2 Los Complejos[1].PDF Con Maple

Introducción al Calculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

2. Los numeros complejos.-

Primeros conceptos.

Sabido es que el cuadrado de cualquier numero real es siempre un numero positivo, por lo que ecuaciones como = x2 −1 no tienen solución en el campo de los numeros reales. Para salvar esta dificultad ampliamos el campo de los numeros de modo que los complejos que vamos a definir, nos permitiran obtener soluciones para estas ecuaciones.

El conjunto R2 = RxR = {(a,b), donde a y b son numeros reales} , con las siguientes operaciones de suma y producto:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) ; (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad+bc) ,

(donde a,b,c y d son numeros reales), tiene estructura de cuerpo y se denominar cuerpo C de los numeros complejos.

Suele escribirse un complejo de la forma: z = (a,b), expresión que llamaremos cartesiana.

Se llama unidad imaginaria al numero complejo i = ( 0,1), que satisface la relación = i2 ( ),−1 0 .

(0,0) es el elemento neutro de la adición.

El opuesto de (a,b) es (-a,-b)= -(a,b).

(1,0) es el elemento neutro de la multiplicación y, si z = (a,b) no es igual a (0,0), el

inverso de z = (a,b) es 1z

= z( )−1 = − a i b + a2 b2 .

El conjunto R de los numeros reales se identifica con el subconjunto Rx{0}= {(a,0), a es un numero real} de C.

Entonces podemos escribir que = i2 −1.

Todo numero complejo z=(a,b) puede expresarse tambien en la que se llama su forma binómica, que es: z = a + b i.

El numero a es su parte real, a=Re(z), y el numero b es su parte imaginaria, b=Im(z). A la pareja a, b se le llama afijos del complejo.

Dos complejos son iguales si son identicos, es decir: (a,b) = (m,n) si y sólo si: a = m y b = n.

Representación grafica de los numeros complejos.

> restart;> ;

Representamos los numeros complejos en el plano de Argand-Gauss y para ello debemos daremos algunos conceptos importantes.

Comandos de Maple que usaremos:

abs(z) Halla el módulo del numero complejo z. argument(z) Calcula el argumento de z. Re(z) Calcula la parte real de z. Im(z) Halla la parte imaginaria de z. conjugate(z) Obtiene el numero complejo conjugado de z. convert(z,polar) Obtiene la expresión del numero complejo en su forma polar. assume( ) Permite imponer restricciones a las variables. evalc(expresion) Simplifica la expresión compleja al maximo y suele dar la salida en forma binómica. combine(expresion,trig) Simplifica la expresión compleja aplicando identidades trigonometricas.

> = Z + a b i;print "El módulo de z es la raz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de s\(

us afijos" ); := modulo_de_Z + a2 b2 ;

( )print " El argumento de z es el arco cuya tangente mide b/a" ;

:= argumento_de_Z⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟artan

ba

;

:= parte_real_de_Z a; := parte_imaginaria_de_Z b

Hemos de añadir que el argumento no es unico, habitualmente usamos el llamado argumento principal que es el contenido en [ 0, 2 π ], pero cada vez que demos

otro giro completo volveremos al mismo valor, ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

ba

; por ello si queremos los

argumentos de z y su argumento principal es θ, debemos escribir Arg(z) = + θ 2 K π y ahi si estaran todos.Por ejemplo con el complejo z = 2 + i = ( 2 , 1 ).

> z:=2+I; Modulo:=abs(z); Argumento_principal:=argument(z);Argumento_General=argument(z)+2*K*Pi; Parte_real:=Re(z); Parte_imaginaria:=Im(z);

Con una longitud (módulo) y un angulo (argumento): [ ],r θ podemos cubrir cualquier punto del plano exactamente igual que con las llamadas coordenadas cartesianas [ ],x y de modo que se interrelacionan de la forma siguiente;

= x r ( )cos θ ; = y r ( )sin θ

= r2 + x2 y2 ; = ( )tan θyx

Con estas fórmulas, podemos escribir que z = (x,y) = + x i y = + r ( )cos θ i r ( )sin θ = rθ. Expresión trigonometrica ( polar) del complejo.

