Diferenciabilidad de campos escalares. Diferencial. Aplicaciones al cálculo

aproximado.

Alberto J. Miyara

El concepto

• Una función de R2 en R (campo escalar de dos variables) f(x; y) es diferenciable en un punto (x0; y0) si es posible trazar un plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0;y0;f(x0;y0)).

• Dicho plano, de existir, es la gráfica de una función lineal L(x;y) (llamada linealización) que constituye una buena aproximación de f(x;y) en las cercanías del punto (x0;y0).

• El incremento de la función L(x;y) entre el punto (x0;y0) y otro punto (x;y) se llama diferencial de z (dz) y constituye una buena aproximación para el incremento de los valores de f(x;y), llamado delta z (Δz), entre los mismos puntos.

Hoja de ruta

• En base a un argumento geométrico, determinaremos, aprovechando conceptos del tema anterior (derivadas parciales), cuál debe ser la forma de la función L(x;y), en caso de existir.

• Inspirados en resultados de cálculo de una variable, estableceremos un criterio para determinar qué significa una buena aproximación para campos escalares de dos variables.

• Enunciaremos una condición suficiente para que la función L(x;y) postulada efectivamente aproxime bien a la función f(x;y); esto es, sea realmente un plano tangente.

• Discutiremos aplicaciones de estos resultados.

x

y

z = f(x; y)

z

(x0; y0)

(x0; y0 ; f(x0; y0))

intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano y = y0

intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano x = x0

x

y

z = f(x; y)

z

(x0; y0)

T1

T2

1

fx(x0; y0)

1

fy(x0; y0)

));(;0;1( 001 yxf xT)1);;();;(( 000021 yxfyxf yx TTN

));(;1;0( 002 yxf yTSi existe un plano tangente, será perpendicular a N y pasará por (x0; y0 ; f(x0; y0)))

))(;())(;();( 00000000 yyyxfxxyxfyxfz yx

))(;())(;();();( 00000000 yyyxfxxyxfyxfyxL yx

Y llamando z = L(x; y) a la función del plano tangente:

0

plano al ntepertenecievector

));(;;(·

plano al normalvector

)1);;();;(( 00000000 yxfzyyxxyxfyxf yxN

intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano x = x0

intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano y = y0

0);())(;())(;( 00000000 yxfzyyyxfxxyxf yx

x

y

z = f(x; y)

z

(x0; y0)

yyxfxyxfyxf

yyyxfxxyxfyxfyxL

yx

yx

);();();(

))(;())(;();();(

000000

00000000

(x0; y0 ; f(x0; y0))

(x0; y0)

(x0 + Δ x; y0 + Δy)

(x0 ; y0 ; f(x0 ; y0 ))

Δz

dz

Δy = dy

Δx = dx

z

y

x

Δ → cambios relativos a f(x;y) Δz = f(x0 + Δx; y0 + Δy) - f(x0; y0) d → cambios relativos a L(x;y)

z = f(x; y)

z = L(x; y)

yyxfxyxf

yxL

yxf

yyxxL

yyxfxyxfyxfdz yxyx

);();(

);(

);(

);(

);();();( 0000

00

00

00

000000

x0 x0 + Δx

dy = f’(x0) Δx

y

x

y = f(x)

Δx = dx

y = L(x)

εΔx

0 cuando 0con , en blediferencia 0 xxdyyxf

0 cuando 0con , )()()( :bien O 000 xxxxfxfxxf

Δy

0)(limlimlim

)(

)(

)0()0(

00

00

00

000

000

xfxf

xfx

xfxxf

xfx

xfxxf

x

xxfxfxxf

x

dyyxdyy

xxx

y = L(x)

Definición de diferenciabilidad paracampos escalares de dos variables

Dado un campo escalar f(x;y), se dice que f es diferenciable en (x0; y0) si dados incrementos Δx, Δy de sus variables es posible expresar el incremento del valor de la función como:

yxyyxfxyxfyxfyyxxf yx 2100000000 );();();();(

donde se cumple:

)0;0() ;( cuando 0 , 21 yx

Se dice que el campo es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.

