26/05/08Por Maximo Torrez*Sistemas Lineales Espacio de Estados

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26/05/08Por Maximo Torrez*Anlisis en el Espacio de Estados

IntroduccinModelado de sistemas y Representacin en el espacio de estadosCaractersticas generalesAnlisis del EE usando MatlabEjemplos Ejercicios

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IntroduccinDesarrollado por la necesidad de anlisis de sistemas MIMO(Mltiples entradas y Mltiples salidas)SISITEMAN entradasM salidasDonde los sistemas ya no se podan analizar con las tcnicas de Control Clsico Se desarrolla la Teora de Control Moderna

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Definiciones Estado - Es el conjunto mas pequeo de variables, de modo definida en t=to y conocida la entrada en el rango de tto, determina el comportamiento del sistema para todo ttoVariable de estado Son las que forman el conjunto mas pequeo de variablesSe necesita n variables para poder describir la respuesta de un sistemaVector de estado Las n variables forman el vector de estado

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Definiciones Ecuaciones - Existen tres tipos de variables r Variables de entrada m Variables de salida n Variables de estado En general un sistema dinmico posee por lo menos una derivada por lo que puede almacenar energaLa representacin del sistema en el EE no es nica pero si lo es el numero de estados

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Definiciones De lo anterior se puede plantear las siguientes ecuaciones del sistema y la salida Ecuacin del sistema Ecuacin de la salida

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Definiciones Si definimos

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Definiciones Las ecuaciones del sistema y salida se pueden escribir en forma simplificadaSi se linealizan el sistema alrededor de un estado de operacin

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Definiciones Donde A(t) es la Matriz de Estados B(t) es la Matriz de Entrada C(t) es la Matriz de Salida D(t) es la Matriz de Transmisin Directa

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Definiciones Diagrama de bloques

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Modelado y Representacin en el EE Sea un sistema de segundo ordenComo es de segundo orden entonces existen dos integradores y por lo tanto dos estados =>

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Caractersticas generalesMatriz de transferencia en el EESi operamos las ecuaciones anteriores donde el sistema es LTI Lineal e invariante en el tiempo

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Caractersticas generalesAnalizando el termino de G(s)

Se puede pensar en

y Q(s) es

Donde las soluciones de Son los polos de G(s)

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Caractersticas generalesSea el sistema de segundo ordenDonde las matriz A,B,C y D son Y G(s) esCalculando la ecuacin caracterstica Entonces

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Anlisis del EE usando MatlabLos comandos tf2ss y ss2tf permiten transformar las funciones del plano s a el espacio de estados.El comando tf2ss>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)por ejemplo Hallar la representacin en el espacio de estados de el sistema cuya funcin de transferencia es:

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Anlisis del EE usando Matlabnum=[ 0 0 1 0];den=[1 14 56 160];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 1 0D = 0Introduciendo los siguientes comandos en el Matlabse puede obtener la siguiente representacin en forma matricial del sistema

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Anlisis del EE usando MatlabEl comando ss2tf>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)por ejemplo Hallar la representacin la funcin de transferencia del sistema:

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Anlisis del EE usando MatlabA=[0 1 0; 0 0 1; -2 -3 -4];B=[0;4;5];C=[1 0 0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

num =

0 0.0000 4.0000 21.0000

den =

1.0000 4.0000 3.0000 2.0000Introduciendo los siguientes comandos en el Matlabse puede obtener la siguiente representacin en forma fraccionaria

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Primera forma cannica De los distintos modos de representar un sistema existen forma cannica del observador

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Primera forma cannica De los distintos modos de representar un sistema existen forma cannica del controlador

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Primera forma canonica De los distintos modos de representar un sistema existen:primera forma cannica de segunda forma cannica

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