Ejemplo.

Sea el punto P= ( 1, 3 ) , podemos tomarlo como el complejo z = (1, 3 ) = 1+

i 3 que tiene de módulo: z = 2 y de argumento principal: arg(z)= arctan(3

1) =

π3

.

> with(plots,display):with(plottools):with(plots,conformal):

> z:=2*(cos(Pi/3)+I*sin(Pi/3)); P=(1,sqrt(3)); Modulo:=abs(z); Argumento_principal:=argument(z);

Si hacemos la representación grafica:

Si superponemos unos ejes cartesianos, es muy facil deducir las relaciones, ya descritas, entre coordenadas cartesianas y nuevas, que llamaremos coordenadas polares.

Fijate que es una nueva concepción de definir puntos del plano. Ahora se trata de manejar una longitud r y un angulo θ.

Consideramos un circulo de radio el módulo de un cierto complejo, con este módulo habra infinitos complejos, tantos como argumentos podamos elegir. Vamos a considerar todos los complejos de módulo fijo y argumentos comprendidos entre 0 y 2 π radianes.

Se puede representar cualquier numero complejo en el plano de ARGAND-GAUSS. Al eje de abscisas ahora le llamamos eje real y al de ordenadas, eje imaginario. Por ejemplo, para representar el complejo z = 2 + i = ( 2 , 1 ) y representamos dicho punto en unos ejes coordenados. Este punto ser el extremo de un vector con origen el punto (0,0). Procedamos de otra manera; calculamos el módulo de z y trazamos una circunferencia con radio dicho módulo, despues calculamos el argumento, principal, de z y movemos el radio el angulo marcado por el argumento, como se puede comprobar se reproduce el dibujo anterior.

El conjugado de z = a + bi es el complejo z = a - bi. Los dos tiene el mismo módulo, pero sus argumentos son opuestos.

> restart: z:=3+I*4; Modulo_z:=abs(z); Argumento_z:=argument(z); conjugado_de_z:=conjugate(z); Modulo_Conjugado:=abs(conjugate(z)); Argumento_Conjugado:=argument(conjugate(z)); Parte_real:=Re(conjugate(z)); Parte_imaginaria:=Im(conjugate(z));

Veamos sus representaciones graficas conjuntas.

Opuesto de z, conjugado de z, opuesto del conjugado de z.Veamos sus representaciones conjuntas en el plano de Argand.

Propiedades del conjugado de un numero complejo.

Sea z = a +i b => z = a- ib.

1. = + a2 b2 z z = z 2. > restart:

z:=a+I*b:assume(a,real,b,real); 'z*conjugate(z)'=expand(z*conjugate(z));

2. = z z si sólo si z ε R.> z:=a+0*I;

'conjugate(z)'=conjugate(z);3. El conjugado del conjugado de z es z.> z:='z':

'conjugate'('conjugate'(z))=conjugate(conjugate(z));

4. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados.> conjugate(z[1]+z[2])=expand(conjugate(z[1]+z[2]));

5. Anlogamente para la diferencia. > conjugate(z[1]-z[2])=expand(conjugate(z[1]-z[2]));

6. El conjugado del producto es igual al producto de los conjugados. > conjugate(z[1]*z[2])=expand(conjugate(z[1]*z[2]));

7. El conjugado de un cociente es el cociente de los conjugados, pero debe ser ≠ z2 0. > conjugate(z[1]/z[2])=expand(conjugate(z[1]/z[2]));

Propiedades del módulo.

1. El módulo de un complejo es un numero real no negativo: ≤ 0 z .

> is(abs(z)>=0);

2. El módulo de un complejo y el de su conjugado, coinciden.

> 'abs'(conjugate(z))=expand('abs'(conjugate(z)));

3. El módulo del producto de dos complejos es el producto de los módulos.> abs(z[1]*z[2])=expand(abs(z[1]*z[2]));

4. Si ≠ z2 0 , el módulo del cociente de dos complejos, es el cociente de los módulos.> abs(z[1]/z[2])=expand(abs(z[1]/z[2]));

5. El módulo de la suma de dos complejos, es menor o igual que la suma de los módulos: ≤ + z z1 + z z1

Operaciones basicas con numeros complejos.

