SISTEMAS LINEALESTRANSFORMADAS DE LAPLACE

IndiceIntroduccin De la TF a la TLCondiciones de ExistenciaResultados interesantesLa transformada inversa Transformada de la Funcin del SistemaPropiedades y tablasTransformada bilateral

Introduccin Se puede considerar que la transformada de Laplace sea una extensin de la fe FourierIncrementa el rango de anlisis de los sistemasOtra ventaja es de que permite un anlisis algebraico y por lo tanto mas mecnico de los sistemas y sus funciones de transferencia Una de las utilidades son el anlisis de sistemas de control Clasico

De la TF a la TLDe la representacin de la TFSi deseamos encontrar la TF de una funcin f(t) y no tenemos la seguridad de que la Integral de Fourier Converja , podemos multiplicar la funcin f(t) por una exponencial decreciente que permita esa convergencia de tal forma de tener la posibilidad de poder manipular esa variable para obtener una respuesta deseada

De la TF a la TLLa notacin utilizada para representar estas integrales son

Esta transformada es la llamada Bilateral de LaplacePero Para Seales Causales tenemos la denominada Transformada Clsica de Laplace

Condiciones de ExistenciaPara que exista la TL la f(t) debe cumplir ciertas condiciones f(t) debe ser absolutamente integrable en todo intervalo finito y si existe un tal que

La integral de Laplace converge absolutamente y uniformemente hacia la funcin F(s) en una regin de Re(s) es decir

Esto implica que f(t) puede tener un nmero finito de mximos y mnimos en cualquier intervalo finito y tener un nmero finito de discontinuidades finitas en cualquier intervalo finito

Resultados interesantes

Resultados interesantes

Resultados interesantes

Propiedades

La transformada inversaUna de las tareas importantes es retornar a el dominio del tiempo Para procedemos a realizar la transformada inversa existen varios procedimiento, algunos de ellos son: las fracciones parciales , series de potencias, mtodos de ecuaciones diferenciales, tablas , definicin y composicin de los anteriores mtodosFracciones parciales

Resolucin de ecuaciones diferenciales La TL es una poderosa herramienta para la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales y de paramentos constantes

Resolucin de ecuaciones diferenciales

Resolver

Resolucin de sistemas dinmicos Al analizar un sistema dinmico

Transformada de la Funcin del SistemaSea un sistema mostrado en la figura

La relacin entrada salida esta dada por la convolucin

Si aplicamos a esta relacin la transformada de Laplace

Donde H(s) es llamada Funcin de transferenciaEstos resultados son muy tiles para el estudio de Sistemas Lineales y Dinmicos

Transformada de la Funcin del SistemaModelos de dispositivos dinmicos y no dinmicos Es posible tambin representar en forma de diagrama de bloques los sistemas y separar en subsistemas y as simplificar su anlisis

Diagrama de bloque de sistemas

Diagrama de bloque de sistemas realimentados

Algebra de Diagrama de bloque de sistemas

Ejemplos En el siguiente circuito determinar la corriente en el inductor y la potencia promedio

Graficas de flujo de seal - ReogramasSe utilizan para representar los sistemas y las trayectorias de la seal

Graficas de flujo de seal - ReogramasLas graficas de flujo componen de :Nudo (nodo): Es un punto que representa una variable o seal.Transmitancia (ganancia): Es la relacin entre dos variables unidas por una rama, cuyo valor es el cociente de la de salida entre la de llegada.Rama: Es un segmento de lnea con direccin y sentido que une dos nudos. La ganancia de una rama es una transmitancia.Nudo (nodo) de entrada (fuente): Es un nudo que solamente tiene ramas de salida. Corresponde a una variable independiente.Nudo (nodo) de salida (pozo, sumidero): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada. Corresponde a una variable dependiente. Normalmente, las variables de salida se indicarn expresamente, ya que una variable de salida puede no ser un nodo de salida. En este caso, se aadir, desde dicho nodo, una nueva rama de salida, de ganancia unitaria, hacia el nuevo nodo que, ahora s, ser de salida.

Graficas de flujo de seal - ReogramasLas graficas de flujo componen de :Nudo (nodo) mixto: Es un nudo que tiene tanto entradas como salidas.Trayectoria (trayecto, camino): Es un recorrido de ramas conectadas, en el sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningn nudo ms de una vez, es una trayectoria abierta. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nudo del cual parti, sin cruzar ms de una vez por un nudo, es un trayecto cerrado. Si cruza un nodo ms de una vez, pero finaliza en un nudo distinto del que se parti, el trayecto no es ni abierto ni cerrado.Trayectoria (trayecto, camino) directa: Es una trayectoria que empieza en un nudo de entrada y termina en uno de salida, sin atravesar ningn nodo ms de una vez.Lazo (malla, ciclo): Es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo, y en donde ningn otro nodo se encuentra ms de una vez, esto es, es una trayectoria cerrada.

Graficas de flujo de seal - ReogramasLas graficas de flujo componen de :Ganancia de trayectoria (camino, trayecto): Es el producto de las ganancias de las ramas que atraviesa dicha trayectoria.Ganancia de lazo (malla, ciclo): Es el producto de las transmitancias de las ramas del lazo.Lazos (mallas, ciclos) disjuntos (que no se tocan): Son lazos que no tienen ningn nudo en comn.

Graficas de flujo de seal - ReogramasLas graficas de flujo componen de :Nudo (nodo): Transmitancia (ganancia): Rama: Nudo (nodo) de entrada (fuente):Nudo (nodo) de salida (pozo, sumidero): Nudo (nodo) mixto: Trayectoria (trayecto, camino): Trayectoria (trayecto, camino) directa: Lazo (malla, ciclo): Ganancia de trayectoria (camino, trayecto): Ganancia de lazo (malla, ciclo): Lazos (mallas, ciclos) disjuntos (que no se tocan):

Graficas de flujo de seal - ReogramasAlgebra De GFS

Graficas de flujo de seal - ReogramasAlgebra De GFS

Mtodo de MasonLa formula de Mason, es usada para hallar la ganancia total de un sistema y viene dada por

N = nmero de trayectorias directas entre la variable de entrada y la de salida.Pi = Ganancia de la trayectoria i-sima directa. = Determinante del grfico:

Mtodo de Mason = suma de todas las ganancias de lazo.

= suma de los productos de las ganancias de lazo de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos. = suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.i = Cofactor del determinante del i-simo trayecto directo del grfico, eliminando previamente todos los lazos adjuntos a dicho i-esimo trayecto directo.

Mtodo de Mason