Teor¶‡a Moderna de Control Lineal - Inicio ...elo378/informacion/APUNTES/cap1.pdf ·...

Teorıa Moderna de Control Lineal

Indice general

1. Sistemas lineales determinısticos multivariables, invariantes, continuos 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Descripcion de estado de sistemas diferenciales lineales y no lineales . . . 1

1.1.2. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Transformacion de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Solucion de la ecuacion diferencial de estado de sistemas lineales . . . . . . . . . 4

1.2.1. Matrices de transicion y respuesta impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Matriz de transicion de un sistema invariante en el tiempo. . . . . . . . . 5

1.2.3. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Estabilidad de sistemas lineales variantes en el tiempo . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . 9

1.4. Analisis con transformada de sistemas invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Solucion de la ecuacion diferencial de estado usando transformada de Laplace 10

1.5. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Ceros del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Interconexion de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Reconstructibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

Capıtulo 1

Sistemas lineales determinısticosmultivariables, invariantes,continuos

1.1. Introduccion

El punto de partida es la descripcion en el espacio de estado de los sistemas lineales. Luegoveremos la solucion de ecuaciones diferenciales de estado lineal, la estabilidad y analisis detransformacion de sistemas lineales.

1.1.1. Descripcion de estado de sistemas diferenciales lineales y nolineales

Muchos sistemas se pueden describir por un conjunto de ecuaciones diferenciales simultaneasde la forma:

x(t) = f [x(t), u(t), t] (1.1)

donde:

x(t) , vector columna n dimensional variando en el tiempo denominado estado delsistema.

u(t) , vector columna k dimensional variando en el tiempo, denominado variable deentrada o de control.

f , funcion real y vector valuada

La ecuacion (1.1) se denomina ecuacion diferencial de estado.

Consideremos y(t) una variable real, l-dimensional del sistema, que se puede observar o atraves de ella el sistema influye en su medio ambiente. Se le denomina variable de salida delsistema. Se puede expresar como:

y(t) = g[x(t), u(t), t] (1.2)

1

ELO-378 Teorıa Moderna de Control Lineal

Esta ecuacion la denominaremos ecuacion de salida del sistema. Las ecuaciones (1.1) y (1.2)son las ecuaciones del sistema. Si g contiene u explıcitamente, se dice que el sistema tiene unaconexion directa.

Cuando f y g son funciones lineales, hablamos de un sistema diferencial lineal y su ecuaciondiferencial de estado tiene la forma:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1.3)

donde A(t) y B(t) son matrices variantes en el tiempo de dimensiones apropiadas. La di-mension n de x es la dimension del sistema.

La ecuacion de salida de este sistema tiene la forma:

y(t) = C(t) x(t) + D(t)u(t) (1.4)

Si las matrices A, B, C y D son constantes, el sistema es invariante en el tiempo.

1.1.2. Linealizacion

Si u0(t) es una entrada dada a un sistema descrito por la ecuacion diferencial de estado (1.1),y x0(t) es una solucion conocida de (1.1), podemos encontrar soluciones para pequenas desvia-ciones en el estado inicial y en la entrada, desde una ecuacion diferencial de estado lineal.

Supongamos que x0(t) satisface:

x(t) = f [x0(t), u0(t), t] t0 ≤ t ≤ t1 (1.5)

donde:

x0: es una trayectoria nominal

u0: es una entrada nominal

Podemos suponer que el sistema esta operando cercano a condiciones nominales, esto significaque u y x se desvıan levemente de x0 y u0. Por lo tanto, podemos escribir:

u(t) = u0(t) + u(t) t0 ≤ t ≤ t1 (1.6)x(t0) = x0(t0) + x(t0)

donde u(t) y x(t) son perturbaciones pequenas.

De la misma manera podemos decir que:

x(t) = x0(t) + x(t) t0 ≤ t ≤ t1 (1.7)

Sustituyendo x y u en la ecuacion diferencial de estado (1.1) y realizando una expansion enserie de Taylor , se tiene que:

x0(t) + ˙x(t) = f [x0(t), u0(t), t] + Jx[x0(t), u0(t), t] · x(t)+Ju[x0(t), u0(t), t] · u(t) + h(t) t0 ≤ t ≤ t1 (1.8)

2


Jx y Ju son las matrices Jacobianas de f con respecto a x y u. Donde el elemento (i, j) dela matriz Jx es:

(Jx)i,j =∂fi

∂ξjξ ≤ Xi (1.9)

donde fi es el i-esimo componente de f y ξj el j-esimo componente de x. Ju se define de lamisma forma.