Para sumar, restar y multiplicar, sólo hay que respetar las reglas de las operaciones con pares ordenados de elementos, binomios por ejemplo, y considerar que = i2 −1 .

Si = z1 + 3 4 i y = z2 − 2 i, hagamos las siguientes operaciones; , + z1 z2 − z1 z2 y z1 z2 :

Suma: = + z1 z2 + [ ] + 3 4 i [ ] − 2 i = + 5 3 i

Resta: = − z1 z2 − [ ] + 3 4 i [ ] − 2 i = + 1 5 i

Producto: = z1 z2 [ ] + 3 4 i . [ ] − 2 i = = − + − 6 3 i 8 i 4 i2 + + 6 5 i 4 = + 10 5 i

> z1 := 3 + 4*I; z2 := 2 - I; suma=z1 + z2; resta=z1 - z2; producto=z1 * z2;

Para dividir dos complejos, es suficiente con observar una multiplicación.

Sabemos que = [ ] + 3 4 i [ ] − 2 i + 10 5 i entonces si los complejos son elementos de un Cuerpo, podemos reescribir la expresión anterior de esta otra manera:

= + 10 5 i

+ 3 4 i − 2 i o

+ 10 i 5 − 2 i

= + 3 4 i .

A la vista de lo anterior, + 10 i 5 − 2 i

= + x i y <=> + 10 i 5= ( ) − 2 i ( ) + x i y =

+ + 2 x y i ( ) − 2 y x => identificando:2x+y = 10 -x+2y = 5 sistema que al resolverse da el resultado de la división.

Otra manera:

Para dividir dos complejos basta con multiplicar y dividir el cociente por el conjugado del denominador:

Un ejemplo: = + 10 5 i

+ 3 4 i[ ] + 10 5 i . [ ] − 3 4 i[ ] + 3 4 i . [ ] − 3 4 i

= − + − 30 20 i2 15 i 40 i

25

= − 50 25 i25

= − 2 i .Otro:

= + 10 5 i − 2 i

[ ] + 10 5 i . [ ] + 2 i[ ] − 2 i . [ ] + 2 i

= + + + 20 5 i2 10 i 10 i

5

= + 15 20 i

5

= + 3 4 i .> Cociente1=(10+5*I)/(3+4*I);

Cociente2=(10+5*I)/(2-I);

Ejercicios:

1) Calcular ( ) + 2 3 i⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ − 5 ( ) − 2 i

1 + 3 5 i

.

2) + + 1 3 i − 1 i

+ 1 4 i − 3 4 i

3) − 2 − 1 i

+ 3 i5 i

+ 1 2 i

Potencias de la unidad imaginaria.

Sabemos que i = −1 , por lo tanto i2 = -1 y a partir de ah: i3 = - i..... ¿ cuanto vale in

?

= i0 1 = = i4 i8 = .... = i i = = i5 i9= .. ... = i2 −1= i6= ..............

= i3 −i = i7 = ............. as, haciendo n4

, el resto r debe ser un numero del conjunto

{0,1,2,3} de forma que = in ir.

Ejemplo = i27 i3 = −i, ya que al dividir 274

el cociente da 6 y de resto 3.

> Potencias_de_i:=[seq(I^k,k=0..20)]; i^27=I^27; i^136=I^136;

Calculo de raices cuadradas de complejos.-

Mas adelante estudiaremos el calculo de raices de cualquier orden de un complejo.

Ahora nos limitaremos a resolver el usual problema de calcular las dos raices cuadradas de z = + a i b.

