieza en el origen -el punto (0, 0):

Usamos la notacion en negritas a = (a, b), o con barras y flechas a = (a, b), #»a = (a, b),o sin negritas, a = (a, b) y #»a = (a, b). El origen es el vector (nulo) O = (0, 0). Sihablamos de puntos, suele usarse la notacion O(0, 0), A(a, b), P (x, y), Q(w, z), etc.

La magnitud (o norma) de un vector es su tamano, o sea, lo que “mide” la recta queune el punto (a, b) y el origen (0, 0). En otras palabras, es la magnitud del vector (a, b)es la distancia del punto (a, b) al origen (0, 0).

Para calcular esta distancia usamos el antiquısimo Teorema de Pitagoras


Teorema de pitagoras


Algunas demostraciones graficas del Teorema de Pitagoras


Demostracion animada


El arbol pitagorico


Usos tıpicos del Teorema de Pitagoras


Ternas pitagoricas y el Ultimo Teorema de Fermat

Una terna pitagorica es una coleccion ordenada de tres numeros enteros no-negativos(x, y, z) tales que

x2 + y2 = z2.

Algunas ternas pitagoricas son:

¿Cuantas ternas pitagoricas hay?


Teorema

Hay una infinidad de ternas pitagoricas.

Demostracion.

Para cada n ≥ 1, la terna (3n, 4n, 5n) es pitagorica, dado que (3, 4, 5) lo es. En efecto,

(3n)2 + (4n)2 = 32n2 + 42n2

= (32 + 42)n2

= 52n2

= (5n)2.

Se sigue que hay al menos tantas ternas pitagoricas como numeros n ≥ 1, esto es unainfinidad.


Ultimo Teorema de Fermat¿Para n ≥ 3, existen ternas (x, y, z) de numeros enteros positivos tales que

xn + yn = zn ?

Respuesta: NO!

Demostracion.

– Fermat: Es muy larga para escribirse en este espacio.

(Ya lo hizo Andrew Wiles, en 1995)


Demostracion de Teorema de Pitagoras

Consideremos el triangulo rectangulo

Consideremos el cuadrado de lado a+ b y coloquemos en el cuatro copias del trianguloanterior como muestra la figura:

El area del cuadrado de lado c, corresponde exactamente al area del cuadro de ladoa+ b menos el area sombreada, la cual es igual a cuatro veces el area del trinagulo. Ensımbolos,

c2 = (a+ b)2 − 4

(ab

2

).

Pero

(a+ b)2 − 4

(ab

2

)= a2 + b2 + 2ab− 2ab = a2 + b2.


De modo que la magnitud o norma del vector a = (a, b) es√a2 + b2. Usamos la

notacion‖a‖ =

√a2 + b2.

El sımbolo ‖a‖ se lee “ norma de a”.


Plano PolarTodo punto P (x, y) de R2 esta unıvocamente determinado por su norma

r = ‖(x, y)‖ =√x2 + y2

y el angulo0 ≤ θ < 2π

que forma con respecto al rayo positivo del eje de las x:

De modo que el punto P (x, y) es indentificado con el punto P (r, θ).

El plano polar es el conjunto de todos los puntos (r, θ) tales que r ≥ 0 y 0 ≤ θ < 2π.En este contexto. El origen O(0, 0) es llamado polo, y el semieje positivo X, eje polar.


Plano Polar

circulopolar.png rosapolar.png espiralarquimedes.png


Plano Polar

Cırculo polar: r(θ) = 1

Rosa polar: r(θ) = 2 sin θ.

Espiral de Arquimedes: r(θ) = a+ bθ.


Recıprocamente, podemos determinar las coordenadas cartesianas de un punto P (r, θ)en el plano polar.

Para ello, identificamos el polo con el origen O(0, 0), colocamos el eje X sobre el ejepolar L (haciendo coincidir el semi-eje positivo con L, obviamente). De de modo quesi P (r, θ) es un punto en el plano polar, formamos el triangulo rectangulo con verticesen O(0, 0), el punto P y el tercer vertice sobre le eje X (la proyeccion del punto P ).Luego, de las relaciones triginometricas

sin θ =y

ry cos θ =

x

r,

se sigue quex = r cos θ e y = r sin θ.