El termino h(t) es una expresion despreciable con respecto a x y u. Despreciando h, vemosque x y u satisfacen aproximadamente la ecuacion lineal:

˙x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) t0 ≤ t ≤ t1 (1.10)

donde:

A(t) = Jx[x0(t), u0(t), t]

B(t) = Ju[x0(t), u0(t), t]

La ecuacion (1.10) se denomina ecuacion diferencial de estado linealizada. La condicion iniciales x(t0).

La linealizacion es una practica muy comun en la solucion de problemas de control. Esconveniente linealizar la ecuacion diferencial del sistema antes de arreglarlas en la forma deecuaciones diferenciales de estado. Esto lleva a la misma solucion.

1.1.3. Transformacion de estado

Algunas veces es util emplear una representacion transformada del estado. Veremos trans-formaciones de estado lineal para sistema diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Consi-deremos el sistema lineal invariante en el tiempo:

x(t) = Ax(t) + B u(t)y(t) = C x(t) (1.11)

Definamos la variable de estado transformada por:

x′(t) = T x(t) (1.12)

donde T es una matriz de transformacion no singular constante.

Sustituyendo:x(t) = T−1 x′(t) (1.13)

en (1.11) resulta:

T−1 x′(t) = A T−1 x′(t) + B u(t) (1.14)y(t) = C T−1 x′(t)

3


o

x′(t) = T A T−1 x′(t) + T B u(t) (1.15)y(t) = C T−1 x′(t)

Es claro que la representacion transformada es completamente equivalente al sistema original,ya que podemos reconstruir el comportamiento del sistema en terminos del estado original porla relacion (1.13).

1.2. Solucion de la ecuacion diferencial de estado de siste-mas lineales

1.2.1. Matrices de transicion y respuesta impulso

Veremos la solucion de la ecuacion diferencial de estado lineal:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1.16)

La solucion se obtiene mediante los siguientes teoremas:

Teorema 1.1. Considerar la ecuacion homogenea

x(t) = A(t)x(t) (1.17)

Entonces si A(t) es continua para todo t, (1.17) siempre tiene una solucion que puede serexpresada como:

x(t) = Φ(t, t0) x(t0) ∀ t (1.18)

La matriz de transicion Φ(t, t0) es la solucion de la ecuacion diferencial matricial:

d

dtΦ(t, t0) = A(t) Φ(t, t0) ∀ t (1.19)

Φ(t0, t0) = I

donde I es la matriz unidad.

Para sistemas variando en el tiempo, la matriz de transicion es difıcil de obtener en terminosde funciones estandar, de modo que hay que recurrir a tecnicas de integracion numerica.

Teorema 1.2. La matriz de transicion Φ(t, t0) de un sistema diferencial tiene las siguientespropiedades:

a.) Φ(t2, t1) Φ(t1, t0) = Φ(t2, t0) ∀ t0, t1, t2 (1.20)b.) Φ(t, t0) es no singular ∀ t, t0 (1.21)c.) Φ−1(t, t0) = Φ(t0, t) ∀ t, t0 (1.22)

d.)d

dtΦT (t2, t1) Φ(t1, t0) = Φ(t2, t0) ∀ t, t0 (1.23)

4


donde el supra-ındice T denota el transpuesto.

Una vez encontrada la matriz de transicion es facil obtener las soluciones a la ecuaciondiferencial de estado lineal (1.16).