La raiz cuadrada de un complejo es otro complejo: = + a i b + x i y de modo que si elevo al cuadrado ambos miembros:

= + a i b ( ) + x i y 2 = − + x2 y2 2 x y i

e identificando queda el sistema: − x2 y2 = a (eq 1) ; 2 x y = b. (eq 2)

elevando ambas ecuaciones al cuadrado: = ( ) − x2 y2 2a2 ; 4 = x2 y2 b2 la primera

queda, , = + − x4 y4 2 x2 y2 a2 y si le sumo la segunda,

= + + x4 y4 2 x2 y2 + a2 b2 con lo que z 2 = + a2 b2 = ( ) + x2 y2 2 => = z + x2 y2

(eq 3)

De las (eq 1) y (eq 3) se deduce que , = 2 x2 + a z => x2 = + a z

2 ; x =

+ a z2

y sustituyendo en (eq 3),

y = +-− + a z

2

En resumen:

+ a b i = +- [ + a z

2 + i signo(b)

− + a z2

] son las 2 soluciones

de la raiz cuadrada. Ejemplo:

1) Calcular la raiz cuadrada: − − 15 8 i

mod(z) = + ( )−15 2 ( )−8 2 = 17. a = -15; b= -8 luego: − − 15 8 i = +-

− − 17 152

i + 17 152

;

r1= − − 17 152

i + 17 152

= − 1 4 i y r2= -

− − 17 152

i + 17 152

= − + 1 4 i.

Ejercicios:

1) Calcular − + 3 4 i

2) Resolver = − + − z2 ( ) − 2 i z 2 i 0.

3) Resolver = − + + z2 ( ) − 3 i z 2 3 i 0.

Puesto que cualquier complejo no nulo viene determinado por su módulo y su argumento, a dichos valores se les denomina coordenadas polares del nmero complejo dado, o tambien forma polar del numero complejo.

Ejemplo:

Expresar en forma binómica, polar y trigonomtrica los siguientes numeros complejos: (1,-1), (3,-2), (1,1), (0,-4).

Este problema de pasar un complejo de una a otra expresión es sencillo, vemoslo con un ejemplo a imitar:

1) Si nos dan z = − 1 3 i , Mod(z) = + 12 32 = 2 y Arg(z) =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟arctan

− 31

donde claramente el signo negativo lo tiene el coseno (numerador), luego el

argumento es un angulo de π3

radianes pero en el 4º cuadrante => argumento de z

= = θ + 5 π3

2 k π

z = 2[5 π3

] = 2{ + ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

5 π3

i⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin

5 π3

} .

2) Si nos dan Mod (z) = 2, arg(z) = + 2 π3

2 k π hacemos, = ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

2 π3

−12

, sen

(2 π3

) = 3

2 de modo que z = 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟− +

12

i 32

=> z = − + 1 i 3 .

Con Maple.

Forma binómica:

> restart; z1=1-I; z2=(2-sqrt(3)*I); z3=(1+I); z4=(0-2*I);

Forma polar, para ello se llama a la librera polar

> readlib(polar):

y se utiliza la función polar> polar(a+b*I);

Donde el argumento calculado por MAPLE es el argumento principal. En efecto, el comando map(evalc, polar(a+bI)) (donde map es un operador que aplica el comando evalc de evaluación simbólica a la expresión polar(a+bI)) nos muestra que la forma polar es

> map(evalc, %);

En nuestro caso concreto se tiene por tanto> Z1:=polar(1-I);> Z2:=polar(2-sqrt(3)*I);

> Z3:=polar(1+I);

> Z4:=polar(0-2*I);

Otra forma, alternativa, de obtener una representación polar del nmero complejo consiste en utilizar el comando convert:> convert(3+3*I, polar);Como hemos dicho, los argumentos principales de cada nmero complejo se obtienen utilizando el comando argument y vienen dados por> argument(Z1);

Nótese que si queremos saber un valor aproximado de la función arcotangente en el punto -2/3 tendremos que utilizar el comando evalf aplicado a la expresión anterior> argument(Z2);> arg_Z2:=evalf(argument(Z2));

Forma trigonometrica de un numero complejo.

