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GUÍAS DE APOYO AL ESTUDIANTE

GUÍA No. 05 Período: II

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9º ÁLGEBRA

EVALUACIÓN

PRESABERES: Ecuación general y explícita de la recta

SABERES:SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores de las variables que hacen que las ecuaciones del sistema se cumplan:

Ejemplos:

1. Dado el sistema de ecuaciones podemos ver que su solución es la pareja Observe: Reemplazando los valores en la primera ecuación obtenemos: , se cumple la ecuación. Si reemplazamos los valores en la segunda ecuación obtenemos: , se cumple la ecuación.

2. Dado el sistema de ecuaciones podemos ver que su solución es la terna

Verifiquemos: Reemplazando los valores en la primera ecuación obtenemos: , se cumple la ecuación. Si reemplazamos los valores en la segunda ecuación obtenemos: , se cumple la

ecuación. Al reemplazar en la tercera ecuación tenemos: , se cumple la ecuación.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen Métodos o Técnicas, algunos de ellos son:

Método gráfico Método de sustitución Método de igualación Método de reducción o eliminación Método de determinantes

En esta guía vamos a realizar el desarrollo explicativo del Método de sustitución y del método de reducción. Los otros métodos quedan como consulta.

Primero estudiaremos los dos métodos para sistemas de ecuaciones 2x2

1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

Para resolver por el método de sustitución procedemos así:

1. Despejamos una de las variables (cualquiera), de una de las ecuaciones (cualquiera).2. Sustituimos la expresión encontrada en el paso 1, en la ecuación no usada en dicho paso. Resolvemos la

ecuación obtenida, de donde hallaremos el valor de una de las variables.3. Sustituimos el valor encontrado en el paso 2, en cualquiera de las ecuaciones del sistema dado y resolvemos

para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplos:Resolver el sistema de ecuaciones 1. Despejamos una de las variables (cualquiera), de una

de las ecuaciones (cualquiera).

Para este ejemplo vamos a despejar la variable “x” de la ecuación “2”

PASO 1

PASO 2

Docente: Nancy Patricia Plazas CarrilloEstudiante:

Toda igualdad de la forma , donde es una ecuación lineal con dos incógnitas. Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es formado por dos ecuaciones se llamará sistema 2x2 Si el sistema es formado por tres ecuaciones se llamará sistema 3x3

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2. Sustituimos la expresión encontrada en el paso 1, en la ecuación no usada en dicho paso. Resolvemos la ecuación obtenida, de donde hallaremos el valor de una de las variables.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación “1”

3. Sustituimos el valor encontrado en el paso 2, en cualquiera de las ecuaciones del sistema dado y resolvemos para encontrar el valor de la otra variable.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación “2”

PASO 3

La solución del sistema es la pareja

Resolver el sistema de ecuaciones 1. Despejamos una de las variables (cualquiera), de una

de las ecuaciones (cualquiera).

Para este ejemplo vamos a despejar la variable “y” de la ecuación “1”

2. Sustituimos la expresión encontrada en el paso 1, en la ecuación no usada en dicho paso. Resolvemos la ecuación obtenida, de donde hallaremos el valor de una de las variables.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación

“2”

3. Sustituimos el valor encontrado en el paso 2, en cualquiera de las ecuaciones del sistema dado y resolvemos para encontrar el valor de la otra variable.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación “1”

PASO 1

PASO 2

PASO 3

La solución del sistema es la pareja

2. MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

Para resolver por el método de sustitución procedemos así:1. Elegimos una de las variables para eliminar y multiplicamos las dos ecuaciones cada una por un número, de

tal forma que los coeficientes de esa variable sean opuestos.2. Sumamos término a término los valores obtenidos en el paso 1.3. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso 2.4. Reemplazamos el valor hallado en el paso 3 en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la

otra variable.

Ejemplos:Resolver el sistema de ecuaciones

1. Elegimos una de las variables para eliminar y multiplicamos las dos ecuaciones cada una por un número, de tal forma que los coeficientes de esa variable sean opuestos.

PASO 1

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Para este ejemplo vamos a elegir la variable “y”, al multiplicar la ecuación “2” por el número 3, hacemos que los

coeficientes de “y” sean opuestos.

2. Sumamos término a término los valores obtenidos en el paso 1.

3. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso 2.

Para este ejemplo la ecuación

4. Reemplazamos el valor hallado en el paso 3 en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación “1”

PASO 2

PASO 3

PASO 4

La solución del sistema es la pareja

Resolver el sistema de ecuaciones 1. Elegimos una de las variables para eliminar y

multiplicamos las dos ecuaciones cada una por un número, de tal forma que los coeficientes de esa variable sean opuestos.

Para este ejemplo vamos a elegir la variable “x”, al multiplicar la ecuación “1” por el número 3, y la ecuación “2”

por el número -4, hacemos que los coeficientes de “x” sean opuestos.

2. Sumamos término a término los valores obtenidos en el paso 1.

3. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso 2.