Teorema 1.3. Considerar la ecuacion diferencial de estado lineal:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1.24)

Entonces, si A(t) es continua y B(t) y u(t) son continuas por parte para todo t, la solucionde la ecuacion es:

x(t) = Φ(t, t0) x(t0) +∫ t

t0

Φ(t, τ) B(τ) u(τ) dτ ∀ t (1.25)

Consideremos un sistema con la ecuacion (1.24) y la ecuacion de salida:

y(t) = C(t) x(t) (1.26)

usando la solucion (1.25) tenemos que:

y(t) = C(t)Φ(t, t0) x(t0) + C(t)∫ t

t0

Φ(t, τ)B(τ)u(τ) dτ (1.27)

Si el sistema esta inicialmente en el estado cero, x(t0) = 0, la respuesta de la variable desalida es:

y(t) =∫ t

t0

K(t, τ)u(τ) dτ t ≥ t0 (1.28)

dondeK(t, τ) = C(t)Φ(t, τ)B(τ) t ≥ t0 (1.29)

La matriz K(t, τ) se denomina matriz respuesta impulso del sistema. El elemento (i, j) deesta matriz es la respuesta en el instante t del componente i de la variable de salida a unimpulso aplicado a la componente j de la entrada en el instante τ > t0 mientras todos los otroscomponentes de la entrada son cero y el estado inicial es cero.

1.2.2. Matriz de transicion de un sistema invariante en el tiempo.

Consideremos el siguiente teorema:

Teorema 1.4. El sistema invariante en el tiempo:

x(t) = Ax(t) (1.30)

tiene la matriz de transicion:Φ(t, t0) = eA(t−t0) (1.31)

donde la matriz exponencial de una matriz cuadrada M esta definida como:

eM = I + M +12!

M2 +13!

M3 + . . . (1.32)

Esta serie converge para todo M .

5


Notas

1. Para dimensiones pequenas de la matriz A, la matriz de transicion se puede escribir explıci-tamente en terminos de funciones estandar.

2. Para dimensiones grandes de la matriz A, la ecuacion (1.32) es muy util para calcular lamatriz de transicion por un computador digital.

3. Para no tener dificultades numericas, (t− t0) no se debe escoger demasiado grande.

Usando los resultados de los teoremas 1.3 y 1.4, en sistemas invariantes en el tiempo tenemosque:

x(t) = Ax(t) + B u(t) (1.33)

x(t) = eA(t−t0) x(t0) +∫ t

t0

eA(t−τ) B u(τ) dτ (1.34)

y(t) = C x(t) (1.35)

y la matriz respuesta a impulso queda:

K(t− τ) = C eA (t−τ) B t ≥ τ (1.36)

1.2.3. Diagonalizacion

Una forma explıcita de la matriz de transicion de un sistema invariante en el tiempo se puedeobtener por diagonalizacion de la matriz A.

Teorema 1.5. Supongamos que la matriz nxn contante A tiene n valores caracterısticos distintosλ1, λ2, . . . , λn, con sus correspondientes vectores caracterısticos e1, e2, . . . , en.

Se definen las matrices:

T = (e1, e2, . . . , en) (1.37)Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λn)

Entonces T es una matriz no singular y A puede ser representada como:

A = T ΛT−1 (1.38)

Se dice que T diagonaliza A.

Teorema 1.6. Consideremos que la matriz A satisface las suposiciones del teorema 1.5, enton-ces:

a.) eAt = T eΛt T−1 (1.39)b.) eΛt = diag(eλ1t, eλ2t, . . . , eλnt) (1.40)

Este resultado simplifica el calculo de eAt una vez que A es diagonalizada.

6


Teorema 1.7. Consideremos el sistema invariante en el tiempo

x(t) = Ax(t) (1.41)

donde A satisface las suposiciones del teorema 1.5. Escribiendo la matriz T−1 de la forma:

T−1 =

f1

f2

...fn

(1.42)

donde f1, f2, . . . , fn son vectores filas. Entonces la solucion de (1.41) se puede escribir como:

x(t) =n∑

i=1

eλit ei fi x(0) (1.43)

Es facilmente demostrable expandiendo x(t) = T eΛt T−1 x(0) en terminos de ei, fi y eλit

con i = 1, 2, . . . , n.Escribiendo (1.43) en la forma:

x(t) =n∑

i=1

ui eλ1t ei (1.44)

donde las ui son los escalares fi · x(0), i = 1, 2, . . . , n.Se muestra claramente que la respuesta del sistema (1.41) es una composicion de movimientos

a lo largo de los vectores caracterısticos de la matriz A. Se le denomina a cada movimiento unmodo del sistema. Un modo particular se puede excitar escogiendo el estado inicial para teneruna componente a lo largo del correspondiente vector caracterıstico.