Recordamos que todo numero complejo z no nulo se puede expresar en forma trigonometrica: = z r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ , donde = r z y θ es el argumento de z.

Hacer el paso a forma trigonometrica es muy facil, basta sustituir en la fórmula dada.

Con Maple.

Para obtener la forma trigonometrica de un nmero complejo, hay que usar el comando evalc(polar(r,theta)), siendo evalc el comando de evaluación simbólica especial para numeros complejos introducido antes: > z:=evalc(polar(r,theta));

:= z + r ( )cos θ I r ( )sin θDefiniendo convenientemente la función anterior (que proporciona la forma trigonometrica buscada) para obtener una expresión mas clara (sacando factor comun r) se tiene:

> Expr_Trigonometrica:=factor(evalc(polar(r,theta))); := Expr_Trigonometrica r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ

Producto y potencia entera en forma trigonometrica.

Sean z1= r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ y = z2 s ( ) + ( )cos φ I ( )sin φ dos numeros

complejos en forma trigonometrica.

> restart; readlib(polar): z1:= r*(cos(theta)+I*sin(theta));

:= z1 r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ> z2 := s*(cos(phi)+I*sin(phi));

:= z2 s ( ) + ( )cos φ I ( )sin φ

El producto z1 z2 es el numero complejo

> z3:=factor(evalc(z1*z2)); := z3 r s ( ) − + + ( )cos θ ( )cos φ ( )sin θ ( )sin φ I ( )sin θ ( )cos φ I ( )cos θ ( )sin φ

que tiene módulo igual al producto de los módulos r s y argumento igual a la suma de los argumentos + θ φ.

Ejemplo.

Podemos comprobar grficamente que el numero complejo resultado de multiplicar dos numeros complejos es el que tiene como módulo el producto de los módulos y como argumento la suma de los argumentos de los dos complejos dados.

> z1:=1+I; := z1 + 1 I

> z2:=1+2*I; := z2 + 1 2 I

> z3:=z1*z2; := z3 − + 1 3 I

> c1:=polar(z1);

:= c1⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟polar ,2

14

π

> c2:=polar(z2);

:= c2 ( )polar ,5 ( )arctan 2> c3:=polar(z3);

:= c3 ( )polar ,10 − + ( )arctan 3 πPodemos representar los tres numeros de forma grafica (obsrevese que necesitamos conocer el valor de los complejos en forma binómica para poder representar las "flechas" correspondientes):

A partir de aqui, esta claro que multiplicar por un numero complejo cuyo módulo sea igual a 1 es equivalente a "realizar un giro" en el plano en torno al origen, de angulo el argumento de dicho numero complejo.

Por ejemplo, veamos que multiplicar un numero complejo por la unidad imaginaria

(cuyo módulo es 1) es equivalente a realizar un giro de π2

radianes en torno al (0,0):

> := z1 + 2 3 I

:= z2 − + 3 2 I

Para calcular la potencia entera de orden n de z , donde n es un elemento de z, se utiliza la fórmula de de Moivre: = zn rn ( ) + ( )cos n θ i ( )sin n θ .

Si n > 0, esta fórmula se obtiene simplemente multiplicando z por si mismo n veces, si n = 0, = zn 1 y si n <0 es una consecuencia de la igualdad:

= z( )−1 zz 2 .

> restart; readlib(polar):conjugate(z)/abs(z)^2;

z

z 2

> simplify(conjugate(z)/abs(z)^2);1z

> z:=r*(cos(theta)+I*sin(theta)); := z r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ

> z^(-1)=simplify(evalc(z^(-1)));

= 1

r ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ−

− + ( )cos θ I ( )sin θr

> z^2=factor(combine(z^(2),trig));

= r2 ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ 2 r2 ( ) + ( )cos 2 θ I ( )sin 2 θ> z^(-2)=simplify(evalc(factor(combine(z^(-2),trig))));

= 1

r2 ( ) + ( )cos θ I ( )sin θ 2 −− + ( )cos 2 θ I ( )sin 2 θ

r2

Ejemplo.> z:= 3*(cos(Pi/3)+I*sin(Pi/3));

:= z + 32

32

I 3

> evalc(z^(3));-27

> evalc(z^(-3));-127

Forma exponencial de un numero complejo.