Para este ejemplo la ecuación

4. Reemplazamos el valor hallado en el paso 3 en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.

Para este ejemplo sustituimos en la ecuación “1”

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

La solución del sistema es la pareja

PROBLEMAS DE APLICACIÓNEl objetivo principal de resolver sistemas de ecuaciones lineales, es poder solucionar situaciones matemáticas

(problemas). Para resolver un problema de aplicación se requiere:

- Leer con atención el problema y plantear las ecuaciones que lo satisfagan.

- Resolver el sistema de ecuaciones haciendo uso de cualquiera de los métodos existentes.

- Comprobar que la respuesta obtenida es coherente con la situación planteada.

Ejemplos:

1. Para comprar dos manzanas y tres libras de duraznos necesito $ 12.700, pero si quiero comprar una manzana

menos y una libra de duraznos más debo pagar $ 15.100. ¿Cuál es el precio de cada manzana y de cada libra de

duraznos?

Solución: La situación habla de manzanas y duraznos, vamos a asignar al precio de cada manzana la variable “m” y

al precio de la libra de duraznos la variable “d”. Veamos como quedan las ecuaciones

- Para comprar dos manzanas y tres libras de duraznos necesito $ 12.700 , queda escrito así:

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- Si quiero comprar una manzana menos y una libra de duraznos más debo pagar $ 15.100 , aquí una manzana

menos, significa sólo una manzana y una libra de duraznos más serán 4 libras de duraznos, así la ecuación a

plantear es:

- De acuerdo a esto el sistema de ecuaciones a resolver será

-

Apliquemos método de reducción

Reemplacemos el valor de “d” en la ecuación “2”

Respuesta: Cada manzana cuesta $1.100 y la libra de duraznos es a $3.500

ACTIVIDAD EN CLASE

I. Resolver los sistemas de ecuaciones dados haciendo uso de los métodos vistos.

1.2.3.4.5.

II. Resuelva las situaciones que se plantean a continuación

1. La suma de dos números es 73 y su diferencia es 33. Hallar los números.

2. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la sala,

3. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500, 17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan $134.500. Hallar el precio de una entrada de adulto y de una de niño.

4. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.

5. La edad de Antonio hace 8 años era el triple de la edad de su hija María. Dentro de 4 años la

edad de María será de la edad de su padre.

¿Cuál es la edad actual de Antonio y María?

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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales compuesto por tres ecuaciones y tres variables, debemos reducir el sistema a uno de 2x2. Ese proceso implica encontrar dos ecuaciones que contengan solo dos de las variables del sistema dado, es decir eliminar una de las variables de dicho sistema. Reducir un sistema 3x3 a uno 2x2 puede conseguirse utilizando cualquiera de los métodos existentes, el más conveniente es el de reducción. Después de obtener el sistema 2x2 se procede con cualquiera de los métodos estudiados.

Ejemplos: Resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones planteados.1.

Solución:Vamos a eliminar a la variable “X” del sistema, es decir vamos a encontrar dos ecuaciones que solo contengan las variables “Y y Z”. Para esto aplicaremos el procedimiento de reducción.

PASO 1: Eliminemos la variable X haciendo uso de las ecuaciones 1 y 2

Para eso multipliquemos la ecuación 2 por menos dos (-2)

PASO 2: Eliminemos la variable X haciendo uso de las ecuaciones 1 y 3

Para eso encontremos el m.c.m.(2,3) = 6 y multipliquemos la ecuación 1 por (-3) y la ecuación tres por (2)

Con las ecuaciones cuarta y quinta formamos un sistema de 2x2

Vamos a resolver este sistema aplicando nuevamente el método de reducción, eliminemos la variable “Y” multiplicando la ecuación cuatro por - 17

Reemplacemos “Z” en la ecuación cuatro

Finalmente reemplacemos las variables “Y y Z” en la ecuación 1

Significa que la solución del sistema es

2.

Solución:Vamos a eliminar a la variable “Z” del sistema, es decir vamos a encontrar dos ecuaciones que solo contengan las variables “X e Y”. Para esto aplicaremos el procedimiento de reducción.

PASO 1: Eliminemos la variable Z haciendo uso de las ecuaciones 1 y 2:

Cuarta ecuación

Quinta ecuación

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Para eso multipliquemos la ecuación 2 por (4)

PASO 2: Eliminemos la variable Z haciendo uso de las ecuaciones 2 y 3:

Para eso multipliquemos la ecuación 2 por (2)

Observemos que en el proceso anterior queríamos eliminar la variable “Z” sin embargo también se eliminó la variable “X”, por eso de la quinta ecuación podemos despejar y encontrar el valor de la variable “Y” (esto no ocurre siempre).

Reemplacemos “Y” en la ecuación cuatro

Finalmente reemplacemos las variables “X y Y” en la ecuación 1

Significa que la solución del sistema es

PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3

Existen situaciones que pueden resolverse por medio de sistemas de ecuaciones lineales 3x3, para esto debemos leer la situación y generar el sistema de ecuaciones, luego resolver como se explicó antes.