Es claro que los valores caracterısticos λi, i = 1, 2, . . . , n determinan el comportamientodinamico del sistema. Estos numeros se pueden considerar como los polos del sistema.

1.3. Estabilidad

Consideremos una ecuacion diferencial de estado general:

x(t) = f [x(t), u(t), t] (1.45)

Una propiedad importante del sistema es saber si las soluciones de la ecuacion diferencial deestado tienden o no a crecer indefinidamente cuando t →∞.

Supongamos un sistema sin entrada u o donde u es una funcion fija en el tiempo. Tenemosentonces que:

x(t) = f [x(t), t] (1.46)

La solucion nominal x0(t) satisface la ecuacion (1.46):

x0(t) = f [x0(t), t] (1.47)

Un caso especial ocurre cuando x0(t) es un vector xe constante, en este caso, decimos quexe es un estado de equilibrio del sistema.

7


Definicion 1.1. Consideremos la ecuacion diferencial de estado:

x(t) = f [x(t), t] (1.48)

Con la solucion nominal x0(t). Entonces la solucion nominal es “estable en el sentido Lya-punov” si para cualquier t0 y cualquier ε > 0 existe un δ(ε, t0) > 0 tal que:

‖x(t0)− x0(t0)‖ ≤ δ implique ‖x(t)− x0(t)‖ ≤ ε ∀ t ≥ t0

Donde ‖x‖ es la norma del vector x. Se puede usar la norma Euclidiana:

‖x‖ =

√√√√n∑

i=1

ξ2i (1.49)

donde ξi i = 1, 2, . . . , n son los componentes de x.

Esta definicion es una forma debil de estabilidad.

Definicion 1.2. La solucion nominal x0(t) de la ecuacion diferencial de estado:

x(t) = f [x(t), t] (1.50)

es asintoticamente estable si:

1. Es estable en el sentido de Lyapunov

2. ∀ t0 existe un p(t0) > 0 tal que:

‖x(t0)− x0(t0)‖ ≤ ρ implique ‖x(t)− x0(t)‖ → 0 cuando t →∞

No siempre da informacion para desviaciones iniciales grandes con respecto a la solucionnominal.

Definicion 1.3. La solucion nominal x0(t) de la ecuacion diferencial de estado:

x(t) = f [x(t), t] (1.51)

es asintoticamente estable en grande si:

1. Es estable en el sentido de Lyapunov

2. Para cualquier x(t0) y cualquier t0

‖x(t)− x0(t)‖ → 0 cuando t →∞

8


1.3.1. Estabilidad de sistemas lineales variantes en el tiempo

En los casos lineales la situacion es mas simple y se puede hablar de estabilidad del sistemaen vez de la solucion.

Consideremos x0(t) una situacion nominal del sistema diferencial lineal:

x(t) = A(t)x(t) (1.52)

y x(t) cualquier otra solucion. Ya que x0(t) y x(t) son soluciones de la ecuacion diferenciallineal, entonces [x(t)− x0(t)] tambien es una solucion, es decir:

d

dt[x(t)− x0(t)] = A(t)[x(t)− x0(t)] (1.53)

Para estudiar la estabilidad de la solucion nominal x0(t), podemos estudiar la estabilidadde la solucion con x(t) ≡ 0. Si la solucion cero es estable en cualquier sentido, cualquier otrasolucion sera estable en ese sentido, es decir:

x(t) ≡ 0‖x(t)− x0(t)‖ → 0 =⇒ ‖− x0(t)‖ → 0

Definicion 1.4. El sistema diferencial lineal

x(t) = A(t)x(t) (1.54)

es estable en un cierto sentido, si la solucion cero x0(t) ≡ 0 es estable en ese sentido.

Se entiende que todas las soluciones nominales de un sistema diferencial lineal tiene lasmismas propiedades de estabilidad.

Teorema 1.8. El sistema diferencial lineal

x(t) = A(t)x(t) (1.55)

es asintoticamente estable si y solo si es asintoticamente estable en grande.

Este teorema resulta del factor que las soluciones de sistemas lineales pueden ser escaladassin afectar su comportamiento.