Otra forma de representar los nmeros complejos es a partir de la definición de exponencial de un numero complejo = z + a bi: ez = e( ) + a i b = ea ( ) + ( )cos b i ( )sen b .

> restart;z:=a+b*I; := z + a I b

> exp(z);

e( ) + a I b

> factor(evalc(exp(z)));

ea ( ) + ( )cos b I ( )sin b

Si = a 0, entonces = z b I y se obtiene la identidad e( )i b = + ( )cos b i ( )sin b .

> exp(I*b)=factor(evalc(exp(I*b)));

= e( )I b + ( )cos b I ( )sin bPor ejemplo,

> z1:=exp((Pi/2)*I); := z1 I

> z2:=exp((Pi/4)*I);

:= z2 + 12

212

I 2

Entonces, si = z r ( ) + ( )cos θ i ( )sin θ es la forma trigonometrica del numero complejo z, su forma exponencial ser igual a z = r e( )i θ = r ( ) + ( )cos θ i ( )sin θ , donde r = z es su módulo y θ su argumento:

A la fórmula = e( )i θ + ( )cos θ i ( )sin θ se le llama fórmula de Euler.

> z:=3-5*I; := z − 3 5 I

> r:=abs(z);

:= r 34> theta:=argument(z);

:= θ −⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

53

> r*(cos(theta)+I*sin(theta));

34⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ −

334

34534

I 34

> simplify(r*(cos(theta)+I*sin(theta))); − 3 5 I

El producto y las potencias enteras de numeros complejos en forma exponencial tienen expresiones muy sencillas: > restart;z1:=r*exp(i*theta);

:= z1 r e( )i θ

> z2:=s*exp(i*phi);

:= z2 s e( )i φ

> simplify(z1*z2);

r s e( )i ( ) + θ φ

> expand(simplify(z1^(n)));

( )r e( )i θ n

> simplify(z1^(4));

r4 e( )4 i θ

> simplify(z1^(-4));

e( )−4 i θ

r4

Ejercicio. Obtener los valores de r y α para que se cumpla:

= ( ) − 3 2 i ( )r e( )i α 2 + 4 6 i.

Ejercicios de potencias y raices.-

Ejemplo. Dado el complejo = z 2 ( )− + 1 i , calcular z3 y z4.

Lo transformamos convenientemente:

z = 2 ; arg(z) = Arc Tan (2

− 2) =

3 π4

=> z = 2 e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟i

3 π

4 y con esto: z3 =

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟2 e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

i 3 π

43

=

23 e

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

i 32 π

4=

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟8 +

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

9 π4

i⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin

9 π4

= 81

2( ) + 1 i .

z4 = ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟2 e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

i 3 π

44

= 24 e( )i 3 π = 16( + ( )cos 3 π i ( )sin 3 π ) = -16.

> restart:with(student): completesquare(x^2+4*x+5=0); factor(x^2+4*x+5=0); solve(%);

= + ( ) + x 2 2 1 0

= + + x2 4 x 5 0,− + 2 I − − 2 I

A la vez que calculamos races de complejos vamos a ver cómo se resuelven ecuaciones polinómicas en el plano complejo. ( Es muy importante resaltar que una ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raices en el campo complejo )Para ello en primer lugar vamos a hallar y representar graficamente todas las raices (soluciones) de la ecuación = − z4 16 0 , lo que equivale a decir que vamos a calcular las cuatro races cuartas de 16.

