Tema 3 - Diferenciabilidad

Ejercicios para hacer en clase

1. Dada la función dos veces diferenciable , estudiar

el comportamiento y la tendencia locales de la función en el punto (1, 2, -1) en la dirección del vector (-2, -3, 1).

2. Dada la función de clase .

a) Calcular el valor de la diferencial de la función en el punto (1, 2, -1).b) Aplicando el cálculo diferencial, ¿cuál será aproximadamente la variación de

la función en el punto (1, 2, -1) si se incrementa en un 10% el valor de las variables y ?

3. Sea la función escalar . Obtener , siendo el punto a = (1,1)

y el vector .

4. Dada la función de clase C2 , :

a) Calcular el valor de la diferencial total de la función en el punto (1, -1, 0).

b) Aplicando el cálculo diferencial, calcular el valor aproximado de la función en

el punto (1, -1, 0) si se incrementan en un 5% las variables x y z, y

disminuye en un 2% la variable y.

5. Sea la función . Obtener la diferencial de la función en el punto (0, 1).

6. Dada la función escalar: , estudiar el comportamiento y la

tendencia locales en el punto (-2, 2) según la dirección del vector (-1, 1).

7. Una empresa fabrica dos productos x e y siendo su función de costes totales:

donde x e y son las cantidades elaboradas de cada

producto. Los precios de mercado de x e y son 40 y 20 u.m., respectivamente.

a) Hallar los costes marginales de cada producto para x = 5 e y = 10.

b) Hallar la elasticidad del coste total respecto del producto y, para x = y = 10.

Ejercicios para entregar

1. Dada la función dos veces diferenciable: estudiar el

comportamiento y la tendencia en el punto (1, 2) según la dirección del vector

(3, 4).

2. Dada la función de clase C2 , :

a) Calcular el valor de la diferencial total de la función en el punto (0, -1, 1).

b) Aplicando el cálculo diferencial, calcular el valor aproximado de la función en

el punto (0, -1, 1) si se incrementan en un 3% las variables x e y, y

disminuye en un 4% la variable z.

3. Dada la función dos veces diferenciable: estudiar el

comportamiento y la tendencia en el punto (2,-1) según la dirección del vector (-

1, 3).

4. Sea una función diferenciable de clase C2: .

a) Estudiar la tendencia y el comportamiento de la función en el punto

en la dirección del vector .

b) Obtener la diferencial total de la función sabiendo que x1 se reduce en un 5%

y que x2 aumenta en un 7%.

5. Dada la función de clase C2 , :

a) Aplicando el cálculo diferencial, calcular el valor aproximado de la función en

el punto , si disminuyen en un 2 % las variables x e z, y

aumenta en un 1’5% la variable y.

b) Estudiar, razonadamente, el comportamiento y la tendencia locales de la

función en el punto en la dirección del vector .

6. La función de producción de una empresa es de clase C2 , y viene dada por

, se pide:

a) Estudiar razonadamente el comportamiento y la tendencia de la función el

punto (1,1), en la dirección del vector (2,2)

b) Si se produce una disminución del 20% en la primera variable y del 15% en

la segunda, ¿cuál sería el valor de la diferencial total de la función en el

punto (1,1)?