1.3.2. Estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo

Consideremos el sistemax(t) = Ax(t) (1.56)

donde A es una matriz constante nxn. Si A tiene n valores caracterısticos distintos λ1, λ2, . . . , λn

y los correspondientes vectores caracterısticos e1, e2, . . . , en, la respuesta del sistema a cualquierestado inicial es:

x(t) =n∑

i=1

ui eλit ei (1.57)

donde los escalares ui dependen del estado inicial x(0).Se ve que la estabilidad del sistema depende de los valores caracterısticos de λi.

9


Teorema 1.9. El sistema lineal invariante en el tiempo

x(t) = Ax(t) (1.58)

es estable en el sentido de Lyapunov si y solo si:

1. Todos los λi de A tienen parte real no positiva y

2. Para cualquier valor caracterıstico sobre el eje imaginario con multiplicidad m correspondeexactamente n vectores caracterısticos de la matriz A.

Teorema 1.10. El sistema lineal invariante en el tiempo

x(t) = Ax(t) (1.59)

es asintoticamente estable si y solo si todos los valores caracterısticos de A tienen partesreales estrictamente negativas.

Teorema 1.11. El sistema lineal invariante en el tiempo (LIT)

x(t) = Ax(t) (1.60)

es exponencialmente estable si y solo si es asintoticamente estable.

Ya que la matriz A realmente determina si un sistema LIT es asintoticamente estable, sepuede generar la siguiente definicion:

Definicion 1.5. La matriz A es asintoticamente estable si todos sus valores caracterısticostienen partes reales estrictamente negativas.

1.4. Analisis con transformada de sistemas invariantes enel tiempo

1.4.1. Solucion de la ecuacion diferencial de estado usando transfor-mada de Laplace

Se define la transformada de Laplace de un vector variando en el tiempo como:

Z(s) = £[z(t)] =∫ ∞

0

e−stz(t)dt (1.61)

donde s es una variable compleja.Vemos que la £ de un vector variando en el tiempo es simplemente un vector cuyos compo-

nentes son las transformadas de Laplace de los componentes de z(t).Consideremos primero la ecuacion diferencial de estado homogenea:

x(t) = Ax(t) (1.62)

donde A es una matriz constante. La transformada de Laplace da:

sX(s)−X(0) = AX(s) (1.63)

10


Todas la reglas para casos escalares sirven en el caso vectorial. La solucion es:

X(s) = (s I −A)−1 X(0) (1.64)

Esto es equivalente a la expresion en el dominio del tiempo:

x(t) = eA t x(0) (1.65)

Esto lleva al siguiente teorema:

Teorema 1.12. Tomando A como una matriz constante de nxn. Entonces:

(s I −A)−1 = £[eA t] o (1.66)eA t = £−1[(s I −A)−1]

La funcion matriz (s I −A)−1 se denomina “resolucion” de A.

Teorema 1.13. Consideremos A una matriz constante de nxn con el polinomio caracterıstico:

det(s I −A) = sn − αn−1sn−1 + . . . + α1s

1 + α0 (1.67)

Entonces la resolucion de A se puede escribir como:

(s I −A)−1 =1

det(s I −A)·

n∑

i=1

si−1 Ri (1.68)

donde las matrices Ri esta dadas por:

Ri =n∑

j=i

αiAj−i , i = 1, 2, . . . , n (1.69)

con αn = 1. Los coeficientes αi y las matrices Ri, i = 1, 2, . . . , n se pueden obtener a travesdel siguiente algoritmo.

Colocar:α0 = 1, Rn = I (1.70)

Luego

αn−k = −1k

tr(A Rn−k+1) (1.71)

Rn−k = αn−k I + ARn−k+1 para k = 1, 2, . . . , n (1.72)

Parak = n tenemos que R0 = 0 (1.73)

donde:

tr(M) =n∑

i=1

Mii (1.74)

11


Si M es una matriz nxn con elementos diagonales Mi,i, i = 1, 2, . . . , n R0 = 0 se puedeusar para un chequeo numerico.