Ejemplos: Para cada una de las situaciones planteadas, formule el sistema de ecuaciones, resuélvalo, interprete la solución y redacte su respuesta.

1. Dos lápices, tres lapiceros y un borrador cuesta $6.700, si compramos un lápiz menos, un lapicero más y dos borradores más, tendremos que pagar $7.600. En caso de comprar uno solo de cada producto se deberá pagar $2.700. ¿Cuál es el costo de cada uno de los artículos?

Solución: La situación habla de lápices, lapiceros y borradores, vamos a asignar para cada uno de ellos una variable

Costo de cada lápiz = a; Costo de cada lapicero = b; Costo de cada borrador = c

De la primera parte de la situación tenemos “Dos lápices, tres lapiceros y un borrador cuesta $6.700”, es decir

A continuación se plantea “si compramos un lápiz menos, un lapicero más y dos borradores más, tendremos

que pagar $7.600

Un lápiz menos, será entonces uno solo; un lapicero más serán cuatro lapiceros y dos borradores más serán

tres borradores, es decir: Un lápiz; cuatro lapiceros y tres borradores cuestan $7.600, esto es:

Finalmente la situación dice “En caso de comprar uno solo de cada producto se deberá pagar $2.700”, es

decir:

El sistema de ecuaciones obtenido es:

Cuarta ecuación

Quinta ecuación

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Vamos a resolver eliminando la variable “a”

PASO 1: Vamos a eliminar a “a” haciendo uso de las ecuaciones 1 y 2:

Para esto vamos a multiplicar la ecuación 2 por menos 2

PASO 2: Vamos a eliminar a “a” haciendo uso de las ecuaciones 2 y 3:

Para esto vamos a multiplicar la ecuación 2 por menos 1

PASO 3: Usemos las ecuaciones cuatro y cinco para resolver el sistema 2x2 encontrado:

Eliminemos la variable “b”, para esto buscamos el m.c.m. (5,3) = 15, y multiplicamos la ecuación 4 por menos

3 y la ecuación 5 por cinco.

Ahora sustituyamos la variable “c” en la quinta ecuación, para encontrar el valor de la variable “b”

Finalmente sustituimos los valores de “b y c” en la ecuación tres, con esto encontraremos el valor de “a”

Respuesta: El valor de cada lápiz es $1.000, de cada lapicero $1.500 y de cada borrador $200

2. La suma de las edades de Carlos, María y Pablo es de sesenta años. Hace diez años la edad de Carlos era el doble de la edad de María. Dentro de diez años María tendrá el doble de la edad que tendrá Pablo dentro de cinco años. Determine las edades de Carlos, María y Pablo.

Solución: La situación habla de la edad de Carlos, María y Pablo, asignemos a cada una su variable

Edad de Carlos = c; Edad de María = m; Edad de Pablo = p

De la primera parte de la situación “La suma de las edades de Carlos, María y Pablo es de sesenta años”,

podemos plantear la siguiente ecuación

A continuación se habla de “hace diez años la edad de Carlos era el doble de la edad de María”, esto es:

Hace diez años la edad de Carlos se escribe como: ; Hace diez años la edad de María se plantea así:

Cuarta ecuación

Quinta ecuación

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La ecuación quedará así:

Finalmente nos plantean “Dentro de diez años María tendrá el doble de la edad que tendrá Pablo dentro de

cinco años

Dentro de diez años la edad de María se escribe como: ; Dentro de cinco años la edad de Pablo es:

La ecuación quedará así:

El sistema obtenido es: Verifique que la solución del sistema es:

ACTIVIDAD EN CLASE

I. Resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones planteados:1.

2.

3.

4.

5.

II. Para cada situación plantee los sistemas de ecuaciones, luego resuélvalos1. Una familia consta de una madre, un padre y una hija. La suma de las edades actuales de los 3 es de 80 años. Dentro de 22 años, la edad del hijo será la mitad que la de la madre. Si el padre es un año mayor que la madre, ¿qué edad tiene cada uno actualmente?

2. En una heladería, por un helado, dos zumos y 4 batidos nos cobraron 35 euros. Otro día, por 4 helados, 4 zumos y un batido nos cobraron 34 euros. Un tercer día por 2 helados, 3 zumos y 4 batidos 42 euros. ¿cuál es el precio de cada uno?

3. En un circo hay 11 animales carnívoros entre tigres, leones y panteras. Se sabe que cada león como tres kilos de carne al día, que cada tigre come dos kilos al día y cada pantera también dos kilos. Si en total se necesitan 25 kilos de carne al día y se sabe que el número de panteras es el triple que el número de tigres. ¿Cuántos leones, panteras y tigres hay?

4. Disponemos de 235 euros en billetes de 5, 10, y 20 euros. Sabiendo que tenemos un total de 19 billetes y que el número de billetes de 20 euros es el doble que el de billetes de 10 euros. Calcula el número de billetes de cada tipo.

5. En una granja hay doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas que de perros y

gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96 animales?.