El complejo z = 16 tiene módulo 16 y argumentos θ =2 k π de modo que z = 16

e( )i 2 k π

. Si aplicamos la fórmula de Moivre:

Las raices cuartas de z sern, w = z

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

= ( )16 e( )i 2 k π

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

14

= 2 e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

i 2 k π

4= 2 e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

i k π

2 =>

dando los valores k = 0 , 1, 2 y 3 obtendremos las cuatro races buscadas:w1= 2 e0= 2 ;

w2= 2 e

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

i π2

= 2 ( + ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

π2

i⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin

π2

) = 2 i

w3= 2 e

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

i 2 π2

= 2 ( + ( )cos π i ( )sin π ) = -2;

w4= 2 e

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

i 3 π2

= 2 ( + ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

3 π2

i⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin

3 π2

) = −2 i.

Con Maple.> restart;> r:=solve(z^4 -16=0, z);

:= r , , ,2 -2 2 I −2 IPodemos visualizar grficamente las 4 races encontradas. Para ello necesitamos nuevamente algunos comandos que estan en la librera plots, por lo que utilizamos el comando "with( )" para llamarla:> with(plots): with(plottools):y a continuación escribimos las cuatro raices obtenidas por medio de su representación en el plano complejo como 4 pares ordenados de numeros reales:> for i from 1 by 1 to 4 do

raiz[i]:=disk([Re(r[i]),Im(r[i])], 0.06, color=black, filled=true) od:

> display({seq(raiz[i],i=1..4)},scaling=constrained);

Nótese como las raices estan todas en el borde del circulo (circunferencia) centrado en el origen y de radio el módulo.> C:=disk([0,0],2,color=yellow):> display({seq(raiz[i],i=1..4),C},scaling=constrained);

Otra forma alternativa de visualizar las raices es la que hemos visto al principio:> plot([seq([Re(r[i]),Im(r[i])],i=1..4)],style=point,

symbol=circle,scaling=constrained);

El ejemplo anterior sirve para introducir el concepto de raiz de un numero complejo. Dado un numero complejo no nulo z, existen exactamente n numeros complejos z1,...,zn tales que la potencia n-sima de cada uno de ellos nos da como resultado el numerocomplejo z, es decir la ecuación xn= z tiene n soluciones distintas. A dichos numeros complejos se les denomina raices n-simas de z. Todos ellos tienen como módulo la raz n-sima del módulo de z y, siendo θ el argumento de z, sus argumentos satisfacen la relación

θk= + θn

2 k πn

(k=0,...,n-1), por lo que las flechas que las representan dividen el

disco de radio = R z

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1n

con centro en el origen en n sectores iguales .

Veamos un ejemplo:> restart:> with(plots): with(plottools):> w:=1+I;

:= w + 1 I

Calculemos el radio de la circunferencia en la que estan las raices (la raiz cubica del módulo de w):> a:=abs(w);

:= a 2> b:=surd(abs(w),3);

:= b 2( ) / 1 6

> r:=solve(z^3-w=0,z);

:= r , ,( ) + 1 I ( ) / 1 3 − + 12

( ) + 1 I ( ) / 1 3 12

I 3 ( ) + 1 I ( ) / 1 3 − − 12

( ) + 1 I ( ) / 1 3 12

I 3 ( ) + 1 I ( ) / 1 3

> for i from 1 by 1 to 3 do raiz[i]:=disk([Re(r[i]),Im(r[i])], 0.02, color=black, filled=true) od:

> C:=disk([0,0],b,color=yellow):> display({seq(raiz[i],i=1..3),C},scaling=constrained);

Raices n-simas de la unidad.

A la vista de lo anterior, las races de orden n de 1 seran exactamente n numeros complejos, todos de igual módulo, 1 por lo que se representarn sobre una

circunferencia de radio 1 y separadas entre s 2 πn

radianes. Vemoslo graficamente.

= z2 1,1 -1

,La raíz principal es + ( )cos 0 I ( )sin 0, Simbólicamente 1.

= z3 1

, ,1 − + 12

12

I 3 − − 12

12

I 3


= z5 1

1 − + 14

514

14

I 2 + 5 5 − − + 14

514

14

I 2 − 5 5, , ,

− − − 14

514

14

I 2 − 5 5 − − 14

514

14

I 2 + 5 5,


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