Consideremos ahora la ecuacion no-homogenea:

x = Ax(t) + B u(t) (1.75)

donde A y B son constantes. La transformada de Laplace da:

sX(s)−X(0) = AX(s) + B U(s) (1.76)

luegoX(s) = (s I −A)−1 X(0) + (s I −A)−1 B U(s) (1.77)

La ecuacion de salida del sistema esta dada por:

y(t) = C x(t) (1.78)

donde C es constante. Aplicando Laplace y reemplazando (1.77) resulta:

Y (s) = C X(s) = C (s I −A)−1 X(0) + C (s I −A)−1 B U(s) (1.79)

que es equivalente a la transformada de Laplace de la expresion en el tiempo, con t0 = 0:

y(t) = C eAt x(0) + C

∫ t

0

eA(t−τ) B u(τ)dτ (1.80)

Cuando x(0) = 0 tenemos que:

Y (s) = H(s)U(s) (1.81)

donde:H(s) = C (s I −A)−1 B (1.82)

La matriz H(s) se denomina “matriz de transferencia” del sistema.

Del teorema 1.12 tenemos que la matriz de transferencia H(s) es la transformada de Laplacede la funcion matricial H(t) = C eAt B con t ≥ 0 (ec. (1.36). De (1.81) tenemos que H(t) es lamatriz respuesta impulso del sistema.

Las raıces del denominador comun de H(s) son los polos de la matriz de transferencia. Sino hay cancelaciones, estos polos son los polos del sistema, es decir, los valores caracterısticosde A.

1.5. Respuesta en frecuencia

Veamos la respuesta en frecuencia de sistemas lineales invariantes en el tiempo, a entradasde la forma:

u(t) = um ejωt t ≥ 0 (1.83)

donde um es un vector constante.

12


La solucion de la ecuacion diferencial e estado:

x(t) = Ax(t) + B u(t) (1.84)

se obtiene en terminos de las soluciones particular y homogenea.

Si consideramos la solucion particular de la forma:

xp(t) = xm ejωt (1.85)

donde xm es un vector constante. Encontramos que la solucion particular es:

xp(t) = (jω I −A)−1 B um ejωt t ≥ 0 (1.86)

La solucion homogenea se puede escribir como:

xh(t) = eA t · a (1.87)

donde a es un vector constante arbitrario. Luego tenemos que la solucion general no-homogeneaes:

x(t) = eA t a + (jω I −A)−1 B um ejωt t ≥ 0 (1.88)

El vector a se puede determinar con las condiciones iniciales.

Si el sistema es asintoticamente estable, entonces la respuesta en estado estacionario de lasalida:

y(t) = C x(t) (1.89)

es:

y(t) = C (jω I −A)−1 B um ejωt (1.90)= H(jω)um ejωt

donde H(jω) es la matriz respuesta en frecuencia del sistema.

1.6. Ceros del sistema

Teorema 1.14. Considerar el sistema:

x = Ax(t) + B u(t)y(t) = C x(t)

donde x tiene dimension n y la entrada u y la salida y tienen dimension m. La matriz detransferencia del sistema es H(s) = C(sI −A)−1B.

Entonces:

det[H(s)] =Ψ(s)Φ(s)

13


donde

Φ(s) = det[s I −A]

y Ψ(s) es un polinomio en s de grado n−m o menos.

Definicion 1.6. Los ceros de Ψ(s) son los ceros del sistema y Φ(s) es el polinomio caracterısticodel sistema.

1.7. Interconexion de sistemas lineales

Dos de los tipos de interconexion de sistemas mas usados son la conexion serie o cascada yla realimentada.

Figura 1.1: Conexion serie.

Figura 1.2: Conexion realimentada.

Para la conexion serie de la Fig. 1.1 los sistemas individuales se describen por las ecuacionesdiferenciales de estado y salida:

x1(t) = A1(t) x1(t) + B1(t)u1(t)y1(t) = C1(t) x1(t) + D1(t)u1(t)

}sistema 1 (1.91)


}sistema 2

Definiendo el estado aumentado:

x(t) =[

x1(t)x2(t)

](1.92)

14


El sistema interconectado se describe por:

x(t) =[

A1(t) 0B2(t)C1(t) A2(t)

]x(t) +

[B1(t)

B2(t)D1(t)

]u(t) (1.93)

considerando que u2(t) = y1(t).La ecuacion de salida del sistema resulta:

y2(t) = [D2(t)C1(t) C2(t)] x(t) + D2(t)D1(t)u1(t) (1.94)