Indentificamos el punto en coordenadas polares P (r, θ) con el punto en coordenadascartesianas P (x, y). Note que

‖P‖ =√x2 + y2 =

√r2(sin2 θ + cos2 θ) =

√r2 = |r| = r.


Norma en el espacio R3

Por el teorema de Pitagorasc2 = x2 + y2.

Nuevamente, por el teorema de Pitagoras,

r2 = c2 + z2 = x2 + y2 + z2.

Por tantor = ‖P‖ =

√x2 + y2 + z2.


Norma en el espacio Rn

En general, si x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, definimos la norma (o magnitud) de x comoel numero real no negativo:

‖x‖ =√x21 + x22 + · · ·+ x2n.

Esta es obviamente una extencion de la definicion de norma en R2 y R3. Observe quesi x ∈ R, entonces

‖x‖ =√x2 = |x|.

De modo que el concepto de norma en Rn es una extension del valor absoluto, endimensiones altas.

Conceptos basicosDistancia

DistanciaSi P (x1, y1) y Q(x2, y2) son dos puntos en el plano R2. Definimos la distancia de Pa Q como la longitud del segmento de recta que une a P con Q. Usamos la notaciond(P,Q) para la distancia de P a Q.

Teorema

Si P (x1, y1) y Q(x2, y2) son dos puntos en el plano R2, entonces

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y2)2.

Demostracion.

Por Pitagoras,

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.


Teorema

Si P (x1, y1) y Q(x2, y2) son dos puntos en el plano R2, el punto medio delsegmento PQ que une P y Q, es el punto

M =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Demostracion.

El punto medio M del segmento PQcumple que d(P,M) = d(M,Q)


Teorema


M =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Demostracion.

El punto medio M del segmento PQcumple que d(P,M) = d(M,Q).

Hay muchos puntos L que cumplend(P,L) = d(L,Q).

Pero M es el unico punto que cumple

d(P,M) =d(P,Q)

2= d(M,Q).


Teorema


M =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Demostracion.

De la misma manera, M es el unico puntoque cumple

d(P ′,M) =d(P ′, Q′)

2= d(M,Q′).

Pero d(P ′, Q′) = d(P,Q). Por tanto,

d(P,M) = d(P ′,M) y d(Q,M) = d(Q′,M)


Teorema


M =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Demostracion.

Esto es,

d(P′,M) = d(P,M)√

(x1 − x)2 + (y2 − y)2 =√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2

(x1 − x)2+ (y2 − y)

2= (x1 − x)

2+ (y1 − y)

2

(y2 − y)2= (y1 − y)

2

|y2 − y| = |y1 − y|y2 − y = y − y1

y =y1 + y2

2.


Teorema


M =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Demostracion.

De igual forma, a partir de la igualdad

d(Q,M) = d(Q′,M),

se concluye

x =x1 + x2

2.

(Nota: Por simplicidad hemos excluido loscasos y1 = y2 y x1 = x2).

Conceptos basicos

Fundamentos 1: Logica y conjuntos

Como sucede con todas las ramas de la matematica, el estudio de la geometrıa analıticarequiere ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.

Logica

Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero o falso perono ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,...o mayusculas P , Q, R,...

Los conectivos logicos son operaciones con las cuales podemos combinar proposicionespara formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:

Conceptos basicosFundamentos 1: Logica y conjuntos

CONECTIVO NOMBRE OPERACION SIGNIFICADO

¬ Negacion ¬p No p.No es cierto que p.

∧ Conjuncion p ∧ q p y q∨ Disyuncion p ∨ q p o qY Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas

⇒ p⇒ q

p implica q.Implicacion Si p entonces q.

(o condicional) q si p.p es condicion suficiente para q.q es condicion necesaria para p.

⇔ p⇔ q

p si, y solo si, q.Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.

p es equivalente a q.


Veamos un ejemplo:

Consideremos las siguientes proposiciones

p : El viento sopla muy fuerte.

q : Se caen las hojas de los arboles.

Tenemos entonces

Operacion Significado¬p Las hojas no se caen de los arboles.p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles.p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.

p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien

se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.

p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces

se caen las hojas de los arboles.

p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,

se caen las hojas de los arboles.


Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:

Para la negracion (es un conectivo unario):

p ¬pV FF V

Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V

V V F V V

V F

F V V F F

F V

F V V V F

F F

F F F V V




p ¬pV FF V


p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V V

V F V V

V F F

V V F F

F V F

V V V F

F F F

F F V V




p ¬pV FF V


p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V V V

F V V

V F F V

V F F

F V F V

V V F

F F F F

F V V




p ¬pV FF V


p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V V V F

V V

V F F V V

F F

F V F V V

V F

F F F F F

V V




p ¬pV FF V


p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V V V F V

V

V F F V V F

F

F V F V V V

F

F F F F F V

V




p ¬pV FF V


p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ qV V V V F V VV F F V V F FF V F V V V FF F F F F V V

Conceptos basicos

Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V

V V V V V

V F

F V F F V

F V

F V V F F

F F

V V V V V

Es decir, la proposicion compuesta

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposicionescomponentes, lo que significa que p⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

De ahı que cuando queremos probar una doble implicacion p⇔ q, es suficiente probarlos enunciados p⇒ q y q ⇒ p.

Conceptos basicos


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V V

V V V V

V F F

V F F V

F V F

V V F F

F F V

V V V V


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))



Conceptos basicos


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V V

V

V

V V

V F F

V

F

F V

F V F

V

V

F F

F F V

V

V

V V


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))



Conceptos basicos


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V V

V

V

V

VV F F

V

F

F

VF V F

V

V

F

FF F V

V

V

V

V


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))



Conceptos basicos


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V V

V

V V VV F F

V

F F VF V F

V

V F FF F V

V

V V V


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))



Conceptos basicos


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))V V V V V V VV F F V F F VF V F V V F FF F V V V V V


(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))




Leyes Logicas

Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.

Otras tautologıas:

La proposicion(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)

es tautologıa:

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)V V

F V F V

V F

V V V F

F V

V V V F

F F

F V F V

Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.


Leyes Logicas


Otras tautologıas:


es tautologıa:

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)V V F

V F V

V F V

V V F

F V V

V V F

F F F

V F V



Leyes Logicas


Otras tautologıas:


es tautologıa:

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)V V F

V F

VV F V

V V

FF V V

V V

FF F F

V F

V



Leyes Logicas


Otras tautologıas:


es tautologıa:

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)V V F

V

F VV F V

V

V FF V V

V

V FF F F

V

F V



Leyes Logicas


Otras tautologıas:


es tautologıa:

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)V V F V F VV F V V V FF V V V V FF F F V F V



Las leyes de De Morgan:

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

son tambien equivalencias logicas:

Tabla de la primera Ley de De Morgan:

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V

F F F V V F

V F

F V V F V V

F V

V F V F V V

F F

V V V F V V



Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)



p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F

F V V F

V F F V

V F V V

F V V F

V F V V

F F V V

V F V V



Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)



p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F

F

V

V F

V F F V

V

F

V V

F V V F

V

F

V V

F F V V

V

F

V V



Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)



p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V

V F

V F F V V F

V V

F V V F V F

V V

F F V V V F

V V



Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)



p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V

V

FV F F V V F

V

VF V V F V F

V

VF F V V V F

V

V



Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)



p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V FV F F V V F V VF V V F V F V VF F V V V F V V


Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.

O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:

p ⇔ ¬ (¬p)V V V FF V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

es tautologica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).


De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),

son tautologicas.

Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

es tautologica.


La Implicacion Logica

Las siguientes dobles implicaciones son leyes logicas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V

F V V V F

V F

V F V F V

F V

F V V V F

F F

V V V V F

Esto es, p⇒ q es equivalente a ¬(p ∧ ¬q).




(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)


p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F

V V V F

V F V

F V F V

F V F

V V V F

F F V

V V V F





(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)


p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V V F

V F V F

V F V

F V F V

V V F

F F V V

V V F





(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)


p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V V

FV F V F

V F

VF V F V

V V

FF F V V

V V

F





(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)


p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V

V FV F V F

V

F VF V F V

V

V FF F V V

V

V F





(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)


p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V FV F V F V F VF V F V V V FF F V V V V F



Para (2) podemos hacer una tabla.

O tambien podemos proceder como sigue:

Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).

Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).

Observacion

Cuando queremos probar un enunciado del tipo p ⇒ q, a veces es preferible probar¬(p ∧ ¬q), o a veces p ∨ ¬q.


Conjuntos

La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.

Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”.

Ejemplo

1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.

2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.

3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.


Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos

A = {x : P (x)},

lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario es el conjunto

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.


Contencion

Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal) Note entonces que

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A.

Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)

(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)

Observacion

En general, si P (x) es una propiedad:

¬∀x(P (x))⇔ ∃x(¬P (x))

¬∃x(P (x))⇔ ∀x(¬P (x))


El Axioma del Conjunto Vacıo

Generalmente, aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.

Demostracion.

Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).


Corolario

El conjunto vacıo es unico.

Demostracion.

Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular

∅′ ⊂ ∅,

y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,

se sigue∅ = ∅′.

Ejemplo

∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .


Algebra de Conjuntos

Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:

La union de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.


Ejemplo

Sea A = {1, 2, 3, 5, 6, 9} y B = {0, 2, 4, 6, 8} entonces

A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A ∩B = {2, 6}A\B = {1, 3, 5, 9}.

Diferencia simetrica

Podemos definir otra operacion tıpica entre conjuntos:

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto

A4B = {x : x ∈ A y x /∈ B, o x ∈ B y x /∈ A}

Es inmediato queA4B = (A\B) ∪ (B\A).

Conceptos basicos

Regiones del plano y del espacio

Un region del plano R2 es un conjunto de puntos R ⊂ R2. Algunas regiones puedenestar definidas mediante desigualdades y expresiones algebraicas (o de cualquier otrotipo)

Ejemplos: Regiones en R2

1. El conjunto EX = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} corresponde a la region del planocomprendida unicamente por los puntos del Eje X. El conjunto EY = {(x, y) ∈ R2 :x = 0} corresponde a los puntos del Eje Y.

Conceptos basicosRegiones del plano y del espacio

2. El conjunto Q1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y y > 0} corresponde a la region del planocomprendida unicamente por el primer cuadrante, salvo los puntos que estan en losejes.

Analogamente,

Q2 = {(x, y) ∈ R2 : x < 0 y y > 0},

Q3 = {(x, y) ∈ R2 : x < 0 y y < 0},

Q4 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y y < 0},

corresponden a las regiones comprendidas por el segundo, tercer y cuarto cuadrantedel plano, respectivamente, salvo los puntos que estan en los ejes.

Conceptos basicosRegiones del plano y del espacio

2. El conjunto Q1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y y > 0} corresponde a la region del planocomprendida unicamente por el primer cuadrante, salvo los puntos que estan en losejes. Analogamente,

Q2 = {(x, y) ∈ R2 : x < 0 y y > 0},

Q3 = {(x, y) ∈ R2 : x < 0 y y < 0},

Q4 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y y < 0},

corresponden a las regiones comprendidas por el segundo, tercer y cuarto cuadrantedel plano, respectivamente, salvo los puntos que estan en los ejes.

Conceptos basicosRegiones en el plano y el espacio

3. Sean

A = {(x, y) ∈ R2 : xy < 0} y B = {(x, y) ∈ R2 : y2 > 4}.

Para determinar las regiones de R2 que corresponden a A y B, debemos examinar laspropiedades que definen a tales conjuntos. En el caso del conjunto A, tenemos quepara todo x, y ∈ R (esta forma de escribir que x e y son numeros reales, es una abreviatura que

optamos por comodidad, de la forma mas correcta que se escribirıa x ∈ R e y ∈ R):

xy < 0⇔ (x < 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y < 0).

Esto muestra queA = Q2 ∪Q4.


En el caso del conjunto B, tenemos que para todo y ∈ R,

y2 > 4⇔ y >√4 = 2 o y < −

√4 = −2.

Ası que si definimos las regiones

B1 = {(x, y) ∈ R2 : y > 2} y B2 = {(x, y) ∈ R2 : y < −2},

se tiene que B = B1 ∪B2. Y la representacion grafica de B es como sigue:

Note en este caso que la coordenada en x no tiene restricciones.


4. Sean A y B como antes. Por definicion, para todo (x, y) ∈ R2,

(x, y) ∈ A ∪B ⇔ (x, y) ∈ A ∨ (x, y) ∈ B

Ası que facilmente podemos hacer la representacion gafica de A ∪B:

Note que, de acuerdo a las propiedades conmutativa y asociativa de la union,

A ∪B = (Q2 ∪Q4) ∪ (B1 ∪B2)

= (Q2 ∪B1) ∪ (Q4 ∪B2).

Las regiones Q2 ∪B1 y Q4 ∪B2 estan representadas en el grafico anterior.


