(1.1.2)(1.1.2)

(1.1.1)(1.1.1)

(1.1.4)(1.1.4)

(1.1.3)(1.1.3)

CÁLCULO. PRÁCTICA 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

DIFERENCIABILIDAD. PLANO TANGENTE.

Dada la función calcular las rectas tangentes a la

función g en el punto según las direcciones

Representarlas dichas curvas, el plano tangente y deducir si la función es diferenciable en (-1,1).

restart:with(plots):

g:=(x,y)->cos((2*y^2+x^2)/4);

theta:=0;

x0:=-1;y0:=1;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Dg:=limit((g(x0+h*v1,y0+h*v2)-g(x0,y0))/h,h=0);

g1:=plot3d(g(x,y),x=-3..3,y=-3..3):

g2:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,g(x0,y0)+Dg*t],t=-3..3,color=blue,thickness=5):

display(g1,g2);

(1.1.6)(1.1.6)

(1.1.7)(1.1.7)

(1.1.5)(1.1.5)

theta:=Pi/6;

x0:=-1;y0:=1;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Dg:=limit((g(x0+h*v1,y0+h*v2)-g(x0,y0))/h,h=0);

g3:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,g(x0,y0)+Dg*t],t=-3..3,color=red,thickness=5):

display(g1,g2,g3);

(1.1.9)(1.1.9)

(1.1.8)(1.1.8)

(1.1.10)(1.1.10)

theta:=Pi/4;

x0:=-1;y0:=1;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Dg:=limit((g(x0+h*v1,y0+h*v2)-g(x0,y0))/h,h=0);

g4:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,g(x0,y0)+Dg*t],t=-3..3,color=green,thickness=5):

display(g1,g2,g3,g4);

(1.1.11)(1.1.11)

(1.1.13)(1.1.13)

(1.1.14)(1.1.14)

(1.1.12)(1.1.12)

Veamos si son coplanarias. Para ello calculamos el plano tangente:

z-f(a,b)=dfx(a,b)*(x-a)+dfy(a,b)*(y-b)diff(g(x,y),x);

dgx:=(x,y)->-1/2*sin(1/2*y^2+1/4*x^2)*x;

diff(g(x,y),y);

dgy:=(x,y)->-sin(1/2*y^2+1/4*x^2)*y;

PLANO:=implicitplot3d(z-g(-1,1)=dgx(-1,1)*(x+1)+dgy(-1,1)*(y-1),x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,color=YELLOW,style=PATCHNOGRID):

(2.1.1)(2.1.1)

display(g1,g2,g3,g4,PLANO);

Realizar el mismo ejercicio con la función en el punto

restart:with(plots):

f:=(x,y)->(x^3+y^3+x^4)/(x^2+y^2);f(0,0):=0;

Calcular las rectas tangentes a la funcion h en el punto segun las direcciones

(2.1.2)(2.1.2)

(2.1.4)(2.1.4)

(2.1.5)(2.1.5)

(2.1.3)(2.1.3)

theta:=0;

x0:=0;y0:=0;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Df:=limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);

f1:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):

f2:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,f(x0,y0)+Df*t],t=-3..3,color=blue,thickness=5):

display(f1,f2);

theta:=Pi/6;

(2.1.8)(2.1.8)

(2.1.7)(2.1.7)

(2.1.6)(2.1.6)

(2.1.5)(2.1.5)

x0:=0;y0:=0;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Df:=limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);

f3:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,f(x0,y0)+Df*t],t=-3..3,color=red,thickness=5):

display(f1,f2,f3);

theta:=Pi/4;

(2.1.8)(2.1.8)

(2.1.11)(2.1.11)

(2.1.10)(2.1.10)

(2.1.5)(2.1.5)

(2.1.9)(2.1.9)

x0:=0;y0:=0;v1:=cos(theta);v2:=sin(theta);

Df:=limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);

f4:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,f(x0,y0)+Df*t],t=-3..3,color=green,thickness=5):

display(f1,f2,f3,f4);

Veamos si son coplanarias. Para ello calculamos el plano tangente:dfx(0,0):=limit((f(h,0)-f(0,0))/h,h=0);

(2.1.8)(2.1.8)

(2.1.12)(2.1.12)

(2.1.5)(2.1.5)

dfy(0,0):=limit((f(0,h)-f(0,0))/h,h=0);

PLANITO:=implicitplot3d(z-f(0,0)=dfx(0,0)*x+dfy(0,0)*y,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,color=yellow,style=PATCHNOGRID):

display(f1,f2,f3,f4,PLANITO);

No existe el plano tangente. No es diferenciable.