Formas equivalentes:

yxyxLyxf 21);();(

yxdzz 21

yx

yxL

yyxfxyxfyxf

y

yy

x

xxf yx 2100000000

);(

);();();();(

yx

dz

yyxfxyxf

z

yxfyyxxf yx

2100000000 );();();();(

(x0; y0)

(x0 + Δ x; y0 + Δy)

z = L(x; y)

z = f(x; y)

(x0 ; y0 ; f(x0 ; y0 ))

Δz

dz

Δy = dy

Δx = dx

z

y

x

ε1Δx + ε2Δy

EjemploProbar que la función f(x;y) = x2 + 3y es diferenciable en cualquier punto (x;y) del plano.

)0;0( ; cuando 0 ,con

, );();(032

323332

33);();(

21

21

2222

22

21

yx

yxyyxfxyxfyxxyxx

yxxxyxyyxxxx

yxyyxxyxfyyxxf

yx

Función linealización(plano tangente)

Si z = f(x; y) es una función diferenciable en (x0; y0), entonces se llama función linealización de f centrada en (x0; y0) a la función L(x;y) que hemos definido como:

O, alternativamente, llamando Δx, Δy a los incrementos de x y de y a partir de (x0; y0), :

La gráfica de la función L(x;y) constituye el plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0; y0).

))(;())(;();();( 00000000 yyyxfxxyxfyxfyxL yx

yyxfxyxfyxfyxL yx );();();();( 000000

Si recordamos que para una función diferenciable es:

con

podemos concluir que, en las cercanías del punto (x0; y0):

Esto es, la linealización es una buena aproximación para estimar el valor de una función diferenciable ante incrementos pequeños de las variables a partir del punto donde está centrada.

)0;0() ;( cuando 0 , 21 yxyxyxLyxf 21);();(

);();( yxLyxf

Definición de diferencial para campos escalares de dos variables

Si z = f(x; y) es una función diferenciable en un punto (x0; y0) y Δx, Δy son incrementos de x y de y a partir de ese punto, entonces los diferenciales de las variables independientes x y y son:

dx = Δx, dy = Δy

y el diferencial total de la variable dependiente z es:

dz = fx (x0 ; y0)dx + fy (x0 ; y0)dy

En un punto genérico (x; y) escribimos sencillamente

dz = fx dx + fy dy

Si recordamos que para una función diferenciable es:

con

podemos concluir que, en las cercanías del punto (x0; y0):

Esto es, el diferencial es una buena aproximación para el incremento del valor de una función diferenciable ante incrementos pequeños de las variables.

yxdzz 21 )0;0() ;( cuando 0 , 21 yx

dzz

Teorema(Diferenciabilidad implica continuidad)

Si f(x;y) es diferenciable en (x0;y0), entonces f(x;y) es continua en dicho punto.

La demostración de este teorema es similar a la del teorema homólogo para funciones de una variable.

Cuidado

La existencia de derivadas parciales no garantiza por sí sola la diferenciabilidad de una función. Así, la función:

tiene derivadas parciales en el origen, pero no es continua allí (se verá en la práctica). Por ende, no es diferenciable según el teorema anterior.

¿Qué condiciones sí garantizan que una función sea diferenciable?

)0;0();( , 0

)0;0();( , );( 22

yx

yxyx

xyyxf

Teorema(Condición suficiente para la diferenciabilidad)

Sea f(x;y) un campo escalar de dos variables. Si las derivadas parciales fx y fy existen en una región abierta que contiene a (x0;y0) y son continuas en (x0;y0), entonces f(x;y) es diferenciable en (x0;y0).

La demostración de este teorema se basa en el teorema del valor medio de Cauchy, en que el incremento del valor de una función en un intervalo se calcula multiplicando la derivada de la función en un punto del intervalo por la amplitud del intervalo. De aquí surge que las condiciones impuestas sean sobre las derivadas de f, no sobre la función en sí.

EjemploProbar que la función f(x;y) = ex sen(xy) es diferenciable en cualquier punto (x;y) del plano.

Calculando las derivadas parciales se tiene:

Ambas son combinaciones de sumas y productos de funciones continuas en todo el plano. Por ende son continuas en todo el plano, y en consecuencia f es diferenciable en todo el plano.