En el caso de los sistemas invariantes en el tiempo, se puede describir la interconexionen terminos de las matrices de transferencia. Supongamos que las matrices de transferenciaindividuales de los sistemas son:

Y1(s) = H1(s)U1(s) (1.95)Y2(s) = H2(s)U2(s) (1.96)

Sabemos queU2(s) = Y1(s) (1.97)

LuegoY2(s) = H2(s) H1(s) U1(s) (1.98)

resulta que la matriz de transferencia del sistema es: H2(s)H1(s).Generalmente no se pueden intercambiar.En la conexion realimentada se consideran las siguientes ecuaciones diferenciales de estado

y salida:

x1(t) = A1(t) x1(t) + B1(t)u1(t)y1(t) = C1(t) x1(t)

}sistema 1 (1.99)


}sistema 2

Usando el vector aumentado tenemos que:

x(t) =[

A1(t)−B1(t)D2(t) C1(t) −B1(t)C2(t)B2(t)C1(t) A2(t)

]x(t) +

[B1(t)

0

]r(t) (1.100)

donde se ha usado la relacion u2(t) = y1(t) y u1(t) = r(t)− y2(t).La salida del sistema resulta:

y1(t) = [c1(t) 0] x(t) (1.101)

Para el caso invariante en el tiempo, tenemos en terminos de matrices de transferencia:

Y1(s) = H1(s)U1(s)Y2(s) = H2(s)U2(s)U1(s) = R(s)− Y2(s)U2(s) = Y1(s)

15


Luego:Y1(s) = H1(s)[R(s)−H2(s)Y1(s)] (1.102)

Despejando:Y1(s) = [I + H1(s)H2(s)]−1H1(s)R(s) (1.103)

Definicion 1.7. Consideremos la conexion realimentada de la Fig. 1.2 y que los sistemas 1 y 2invariantes en el tiempo con matrices de transferencia H1(s) y H2(s) respectivamente. Entoncesla funcion matriz:

J(s) = I + H1(s)H2(s) (1.104)

se denomina “matriz de diferencia de retorno ” y la funcion matriz:

L(s) = H1(s)H2(s) (1.105)

Se denomina “matriz ganancia de lazo”.

El termino “diferencia de retorno” resulta del siguiente analisis:

Supongamos la conexion realimentada con r(t) ≡ 0 y cortada en y1(t):

Figura 1.3: Conexion realimentada.

16


esto da:Y1(s) = −H1(s)H2(s)U2(s) (1.106)

La diferencia entre Y1(s) y U2(s) es:

U2(s)− Y1(s) = [I −H1(s)H2(s)] U2(s) (1.107)= J2(s)U2(s)

Es importante conocer la estabilidad del sistemas interconectados. Para las conexiones an-teriores existen los siguientes resultados:

Teorema 1.15. Considere la conexion serie de la Fig. 1.1, donde los sistemas 1 y 2 son sistemasinvariantes en el tiempo con los polinomios caracterısticos φ1 y φ2, respectivamente. Entoncesla interconexion tiene el polinomio caracterıstico φ1(s) · φ2(s). Por lo tanto , el sistema in-terconectado es asintoticamente estable si y solo si ambos sistemas 1 y 2 son asintoticamenteestables.

Teorema 1.16. Considere la conexion realimentada de la Fig. 1.2 donde los sistemas 1 y 2son lineales invariantes en el tiempo con matrices de transferencia H1(s) y H2(s) y polinomioscaracterısticos φ1(s) y φ2(s) respectivamente y el sistema 1 no tiene conexion directa. Entoncesel polinomio caracterıstico del sistema interconectado es:

φ1(s) φ2(s) det[I + H1(s)H2(s)] (1.108)

Por lo tanto, el sistema interconectado es estable si y solo si el polinomio (1.108) tiene ceroscon parte real estrictamente negativa solamente.

1.8. Controlabilidad

Para la solucion de problemas de control, es importante saber si un sistema tiene la propiedadde poder ser llevado desde algun estado a otro estado dado. Esto nos lleva al concepto decontrolabilidad.