5. Sean A y B como antes. Por definicion, para todo (x, y) ∈ R2,

(x, y) ∈ A ∩B ⇔ (x, y) ∈ A ∧ (x, y) ∈ B

Ası que facilmente podemos hacer la representacion gafica de A ∩B:

Note que Q2 ∩B2 = ∅ = Q4 ∩B1, ası que de acuerdo a las propiedades de ∩ y ∪,

A ∩B = (Q2 ∪Q4) ∩ (B1 ∪B2)

= (Q2 ∩B1) ∪ (Q4 ∩B2).

Las regiones Q2 ∩B1 y Q4 ∩B2 estan representadas en el grafico anterior.


6. Sean A y B como antes. Por definicion

Ac = R2\A y Bc = R2\B,

ası que facilmente podemos hacer la representacion grafica de estos conjuntoscomplementarios:

Note que en este caso no hay lıneas punteadas.


7. Sean A y B como antes. Podemos por ultimo, esbozar las regiones A\B y B\A:

Note el lugar preciso de las lıneas puntuadas.


Ejemplos: Regiones en R3

Consideremos los conjuntos

(a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : |z| > 2} y (b) B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1}.

Para el caso del conjunto A, note que para todo z ∈ R,

|z| > 2⇔ z > 2 ∨ z < −2.

De modo que

A = {(x, y, z) ∈ R3 : z > 2} ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : z < −2}.

Note en este caso, no hay restricciones para los puntos del plano XY .

Por otra parte, la propiedad que define el conjunto B, no impone restricciones en el ejeZ, en tanto que la condicion x2 + y2 ≤ 1, marca una circunferencia unitaria sobre elplano XY . La region correspondiente es un cilindro.

En la grafica que sigue detallamos las regiones dadas por A y B, y los conjuntos

(c) A ∩B y (d) A\B

Conceptos basicosRelaciones, funciones y sus graficas

Relaciones, funciones y sus graficas

Una relacion sobre el plano R2 es cualquier subconjunto R ⊂ R2.

Si (a, b) ∈ R, decimos que a esta relacionado con b (relativo a R), y a veces preferimosescribir aRb.


El conjuntoD(R) = {x ∈ R : (∃y ∈ R)xRy}

se llama dominio de R. En tanto que el conjunto

I(R) = {y ∈ R : (∃x ∈ R)xRy}

se llama imagen de R.


Ejemplo

Sea R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} y sea S = {(x, y) ∈ R2 : 1/2 ≤ x2 + y2 ≤ 1}.Entonces

D(R) = [−1, 1] = I(R) y D(S) = [−1, 1] = I(S).

No obstante, se trata de regiones en el plano distintas. De he hecho S ( R.


Una funcion es una relacion f ⊂ R2 tal que si x ∈ D(f), entonces existe un unicoy ∈ I(f) tal que xfy.

En otras palabras, una relacion f ⊂ R2 es funcion si y solo si

(a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c.

Generalmente escribimos y = f(x), y decimos que f(x) es la regla de correspondenciade f .

Si A es el dominio de f , escribimos f : A→ R, y decimos que f es una funcion de Aa R.

Usamos el termino grafica de una relacion R ⊂ R, para referirnos a la representacionpictorica del conjunto R.

Si f : A→ R es una funcion, generalmente escribimos

G(f) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A ∧ y = f(x)} o G(f) = {(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ A}

para referirnos a la grafica de f .


EjemploSea f = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 y y = x2}.

Es claro que D(f) = [−2, 2]. Y si −2 ≤ x ≤ 2, entonces 0 ≤ x2 ≤ 4. Ası queI(f) = [0, 4].

Para esbozar la grafica de f hacemos unatabla de valores:

x f(x) = x2

−2 (−2)2 = 4−1 (−1)2 = 10 02 = 01 12 = 12 22 = 4


EjemploSea f = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 y y = x2}.Es claro que D(f) = [−2, 2].