)cos()(

)cos()sen()(

xyxex;yf

xyyexyex;yfx

y

xxx

Aplicaciones

• Determinación de planos tangentes.• Determinación de valores aproximados de una

función.• Estimación de errores.

EjemploDeterminar el plano tangente al paraboloide elíptico z = 2x2 + y2 en el punto (1;1;3) .

Sea f(x;y) = 2x2 + y2. El punto (x0;y0) es aquí el (1;1), y tenemos:

324

Luego

22443

)1(2)1(43)1)(1;1()1)(1;1()1;1(

))(;())(;();();(

2)1;1(2);(

4)1;1(4);(

00000000

yxz

yx

yxyfxff

yyyxfxxyxfyxfyxLz

fyyxf

fxyxf

yx

yx

yy

xx

EjemploHallar el valor aproximado de la función en el punto (4,95;6,01) .

Por suerte, es fácil calcular f (5;6) = 13. Desarrollaremos la función linealización centrada en (5;6), y la evaluaremos en (4,95;6,01).

El valor obtenido con calculadora es 12,99934229. Obsérvese que la aproximación predice acertadamente que el valor de la función disminuye con respecto al que alcanza en el centro de la linealización.

22 4);( yxyxf

999230769,1201,013

2405,0

13

513)601,6(

13

24)595,4(

13

513)01,6;95,4(

)6(13

24)5(

13

513)6)(6;5()5)(6;5()6;5();(

13

24)6;5(

4

48

42

1);(

13

5)6;5(

42

42

1);(

2222

2222

L

yxyfxffyxL

fyx

yy

yxyxf

fyx

xx

yxyxf

yx

yy

xx

EjemploSe mide con una regla milimetrada el diámetro y la altura de un cilindro, obteniéndose valores de 5,4 y 12,7 cm, respectivamente. Hallar el volumen del cilindro y estimar la incerteza de la determinación. Informar el resultado.

El volumen de un cilindro es V = πD2h/4, donde D es el diámetro y h la altura. Calculándolo con los valores determinados en la medición, obtenemos V = 290,86 cm3. Debido a que las separaciones de la regla son de 0,1 cm, ese es el incremento que pueden sufrir (en más o en menos) los valores de las variables D y h con respecto a los valores informados. El incremento que sufriría en tal caso el valor del volumen se puede estimar calculando el diferencial:

.

3241

21

241

21

2412

41

cm 06,131,04,51,07,12·4,5

:cm 7,12y cm 4,5 cm, 1,0 Como

V

hDdhdD

dhDdDDh

dhhDh

dDhDD

dhVdDVdVV hD

Información del resultado:

En general, la incerteza se informa con una sola cifra significativa, que se aproxima a la cifra inmediatamente superior si la segunda cifra significativa supera al 2 (“regla del 2 para la incerteza”). En este caso:

ΔV = 13,06 cm3 → informamos ΔV = 20 cm3

Y el valor de la determinación se ajusta de manera que la última cifra significativa coincida con la cifra significativa de la incerteza. La aproximamos a la cifra inmediatamente superior si la siguiente cifra significativa supera al 5 (“regla del 5 para la determinación”).

V = 290,86 cm3 → informamos V = 290 cm3

De esa manera, informamos:

V = (290 ± 20) cm3

En Introducción a la Física y en Física I el alumno realizó (o realizará) cálculos de incertezas para funciones que sólo involucren productos o cocientes, incluyendo el cálculo ilustrado en este preciso ejemplo. Esos cálculos son relativamente sencillos y no se necesita recurrir a estimación por diferenciales para funciones algebraicas, pero en el caso de funciones trascendentes resultaría muy difícil prescindir de esta herramienta.

EjemploUn agrimensor intenta determinar la altura de una torre. Al observar la punta de la construcción, su teodolito forma un ángulo de 72 grados con el suelo, estando situado a una distancia de 30 m del pie de la torre. Si el teodolito está graduado en mitades de grado, y la distancia se midió con una incerteza de 1 cm, determinar la altura de la torre, estimar la incerteza de la indeterminación e informar el resultado.

L

h

θ

m 33,92tan30tantan 52 Lh

L

h

dLdLdh

dLL

hdhh 2sectan

m )392( Así

m 77,2·sec3001,0·tan

01,0

30 1805,0

522

52180

5,052

h

h

dL

L

d