Definicion 1.8. El sistema lineal:

x = A(t)x(t) + B(t) u(t) (1.109)

se dice que es completamente controlable si el estado del sistema puede ser transferido desdeel estado cero para algun tiempo inicial t0 a algun estado terminal x(t1) = x1 en un tiempofinito (t1 − t0).

Considerando esta definicion se obtiene:

Teorema 1.17. El sistema lineal:

x = A(t)x(t) + B(t) u(t) (1.110)

es completamente controlable si y solo si puede ser transferido desde cualquier estado inicialx0 para algun tiempo inicial t0 a algun estado terminal x(t1) = x1 en un tiempo finito (t1− t0).

17


La controlabilidad de un sistema LIT queda descrita en el siguiente teorema:

Teorema 1.18. El sistema LIT n dimensional:

x = Ax(t) + B u(t) (1.111)

es completamente controlable si y solo si el vector columna de la matriz de controlabilidad:

P = (B, AB, A2B, . . . , An−1B) (1.112)

cubre el espacio n dimensional.

Esto quiere decir, que el rango de la matriz P debe ser n para todos los valores de losparametros.

La controlabilidad de un sistema LVT se describe en el siguiente teorema:

Teorema 1.19. El sistema LVT n dimensional:

x = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1.113)

define la funcion matricial simetrica no negativa definida:

W (t0, t) =∫ t

t0

Φ(t, τ) ·B(τ) ·BT (τ) · ΦT (t, τ)dτ (1.114)

donde Φ(t, t0) es la matriz transicion del sistema.

Entonces el sistema es completamente controlable si y solo si existe para todo t0 a t1 cont0 < t1 < ∞ tal que W (t0, t1) es no singular.

1.9. Reconstructibilidad

Es importante saber si el sistema tiene la propiedad de poder determinar el comportamientode su estado desde el comportamiento de la salida. Esto lleva al concepto de reconstructibilidad.

Definicion 1.9. Tomemos y(t, t0, x0, u) como la respuesta de la variable de salida y(t) delsistema LVT

x = A(t) x(t) + B(t)u(t) (1.115)y(t) = C(t)x(t)

al estado inicial x(t0) = x0. Entonces el sistema se denomina completamente reconstruible(CR) si para todo t1 existe un t0 con −∞ < t0 < t1 tal que:

y(t; t0, x0, u) = y(t; t0, x′0, u) t0 ≤ t ≤ t1 (1.116)

para todo u(t), t0 ≤ t ≤ t1, implique x0 = x′0.

La reconstructibilidad de un sistema se puede determinar considerando un caso simple comodice el siguiente teorema:

18


Teorema 1.20. El sistema LVT:

x = A(t) x(t) + B(t)u(t) (1.117)y(t) = C(t)x(t)

es completamente reconstruible si y solo si para todo t1 existe un t0 con −∞ < t0 < t1 talque:

y(t1; t0, x0, 0) = 0 t0 ≤ t ≤ t1 (1.118)

implique que x0 = 0

La reconstructibilidad de un sistema LIT queda descrita en el siguiente teorema:

Teorema 1.21. El sistema LIT n dimensional:

x = A x(t) + B u(t) (1.119)y(t) = C(t)x(t)

es completamente reconstruible si y solo si los vectores filas de la matriz de reconstructibilidad

Q =

CC AC A2

...C An−1

(1.120)

cubren o barren el espacio n dimensional.

Esto quiere decir, que el rango de la matriz Q debe ser n para todos los valores de losparametros.

La reconstructibilidad de un sistema LVT de describe en el teorema:

Teorema 1.22. El sistema LVT n dimensional:

x = A(t)x(t) + B(t)u(t) (1.121)y(t) = C(t)x(t)

define la funcion matricial no negativa definida:

M(t, t1) =∫ t1

t

ΦT (τ, t)CT (τ)C(τ)Φ(τ, t)dτ (1.122)

donde Φ(t, t0) es la matriz de transicion del sistema.

Entonces el sistema es CR si y solo si para todo t1 existe un t0 con −∞ < t0 < t1 tal queM(t0, t) es no singular.

19

Teor¶‡a Moderna de Control Lineal - Inicio ...elo378/informacion/APUNTES/cap1.pdf ·...

Documents

Transcript of Teor¶‡a Moderna de Control Lineal - Inicio ...elo378/informacion/APUNTES/cap1.pdf ·...