Y si −2 ≤ x ≤ 2, entonces 0 ≤ x2 ≤ 4. Ası queI(f) = [0, 4].


x f(x) = x2

−2 (−2)2 = 4−1 (−1)2 = 10 02 = 01 12 = 12 22 = 4


EjemploSea f = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 y y = x2}.Es claro que D(f) = [−2, 2]. Y si −2 ≤ x ≤ 2, entonces 0 ≤ x2 ≤ 4. Ası queI(f) = [0, 4].


x f(x) = x2

−2 (−2)2 = 4−1 (−1)2 = 10 02 = 01 12 = 12 22 = 4


Ejemplos1. Sea f = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 y y = x2}.Es claro que D(f) = [−2, 2]. Y si −2 ≤ x ≤ 2, entonces 0 ≤ x2 ≤ 4. Ası queI(f) = [0, 4].


x f(x) = x2

−2 (−2)2 = 4−1 (−1)2 = 10 02 = 01 12 = 12 22 = 4


Ejemplo

Sea f = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 y y = x2}.Es claro que D(f) = [−2, 2]. Y si −2 ≤ x ≤ 2, entonces 0 ≤ x2 ≤ 4. Ası queI(f) = [0, 4].

Para probrar que f es funcion:

Si (x, y) ∈ f y (x, y′) ∈ f , entonces, pordefinicion (de f),

y = x2 = y′.

Se sigue en efecto que f es funcion.

Geometricamente, esta prueba es equiva-lente a mostrar que cualquier recta paralelaal Eje Y, que pasa por cualquier punto deldominio de f , solo interseca en un puntola grafica de f .


Regiones delimitadas por funciones

Sea la region del plano

R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.

Sean f : R→ R y g : R→ R dadas por

f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

Para esbozar las graficas de f y g hacemostablas de valores:

x f(x) = x2

−2 (−2)2 = 4−1 (−1)2 = 10 02 = 01 12 = 12 22 = 4




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

Para esbozar las graficas de f y g hacemostablas de valores:

x g(x) = 4− x2−2 4− (−2)2 = 0−1 4− (−1)2 = 30 4− 02 = 41 4− 12 = 32 4− 22 = 0




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

Buscamos los puntos de interseccion de lasgraficas de f y g:

f(x) = g(x)⇔ x2 = 4− x2.

Y luego

x2 = 4− x2

2x2 = 4

x2 = 2

x = −√2 o x =

√2.




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

De modo que, geometricamente observa-mos que R define la region comprendidapor las graficas de f y g, sobre el intervalo(−√2,√2).




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

De forma mas rigurosa:

x ∈ D(r)⇒ ∃y(xRy)

⇒ x2 < y ≤ 4− x2

⇒ x2 < 4− x2

⇒ 2x2 < 4

⇒ x2 < 2

⇒ −√2 < x <

√2.

Ası queD(R) ⊂ (−

√2,√2)




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

Pero de forma analoga,

−√2 < x <

√2⇒ x2 < 2

⇒ 2x2 < 4

⇒ x2 < 4− x2.

Luego, elegimos cualquier y tal que

x2 < y < 4− x2.

Ası, xRy y en consecuencia x ∈ D(r).

Por tanto D(R) = (−√2,√2).




R = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ 4− x2}.


f(x) = x2 y g(x) = 4− x2, ∀x ∈ R.

Por otro lado, dado que x2 ≥ 0, se sigueque 0 ≤ 4− x2 ≤ 4.

Por tanto I(R) = [0, 4].


Un ultimo ejemplo


R = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 1}.

Note que|x|+ |y| < 1⇔ |y| ≤ 1− |x| ⇔ −(1− |x|) < y < 1− |x|.

Sean f : R→ R y g : R→ R las funciones dadas por

f(x) = 1− |x| y g(x) = |x| − 1, ∀x ∈ R


Un ultimo ejemplo

Rigurosamente:

x ∈ D(R)⇒ ∃y(xRy)⇒ |x| − 1 < y < 1− |x|⇒ 2|x| < 2

⇒ |x| < 1

⇒ −1 < x < 1.

Ası que D(R) ⊂ (−1, 1).

Y si |x| < 1, entonces 2|x| < 2, de donde|x| − 1 < 1 − |x|. Por la propiedad ar-quimidiana, existe y tal que |x| − 1 < y <1− |x|, o equivalentemente, |y| < 1− |x|.Por tanto xRy y x ∈ D(R). Ası (−1, 1) ⊂D(R).

Esto prueba que D(R) = (−1, 1), ydel mismo modo se prueba que I(R) =(−1, 1).

Conceptos Básicos 0.1cm Geometría analítica I · Usos t picos del Teorema de Pit agoras....

Documents

Transcript of Conceptos Básicos 0.1cm Geometría analítica I · Usos t picos del Teorema de Pit agoras....